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文本内容:
数学必修4知识归纳
一、任意角(逆时针旋转正角,顺时针旋转负角)
1、与终边相同的角的集合
2、弧度制
(1),
(2)
(3)扇形面积
二、任意角的三角函数
1、定义一般地,设角终边上任意一点的坐标为,它与原点的距离为,则
2、三角函数的值在各象限的符号
三、同角三角函数的基本关系式
1、;;
2、特殊角的三角函数值弧度
四、诱导公式(口诀纵变横不变,符号看象限)
1、,,,
2、,,
3、,,
4、,,
5、,,
6、,,
五、三角恒等变换思想方法
①切化弦、平方降幂的思想;
②化为同角、同名的思想;
③拆角的思想如,等
1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角、降幂公式降幂公式,
2、辅助角公式(合一思想)关键是“提斜边”(是辅助角,是斜边)
3、正余弦“三兄妹”、、——知一求二内在联系
六、三角函数的图象与性质正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质的比较函数图象定义域值域奇偶性奇函数偶函数奇函数周期性最小正周期最小正周期最小正周期单调性递增区间递减区间递增区间递减区间递增区间递减区间最值当时,当时,当时,当时,对称轴,,对称中心,,,
1、会用“五点法”画出函数的图象步骤设,令=求相应的值及对应的值描点作图试一试请用“五点法”画出函数在一个周期内闭区间的图象020-
202、函数的图象变换(伸缩变换与平移变换)特别注意,应向左或向右平移个单位长度试一试函数的图象可以由的图象经过怎样的变换得到?
①由向左平移个单位长度,得
②保持纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍,得
③保持横坐标不变,纵坐标伸长为原来的3倍,得
④向下平移2个单位长度,得
3、函数表达式的确定几个物理量——振幅——周期——频率——初相——相位步骤由最值确定由周期确定由图象上的特殊点确定,试一试函数图象的一部分如图所示,其中,,,求函数的表达式解,,则,∴∴,即∵,∴,∴
七、解三角形
1、内角和定理,这是三角形中三角函数问题的特殊性,解题时不能忘记!例如,,,
2、正弦定理(为△外接圆的半径.注意
①正弦定理的一些变式;,,;,,
②解三角形时,若运用正弦定理,则务必注意可能有两解
3、余弦定理,,,
4、面积公式(其中为三角形内切圆半径).特别提醒
(1)求解三角形中的问题时,一定要注意这个特殊性;
(2)求解三角形中含有边角混合关系的问题时,常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化试一试在中,若,判断的形状解∵,∴∵,∴,∴,即∴的形状是直角三角形
八、平面向量
1、平面向量的概念
(1)定义既有大小又有方向的量叫做向量;向量的大小也即向量的长度,叫做向量的模.
(2)零向量模长为零的向量叫做零向量,记作.零向量的方向是任意的.
(3)单位向量模长等于1个单位长度的向量叫做单位向量,记作.
(4)平行向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.规定零向量与任意向量平行.(其中模长相等方向相同的向量叫做相等向量;模长相等且方向相反的向量叫做相反向量)
2、平面向量的线性运算
(1)向量的加法与减法如图所示,在平行四边形中,
①三角形法则(起点相同,终点指向被减数,即后指向前)
②平行四边形法则
(2)向量的模性质 ≤≤
(3)向量共线定理向量与非零向量共线有且只有一个实数,使得
3、平面向量的数量积
(1)平面向量数量积的定义两个非零向量,其夹角为,,则叫做和的数量积.其中叫做向量在方向上的投影.(注意用几何法计算和的夹角时,必须先判断与是否共起点)
(2)夹角与数量积之间的关系
①若与不共线;
②若与共线,或
(3)数量积的三个运算律
①交换律;
②对实数的结合律
③分配律由此可得,,……注意结合律是对实数的结合,对向量一般是不成立的,即
4、平面向量的坐标运算设,,,,向量与的夹角为.
(1)平面向量基本定理如果是同一平面内的两个不共线的非零向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,使.(叫做表示这一平面内所有向量的一组基底)定理平面上四点满足,三点共线
(2)任意两点组成的向量
(3)向量的加法、减法、数乘运算;向量的数量积运算
(4)平行向量∥
(5)垂直向量
(6)向量的夹角
(7)向量的模;两点间距离
(8)的中点坐标;的重心坐标.
(9)单位向量与向量同向的单位向量。