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《三角函数》复习教案第1课三角函数的概念1.角α的终边在第
一、三象限的角平分线上,角α的集合可写成.【讲练平台】例1已知角的终边上一点P(-,m),且sinθ=eq\f4m,求cosθ与tanθ的值.分析已知角的终边上点的坐标,求角的三角函数值,应联想到运用三角函数的定义解题,由P的坐标可知,需求出m的值,从而应寻求m的方程.解由题意知r=,则sinθ==eq\fm.又∵sinθ=eq\f4m,∴eq\fm=eq\f4m.∴m=0,m=±.当m=0时,cosθ=-1,tanθ=0;当m=时,cosθ=-eq\f4,tanθ=-eq\f3;当m=-时,cosθ=-eq\f4,tanθ=eq\f3.点评已知一个角的终边上一点的坐标,求其三角函数值,往往运用定义法三角函数的定义解决.例2已知集合E={θ|cosθ<sinθ,0≤θ≤2π},F={θ|tanθ<sinθ},求集合E∩F.分析对于三角不等式,可运用三角函数线解之.解E={θ|<θ<},F={θ|<θ<π,或<θ<2π},∴E∩F={θ|<θ<π}.【训练反馈】1.已知α是钝角,那么是()A.第一象限角B.第二象限角C.第一与第二象限角D.不小于直角的正角7.已知|tanx|=-tanx,则角x的集合为.9.已知扇形AOB的周长是6cm,该扇形中心角是1弧度,求该扇形面积.第2课同角三角函数的关系及诱导公式1.sin2150°+sin2135°+2sin210°+cos2225°的值是A.B.C.D.【讲练平台】例1化简.分析式中含有较多角和较多三角函数名称,若能减少它们的个数,则式子可望简化.解原式===eq\fsinα·cosα=1.点评将不同角化同角,不同名的三角函数化成同名的三角函数是三角变换中常用的方法.例2若sinθcosθ=,θ∈,,求cosθ-sinθ的值.分析已知式为sinθ、cosθ的二次式,欲求式为sinθ、cosθ的一次式,为了运用条件,须将cosθ-sinθ进行平方.解cosθ-sinθ2=cos2θ+sin2θ-2sinθcosθ=1-=.∵θ∈,,∴cosθ<sinθ.∴cosθ-sinθ=-eq\f2.变式1条件同例,求cosθ+sinθ的值.变式2已知cosθ-sinθ=-eq\f2,求sinθcosθ,sinθ+cosθ的值.点评sinθcosθ,cosθ+sinθ,cosθ-sinθ三者关系紧密,由其中之一,可求其余之二.例3已知tanθ=3.求cos2θ+sinθcosθ的值.分析因为cos2θ+sinθcosθ是关于sinθ、cosθ的二次齐次式,所以可转化成tanθ的式子.解原式=cos2θ+sinθcosθ===.点评1.关于cosθ、sinθ的齐次式可转化成tanθ的式子.2.注意1的作用:1=sin2θ+cos2θ等.【训练反馈】3.已知sinx+cosx=,x∈[0,π],则tanx的值是()A.-B.-C.±D.-或-6.证明=.7.已知=-5,求3cos2θ+4sin2θ的值.第3课两角和与两角差的三角函数
(一)1.cos105°的值为()A.eq\f+4B.eq\f-4C.eq\f-4D.eq\f--42.对于任何α、β∈(0,),sinα+β与sinα+sinβ的大小关系是()A.sinα+β>sinα+sinβB.sinα+β<sinα+sinβC.sinα+β=sinα+sinβD.要以α、β的具体值而定【讲练平台】例1已知sinα-sinβ=-,cosα-cosβ=,求cosα-β的值.分析由于cosα-β=cosαcosβ+sinαsinβ的右边是关于sinα、cosα、sinβ、cosβ的二次式,而已知条件是关于sinα、sinβ、cosα、cosβ的一次式,所以将已知式两边平方.解∵sinα-sinβ=-,
①cosα-cosβ=,
②①2+
②2,得2-2cosα-β=.∴cosα-β=.点评审题中要善于寻找已知和欲求的差异,设法消除差异.例2求的值.分析式中含有两个角,故需先化简.注意到10°=30°-20°,由于30°的三角函数值已知,则可将两个角化成一个角.解∵10°=30°-20°,∴原式===eq\fcos30°cos20°=.点评化异角为同角,是三角变换中常用的方法.【训练反馈】3.△ABC中,3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1,则∠C的大小为()A.B.C.或D.或5.coscoscos=.8.已知sinα+β=,且sinπ+α-β=,求.第4课两角和与两角差的三角函数
(二)【知识在线】求下列各式的值3.化简1+2cos2θ-cos2θ=.5.-=.【讲练平台】例1求下列各式的值
(1)tan10°+tan50°+tan10°tan50°;2eq\f(tan12°-3)csc12°4cos212°-2.1解原式=tan10°+50°(1-tan10°tan50°)+tan10°tan50°=.
(2)分析式中含有多个函数名称,故需减少函数名称的个数,进行切割化弦.解原式=eq\f(·-3)2cos24°===点评
(1)要注意公式的变形运用和逆向运用,注意公式tanA+tanB=tanA+B(1-tanAtanB),asinx+bsinx=sinx+φ的运用;
(2)在三角变换中,切割化弦是常用的变换方法.例2求证=.分析三角恒等式的证明可从一边开始,证得它等于另一边;也可以分别从两边开始,证得都等于同一个式子;还可以先证得另一等式,从而推出需要证明的等式.由欲证的等式可知,可先证等式=,此式的右边等于tan2θ,而此式的左边出现了“1-cos4θ”和“1+cos4θ”,分别运用升幂公式可出现角2θ,sin4θ用倍角公式可出现角2θ,从而等式可望得证.证略点评注意倍角公式cos2α=2cos2α-1,cos2α=1-2sin2α的变形公式
①升幂公式1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α,
②降幂公式sin2α=,cos2α=的运用;三角恒等式证明的方法从一边推得另一边;左右归一,先证其等价等于等式;分析法等.在三角变换中,要注意三角公式的逆用和变形运用,特别要注意如下公式tanA+tanB=tanA+B[1-tanAtanB];asinx+bcosx=sinx+φ及升幂、降幂公式的运用.8已知sinα+β=1,求证sin2α+β+sin2α+3β=0.第5课三角函数的图象与性质
(一)3.下列函数中,周期为的偶函数是()A.y=sin4xB.y=cos22x-sin22xC.y=tan2xD.y=cos2x4.判断下列函数的奇偶性
(1)y=xsinx+x2cos2x是函数;
(3)y=sin+3x是函数.【讲练平台】例1
(1)函数y=的定义域为2若α、β为锐角,sinα<cosβ,则α、β满足(C)A.α>βB.α<βC.α+β<D.α+β>分析
(1)函数的定义域为*的解集,由于y=tanx的最小正周期为π,y=sinx的最小正周期为2π,所以原函数的周期为2π,应结合三角函数y=tanx和y=sinx的图象先求出-,上满足(*)的x的范围,再据周期性易得所求定义域为{x|2kπ-<x<2kπ+,或2kπ+<x<2kπ+,k∈Z}.分析
(2)sinα、cosβ不同名,故将不同名函数转化成同名函数,cosβ转化成sin-β,运用y=sinx在[0,]的单调性,便知答案为C.点评
(1)讨论周期函数的问题,可先讨论一个周期内的情况,然后将其推广;
(2)解三角不等式,要注意三角函数图象的运用;
(3)注意运用三角函数的单调性比较三角函数值的大小.例2判断下列函数的奇偶性1y=;2y=分析讨论函数的奇偶性,需首先考虑函数的定义域是否关于原点对称,然后考f-x是否等于fx或-fx.解
(1)定义域关于原点对称,分子上为奇函数的差,又因为1+cosx=2cos2,所以分母为偶函数,所以原函数是奇函数.
(2)定义域不关于原点对称(如x=-,但x≠),故不是奇函数,也不是偶函数.点评将函数式化简变形,有利于判断函数的奇偶性.例3求下列函数的最小正周期
(1)y=sin2x-sin2x+;分析对形如y=Asinωx+φ、y=Acosωx+φ和y=Atanωx+φ的函数,易求出其周期,所以需将原函数式进行化简.解
(1)y=sin2x-sin2x+-=sin4x-,所以最小正周期为=.点评求复杂函数的周期,往往需先化简,其化简的目标是转化成y=Asinωx+φ+k或y=Acosωx+φ+k或y=Atanωx+φ+k的形式(其中A、ω、φ、k为常数,ω≠0).【训练反馈】5.函数y=sin+cos在(-2π,2π)内的递增区间是.6.y=sin6x+cos6x的周期为.第6课三角函数的图象与性质
(二)1.将y=cosx的图象作关于x轴的对称变换,再将所得的图象向下平移1个单位,所得图象对应的函数是()A.y=cosx+1B.y=cosx-1C.y=-cosx+1D.y=-cosx-12.函数fx=sin3x图象的对称中心的坐标一定是()A.kπ,0,k∈ZB.(kπ,0),k∈ZC.(kπ,0),k∈ZD.(kπ,0),k∈Z3.函数y=cos2x+的图象的一个对称轴方程为()A.x=--B.x=-C.x=D.x=π例1函数y=Asin(ωx+φA>0,ω>0,|φ|<的最小值为-2,其图象相邻的最高点和最低点横坐标差3π,又图象过点(0,1),求这个函数的解析式.分析求函数的解析式,即求A、ω、φ的值.A与最大、最小值有关,易知A=2,ω与周期有关,由图象可知,相邻最高点与最低点横坐标差3π,即=3π.得T=6π,所以ω=.所以y=2sin+φ),又图象过点(0,1),所以可得关于φ的等式,从而可将φ求出,易得解析式为y=2sin+).点评y=Asinωx+φ中的A可由图象的最高点、最低点的纵坐标的确定,ω由周期的大小确定,φ的确定一般采用待定系数法,即找图像上特殊点坐标代入方程求解,也可由φ的几何意义(图象的左右平移的情况)等确定(请看下例).例2右图为某三角函数图像的一段
(1)试用y=Asin(ωx+φ型函数表示其解析式;
(2)求这个函数关于直线x=2π对称的函数解析式.解
(1)T=-=4π.∴ω==.又A=3,由图象可知所给曲线是由y=3sin沿x轴向右平移而得到的.∴解析式为y=3sinx-.2设(x,y为y=3sinx-)关于直线x=2π对称的图像上的任意一点,则该点关于直线x=2π的对称点应为(4π-x,y,故与y=3sinx-)关于直线x=2π对称的函数解析式是y=3sin[(4π-x-]=-3sinx+).点评y=sinωx+φω>0的图象由y=sinωx的图象向左平移(φ>0)或向右平移(φ<0)个单位.特别要注意不能搞错平移的方向和平移的单位数量.求一个函数的图象关于一条直线对称图象的函数解析式时,要注意解几知识的运用.【训练反馈】4.y=tanx-在一个周期内的图象是()8.已知函数y=sinx+cosx,x∈R.1当y取得最大值时,求自变量x的取值集合;
(2)该函数的图象可由y=sinxx∈R的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?第7课三角函数的最值2.当x∈R时,函数y=2sin2x+的最大值为,最小值为,当x∈〔-,〕时函数y的最大值为,最小值为.【讲练平台】例1求函数fx=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最大值,并求出此时x的值.分析由于f(x)的表达式较复杂,需进行化简.解y=sin2x+cos2x+sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+2=sin2x++2当2x+=2kπ+,即x=kπ+k∈Z时,ymax=+2.点评要熟练掌握y=asinx+bcosx类型的三角函数最值的求法,asinx+bcosx=sin(x+φ).例2若θ∈[-],求函数y=cos+θ)+sin2θ的最小值.分析在函数表达式中,含有两个角和两个三角函数名称,若能化成含有一个角和一个三角函数名称的式子,则问题可得到简化.解y=cos+θ-cos[2θ+]=cos+θ-[2cos2θ+-1]=-2cos2θ++cos+θ+1=-2[cos2θ+-cosθ+]+1=-2[cosθ+-]2+.∵θ∈[-],∴θ+∈[,].∴≤cosθ+≤eq\f2,∴y最小值=eq\f-12.点评
(1)三角函数表达式转化成一个角的一个三角函数的形式(即fsinx或gcosx,是常见的转化目标;
(2)形如y=fsinx或y=gcosx的最值,常运用sinx,cosx的有界性,通过换元转化成y=at2+bt+c在某区间上的最值问题;
(3)对于y=Asinωx+φ或y=Acosωx+φ的最值的求法,应先求出t=ωx+φ的值域,然后再由y=Asint和y=Acost的单调性求出最值.【知能集成】较复杂的三角函数的最值问题,往往通过需要恒等变形,转化成形如y=fsinx或y=gcosx型或y=Asinωx+φ+k型的三角函数的最值问题,运用三角函数的有界性、单调性求三角函数的最值.用换元法解题,特别要注意sinx+tcosx与sinxcosx的关系,令sinx+cosx=t,则sinxcosx=.【训练反馈】6.若fx=2sinωx0<ω<1),在区间[0,]上的最大值为,则ω=.9.已知函数fx=2cos2x+sin2x+a,若x∈[0,],且|fx|<2,求a的取值范围.三角函数答案第1课三角函数的概念【知识在线】1.{α|α=kπ+,k∈Z}2.A
3.-,-.4.+5.C【训练反馈】1.A2.B3.B4.D5.6.
一、二7.{2kπ+<x<2kπ+π或2kπ+<x<2kπ+2π,k∈Z}8.负9.2cm2.第2课同角三角函数的关系及诱导公式【知识在线】1.A2.D3.4.sin2-cos25.A【训练反馈】1.D2.B3.B4.5.16.略7.8.-第3课两角和与两角差的三角函数
(一)【知识在线】1.C2.B3.B4.5.【训练反馈】1.C2.C3.A4.eq\f2-165.6.略7.cos2α=-,cos2β=-18.第4课两角和与两角差的三角函数
(二)【知识在线】1.-2.eq\f23.24.eq\f25.tan2θ【训练反馈】1.A2.A3.tanθ4.sinβ5.6.sin2(A+B).
7.
18.略.第5课三角函数的图象与性质
(一)【知识在线】1.2kπ+<x<2kπ+,k∈Z2.B3.B4.
(1)偶
(2)偶
(3)偶5.kπ+,k∈Z【训练反馈】1.C2.C3.B4.D5.[-π6.7.
(1)sin4<sin3<sin2
(2)cos2θ<sin2θ<tan2θ8.
(1)M=1,m=-1,T=eq\f2π||=(k≠0).
(2)k=32.第6课三角函数的图象与性质
(二)【知识在线】1.D2.B3.B4.B5.D【训练反馈】1.B2.D3.D4.A5.4π6.左,7.y=sin3x+8.
(1){x|x=+2kπ,k∈Z};
(2)将y=sinx的图象向左平移,得到函数y=sinx+)的图象,再将所得图象上各点横坐标不变,纵坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=2sinx+)的图象.9.
(1)最大温差20℃;
(2)y=10sinx+)+20,x∈[6,14].第7课三角函数的最值【知识在线】1.C2.2,-2,,-eq\f23.2,-24.
[0]【训练反馈】1.B2.D3.A4.A5.-1≤m≤6.7.+8.a=2b=-29.-2<a<-1xyeq\f13π3ππeq\fπ33-3OOxxxxyyyyDCABOOO。