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第五章相交线与平行线整理;刘德印知识结构图相交线相交线垂线同位角、内错角、同旁内角平行线平行线及其判定平行线的判定平行线的性质平行线的性质命题、定理平移在同一平面内两条直线的位置关系有两种相交和平行;垂直是相交的一种特殊形式;重合是平行的一种特殊形式;判断三点共线的三种方法
1.构成平角;
2.利用平行公理;
3.利用垂线的性质一.相交在同一平面内,两条不同的直线只有一个公共点几条直线两两相交时交点的个数=nn-1/2
(一)三线八角所谓三线八角是指两条直线被第三条直线所截形成八个角如图⑴其中同位角有:∠1与∠5∠2与∠6∠4与∠8∠3与∠7内错角有:∠3与∠5∠4与∠6同旁内角有:∠3与∠6∠4与∠
5.例如果两条平行线被第三条直线所截得的八个角中有一个角的度数已知则A、只能求出其余三个角的度数.B、只能求出其余五个角的度数.C、只能求出其余六个角的度数.D、只能求出其余七个角的度数.析解:由三线八角可知:同位角相等的有:∠1与∠5∠2与∠6∠4与∠8∠3与∠7内错角相等的有:∠3与∠5∠4与∠6同旁内角互补的有:∠3与∠6∠4与∠
5.答案选D.
(二)、加平行线的辅助线例如图⑶一条公路修到湖边时需拐弯绕过湖通过.如果第一次拐的角∠A是110°第二次拐的角∠B是140°第三次拐的角∠C这时的道路与第一条路平行则∠C是.A、120°B、130°C、140°D、150°析解:作辅助线BE,把∠A转移到∠ABE,∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=140°-110°=30°∴∠C=180°-30°=150°140°-110°=30°例已知如图⑷AB∥ED,求证∠B+∠BCD+∠D=360°分析我们知道只有周角是等于360°,而图中又出现了与∠BCD相关的以C为顶点的周角,若能把∠B、∠D移到与∠BCD相邻且以C为顶点的位置,即可把∠B、∠BCD和∠D三个角组成一个周角,则可推出结论证法一如图⑸过C作CF∥AB,∴∠BCF=∠B,∵AB∥ED,∴CF∥ED,∴∠FCD=∠D,∵∠BCD+∠BCF+∠DCF=360°,∴∠B+∠BCD+∠D=360°证法二如图⑹过C作FC∥AB,∴∠B+∠BCF=180°,∵AB∥ED,∴FC∥ED,∴∠FCD+∠D=180°,∴∠B+∠BCF+∠FCD+∠D=360°即∠B+∠BCD+∠D=360°证法三如图⑺过B作BF∥DC,∴∠FBC=∠BCD,又∵AB∥ED,∴∠ABF=∠D,∵∠ABC+∠CBF+∠ABF=360°,∴∠ABC+∠BCD+∠D=360°例如图⑻直线a∥b,∠CAE=20°,∠CBF=40°,则∠ACB=————
(三)平移角例图
(9)AB∥ED,CE平分∠BCD交AB于点E,∠A=110°,则∠AEC为多少析解:∵AB∥ED,∴∠A+∠ACD=180°,∠ACD=180°-∠A=180°-110°=70°,又∵CE平分∠BCD,∴∠ACE=∠ECD=∠ACD=×70°=35°,∵AB∥ED,∴∠AEC=∠ECD,∴∠AEC=35°例如图
(10)AD∥EG∥BC,AC∥EF,则图中与∠1相等的角(不含∠1)有___个,若∠1=40°,则∠AHG=_________析解:∵AC∥EF,∴∠1=∠ACB,∵AD∥EG∥BC,∴∠1=∠HEF,∠GHC=∠ACB,∠DAC=∠ACB,又∠AHE=∠GHC,∴∠1=∠GHC=∠AHE=∠DAC,则与∠1相等的角有∠ACB、∠HEF、∠GHC、∠AHE、∠DAC共5个;∵∠1=40°∴∠AHE=40°,则∠AHG=180°-∠AHE=180°-40°=140°
三、转折角处巧添辅助线例如图AB//CD则的度数为解由图形可以看出,在两条平行线ABCD之间的E点处出现了一个转折角,即,因此我们可以过点E作EF//AB,由条件AB//CD可知AB//EF//CD所以所以又因为CD//EF从而例如图,己知AB//DE则__解由图形可以看出,C点处出现了一个转折角,因此我们可以过点C作CF//AB由此可知所以例如图,AB//CD若则度.解题中出现转折角,即,可过点E作与ABCD平行的直线FG则所以例如图试探索之间具备什么关系时,AB//CD并说明理由解观察图形可以猜想时AB//CD在E点出现了转折角,可以过点E作EF//AB则所以EF//CD又因为EF//AB,所以AB//CD.
1.对顶角是两条直线相交所成的四个角中有一个有公共顶点但没有公共边的两个角;也是一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线只有两条直线相交时才能产生两对对顶角两条直线相交有两对对顶角;对顶角的性质对顶角相等;
2.判断两个角是否是对顶角一要看这两个角是不是两条直线相交得到的二要看这两个角是不是有公共顶点
3.邻补角是两条直线相交所成的四个角中,有公共顶点并且有一条公共边的两个角,而且它们的另一边互为反向处长线的两个角它可以看成是一条直线与端点在直线上的一条射线组成的两个角邻补角是成对的,是具有特殊位置关系的两个互补的角两条直线相交所成的四个角中,有4对邻补角如果两个角互为邻补角,这两个角一定互补;但是互补的两个角不一定是互为邻补角邻补角的本质特征有一个公共顶点和一条公共边,另一边是互为反向处长线的两个角三线八角如图,直线a,b被直线c所截,形成的8个角中,其中同位角有4对,内错角有2对,同旁内角有2对.
4.判断两个角是否是邻补角一要看这两个角的两边,一边是公共边,另外两边互为反向延长线邻补角与对顶角的共同点一是两条直线相交;二是都有公共顶点;不同的是对顶角没有公共边,邻补角有一个公共边
5.判断角相等的方法:
(1)同角或等角的余角相等、补角相等;
(2)对顶角相等;
(3)角分线定义;
(4)两条直线平行性质二.垂直是相交的一种特殊形式,是指两条直线相交时所产生的四个角中有一个角是直角其中一条直线叫做另一条直线的垂线,交点叫做垂足画一条线段或射线的垂线,就是画它们所在直线的垂线;画法让三角板的一条直角边与已知直线重合,沿直线左右移动三角板,使其另一条直角边经过已知点,沿此直角边画直线,则这条直线就是已知直线的垂线注意如过一点画射线或线段的垂线,是指画它们所在直线的垂线,垂足有时在延长线上
1.垂线性质
(1)在同一平面内,过直线外(上)一点,有且只有一条直线与已知直线垂直;
(2)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短
2.点到直线的距离是直线外一点到这条直线的垂直线段的长度点到直线的距离是长度;是数量;垂线段是图形
3.垂直的判断
1.两条直线相交时有一个夹角是90度;
2.邻补角相等;
3.垂直于两条平行线中的一条,也必定垂直于另一条(这也是平行线性质之一)
4.线段垂直平分线定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等已知如图,直线MN⊥AB,垂足是C,且AC=BC,P是MN上的任意一点求证PA=PB证明∵MN⊥AB,∴∠PCA=∠PCB=90°∵AC=BC,PC=PC∴△PCA≌△PCB(SAS)∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)
5.定理到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上(利用等腰三角形三线合一)三.平行线是指在同一平面内不相交的两条直线直线a与b平行,记作a∥b.
1.在同一平面内,两条直线的位置关系一是相交;二是平行;
2.两条直线的位置关系中没有重合,当两条直线重合时视为一条直线对平行线概念的理解两个关键一是“在同一个平面内”(举例说明);二是“不相交”.一个前提对两条直线而言.平行线的画法平行线的画法是几何画图的基本技能之一,方法为一“落”(三角板的一边落在已知直线上),二“靠”(用直尺紧靠三角板的另一边),三“移”(沿直尺移动三角板,直至落在已知直线上的三角板的一边经过已知点),四“画”(沿三角板过已知点的边画直线).
3.两条平行直线被一条直线所截,有同位角、内错角、同旁内角
4.平行公理:经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行;平行公理推论如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.即如果b∥a,c∥a,那么b∥c.本章内容所涉及的题目主要是从已知图形中辨认出对顶角、同位角、内错角或同旁内角解答这类题目的前提是熟练地掌握这些角的概念,关键是把握住这些角的基本图形特征,有时还需添加必要的辅助线,用以突出基本图形的特征上述类型题目大致可分为两大类一类题目是判断两个角相等或互补及与之有关的一些角的运算问题其方法是“由线定角”,即运用平行线的性质来推出两个角相等或互补另一类题目主要是“由角定线”,也就是根据某些角的相等或互补关系来判断两直线平行,解此类题目必须要掌握好平行线的判定方法例已知如图,指出下列推理中的错误,并加以改正
(1)∵∠1和∠2是内错角,∴∠1=∠2,
(2)∵AD//BC,∴∠1=∠2(两直线平行,内错角相等)
(3)∵∠1=∠2,∴AB//CD(两直线平行,内错角相等)分析根据“三线八角”的概念,对
(1),
(2)可从内错角的条件入手;对
(3)考虑平行线的判定和性质解
(1)因为没有直线CD//AB的条件,不能得出内错角∠1,∠2相等的结论
(2)∠1,∠2不是AD,BC被AC所截得的内错角,所以得不出∠1=∠2的结论,应改为∵CD//AB,∴∠1=∠2(两直线平行,内错角相等)
(3)理由填错了,应改为∵∠1=∠2,∴CD//AB(内错角相等,两直线平行)例如图,∠1=∠2,∠3=∠4,试向EF是否与GH平行?分析要判断EF与GH是否平行,只要能找到与EF,GH有关的一对角(同位,内错,同旁内角都可以)相等或互补即可解∵∠1=∠2(已知)又∵∠CGE=∠2(对顶角相等)∴∠1=∠CGE(等量代换)又∵∠3=∠4(已知)∴∠3+∠1=∠4+∠CGE(等量加等量,其和相等)即∠MEF=∠EGH,∴EF//GH(同位角相等,两直线平行)说明本题解答过程就是一种推理过程,每一步因果关系分明由因导果的依据在式子后面的括号内写明了此题属于平行线判定类型例如图写出能使AB//CD成立的各种题设分析应先找和AB,CD这二条直线有关的第三条截线所组成的“三线八角”来判定AB//CD解使AB//CD成立的题设有
(1)根据同位角相等,判定两直线平行有∠EAB=∠EDC,∠FDC=∠FAB
(2)根据内错角相等,判定两直线平行有∠3=∠4或∠7=∠8
(3)根据同旁内角互补,判定两直线平行有∠BAD+∠ADC=180°或∠ABC+∠BCD=180°例已知如图,∠1+∠2=180°,∠A=∠C,AD平分∠BDF求证BC平分∠DBE分析只要求得∠EBC=∠CBD,由∠1+∠2=180°推出∠1=∠BDC,从而推出AE//FC,从而推出∠C=∠EBC而∠C=∠A于是可得∠A=∠EBC因此又可得AD//BC,最后再运用平行线性质和已知条件便可推出∠EBC=∠DBC证明∵∠2+∠BDC=180°(平角定义)又∵∠2+∠1=180°(已知)∴∠BDC=∠1(同角的补角相等)∴AE//FC(同位角相等两直线平行)∴∠EBC=∠C(两直线平行内错角相等)又∵∠A=∠C(已知)∴∠EBC=∠A(等量代换)∴AD//BC(同位角相等,两直线平行)∴∠ADB=∠CBD(两直线平行,内错角相等)∠ADF=∠C(两直线平行,同位角相等)又∵DA平分∠BDF(已知)∴∠ADB=∠ADF(角平分线定义)∴∠EBC=∠DBC(等量代换)∴BC平分∠DBE(角平分线定义)
三、证明角相等的基本方法
(1)同角(或等角)的余角相等;
(2)同角(或等角)的补角相等;
(3)对顶角相等;
(4)两直线平行,同位角相等;内错角相等;同旁内角互补例如图∠1=∠2=∠C,求证∠B=∠C分析题设中给出三个相等的角,其中∠2和∠C是直线DE和BC被AC所截构成的同位角,由∠2=∠C则DE//BC再看题中要证明的结论是∠B=∠C,由于∠C=∠1,所以只要证明∠1=∠B,而∠1与∠B是两条平行直线DE,BC被直线AB所截构成的同位角,∠1=∠B是很显然的,这样我们就理顺了从已知到求证的途径证明∵∠2=∠C(已知),∴DE//BC(同位角相等,两直线平行),∴∠1=∠B(两直线平行,同位角相等),又∵∠1=∠C(已知),∴∠B=∠C(等量代换)例已知如图,AB//CD,AD//BC,求证∠A=∠C,∠B=∠D分析要证明∠A=∠C,∠B=∠D,从这四个角在图中的位置来看,每一组既不构成同位角,也不是内错角或同旁内角,由此不可能利用题设中的平行关系,经过一次推理得到结论,仍然如同例10一样通过等角进行转化,从题设条件出发,由AB//CD,且AB与CD被直线BC所截,构成了一对同旁内角,∠B、∠C,因此∠B+∠C=180o,同时∠B又是另一对平行线AD、BC被直线AB所截,构成的一对同旁内角∠B、∠A,∠B+∠A=180o,通过∠B的中介,就可以证明得∠A=∠C同理,也可得到∠B=∠D,整个思路为证明AD//BC(已知)∴∠A+∠B=180o(两直线平行,同旁内角互补),∵AB//CD(已知),∴∠B+∠C=180o(两直线平行,同旁内角互补),∴∠A=∠C(同角的补角相等),同理可证∠B=∠D例已知如图,AD⊥BC于D,EG⊥BC于G,∠E=∠3,求证∠1=∠2分析要证明∠1=∠2,而从图中所示的∠1和∠2的位置来看,根据题设或学过的定义、公理、定理无法直接证明这两个角相等,因我们可将视野再拓广一下,寻找一下∠
1、∠2与周边各角的关系,我们看到直线AD与GE被直线AE所截,形成同位角∠
1、∠E;被AB所截,形成内错角∠
2、∠3;而题设明确告诉我们∠3=∠E,于是目标集中到证明AD//GE,根据题设中AD⊥BC,EG⊥BC,我们很容易办到这一点,总结一下思路就可以得到以下推理程序证明∵AD⊥BC于D(已知),∴∠ADC=90o(垂直定义),∵EG⊥BC于G(已知),∴∠EGD=90o(垂直定义),∴∠ADC=∠EGD(等量代换),∴EG//AD(同位角相等,两直线平行),∴∠1=∠E(两直线平行同位角相等),∠2=∠3(两直线平行内错角相等),又∵∠E=∠3(已知),∴∠1=∠2(等量代换)
四、两条直线位置关系的论证两条直线位置关系的论证包括证明两条直线平行,证明两条直线垂直,证明三点在同一直线上
1、学过证明两条直线平行的方法有两大类
(一)利用角;
(1)同位角相等,两条直线平行;
(2)内错角相等,两条直线平行;
(3)同旁内角互补,两条直线平行
(二)利用直线间位置关系
(1)平行于同一条直线的两条直线平行;*
(2)垂直于同一条直线的两条直线平行例如图,已知BE//CF,∠1=∠2,求证AB//CD分析要证明AB//CD,由图中角的位置可看出AB与CD被BC所截得一对内错角∠ABC和∠DCB,只要证明这对内错角相等,而图中的直线位置关系显示,∠ABC=∠1+∠EBC,∠BCD=∠2+∠FCB,条件中又已知∠1=∠2,于是只要证明∠EBC=∠BCF证明∵BE//CF(已知),∴∠EBC=∠FCB(两直线平行,内错角相等)∵∠1=∠2(已知),∴∠1+∠EBC=∠2+FCB(等量加等量其和相等),即∠ABC=∠BCD(等式性质),∴AB//CD(内错角相等,两直线平行)例如图CD⊥AB,EF⊥AB,∠1=∠2,求证DG//BC分析要证明DG//BC,只需证明∠1=∠DCB,由于∠1=∠2,只需证明∠2=∠DCB,∠2与∠DCB又是同位角,只需证明CD//EF根据题设CD⊥AB,EF⊥AB,CD//EF,很容易证得,这样整个推理过程分成三个层次
(1)(平行线的判定)
(2)CD//EF∠2=∠DCB(平行线的性质)
(3)∠1=∠DCBDG//BC(平行线判定)在这三个推理的环节中,平行线的判定和性质交替使用,层次分明证明∵CD⊥AB于D(已知),∴∠CDB=90o(垂直定义),∵EF⊥AB于F(已知),∴∠EFB=90o(垂直定义),∴∠CDB=∠EFB(等量代换)∴CD//EF(同位角相等,两直线平行)∴∠2=∠DCB(两直线平行,同位角相等)又∵∠1=∠2(已知),∴∠1=∠DCB(等量代换),∴DG//BC(内错角相等,两直线平行)说明从以上几例我们可以发现,证明两条直线平行,必须紧扣两直线平行的条件,往往归结于求证有关两个角相等,根据图形找出两直线的同位角、内错角或同旁内角,设法证明这一组同位角或内错角相等,或同旁内角互补而证明两角相等,又经常归于证明两直线平行因此,交替使用平行线的判定方法和平行线的性质就成为证明两直线平行的常用思路
2、已经学过的证明两直线垂直的方法有如下二个
(1)两直线垂直的定义
(2)一条直线和两条平行线中的一条垂直,这条直线也和另一条垂直(即证明两条直线的夹角等于90o而得到)例如图,已知EF⊥AB,∠3=∠B,∠1=∠2,求证CD⊥AB分析这是一个与例14同样结构的图形,但证明的目标却是两条直线垂直证明CD⊥AB,根据“一条直线垂直于两条平行线中的一条,必垂直于另一条”又由于已知条件EF⊥AB,只要证明EF//CD,要证EF//CD,结合图形,只要证明∠2=∠DCB,因为∠1=∠2,只需证明∠DCB=∠1,而∠DCB与∠1是一对内错角,因而根据平行线的性质,就需证明DG//BC,要证明DG//BC根据平行线的判定方法只需证明∠3=∠B,而这正是题设给出的条件,整个推理过程经过以下几个层次∠3=∠BDG//BC∠DCB=∠2
(1)平行线判定
(2)平行线性质CD⊥AB
(3)平行线判定性质
(4)垂直定义证明∵∠3=∠B(已知),∴DG//BC(同位角相等,两直线平行)∴∠1=∠DCB(两直线平行,内错角相等),∵∠1=∠2(已知),∴∠DCB=∠2(等量代换),∴DC//EF(同位角相等,两直线平行),有括号部分的五步也可以用以下证法接DC//EF(同位角相等,两直线平行),又∵EF⊥AB(已知),∴CD⊥AB(一条直线和两条平行线中的一条垂直,这条直线也和另一条垂直)
3、已经学过的证明三点共线的方法在前面的几讲中已分析过,若证明E、O、F三点共线,通常采用∠EOF=180o,利用平角的定义完成三点共线证明例已知如图,∠BED=∠B+∠D求证AB//CD法
(一)分析要证明AB//CD,从题设中条件和图形出发考虑,图形中既不存在“三线八角”,又不存在与AB、CD同时平行的第三条直线或与AB、CD同时垂直的直线,这样就无法利用平行线公理的推理或平行线的判定方法来证明两条直线平行能不能为此创造条件呢?如果我们能够在图中添置一条直线,使这条直线和AB、CD中的一条平行,那么我们就有可能证明它也平行于另一条,从而得到AB//CD根据平行公理,经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行,所以这样的直线是存在的接下来的问题是过哪一点作这条平行线,考虑题设中的已知条件,三个角的关系围绕着E点展开的,因而选择E点作AB的平行线是较为理想的位置证明过点E作EF//AB,∴∠B=∠1(两直线平行,内错角相等),∵∠BED=∠1+∠2(全量等于部分之和),∴∠2=∠BED-∠1(等式性质),又∵∠BED=∠B+∠D(已知),∴∠D=∠BED-∠B(等式性质)∴∠2=∠D(等量代换)∴EF//CD(内错角相等,两直线平行),∵EF//AB(作图),∴AB//CD(平行于同一直线的两直线平行)说明在光凭题设条件无法直接证得结论时,在图中添置新的线,以构成一个条件充分的图形,从而得出所求证的结论,像这样添置的线叫做辅助线,在画图时,辅助线用虚线画出法
(二)分析如果在E点的另一侧添置AB的平行线(如图),同样可以凭此证得结论,但是由于所取的角的位置不同,推理的依据过程也有所不同证明过点E作EF//AB(如图),∴∠B+∠1=180o(两直线平行,同旁内角互补),∵∠1+∠2+∠BED=360o(周角定义),∠BED=∠B+∠D(已知),∴∠B+∠D+∠1+∠2=360o(等量代换),∴∠D+∠2=360o-(∠B+∠1)(等式性质)=360o-180o(等量代换)=180o∴EF//CD(同旁内角互补,两直线平行),∵EF//AB(作图),∴AB//CD(平行于同一直线的两条直线平行)注意在添置辅助线EF时,只能过E点作直线EF平行于直线AB、CD中的一条,而不能同时平行于AB和CD从另一个方面考虑这个命题,仍然是这个图形如果我们交换题设和结论部分即已知AB//CD,能否得到∠BED=∠B+∠D的结论,仍然像例16法
(一)那样添置AB的平行线EF,可得到∠B=∠BEF,又由于AB//CD,则EF//CD于是又有∠D=∠DEF,很显然∠B+∠D=∠BEF+∠DEF=∠BED可知,交换原命题的题设和结论部分,仍然得到一个真命题名师精讲:1.平行线的定义在同一个平面内,不相交的两条直线叫做平行线.平行是相互的.直线AB与CD是平行线,记作“AB∥CD”(或CD∥AB)读作“AB平行于CD”或者“CD平行于AB.平行线是具有特殊位置关系的两条直线,定义中“不相交”是平行线的基本特征,“在同一平面内”是其前提,离开这个前提,不相交的两条直线,就不一定平行了.这是因为在空间里存在着既不平行又不相交的两条直线,如正方体的棱中有既不相交也不平行的直线.在同一个平面内,两条直线的位置关系有且只有两种相交或平行.
2、平行公理及其推理.平行公理经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.平行公理是几何中的重要公理,它强调了过直线外一点与这条直线平行的直线的存在性和唯一性.平行公理的推论(传递性)如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.也可叙述为平行于同一直线的两条直线平行.这说明平行线具有传递性.3.利用直尺和三角板画平行线是几何画图基本技能之一,注意掌握“一落、二靠、三移、四画”的基本方法.四.平行线的判定定理(由角相等或互补推出直线平行)平行线的判定是指根据两条直线之间的某种位置或数量关系,断定这两条直线平行.平行线判定有以下几种方法1.平行线的定义在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线;2.平行公理的推论如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行;3.平行线的判定公理同位角相等,两直线平行;4.平行线的判定定理内错角相等,两直线平行;5.平行线的判定定理同旁内角互补,两直线平行;6.垂直于同一条直线的两条直线平行一般地,用平行线的定义来判定两条直线平行比较困难,所以通常不用这种判定方法.另外,“垂直于同一条直线的两条直线平行”课本中没有明确指出作为一种判定方法,把它作为判定直线平行的根据时,要加以证明.运用平行线的判定方法时,要根据已知条件及图形的特征,选用不同的判定方法.
1.两条直线被第三条直线所截,同位角相等则两条直线平行。