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本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn全国初中(初二)数学竞赛辅导第一讲因式分解一 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍. 1.运用公式法 在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如 1a2-b2=a+ba-b; 2a2±2ab+b2=a±b2; 3a3+b3=a+ba2-ab+b2; 4a3-b3=a-ba2+ab+b2. 下面再补充几个常用的公式 5a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=a+b+c2; 6a3+b3+c3-3abc=a+b+ca2+b2+c2-ab-bc-ca; 7an-bn=a-ban-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1其中n为正整数; 8an-bn=a+ban-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1,其中n为偶数; 9an+bn=a+ban-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1,其中n为奇数. 运用公式法分解因式时,要根据多项式的特点,根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式. 例1分解因式 1-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4; 2x3-8y3-z3-6xyz; 3a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab; 4a7-a5b2+a2b5-b7. 解1原式=-2xn-1ynx4n-2x2ny2+y4 =-2xn-1yn[x2n2-2x2ny2+y22] =-2xn-1ynx2n-y22 =-2xn-1ynxn-y2xn+y2. 2原式=x3+-2y3+-z3-3x-2y-Z =x-2y-zx2+4y2+z2+2xy+xz-2yz. 3原式=a2-2ab+b2+-2bc+2ca+c2 =a-b2+2ca-b+c2 =a-b+c2. 本小题可以稍加变形,直接使用公式5,解法如下 原式=a2+-b2+c2+2-bc+2ca+2a-b =a-b+c2 4原式=a7-a5b2+a2b5-b7 =a5a2-b2+b5a2-b2 =a2-b2a5+b5 =a+ba-ba+ba4-a3b+a2b2-ab3+b4 =a+b2a-ba4-a3b+a2b2-ab3+b4 例2分解因式a3+b3+c3-3abc. 本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式6. 分析我们已经知道公式a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3 的正确性,现将此公式变形为a3+b3=a+b3-3aba+b. 这个HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/INCLUDEPICTUREhttp://res
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0471001.jpg\*MERGEFORMAT式也是一个常用的公式,本题就借助于它来推导. 解原式=a+b3-3aba+b+c3-3abc =[a+b3+c3]-3aba+b+c =a+b+c[a+b2-ca+b+c2]-3aba+b+c =a+b+ca2+b2+c2-ab-bc-ca. 说明公式6是一个应用极广的公式,用它可以推出很多有用的结论,例如我们将公式6变形为 a3+b3+c3-3abc HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/INCLUDEPICTUREhttp://res
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7745.JPG\*MERGEFORMAT 显然,当a+b+c=0时,则a3+b3+c3=3abc;当a+b+c>0时,则a3+b3+c3-3abc≥0,即a3+b3+c3≥3abc,而且,当且仅当a=b=c时,等号成立. 如果令x=a3≥0,y=b3≥0,z=c3≥0,则有HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/INCLUDEPICTUREhttp://res
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7746.JPG\*MERGEFORMAT 等号成立的充要条件是x=y=z.这也是一个常用的结论. 例3分解因式x15+x14+x13+…+x2+x+1. 分析这个多项式的特点是有16项,从最高次项x15开始,x的次数顺次递减至0,由此想到应用公式an-bn来分解. 解因为 x16-1=x-1x15+x14+x13+…x2+x+1, 所以 HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/INCLUDEPICTUREhttp://res
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7747.JPG\*MERGEFORMAT 说明在本题的分解过程中,用到先乘以x-1,再除以x-1的技巧,这一技巧在等式变形中很常用. 2.拆项、添项法 因式分解是多项式乘法的逆运算.在多项式乘法运算时,整理、化简常将几个同类项合并为一项,或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零.在对某些多项式分解因式时,需要恢复那些被合并或相互抵消的项,即把多项式中的某一项拆成两项或多项,或者在多项式中添上两个仅符合相反的项,前者称为拆项,后者称为添项.拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解. 例4分解因式x3-9x+8. 分析本题解法很多,这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法,注意一下拆项、添项的目的与技巧. 解法1将常数项8拆成-1+9. 原式=x3-9x-1+9 =x3-1-9x+9 =x-1x2+x+1-9x-1 =x-1x2+x-8. 解法2将一次项-9x拆成-x-8x. 原式=x3-x-8x+8 =x3-x+-8x+8 =xx+1x-1-8x-1 =x-1x2+x-8. 解法3将三次项x3拆成9x3-8x3. 原式=9x3-8x3-9x+8 =9x3-9x+-8x3+8 =9xx+1x-1-8x-1x2+x+1 =x-1x2+x-8. 解法4添加两项-x2+x2. 原式=x3-9x+8 =x3-x2+x2-9x+8 =x2x-1+x-8x-1 =x-1x2+x-8. 说明由此题可以看出,用拆项、添项的方法分解因式时,要拆哪些项,添什么项并无一定之规,主要的是要依靠对题目特点的观察,灵活变换,因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种. 例5分解因式 1x9+x6+x3-3; 2m2-1n2-1+4mn; 3x+14+x2-12+x-14; 4a3b-ab3+a2+b2+1. 解1将-3拆成-1-1-1. 原式=x9+x6+x3-1-1-1 =x9-1+x6-1+x3-1 =x3-1x6+x3+1+x3-1x3+1+x3-1 =x3-1x6+2x3+3 =x-1x2+x+1x6+2x3+3. 2将4mn拆成2mn+2mn. 原式=m2-1n2-1+2mn+2mn =m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn =m2n2+2mn+1-m2-2mn+n2 =mn+12-m-n2 =mn+m-n+1mn-m+n+1. 3将x2-12拆成2x2-12-x2-12. 原式=x+14+2x2-12-x2-12+x-14 =[x+14+2x+12x-12+x-14]-x2-12 =[x+12+x-12]2-x2-12 =2x2+22-x2-12=3x2+1x2+3. 4添加两项+ab-ab. 原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab =a3b-ab3+a2-ab+ab+b2+1 =aba+ba-b+aa-b+ab+b2+1 =aa-b[ba+b+1]+ab+b2+1 =[aa-b+1]ab+b2+1 =a2-ab+1b2+ab+1. 说明4是一道较难的题目,由于分解后的因式结构较复杂,所以不易想到添加+ab-ab,而且添加项后分成的三项组又无公因式,而是先将前两组分解,再与第三组结合,找到公因式.这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在,同学们需多做练习,积累经验. 3.换元法 换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体,并用一个新的字母替代这个整体来运算,从而使运算过程简明清晰. 例6分解因式x2+x+1x2+x+2-12. 分析将原式展开,是关于x的四次多项式,分解因式较困难.我们不妨将x2+x看作一个整体,并用字母y来替代,于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了. 解设x2+x=y,则 原式=y+1y+2-12=y2+3y-10 =y-2y+5=x2+x-2x2+x+5 =x-1x+2x2+x+5. 说明本题也可将x2+x+1看作一个整体,比如今x2+x+1=u,一样可以得到同样的结果,有兴趣的同学不妨试一试. 例7分解因式x2+3x+24x2+8x+3-90. 分析先将两个括号内的多项式分解因式,然后再重新组合. 解原式=x+1x+22x+12x+3-90 =[x+12x+3][x+22x+1]-90 =2x2+5x+32x2+5x+2-90. 令y=2x2+5x+2,则 原式=yy+1-90=y2+y-90 =y+10y-9 =2x2+5x+122x2+5x-7 =2x2+5x+122x+7x-1. 说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元y的基础. 例8分解因式x2+4x+82+3xx2+4x+8+2x2. 解设x2+4x+8=y,则 原式=y2+3xy+2x2=y+2xy+x =x2+6x+8x2+5x+8 =x+2x+4x2+5x+8. 说明由本题可知,用换元法分解因式时,不必将原式中的元都用新元代换,根据题目需要,引入必要的新元,原式中的变元和新变元可以一起变形,换元法的本质是简化多项式. 例9分解因式6x4+7x3-36x2-7x+6. 解法1原式=6x4+1+7xx2-1-36x2 =6[x4-2x2+1+2x2]+7xx2-1-36x2 =6[x2-12+2x2]+7xx2-1-36x2 =6x2-12+7xx2-1-24x2 =[2x2-1-3x][3x2-1+8x] =2x2-3x-23x2+8x-3 =2x+1x-23x-1x+3. 说明本解法实际上是将x2-1看作一个整体,但并没有设立新元来代替它,即熟练使用换元法后,并非每题都要设置新元来代替整体. 解法2 HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/INCLUDEPICTUREhttp://res
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7748.JPG\*MERGEFORMAT HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/INCLUDEPICTUREhttp://res
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7749.JPG\*MERGEFORMAT 原式=x2[6t2+2+7t-36] =x26t2+7t-24=x22t-33t+8 =x2[2x-1/x-3][3x-1/x+8] =2x2-3x-23x2+8x-3 =2x+1x-23x-1x+3. 例10分解因式x2+xy+y2-4xyx2+y2. 分析本题含有两个字母,且当互换这两个字母的位置时,多项式保持不变,这样的多项式叫作二元对称式.对于较难分解的二元对称式,经常令u=x+y,v=xy,用换元法分解因式. 解原式=[x+y2-xy]2-4xy[x+y2-2xy].令x+y=u,xy=v,则 原式=u2-v2-4vu2-2v =u4-6u2v+9v2 =u2-3v2 =x2+2xy+y2-3xy2 =x2-xy+y22.练习一 1.分解因式 HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/INCLUDEPICTUREhttp://res
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7750.JPG\*MERGEFORMAT 2x10+x5-2; HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/INCLUDEPICTUREhttp://res
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7751.JPG\*MERGEFORMAT 4x5+x4+x3+x2+x+12-x5. 2.分解因式 1x3+3x2-4; 2x4-11x2y2+y2; 3x3+9x2+26x+24; 4x4-12x+323. 3.分解因式 12x2-3x+12-22x2+33x-1; 2x4+7x3+14x2+7x+1; 3x+y3+2xy1-x-y-1; 4x+3x2-1x+5-20.第一讲因式分解一 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍. 1.运用公式法 在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如 1a2-b2=a+ba-b; 2a2±2ab+b2=a±b2; 3a3+b3=a+ba2-ab+b2; 4a3-b3=a-ba2+ab+b2. 下面再补充几个常用的公式 5a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=a+b+c2; 6a3+b3+c3-3abc=a+b+ca2+b2+c2-ab-bc-ca; 7an-bn=a-ban-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1其中n为正整数; 8an-bn=a+ban-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1,其中n为偶数; 9an+bn=a+ban-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1,其中n为奇数. 运用公式法分解因式时,要根据多项式的特点,根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式. 例1分解因式 1-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4; 2x3-8y3-z3-6xyz; 3a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab; 4a7-a5b2+a2b5-b7. 解1原式=-2xn-1ynx4n-2x2ny2+y4 =-2xn-1yn[x2n2-2x2ny2+y22] =-2xn-1ynx2n-y22 =-2xn-1ynxn-y2xn+y2. 2原式=x3+-2y3+-z3-3x-2y-Z =x-2y-zx2+4y2+z2+2xy+xz-2yz. 3原式=a2-2ab+b2+-2bc+2ca+c2 =a-b2+2ca-b+c2 =a-b+c2. 本小题可以稍加变形,直接使用公式5,解法如下 原式=a2+-b2+c2+2-bc+2ca+2a-b =a-b+c2 4原式=a7-a5b2+a2b5-b7 =a5a2-b2+b5a2-b2 =a2-b2a5+b5 =a+ba-ba+ba4-a3b+a2b2-ab3+b4 =a+b2a-ba4-a3b+a2b2-ab3+b4 例2分解因式a3+b3+c3-3abc. 本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式6. 分析我们已经知道公式a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3 的正确性,现将此公式变形为a3+b3=a+b3-3aba+b. 这个HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/INCLUDEPICTUREhttp://res
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0471001.jpg\*MERGEFORMAT式也是一个常用的公式,本题就借助于它来推导. 解原式=a+b3-3aba+b+c3-3abc =[a+b3+c3]-3aba+b+c =a+b+c[a+b2-ca+b+c2]-3aba+b+c =a+b+ca2+b2+c2-ab-bc-ca. 说明公式6是一个应用极广的公式,用它可以推出很多有用的结论,例如我们将公式6变形为 a3+b3+c3-3abc HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/INCLUDEPICTUREhttp://res
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7745.JPG\*MERGEFORMAT 显然,当a+b+c=0时,则a3+b3+c3=3abc;当a+b+c>0时,则a3+b3+c3-3abc≥0,即a3+b3+c3≥3abc,而且,当且仅当a=b=c时,等号成立. 如果令x=a3≥0,y=b3≥0,z=c3≥0,则有HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/INCLUDEPICTUREhttp://res
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7746.JPG\*MERGEFORMAT 等号成立的充要条件是x=y=z.这也是一个常用的结论. 例3分解因式x15+x14+x13+…+x2+x+1. 分析这个多项式的特点是有16项,从最高次项x15开始,x的次数顺次递减至0,由此想到应用公式an-bn来分解. 解因为 x16-1=x-1x15+x14+x13+…x2+x+1, 所以 HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/INCLUDEPICTUREhttp://res
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7747.JPG\*MERGEFORMAT 说明在本题的分解过程中,用到先乘以x-1,再除以x-1的技巧,这一技巧在等式变形中很常用. 2.拆项、添项法 因式分解是多项式乘法的逆运算.在多项式乘法运算时,整理、化简常将几个同类项合并为一项,或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零.在对某些多项式分解因式时,需要恢复那些被合并或相互抵消的项,即把多项式中的某一项拆成两项或多项,或者在多项式中添上两个仅符合相反的项,前者称为拆项,后者称为添项.拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解. 例4分解因式x3-9x+8. 分析本题解法很多,这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法,注意一下拆项、添项的目的与技巧. 解法1将常数项8拆成-1+9. 原式=x3-9x-1+9 =x3-1-9x+9 =x-1x2+x+1-9x-1 =x-1x2+x-8. 解法2将一次项-9x拆成-x-8x. 原式=x3-x-8x+8 =x3-x+-8x+8 =xx+1x-1-8x-1 =x-1x2+x-8. 解法3将三次项x3拆成9x3-8x3. 原式=9x3-8x3-9x+8 =9x3-9x+-8x3+8 =9xx+1x-1-8x-1x2+x+1 =x-1x2+x-8. 解法4添加两项-x2+x2. 原式=x3-9x+8 =x3-x2+x2-9x+8 =x2x-1+x-8x-1 =x-1x2+x-8. 说明由此题可以看出,用拆项、添项的方法分解因式时,要拆哪些项,添什么项并无一定之规,主要的是要依靠对题目特点的观察,灵活变换,因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种. 例5分解因式 1x9+x6+x3-3; 2m2-1n2-1+4mn; 3x+14+x2-12+x-14; 4a3b-ab3+a2+b2+1. 解1将-3拆成-1-1-1. 原式=x9+x6+x3-1-1-1 =x9-1+x6-1+x3-1 =x3-1x6+x3+1+x3-1x3+1+x3-1 =x3-1x6+2x3+3 =x-1x2+x+1x6+2x3+3. 2将4mn拆成2mn+2mn. 原式=m2-1n2-1+2mn+2mn =m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn =m2n2+2mn+1-m2-2mn+n2 =mn+12-m-n2 =mn+m-n+1mn-m+n+1. 3将x2-12拆成2x2-12-x2-12. 原式=x+14+2x2-12-x2-12+x-14 =[x+14+2x+12x-12+x-14]-x2-12 =[x+12+x-12]2-x2-12 =2x2+22-x2-12=3x2+1x2+3. 4添加两项+ab-ab. 原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab =a3b-ab3+a2-ab+ab+b2+1 =aba+ba-b+aa-b+ab+b2+1 =aa-b[ba+b+1]+ab+b2+1 =[aa-b+1]ab+b2+1 =a2-ab+1b2+ab+1. 说明4是一道较难的题目,由于分解后的因式结构较复杂,所以不易想到添加+ab-ab,而且添加项后分成的三项组又无公因式,而是先将前两组分解,再与第三组结合,找到公因式.这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在,同学们需多做练习,积累经验. 3.换元法 换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体,并用一个新的字母替代这个整体来运算,从而使运算过程简明清晰. 例6分解因式x2+x+1x2+x+2-12. 分析将原式展开,是关于x的四次多项式,分解因式较困难.我们不妨将x2+x看作一个整体,并用字母y来替代,于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了. 解设x2+x=y,则 原式=y+1y+2-12=y2+3y-10 =y-2y+5=x2+x-2x2+x+5 =x-1x+2x2+x+5. 说明本题也可将x2+x+1看作一个整体,比如今x2+x+1=u,一样可以得到同样的结果,有兴趣的同学不妨试一试. 例7分解因式x2+3x+24x2+8x+3-90. 分析先将两个括号内的多项式分解因式,然后再重新组合. 解原式=x+1x+22x+12x+3-90 =[x+12x+3][x+22x+1]-90 =2x2+5x+32x2+5x+2-90. 令y=2x2+5x+2,则 原式=yy+1-90=y2+y-90 =y+10y-9 =2x2+5x+122x2+5x-7 =2x2+5x+122x+7x-1. 说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元y的基础. 例8分解因式x2+4x+82+3xx2+4x+8+2x2. 解设x2+4x+8=y,则 原式=y2+3xy+2x2=y+2xy+x =x2+6x+8x2+5x+8 =x+2x+4x2+5x+8. 说明由本题可知,用换元法分解因式时,不必将原式中的元都用新元代换,根据题目需要,引入必要的新元,原式中的变元和新变元可以一起变形,换元法的本质是简化多项式. 例9分解因式6x4+7x3-36x2-7x+6. 解法1原式=6x4+1+7xx2-1-36x2 =6[x4-2x2+1+2x2]+7xx2-1-36x2 =6[x2-12+2x2]+7xx2-1-36x2 =6x2-12+7xx2-1-24x2 =[2x2-1-3x][3x2-1+8x] =2x2-3x-23x2+8x-3 =2x+1x-23x-1x+3. 说明本解法实际上是将x2-1看作一个整体,但并没有设立新元来代替它,即熟练使用换元法后,并非每题都要设置新元来代替整体. 解法2 HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/INCLUDEPICTUREhttp://res
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7749.JPG\*MERGEFORMAT 原式=x2[6t2+2+7t-36] =x26t2+7t-24=x22t-33t+8 =x2[2x-1/x-3][3x-1/x+8] =2x2-3x-23x2+8x-3 =2x+1x-23x-1x+3. 例10分解因式x2+xy+y2-4xyx2+y2. 分析本题含有两个字母,且当互换这两个字母的位置时,多项式保持不变,这样的多项式叫作二元对称式.对于较难分解的二元对称式,经常令u=x+y,v=xy,用换元法分解因式. 解原式=[x+y2-xy]2-4xy[x+y2-2xy].令x+y=u,xy=v,则 原式=u2-v2-4vu2-2v =u4-6u2v+9v2 =u2-3v2 =x2+2xy+y2-3xy2 =x2-xy+y22.练习一 1.分解因式 HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/INCLUDEPICTUREhttp://res
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7750.JPG\*MERGEFORMAT 2x10+x5-2; HYPERLINKhttp://www.7caiedu.cn/INCLUDEPICTUREhttp://res
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7751.JPG\*MERGEFORMAT 4x5+x4+x3+x2+x+12-x5. 2.分解因式 1x3+3x2-4; 2x4-11x2y2+y2; 3x3+9x2+26x+24; 4x4-12x+323. 3.分解因式 12x2-3x+12-22x2+33x-1; 2x4+7x3+14x2+7x+1; 3x+y3+2xy1-x-y-1; 4x+3x2-1x+5-20.本资料由《七彩教育网》www.7caiedu.cn提供!。