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八年级数学学习提纲之《分式》1.知识网络2.需要注意的问题 分式的基本概念和基本性质
1.区分整式和分式,分式是除式中含有字母的有理式,它表示分子除以分母的商,因此它既是有理式,又是与整式联系的代数式
2.特别注意,只有当分子等于零而分母不等于零时,分式的值才是零
3.使分式有意义时字母的取值范围,又称为分式字母的允许值范围,如分式的字母允许值范围是a≠0不能约分后再求分式的取值范围,要防止以下错误 ,当a≠1时,分式有意义丢掉了a≠
04.分式加减法的最后结果应化为最简分式或整式
5.对于含有绝对值符号的分式,应根据绝对值的概念,先去掉绝对值符号,再化简分式
6.分式化简与解分式方程不能混淆分式化简是恒等变形,不能随意去掉分母分式的基本概念及其性质看似简单,但在一些考试(包括中招考试)中却经常涉及,其主要考查对分式概念的理解、分式有意义的条件、分式值为零的条件、利用分式的基本性质改变分式的形式等下面就针对以上几种情况,进行简要分析
一、对分式概念的理解同学们要能够从一些式子中找出分式正确理解分式的概念,不能只看形式,要抓住分母中是否含有字母这一关键条件,这是判断一个式子是否为分式的重要标准如果一个式子的分母中含有字母,那么这个式子就是分式;反之,它就不是分式例1代数式,,,,中,属于分式的是____________解析解答本题的易错点有两个一个是,分母里的π是一个确定的值,不要把它当做字母处理了;另一个是,虽然这个式子的分子与分母能够约分化为整式,但它是一个分式,因为它的分母中含有字母所以本题的分式应该有两个,
二、分式有意义的条件由分式的概念可知,分式有意义的条件为分母不能为0由于分式的分母含有字母,所以在考虑问题时容易忽略分母不能为0这样一个限定条件因此,在解决有关分式的问题时,一定要先考虑分母不能为0这个条件例2若分式不论x取何实数总有意义,则m的取值范围是()A.B.C.D.解析解决此类问题要遵从一个原则,即不论分母是一个字母、一个单项式还是一个多项式,都要考虑分母不为0这个条件也就是说,使分式有意义的条件是分式的分母不为0本题可用配方法,将变形为,即此时只要m1,就恒大于0,分式就恒有意义,所以选B
三、分式的变形利用分式的基本性质,将分式的分子和分母同时乘(或除以)一个不等于0的数或整式,可改变分式存在的形式它是分式化简和分式运算的基础应用分式的基本性质时,要注意区分“都”与“同”这两个字的含义,不仅要避免犯只乘(或除)分子或分母的错误,还要避免犯只乘(或除)分子或分母中部分项的错误例3下列各式与相等的是()A.B.C.D.解析只要C选项是由的分子、分母都乘变形得到的,故选C
四、分式的基本性质分式的分子分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变与分数类似,分式也可以进行约分和通分分式的约分就是把分子分母的公因式约去例4对下列各分式进行约分
1、;
2、;
3、
4、(如果分子分母是多项式,要先分解因式)
5、
6、,
7、;
8、;
9、
10、;
11、通分象分数的通分一样,先要找他们各分母的最简(小)公分母例5把分式,通分解这两个分式的最简公分母是,所以(想一想,怎样找最简公分母?);练习把下列各组分式通分
(1),;
(2)例6把分式,通分解这两个分式的最简公分母是,所以;练习把下列各组分式通分
(1),;
(2)
五、分式的乘除法
1、分式乘分式,就是分子乘分子,分母乘分母,然后约分计算
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
2、分式的乘方,就是分子、分母分别乘方
(1)
(2)
(3)
(4)
3、分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘计算
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
六、分式的加减法与分数的加减法一样,有同分母和异分母两种同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减如果结果不是最简分式,还要约分(减法时,减式的的分子是多项式时要自觉加括号)计算下列各题
(1),
(2),
(3)
(4)-====4
(5)异分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减如果结果不是最简分式,还要约分
(1)
(2)=
(3)=
(4)======
(5)=
(6)
(7)
(8)
(9)
七、可化为一元一次方程的分式方程什么叫分式方程课本11页解分式方程的步骤
1、去分母
2、解所得的整式方程
3、检验,并下结论其中去分母就是方程的两边同时乘以各分母的最简公分母例7解下列方程解方程两边同乘以得解这个方程得检验所以练习解方程
(1)
(2)=
(3)=.
(4);
(5)
(6)
八、列分式方程解应用题
1、随着国民经济持续增长,我国的铁路运输进行了六次提速了已知北京至广州的路程2208千米,第六次提速后的速度比第五次提速后的速度增加收20%,时间却少用了2小时求第六次提速后的速度
2、某工人现在平均每天比计划多做20个零件,已知现在做4000个零件和原计划做3000个零件所用的时间相同,问现在平均每天做多少个?
3、某校学生进行急行军,预计行60千米的路程可在下午5点钟到达,后来由于每小时加快速度的,结果于4点钟到达,这时的速度是多少?
4、我市今年1月1日起调整居民用水价格,每立方米水费上涨25%小华家去年12月份的水费是18元,今年2月份的水费是36元已知小华家今年2月的用水量比去年12月多,求我市今年居民用水的价格
5、已知某项工程由甲、乙两队合作12天可以完成,乙队单独完成这项工程所需时间比甲队单独完成这项工程所需时间的2倍少10天问甲、乙队单独完成这项工程各需多少天
九、负指数规定a≠0,n是正整数这就是说,任何不等于零的数的-n(n为正整数)次幂,等于这个数的n 次幂的倒数练习,,,,,计算下列各式
1、
2、
3、科学记数法把一个绝对值大于10的数表示成 a×10n的形式,其中n是正整数,1≤∣a∣<10,n=原数的整数位数-1类似地,绝对值较小的数,即将它们表示成a×10-n的形式,其中n是正整数,1≤∣a∣<10,n=原数中第一个不为0的数字前面的0的个数例如,练习用科学记数法表示下列各数
1、,
2、
3、,
4、
5、1纳米=米,一个水分子的直径为23纳米,则一个水分子的直径等于米(用科学记数法表示)学习分式时要注意和分数进行类比,这样有助于理解分式及其性质处理有关分式的问题时,要注意符号的变换,还要明白分数线具有除号和括号的双重作用用下面几道中考题来验证你的收获吧相信自己,你一定行![练一练]练习一
16.11.下列各式,,x+y,,-3x2,0中,是分式的有___________;是整式的有___________;是有理式的有_________.2.当x______时,分式无意义.当x_______时,分式的值为零.3.李丽从家到学校的路程为s米,无风时她以平均a米/秒的速度骑车,便能按时到达,当风速为b米/秒时,她若顶风按时到校,请用代数式表示她必须提前_______出发.4.永信瓶盖厂加工一批瓶盖,甲组与乙组合作需要a天完成,若甲组单独完成需要b天,乙组单独完成需_______天.5.计算=_________.6.,则?处应填上_________,其中条件是__________.7.有理式
①,
②,
③,
④中,是分式的有()A.
①②B.
③④C.
①③D.
①②③④8.分式中,当x=-a时,下列结论正确的是()A.分式的值为零;B.分式无意义C.若a≠-时,分式的值为零;D.若a≠时,分式的值为零9.下列等式
①=-;
②=;
③=-;
④=-中成立的是()A.
①②B.
③④C.
①③D.
②④10.不改变分式的值,使分式的各项系数化为整数,分子、分母应乘以()A.10B.9C.45D.9011.分式,,,中是最简分式的有()`A.1个B.2个C.3个D.4个12.公式,,的最简公分母为()A.(x-1)2B.(x-1)3C.(x-1)D.(x-1)2(1-x)313.已知y=,x取哪些值时
(1)y的值是正数;
(2)y的值是负数;(3)y的值是零;
(4)分式无意义.14.约分
(1);
(2).
15.通分
(1),;
(2),.练习二
16.21.计算+-得()A.-B.C.-2D.22.计算a-b+得()A.B.a+bC.D.a-b3.计算(1-)(-1)的正确结果是()A.B.-C.D.-4.化简(x-y+)·(x+y-)的结果是()A.x2-y2B.y2-x2C.x2-4y2D.4x2-y25.计算()2·()3÷(-)4得()A.x5B.x5yC.y5D.x
156.若(x-3)0-2(3x-6)-2有意义,则x的取值范围是()A.x3B.x2C.x≠3或x≠2D.x≠3且x≠27.若102y=25,则10-y等于()A.B.C.-或D.8.纳米是一种长度单位,1纳米=10-9米,已知某种花粉的直径为3500纳米,那么用科学记数法表示该种花粉的直径为()A.
3.5×104米B.
3.5×10-5米C.
3.5×10-9米D.
3.5×10-6米9.用四舍五入法,对
0.0070991取近似值,若要求保留三个有效数字,并用科学记数法表示,则该数的近似值为()A.
7.10×10-2B.
7.1×10-2C.
7.10×10-3D.
7.09×10-310.计算(xy-x2)·=________.11.若=+,则m=________.12.已知a+b=3,ab=1,则+的值等于________.
13.计算[(-)÷(x+y)+x(-)]÷等于________.14.计算(2m2n-3)-3·(-mn-2)2·(m2n)0等于________.15.(阅读题)阅读下列解题过程(-3m2n-2)-3·(-2m-3n4)-2=(-3)-3m-6n6·(-2)-2m6n-8A=-m-6n6·(-m6n-8)B=C上述解题过程中,从______步开始出错,应改正为_________.16.有这样一道题“计算÷-x的值,其中x=2006”甲同学把“x=2006”错抄成“x=2060”,但他的计算结果也正确,你说这是怎么回事?17.已知两个分式A=,B=+,其中x≠±2,下面有三个结论
①A=B;
②A·B=1;
③A+B=0.请问哪个正确?为什么?18.已知x=+1.求(-)÷的值.练习
316.31.在解方程+=1时,需要去分母时,可以把方程两边都乘以_______,根据是______.2.当x=_______时,-2与互为相反数.3.已知公式,用P
1、P
2、V2表示V1=________.
4.某市为治理污水,需要铺设一段全长为3000米的污水排放管道,为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响,实际施工时,每天的工效比原计划增加25%,结果提前20天完成这一任务,原计划每天铺设多长管道设原计划每天铺设x米管道,根据题意得____.5.解分式方程+=,下列四步中,错误的一步是()A.方程两边分式的最简公分母是x2-1;B.方程两边都乘以(x2-1),得整式方程2(x-1)+3(x+1)=6;C.解这个整式方程得x=1D.原方程的解为x=1;6.满足方程=的x的值为()A.x=-1B.x=1或x=2C.仅有x=1D.仅有x=07.若关于x的方程=+2产生增根,则m的值是()A.-1B.0C.1D.
28.若关于x的方程-=有增根x=-1,那么k的值为()A.1B.3C.6D.99.我市要筑一水坝,需要规定日期内完成,如果由甲队去做,恰能如期完成,如果由乙队去做,需超过规定日期三天,现由甲、乙两队合做2天后,余下的工程由乙队独自做,恰好在规定日期内完成,求规定的日期x,下面所列方程错误的是()A.+=1B.=C.(+)×2+(x-2)=1D.+=11O.某乡镇改造农村电网,需重新架设4000米长的电线为了减少施工对农户用电造成的影响,施工时每天的工作效率比原计划提高,结果提前2天完成任务,问实际施工中每天架设多长电线如果设原计划每天架设x米电线,那么列出的方程是A.―=2B.―=2C.―=2D.―=
211.解方程
(1)+=;
(2)-1=.12.若关于x的方程-=有增根,求增根和k的值.13.先阅读下列一段文字,然后解答问题已知方程x-=1的解是x1=2,x2=-.方程x-=2的解是x1=3,x2=-.方程x-=3的解是x1=4,x2=-.方程x-=4的解是x1=5,x2=-.问题观察上述方程及其解,再猜想出方程x-=10的解.14.某一项工程在工程招标时接到甲、乙两个工程队的投标书,施工一天需付甲工程队工程款
1.5万元,乙工程队工程款
1.1万元,工程领导小组根据甲乙两队的投标书测算,可有三种施工方案1甲队单独完成这项工程刚好如期完成;2乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天;3若甲、乙两队合作4天余下的工程由乙队单独也正好如期完成.在不耽误工期的情况下你觉得那一种施工方案最节省工程款15.如图,小刚家、王老师家和学校在一条直路上,小刚与王老师家相距3.5千米,王老师家与学校相距0.5千米近来,小刚父母出差,如果王老师骑自行车到小刚家接小刚上学,就比平时走路上班多用24分钟已知骑自行车的速度是步行速度的3倍
①问王老师骑自行车的速度是多少千米/小时?
②为了节约时间,王老师与小刚约定每天735从家里同时出发,小刚走路,王老师骑车,遇到小刚后,立即搭小刚到校如果小刚和王老师走路的速度一样,王老师骑车的速度不变,请问他们能否在800钟前赶到学校?说明理由。