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高一数学复习要点必修1必修1第一章集合与函数概念
一、集合有关概念
1、集合的含义某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素
2、集合的中元素的三个特性
1.元素的确定性;
2.元素的互异性;
3.元素的无序性说明1对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素2任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素3集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样4集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性
3、集合的表示{…}如{我校的篮球队员},{太平洋大西洋印度洋北冰洋}
1.用拉丁字母表示集合A={我校的篮球队员}B={12345}2.集合的表示方法列举法与描述法非负整数集(即自然数集)记作N正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如a是集合A的元素,就说a属于集合A记作a∈A,相反,a不属于集合A记作aA列举法把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上描述法将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法
①语言描述法例{不是直角三角形的三角形}
②数学式子描述法例不等式x-32的解集是{x∈R|x-32}或{x|x-32}
4、集合的分类
(1).有限集含有有限个元素的集合
(2).无限集含有无限个元素的集合
(3).空集不含任何元素的集合例
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集注意有两种可能
(1)A是B的一部分,;
(2)A与B是同一集合反之:集合A不包含于集合B或集合B不包含集合A记作AB或BA2.“相等”关系5≥5,且5≤5,则5=5实例设A=B={-11}“元素相同”结论对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,即A=B任何一个集合是它本身的子集AA
②真子集:如果AB且BA那就说集合A是集合B的真子集,记作AB或BA
③如果ABBC那么AC
④如果AB同时BA那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集
三、集合的运算1.交集的定义一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合叫做AB的交集.记作A∩B读作”A交B”,即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
2、并集的定义一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做AB的并集记作A∪B读作”A并B”,即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.
3、交集与并集的性质A∩A=AA∩φ=φA∩B=B∩A,A∪A=AA∪φ=AA∪B=B∪A.
4、全集与补集
(1)补集设S是一个集合,A是S的一个子集(即),由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)
(2)全集如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集通常用U来表示
四、函数的有关概念1.函数的概念设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数fx和它对应,那么就称f A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作y=fx,x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{fx|x∈A}叫做函数的值域.注意如果只给出解析式y=fx,而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.定义域补充能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是1分式的分母不等于零;2偶次方根的被开方数不小于零;3对数式的真数必须大于零;4指数、对数式的底必须大于零且不等于
1.5如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零6实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.又注意求出不等式组的解集即为函数的定义域构成函数的三要素定义域、对应关系和值域注意
(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数)
(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关相同函数的判断方法
①表达式相同;
②定义域一致两点必须同时具备见课本21页相关例2值域补充
1、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.
2.应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础
3.函数图象知识归纳1定义在平面直角坐标系中,以函数y=fxx∈A中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点Px,y的集合C,叫做函数y=fxx∈A的图象.集合C上每一点的坐标x,y均满足函数关系y=fx,反过来,以满足y=fx的每一组有序实数对x、y为坐标的点x,y,均在C上.即记为C={Pxy|y=fxx∈A}图象C一般的是一条光滑的连续曲线或直线也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成2画法A、描点法根据函数解析式和定义域,求出xy的一些对应值并列表,以xy为坐标在坐标系内描出相应的点Pxy,最后用平滑的曲线将这些点连接起来.B、图象变换法(请参考必修4三角函数)常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换3作用
1、直观的看出函数的性质;
2、利用数形结合的方法分析解题的思路提高解题的速度发现解题中的错误4.了解区间的概念
(1)区间的分类开区间、闭区间、半开半闭区间;
(2)无穷区间;
(3)区间的数轴表示.5.什么叫做映射一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f A→B为从集合A到集合B的一个映射记作“f A→B”给定一个集合A到B的映射,如果a∈Ab∈B.且元素a和元素b对应,那么,我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象说明函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,
①集合A、B及对应法则f是确定的;
②对应法则有“方向性”,即强调从集合A到集合B的对应,它与从B到A的对应关系一般是不同的;
③对于映射f A→B来说,则应满足(Ⅰ)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;(Ⅱ)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;(Ⅲ)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象常用的函数表示法及各自的优点1函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图形是否是函数图象的依据;2解析法必须注明函数的定义域;3图象法描点法作图要注意确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数的特征;4列表法选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征.解析法便于算出函数值列表法便于查出函数值图象法便于量出函数值.补充一分段函数(参见课本P24-25)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况.
(1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;
(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.补充二复合函数如果y=fuu∈Mu=gxx∈A则y=f[gx]=Fx,x∈A称为f、g的复合函数例如:y=2sinxy=2cos2x+17.函数单调性
(1).增函数设函数y=fx的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量a,b,当ab时,都有fafb,那么就说fx在区间D上是增函数区间D称为y=fx的单调增区间(睇清楚课本单调区间的概念)如果对于区间D上的任意两个自变量的值a,b,当ab时,都有fa>fb,那么就说fx在这个区间上是减函数.区间D称为y=fx的单调减区间.注意1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;2必须是对于区间D内的任意两个自变量a,b;当ab时,总有fafb
(2)图象的特点如果函数y=fx在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=fx在这一区间上具有严格的单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.
3.函数单调区间与单调性的判定方法A定义法任取a,b∈D,且ab;2作差fa-fb;3变形(通常是因式分解和配方);4定号(即判断差fa-fb的正负);5下结论(指出函数fx在给定的区间D上的单调性).B图象法从图象上看升降_C复合函数的单调性复合函数f[gx]的单调性与构成它的函数u=gx,y=fu的单调性密切相关注意
1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗?8.函数的奇偶性
(1)偶函数一般地,对于函数fx的定义域内的任意一个x,都有f-x=fx,那么fx就叫做偶函数.
(2).奇函数一般地,对于函数fx的定义域内的任意一个x,都有f-x=—fx,那么fx就叫做奇函数.注意
1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;函数可能没有奇偶性也可能既是奇函数又是偶函数
2、由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称).
3、具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.总结利用定义判断函数奇偶性的格式步骤1首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;2确定f-x与fx的关系;3作出相应结论若f-x=fx或f-x-fx=0,则fx是偶函数;若f-x=-fx或f-x+fx=0,则fx是奇函数.注意函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,1再根据定义判定;2有时判定f-x=±fx比较困难,可考虑根据是否有f-x±fx=0或fx/f-x=±1来判定;3利用定理,或借助函数的图象判定.
9、函数的解析表达式
(1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.
(2).求函数的解析式的主要方法有待定系数法、换元法、消参法等,如果已知函数解析式的构造时,可用待定系数法;已知复合函数f[gx]的表达式时,可用换元法,这时要注意元的取值范围;当已知表达式较简单时,也可用凑配法;若已知抽象函数表达式,则常用解方程组消参的方法求出fx10.函数最大(小)值(定义见课本)
(1)、利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值.
(2)、利用图象求函数的最大(小)值
(3)、利用函数单调性的判断函数的最大(小)值如果函数y=fx在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=fx在x=b处有最大值fb;如果函数y=fx在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=fx在x=b处有最小值fb;第二章基本初等函数
一、指数函数
(一)指数与指数幂的运算1.根式的概念一般地,如果,那么叫做的次方根(nthroot),其中1,且∈*.当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数.此时,的次方根用符号表示.式子叫做根式(radical),这里叫做根指数(radicalexponent),叫做被开方数(radicand).当是偶数时,正数的次方根有两个,这两个数互为相反数.此时,正数的正的次方根用符号表示,负的次方根用符号-表示.正的次方根与负的次方根可以合并成±
(0).由此可得负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作注意当是奇数时,,当是偶数时,2.分数指数幂正数的分数指数幂的意义,规定,0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义指出规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂.3.实数指数幂的运算性质
(1)·;
(2);
(3).
(二)指数函数及其性质
1、指数函数的概念一般地,函数叫做指数函数(exponentialfunction),其中x是自变量,函数的定义域为R.注意指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.
2、指数函数的图象和性质a10a1图象特征函数性质向x、y轴正负方向无限延伸函数的定义域为R图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数函数图象都在x轴上方函数的值域为R+函数图象都过定点(0,1)自左向右看,图象逐渐上升自左向右看,图象逐渐下降增函数减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1在第一象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都大于1图象上升趋势是越来越陡图象上升趋势是越来越缓函数值开始增长较慢,到了某一值后增长速度极快;函数值开始减小极快,到了某一值后减小速度较慢;注意利用函数的单调性,结合图象还可以看出
(1)在[a,b]上,值域是或;
(2)若,则;取遍所有正数当且仅当;
(3)对于指数函数,总有;
(4)当时,若,则;
二、对数函数
(一)对数1.对数的概念一般地,如果,那么数叫做以为底的对数,记作(—底数,—真数,—对数式)说明注意底数的限制,且;;注意对数的书写格式.两个重要对数常用对数以10为底的对数;自然对数以无理数为底的对数的对数.对数式与指数式的互化对数式指数式对数底数←→幂底数对数←→指数真数←→幂
(二)对数的运算性质如果,且,,,那么
(1)·+;
(2)-;
(3).注意换底公式(,且;,且;).利用换底公式推导下面的结论
(1);
(2).
(二)对数函数
1、对数函数的概念函数,且叫做对数函数,其中是自变量,函数的定义域是(0,+∞).注意对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别如,都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.对数函数对底数的限制,且.
2、对数函数的性质a10a1图象特征函数性质函数图象都在y轴右侧函数的定义域为(0,+∞)图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数向y轴正负方向无限延伸函数的值域为R函数图象都过定点(1,0)自左向右看,图象逐渐上升自左向右看,图象逐渐下降增函数减函数第一象限的图象纵坐标都大于0第一象限的图象纵坐标都大于0第二象限的图象纵坐标都小于0第二象限的图象纵坐标都小于0
三、幂函数
1、幂函数定义一般地,形如的函数称为幂函数,其中为常数.
2、幂函数性质归纳.
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1);
(2)时,幂函数的图象通过原点,并且在区间上是增函数.特别地,当时,幂函数的图象下凸;当时,幂函数的图象上凸;
(3)时,幂函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内,当从右边趋向原点时,图象在轴右方无限地逼近轴正半轴,当趋于时,图象在轴上方无限地逼近轴正半轴.第三章函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念对于函数,把使成立的实数叫做函数的零点
2、函数零点的意义函数的零点就是方程实数根,亦即函数的图象与轴交点的横坐标即方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.
3、函数零点的求法求函数的零点(代数法)求方程的实数根;(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
4、二次函数的零点二次函数.1)△>0,方程有两不等实根,二次函数的图象与轴有两个交点,二次函数有两个零点.2)△=0,方程有两相等实根(二重根),二次函数的图象与轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.3)△<0,方程无实根,二次函数的图象与轴无交点,二次函数无零点.。