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文本内容:
§
1.
3.1函数的单调性
一、三维目标
1、知识与技能
(1)建立增(减)函数的概念通过观察一些函数图象的特征,形成增(减)函数的直观认识.再通过具体函数值的大小比较,认识函数值随自变量的增大(减小)的规律,由此得出增(减)函数单调性的定义.掌握用定义证明函数单调性的步骤
(2)函数单调性的研究经历了从直观到抽象,以图识数的过程,在这个过程中,让学生通过自主探究活动,体验数学概念的形成过程的真谛
2、过程与方法
(1)通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性及其几何意义;
(2)学会运用函数图象理解和研究函数的性质;
(3)能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性.
3、情态与价值,使学生感到学习函数单调性的必要性与重要性,增强学习函数的紧迫感.
二、教学重点与难点重点函数的单调性及其几何意义.难点利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性.
三、学法与教学用具
1、从观察具体函数图象引入,直观认识增减函数,利用这定义证明函数单调性通过练习、交流反馈,巩固从而完成本节课的三维目标
2、教学用具投影仪、计算机.
四、教学思路
(一)创设情景,揭示课题1.观察下列各个函数的图象,并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律随x的增大,y的值有什么变化?能否看出函数的最大、最小值?函数图象是否具有某种对称性?2.画出下列函数的图象,观察其变化规律
(1)fx=x从左至右图象上升还是下降______在区间____________上,随着x的增大,fx的值随着________.
(2)fx=-x+2从左至右图象上升还是下降______在区间____________上,随着x的增大,fx的值随着________.
(3)fx=x2在区间____________上,fx的值随着x的增大而________.在区间____________上,fx的值随着x的增大而________.
3、从上面的观察分析,能得出什么结论?学生回答后教师归纳从上面的观察分析可以看出不同的函数,其图象的变化趋势不同,同一函数在不同区间上变化趋势也不同,函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映,这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性(引出课题)
(二)研探新知
1、y=x2的图象在y轴右侧是上升的,如何用数学符号语言来描述这种“上升”呢?学生通过观察、思考、讨论,归纳得出函数y=x2在(0,+∞)上图象是上升的,用函数解析式来描述就是对于(0,+∞)上的任意的x1,x2,当x1<x2时,都有x12<x
22.即函数值随着自变量的增大而增大,具有这种性质的函数叫增函数2.增函数一般地,设函数y=fx的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1x2时,都有fx1fx2,那么就说fx在区间D上是增函数(increasingfunction).
3、从函数图象上可以看到,y=x2的图象在y轴左侧是下降的,类比增函数的定义,你能概括出减函数的定义吗?注意函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;必须是对于区间D内的任意两个自变量x1,x2;当x1x2时,总有fx1fx2.4.函数的单调性定义如果函数y=fx在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y=fx在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=fx的单调区间
(三)质疑答辩,发展思维根据函数图象说明函数的单调性.例1如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=fx,根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数?解略例2物理学中的玻意耳定律P=(k为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当其体积V减少时,压强P将增大试用函数的单调性证明之分析按题意,只要证明函数P=在区间(0,+∞)上是减函数即可证明略3.判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数fx在给定的区间D上的单调性的一般步骤
①任取x1,x2∈D,且x1x2;
②作差fx1-fx2;
③变形(通常是因式分解和配方);
④定号(即判断差fx1-fx2的正负);
⑤下结论(即指出函数fx在给定的区间D上的单调性).巩固练习课本P38练习第
1、
2、3题;证明函数在(1,+∞)上为增函数.例3.借助计算机作出函数y=-x2+2|x|+3的图象并指出它的的单调区间.解(略)思考画出反比例函数的图象.这个函数的定义域是什么?它在定义域I上的单调性怎样?证明你的结论.
(四)归纳小结函数的单调性一般是先根据图象判断,再利用定义证明.画函数图象通常借助计算机,求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域,单调性的证明一般分五步取值→作差→变形→定号→下结论
(五)设置问题,留下悬念
1、教师提出下列问题让学生思考
①通过增(减)函数概念的形成过程,你学习到了什么?
②增(减)函数的图象有什么特点?如何根据图象指出单调区间?
③怎样用定义证明函数的单调性?师生共同就上述问题进行讨论、交流,发表自己的意见yx1-11-1yx1-11-1yx1-11-1yx1-11-1yx1-11-1yx1-11-1。