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高一数学必修1指数函数的图象和 高一数学必修1指数函数的图象和性质底数a对图象的影响教学目标
(1)指数函数底数a对图象的影响;
(2)底数a对指数函数单调性的影响,并利用它熟练比较几个指数幂的大小;
(3)培养学生抽象概括能力,提高学生对数形结合思想认识教学重点
(1)指数函数底数a对图象的影响;
(2)利用指数函数单调性熟练比较几个指数幂的大小教学难点
(1)底数a对指数函数图象的影响的概括;
(2)利用函数单调性比较指数幂的大小教学方法引导归纳法(利用几何画板演示a的变化导致指数函数的图象的变化,引导学生归纳出图象变化的特点,从而从感性认识上升到理性认识,最终熟练利用这一特点比较几个指数幂的大小)教学过程
(一)复习引入指数函数的图象和性质Y=ax 图 像 a10a1 性 质 定义域R值域(0,+∞)过点(0,1)当x0时y1当x0时0y1当x0时0y1当x0时y1是R上的增函数是R上的减函数
(二)新课讲解
(1)提出问题指数函数y=ax a0a≠1底数a对函数图象的影响,我们通过两个实例来讨论a1和0a1两种情况
(2)动手实践动手实践一 在同一直角坐标系下画出y=2x 和y=3x的图象,比较两个函数的增长快慢一般地,ab1时,
(1)当x0时,总有axbx1;
(2)当x=0时,总ax=bx=1有;
(3)当x0时,总axbx1有;
(4)指数函数的底数a越大,当x0时,其函数值增长越快动手实践二 分别画出底数为
0.
20.
30.5235的指数函数图象.总结y=ax a0a≠1,a对函数图象变化的影响结论
(1)当X0时a越大函数值越大; 当x0时a越大函数值越小
(2)当a1时指数函数是增函数, 当x逐渐增大时, 函数值增大得越来越快; 当0a1时指数函数是减函数, 当x逐渐增大时, 函数值减小得越来越快例题分析例4 比较下列各题中两个数的大小
11.
80.
60.
81.6; 21/3-2/32-3/
5.1解 由指数函数性质知
1.
80.
61.80=1
0.
81.
60.80=1所以
1.8
0.
60.
81.62 解 由指数函数性质知1/3-2/312-3/51所以 1/3 -2/32-3/5例5 已知-1x0,比较3-x
0.5-x的大小,并说明理由解(法1)因为-1x0,所以0-x1而31,因此有3-x1又
00.51,因而有
00.5-x1 故 3-x
0.5-x(法2)设a=-x0函数fx=xa当x0时为增函数,而
30.50故f3f
0.5即 3-x
0.5-x小结 在比较两个指数幂大小时,常利用指数函数和幂函数的单调性相同底数比较指数,相同指数比较底数故常用到中间量“1”练习1,2作业A组4B组1课后思考B组2课后反思 对数函数的图象和性质授课人陈华武教学目标
(1)对数函数的图象和性质
(2)对数函数底数a对图象的影响;
(3)底数a对对数函数单调性的影响,并利用它熟练比较几个对数的大小;
(3)培养学生抽象概括能力,提高学生对数形结合思想认识教学重点
(1)对数函数底数a对图象的影响;
(2)利用对数函数单调性熟练比较几个对数的大小教学难点
(1)底数a对对数函数图象的影响的概括;
(2)利用函数单调性比较对数的大小教学方法引导归纳法(利用几何画板或flash演示a的变化导致对数函数的图象的变化,引导学生归纳出图象变化的特点,从而从感性认识上升到理性认识,最终熟练利用这一特点比较几个对数的大小)教学过程
(一)抽象概括
(二)例题分析例4求下列函数定义域
(1)y=㏒ax2 ;
(2)y=㏒a4-x解
(1)因为x20 即x≠0,所以函数的定义域为{x|x≠0};
(2)因为4-x0即x4,所以函数的定义域为{x|x4}.例5 比较下列各题中两个数的大小1㏒
25.3㏒
24.72㏒
0.27㏒
0.293㏒3∏㏒∏3 4㏒a
3.1㏒a
5.2 a0a≠1 解
(1)因为21,函数y=㏒2x是增函数,
5.
34.7所以 ㏒
25.3㏒
24.7;
(2)因为
00.21,函数y=㏒
0.2x是减函数,79所以 ㏒
0.27㏒
0.29;3因为函数y=㏒3x是增函数,∏3 所以 ㏒3∏㏒33=1 同理1=㏒∏∏㏒∏3,所以 ㏒3∏㏒∏3; 4对数函数的增减性决定于对数的底数是大于1还是小于
1.而已知条件中并未指出底数a与1哪个大因此需要对底数a进行讨论当a1时,函数y=㏒ax在0+∞上为增函数,此时 ㏒a
3.1㏒a
5.2 当0a1时函数y=㏒ax在0+∞上为减函数,此时 ㏒a
3.1㏒a
5.2 例6 观察在同一坐标系内函数y=㏒2x与函数y=2x的图象,分析他们之间的关系解 可以看出,点P(ab)与点Q(ba)关于直线y=x对称 函数 y=㏒2x与函数y=2x互为反函数, 对应于函数图象y=㏒2x上任意一点P(ab), P点关于直线y=x的对称点Qba总在函数y=2x图象上, 所以,函数y=㏒2x的图象与y=2x的图象关于直线对称 思考交流
(1)根据下表的数据(精确到
0.01),画出函数y=㏒2Xy=㏒3X和y=㏒5X的图象并观察图象,说明三个函数图象的相同与不同之处 x…
0.
511.5234…1000…y=㏒2X…-
100.
5811.582…
9.73…y=㏒3X…-
0.
6300.
370.
6311.26…
6.29…y=㏒5X…-
0.
4300.
250.
430.
680.86…
4.29…
(2)对数函数y=㏒ax当底数a1时a变化对函数图象有何影响?
(3)仿照前面的方法请你猜想对数函数y=㏒aX,当0a1时,变化对函数图象有何影响?结论
(1)相同点都经过(1,0)点, 在(0,+∞)上单调递增,值域为R x1时y0,0x1时y0; 不同点:随着x的增大 它们的函数值增加的快慢不一样
(2)当底数a1时,a越大函数图象越靠近x轴.
(3)当0a1时,a越小函数图象越靠近x轴例7 人们早就发现了放射性物质的衰减现象在考古工作中,常用14C的含量来确定有机物的年代,已知放射性物质的衰减服从指数规律C(t)=C0e–rt, 其中t表示衰减的时间,C0 放射性物质的原始质量, C(t)表示经衰减了t年后剩余的质量为了计算衰减的年代,通常给出该物质衰减一半的时间,称其为该物质的半衰期, 14C的半衰期大约为5730年,由此可确定系数r人们又知道,放射性物质的衰减速度与质量成正比1950年在巴比伦发现一根刻有Hammurbi王朝字样的木炭,当时测定,其14C分子衰减速度为
4.09个(g/min)而新砍伐烧成的木炭中14C分子衰减速度为
6.68个(g/min)请估算出Hammurbi王朝所在年代解 14C的半衰期为5730年,所以建立方程 1/2=e-5730r解得r=
0.000121由此可知14C的衰减服从指数型函数 C(t)=C0e -
0.000121t 设发现Hammurbi王朝木炭的时间(1950年)为t0年,放射性物质的衰减速度是与质量成正比的,所以 C(t0)/C0=
4.09/
6.68于是 e -
0.000121t0 =
4.09/
6.68两边取自然对数,得-
0.000121t0 =㏑
4.09-㏑
6.68解得 t0≈4050(年)即Hammurbi王朝大约存在于公元前2100年练习P96 1,2,3作业P97 A组4课后反思 指数函数,幂函数,对数函数增长比较授课人陈华武教学目标
(1) 幂函数的图象和性质,指数函数的图象和性质,对数函数的图象和性质;
(2)指数函数,幂函数,对数函数增长比较;
(3)初步运用三个函数模型解决实际问题,为第四章做一基础;
(4)培养学生抽象概括能力,提高学生对数形结合思想认识教学重点
(1)指数函数,幂函数,对数函数增长比较;
(2)运用三个函数模型解决实际问题;
(3)培养学生抽象概括能力,提高学生对数形结合思想认识教学难点
(1)培养学生抽象概括能力,提高学生对数形结合思想认识
(2)运用三个函数模型解决实际问题;教学方法引导归纳法(利用几何画板演示在同一直角坐标系下x的逐渐增加导致三个函数值的增长快慢,引导学生归纳出函数值指数函数值增加最快的特点)教学过程
(一)复习引入
(1)幂函数y=xy=x-1y=x2y=x3,幂函数y=xa ,当a0时函数在(0,+∞)单调递增;当a0时函数在(0,+∞)单调递减
(2)指数函数y=ax 图 像 a10a1 性 质定义域R值域(0,+∞)过点(0,1)当x0时y1当x0时0y1当x0时0y1当x0时y1是R上的增函数是R上的减函数
(3)对数函数
(二)问题提出我们知道当a1时指数函数是增函数,当a逐渐增大时,函数值增大得越来越快;当a1时对数函数是增函数,当a逐渐减小时,函数值增大得越来越快;当x0时,幂函数y=xn 在(0,+∞)上单调递增;且当x1,n逐渐增大时,函数值增大得越来越快那么,对于这三种增加的函数,它们的函数值的增加快慢有何差别呢?我们通过三个具体的函数y=2xy=x100y=㏒2x的函数值(取近似值)的比较,来体会它们的增长的快慢
(三)动手实践
1.完成表3-12借助科学计算器或设计程序通过计算机完成表3-12自变量x函数值y=2xy=x100(x0)y=㏒2x1
1.0070044 10 100 300 500 700 900 996 1000 1100 1200
2.利用表3-12中的数据完成表3-13表3-13X的变化区间函数值的变化量y=2xy=x100(x0)y=㏒2x(1,10) (10,100) (100,300) (300,500) (500,700) (700,900) (900,1000) (1000,1100) (1100,1200) 结论在这三个函数中,指数函数增长最快,人们常称这种现象为“指数爆炸”练习P103 1,2作业习题3-6 1,2课后反思 。