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文本内容:
圆方程与直线与圆、圆与圆关系
一、圆的标准方程
1.圆的定义1条件平面内到定点的距离等于定长的点的__集合___.2结论定点是_圆心____定长是___半径__.
2.圆的标准方程1圆心为Aab半径长为r的圆的标准方程为.2圆心在原点半径长为r的圆的标准方程为
2.点与圆的位置关系圆C x-a2+y-b2=r2r0,其圆心为a,b,半径为r,点Px0,y0,设d=|PC|=.位置关系d与r的大小图示点P的坐标的特点点在圆外d____rx0-a2+y0-b2r2点在圆上d__=__rx0-a2+y0-b2=r2点在圆内d____rx0-a2+y0-b2r2题型一圆的标准方程例
1.写出下列各圆的方程1圆心在原点,半径是3;2圆心在点C34处,半径是;3经过点P51,圆心在点C8,-3处题型二点与圆的位置关系的判断例
2.已知两点P138和P254,求以线段P1P2为直径的圆的方程,并判断点M53,N34,P35是在此圆上,在圆内,还是在圆外?变式若原点在圆x-12+y+22=m的内部,则实数m的取值范围是 A.m5B.m5C.-2m2D.0m2题型三圆标准方程的求解例
3.求下列条件所决定的圆的方程1已知圆C过两点A51,B13,圆心在x轴上;2求圆心在直线x-2y-3=0上,且过点A2,-3,B-2,-5的圆心的标准方程.3经过三点A1,-1,B14,C4,-
2.变式1变式2如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点M20,AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,点T-11在AD边所在的直线上.1求AD边所在直线的方程;2求矩形ABCD外接圆的方程.
1、圆的一般方程1.圆的一般方程1方程当D2+E2-4F0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程,其中圆心为______________,半径为r=________________.2说明方程x2+y2+Dx+Ey+F=0不一定表示圆.当且仅当______________时,表示圆当D2+E2-4F=0时,表示一个点____-,-__;当D2+E2-4F0时,不表示任何图形.3用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤
①根据题意,选择_标准方程_______或___一般方程_______;
②根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的_方程组_________;
③解出a,b,r或D,E,F,代入标准方程或一般方程.2.由圆的一般方程判断点与圆的位置关系剖析已知点Mx0,y0和圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0D2+E2-4F0,则其位置关系如下表位置关系代数关系点M在圆外x+y+Dx0+Ey0+F0点M在圆上x+y+Dx0+Ey0+F=0点M在圆内x+y+Dx0+Ey0+F0题型一圆的一般方程例1.圆x2+y2-4x-1=0的圆心坐标及半径分别为 A.20,5 B.20,C.02,D.22,5变式2下列方程各表示什么图形1x2+y2-4x-2y+5=0;2x2+y2-2x+4y-4=0;3x2+y2+ax-ay=
0.题型二圆的方程求解例
2.
(1)过三点A-15,B55,C6,-2的圆的方程是 A.x2+y2+4x-2y-20=0B.x2+y2-4x+2y-20=0C.x2+y2-4x-2y-20=0D.x2+y2+4x+4y-20=02已知圆C x2+y2+Dx+Ey+3=0,圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径为,求圆的一般方程.变式1已知圆经过A2,-3和B-2,-5,若圆心在直线x-2y-3=0上,求圆的方程.2求过点A-
10、B30和C01的圆的方程.题型三轨迹问题例
3.变式已知点A在直线2x-3y+5=0上移动,点P为连接M4,-3和点A的线段的中点,求P的轨迹方程.题型四点与圆的位置关系例
4.点2a2在圆x2+y2-2y-4=0的内部,则a的取值范围是 A.-1a1B.0a1C.-1aD.-a1变式已知点O00在圆x2+y2+kx+2ky+2k2+k-1=0外,求k的取值范围.例
5.圆C x2+y2+x-6y+3=0上有两个点P和Q关于直线kx-y+4=0对称,则k= A.2B.-C.±D.不存在变式若圆x2+y2-2ax+3by=0的圆心位于第三象限,那么直线x+ay+b=0一定不经过 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
三、直线与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系有三种1直线与圆相交⇔直线与圆有_两__个公共点;2直线与圆相切⇔直线与圆有__一_个公共点;3直线与圆相离⇔直线与圆___无__公共点.
2.位置关系相交相切相离公共点个数__2__个__1__个_0___个判定方法几何法设圆心到直线的距离d=d____rd__=__rd____r代数法由消元得到一元二次方程的判别式ΔΔ____0Δ__=__0Δ____
03.弦长公式
①几何法由圆的性质知,过圆心O作l的垂线,垂足C为线段AB的中点.如图所示,在Rt△OCB中,|BC|2=r2-d2,则弦长|AB|=2|BC|,即|AB|=
2.
②代数法解方程组消元后可得关于x1+x2,x1·x或y1+y2,y1·y2的关系式,则|AB|==.注上述公式通常称为弦长公式.题型一直线与圆的位置关系例
1.已知直线方程mx-y-m-1=0,圆的方程x2+y2-4x-2y+1=
0.当m为何值时,圆与直线1有两个公共点;2只有一个公共点;3没有公共点?变式题型二弦长问题例
2.求直线l3x+y-6=0被圆C x2+y2-2y-4=0截得的弦长.变式1设直线l截圆x2+y2-2y=0所得弦AB的中点为-,,则直线l的方程为________;|AB|=________.变式
2.过点21的直线中,被圆x2+y2-2x+4y=0截得的弦最长的直线的方程是 A.3x-y-5=0B.3x+y-7=0C.3x-y-1=0D.3x+y-5=0变式
3.变式4已知直线x+7y=10把圆x2+y2=4分成两段弧,这两段弧长之差的绝对值等于 A.B.C.πD.2π变式
5.直线l经过点P55并且与圆C x2+y2=25相交截得的弦长为4,求l的方程.题型三圆的切线问题例
3.过点A4,-3作圆C x-32+y-12=1的切线,求此切线的方程.变式1求满足下列条件的圆x2+y2=4的切线方程1经过点P,1;2斜率为-1,3过点Q30变式2已知圆x2+y2+2x+2y+k=0和定点P1,-1,若过点P的圆的切线有两条,则k的取值范围是 A.-2,+∞B.-∞,2C.-22D.-∞,-2∪2,+∞变式3若直线y=x+b与曲线y=有公共点,试求b的取值范围.变式4设圆x-32+y+52=r2r0上有且仅有两个点到直线4x-3y-2=0的距离等于1,则圆半径r的取值范围是 A.3r5B.4r6C.r4D.r5变式5过直线x+y-2=0上点P作圆x2+y2=1的两条切线,若两条切线的夹角是60°,则点P的坐标是________.变式6已知圆x2+y2+x-6y+m=0与直线x+2y-3=0相交于P、Q两点,O为原点,且OP⊥OQ,求实数m的值.
2、圆与圆的位置关系1.判断圆与圆的位置关系1几何法圆O1x-x12+y-y12=rr10,圆O2x-x22+y-y22=rr20,两圆的圆心距d=|O1O2|=,位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1,r2的关系dr1+r2d=r1+r2|r1-2|dr1+r2d=|r1-2|d|r1-r2|方程组解的个数2组1组0组两圆的公共点个数____2_个____1_个____0_个两圆的位置关系___相交_____外切__或__内切_____内含___或__外离___题型一两圆的位置关系例
1.已知两圆C1x2+y2+4x+4y-2=0,C2x2+y2-2x-8y-8=0,判断圆C1与圆C2的位置关系,题型二两圆的公共弦问题例
2.已知两圆x2+y2-2x+10y-24=0和x2+y2+2x+2y-8=
0.1试判断两圆的位置关系;2求公共弦所在的直线方程;3求公共弦的长度.变式1求过两圆x2+y2+2x+8y-8=0,x2+y2-4x-4y-2=0的交点且面积最小的圆的方程.变式2求圆心在直线x+y=0上,且过两圆x2+y2-2x+10y-24=0,x2+y2+2x+2y-8=0的交点的圆的方程.题型三两圆相切有关问题例
3.半径为6的圆与x轴相切,且与圆x2+y-32=1内切,则此圆的方程是 A.x-42+y-62=6B.x+42+y-62=6或x-42+y-62=6C.x-42+y-62=36D.x+42+y-62=36或x-42+y-62=362求与圆x2+y2-x=0外切且与直线x+y=0相切于点M3,-的圆的方程.变式求和圆x-22+y+12=4相切于点4,-1且半径为1的圆的方程.x-a2+y-b2=r2x2+y2=r2圆心为11且与直线x+y=4相切的圆的方程是 A.x-12+y-12=2B.x-12+y-12=4C.x+12+y+12=2D.x+12+y+12=4D2+E2-4F0变式1若方程x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆,则实数k的取值范围是 A.RB.-∞,1C.-∞,1]D.[1,+∞自圆x2+y2=4上的点A20引此圆的弦AB,求弦AB的中点轨迹方程.直线Ax+By+C=0与圆x-a2+y-b2=r2的位置关系及判断若直线x-y+1=0与圆x-a2+y2=2有公共点,则实数a取值范围是 A.[-3,-1] B.[-13]C.[-31]D.-∞,-3]∪[1,+∞过点31作圆x-22+y-22=4的弦,其中最短的弦长为________.2代数法圆O1x2+y2+D1x+E1y+F1=0,圆O2x2+y2+D2x+E2y+F2=0,两圆的方程联立得方程组,则有。