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4-1函数与方程基础巩固
一、选择题1.2010·天津文,4函数fx=ex+x-2的零点所在的一个区间是 A.-2,-1B.-10C.01D.12[答案] C[解析] ∵f0=-10,f1=e-10,即f0f10,∴由零点定理知,该函数零点在区间01内.2.下列函数中能用二分法求零点的是 [答案] C[解析] 从图像上看,A的函数无零点;B、D中的函数都是不变号零点,不能运用二分法.故选C.3.已知二次函数fx=ax2+6x-1a≠0有两个不同的零点,则实数a的取值范围是 A.a-9且a≠0B.a-9C.a-9D.a0或a0[答案] A[解析] 由题意可知fx=0有两个根,∴,∴a-9且a≠
0.4.已知函数fx=2ax+4,若在区间[-21]上存在零点x0,则实数a的取值范围是 A.-∞,-2]∪[1,+∞B.[-12]C.[-14]D.[-21][答案] A[解析] 由题设条件知f-2·f1≤0,∴-4a+42a+4≤0,即-a+1a+2≤0,∴a≤-2或a≥
1.5.函数fx是[-11]上的增函数,且f-·f0,则方程fx=0在[-11]内 A.可能有3个实数根B.可能有2个实数根C.有唯一的实数根D.没有实数根[答案] C[解析] ∵fx在[-11]上是增函数,且f-·f0,∴fx=0在[-,]上有唯一实根,∴fx=0在[-11]上有唯一实根.6.下列函数在区间
[12]上一定有零点的是 A.fx=3x2-4x+5B.fx=x3-5x-5C.fx=lnx-3x+6D.fx=ex+3x-6[答案] D[解析] 对于A f1=4,f2=9,f1·f20,无法判断fx在
[12]上是否有零点;对于B f1=-9,f2=-7,f1·f20,同选项A一样,无法判断;对于C f1=3,f2=ln2,f1·f20,同选项A、B一样,无法判断;对于D f1=e-3,f2=e2,f1·f20,所以fx在
[12]上有零点.
二、填空题7.已知fx=mx2+4m+1x+4m-1的图像与x轴没有交点,则m的取值范围为__________.[答案] m-[解析] 函数fx的图像与x轴没有交点,即函数fx没有零点,亦即方程fx=0没有实根,显然m≠0,故判别式Δ=4m+12-4m4m-10,解得m-.故当m-时,函数fx的图像与x轴无交点.8.已知fx=-x-x3,x∈[a,b],且fa·fb0,则fx=0在[a,b]内的实根情况是________.[答案] 有唯一实根[解析] fx=-x-x3图像在[a,b]上是连续的,并且是单调递减的,又因为fa·fb0,可得fx=0在[a,b]内有唯一一个实根.
三、解答题9.指出方程2x-=0存在的实数解,并给出一个实数解的存在区间.[解析] 令fx=2x-,在同一坐标系中,分别作出函数y=2x及y=的图像,如图所示,由图可知方程2x=仅有一个实数解,即fx仅有一个零点.又f=-20,f1=2-1=10,即ff10,∴方程2x-=0在,1内仅有一个实数解.能力提升
一、选择题1.设fx=3x+3x-8,用二分法求方程3x+3x-8=0,在x∈12内近似解的过程中得f10,f
1.50,f
1.250,则方程的根落在区间 A.
1.
251.5B.
11.25C.
1.52D.不能确定[答案] A[解析] ∵f
1.50,f
1.250,∴根落在区间
1.
251.5间,故选A.2.若函数fx=ax-x-aa0且a≠1有两个零点,则实数a的范围是 A.1,+∞B.01C.2,+∞D.01∪12[答案] A[解析] 令y1=ax,y2=x+a,则fx=ax-x-a有两个零点,即函数y1=ax与y2=x+a有两个交点.1当a1时,y1=ax过01点,而y2=x+a过0,a点,而0,a点在01点上方,∴一定有两个交点.2当0a1时,0,a点在01点下方,由图像知只有一个交点.∴a的取值范围为a
1.
二、填空题3.关于x的方程mx2+2x+1=0至少有一个负根,则m的范围为________.[答案] m≤1[解析]
①m=0时,x=-适合题意.
②m≠0时,应有m0或解得m0或0m≤
1.综合
①②可得,m≤
1.4.方程lgx+x=0的实数解的存在区间为________.[答案] ,1[解析] 令fx=lgx+x,则f=lg+=-0,f1=lg1+1=
10.∴ff
10.而fx=lgx+x在0,+∞上单调递增.∴fx仅有一个零点,且在,1内.
三、解答题5.设函数fx=ax+2a+1a≠0在[-11]上存在一个零点,求实数a的取值范围.[解析] 因为函数fx在[-11]上存在零点,所以或.即f-1·f1≤
0.所以-a+2a+1·a+2a+1≤0,即a+13a+1≤
0.解得-1≤a≤-.6.若二次函数y=-x2+mx-1的图像与两端点为A03,B30的线段AB有两个不同的交点,求m的取值范围.[解析] 线段AB的方程为x+y=30≤x≤3,由题意得方程组,有两组实解,将
①代入
②得x2-m+1x+4=00≤x≤3有两个实根,令fx=x2-m+1x+4,在x∈
[03]上有两个实根,有解得3m≤,故m的取值范围是3,].7.1指出方程x3-2x-1=0的正根所在的大致区间;2求证方程x3-3x+1=0的根一个在区间-2,-1内,一个在区间01内,另一个在区间12.[分析] 解答本题的关键是寻找合适的a、b使得fa·fb
0.[解析] 1方程x3-2x-1=0,即x3=2x+1,令Fx=x3-2x-1,fx=x3,gx=2x+1在同一平面直角坐标系中,作出函数fx和gx的图像如图,显然它们在第一象限只有1个交点,两函数图像交点的横坐标就是方程的解.又∵F1=-20,F2=30,∴方程的正根在区间12内.2证明令Gx=x3-3x+1,它的图像一定是连续的,又G-2=-8+6+1=-10,G-1=-1+3+1=30,∴方程x3-3x+1=0的一根在区间-2,-1内.同理可以验证G0·G1=1×-1=-10,G1·G2=-1×3=-30,∴方程的另两根分别在01和12内.。