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文本内容:
第一章 随机事件与概率(10课时)
1、目的与要求:理解随机事件的基本运算及古典概率的常规计算技巧
二、重点离散的古典概率与连续型的古典概率
三、难点离散型的古典概率
四、教学方法讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法.
五、教学手段传统板书与多媒体课件辅助教学相结合.
六、教学过程
1.课题引入P
11.
1.1随机现象即同一条件下可能出现的不同结果成为随机现象例
1.
1.1随机现象的例子
(1)掷硬币可能出现正反两面
(2)投掷骰子,可能出现的点数
(3)一天进入某超市的顾客数
(4)某种电视机的寿命
(5)测量某种物理量(长度,直径等)的误差
1.
1.2样本空间随机现象的一切可能结果成为样本空间例
1.
1.2
(1)投硬币的样本空间为,其中表示正面,表示反面,
(2)投骰子的样本空间为
(3)进入商场的顾客数的样本空间为
(4)电视机寿命的样本空间为
(5)测量误差的样本空间注意样本点为有限个或者可列个的空间为离散样本空间样本点不可列无限个的空间为连续样本空间
1.
1.3随机事件随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件,简称事件通常用大写字母ABC……表示.也可以用维恩图表示随机事件分为基本事件,必然事件,不可能事件例
1.
1.3掷骰子的样本空间为事件A={出现1点}为基本事件事件B={出现偶数点}为复杂事件事件C={出现的点数小于7}为必然事件事件D={出现的点数大于6}为不可能事件
1.
1.4随机变量表示随机现象结果的变量为随机变量即为随机事件到数的一个映射例如掷骰子X=1,2,3,4,5,
6.掷币X=0,X=
1.电视机寿命T4000T
100001.
1.5事件间的关系例
1.
2.2掷币两次,一正一反的概率为例
1.
2.3(抽样模型)不返回抽样的情形一批产品共有N件,其中M件不合格品,N-M件合格品,求从中随机取出n件产品有m件不合格品的概率解设={n件产品有m件不合格品},则取,则例
1.
2.4(返回抽样)一批产品共有N件,其中M件不合格品,N-M件合格品,求从中随机取出n件产品有m件不合格品的概率解;设={n件产品有m件不合格品},则取,则例
1.
2.6(盒子问题)设有n球,每个球等可能地投入N个不同的盒子里,求
(1)指定的个盒子各有一球的概率;
(2)恰好有个盒子各有一球的概率解
(1)总样本有个特殊样本有个所求概率为
(2)总样本有个特殊样本有个所求概率为例
1.
2.7(生日问题)n个人的生日各不相同的概率P是多少的近似结果n
102004050600.
88400.
59420.
30370.
11800.
03490.
00780.
11600.
40580.
69630.
88200.
96510.
99221.
2.5确定概率的几何方法例
1.
2.8(会面问题)甲乙两人约定6-7点会面,先到者只等20分钟,求两人会面的概率解设分别为甲乙到达的时间总体样本为能会面的样本为则会面的概率为例
1.
2.9(蒲丰针问题)平面上平行线相距为d,向平行线投长为的针,问针与平行线相交的概率解设为针的重心到平行线的边的距离,为针的方向角总体样本为针能相交的样本为则针能与平行线相交的概率为用随机模拟法,即蒙特卡罗法也可以做出类似结论例
1.
2.
10.长度为a的线上任取两点,将其分成三段,求它们可以构成一个三角形的概率解设分别为分成的三段线段的长度总体样本为能构成三角形的样本为则能构成三角形的概率为
1.
2.6确定概率的主观方法即用主观频率近似代替理论概率
1.3概率的性质
1.
3.1概率的可加性性质
1.
3.2(有限可加性)若互不相容,则性质
1.
3.3例
1.
3.1容36只灯泡4只60瓦,32只40瓦,任取3只,求至少一只60瓦的概率解记,则所以例
1.
3.2抛一枚硬币5次,求有正有反的概率解记,,则
1.
3.2概率的单调性性质
1.
3.4若,则证明因为,所以由于互不相容,由有限可加性得即得推论(单调性)若,则一般性结论对于任意事件有证明由又故应用例
1.
3.3口袋有编号为的n个球,从中有放回抽取m次,求m个球中最大号码为的概率解记,则
1.
3.3概率的加法公式性质
1.
3.6(加法公式)对于任意两个各事件,有推论(半可加性)对于任意两个各事件,有对于任意n个事件,有例
1.
3.4已知事件的概率分别为
0.4,
0.3,
0.6求解由得得于是例
1.
3.5已知则ABC至少发生一个的概率是多少?ABC都不发生的概率是多少?解
(1)
(2)例
1.
3.6(配对问题)有n人参加晚会,没人带一件礼物,各人的礼物互不相同,晚会随机抽取礼物,问至少一人抽到自己的礼物的概率是多少解记则所求概率为于是
1.
3.4概率的连续性定义
1.
3.1对于,称为极限事件即同样对于,称为极限事件即定义
1.
3.2当有,则称概率P是下连续的当有,则称概率P是上连续的性质
1.
3.7(概率的连续性)若P为事件域是F上的概率,则P即是下连续,又是上连续的证明先证P是下连续,,即定义,则,由可列可加性由有限可加性得所以故概率P是下连续的上连续的证明类似
1.4条件概率
1.
4.1条件概率的定义引入例
1.
4.1两个小孩的家庭,其样本空间为,求
(1)事件A=“家中至少有一个女孩”发生的概率
(2)若已知事件B=“家中至少有一个男孩”发生,求A发生的概率解
(1)
(2)定义
1.
4.1设A与B是样本空间的两个事件,若,则称为B发生下A的条件概率,简称条件概率性质
1.
4.1
(1)F
(2)
(3)性质
1.
4.2乘法公式
(1),则
(2)若,则证明由可得成立例
1.
4.3一批零件共有100个,其中10个不合格,从中一个一个抽取,求第三次取得不合格品的概率是多少?解“第i次取出的是不合格品”记为则所求概率为例
1.
4.4(罐子模型)设罐中有b个黑球,r个红球,每次随机取出一个球后将原球放回,还加进c个同色球和d个异色球第i次取出的是黑球记为,第j次取出的是红球记为,则
(1)当c=-1d=0时,即为不返回抽样
(2)当c=0,d=0时,即为返回抽样
(3)当c0d=0时,即为传染病模型
(4)当c=0d0时,即为安全模型
1.
4.3全概率公式性质
1.
4.3设为的一个分割,即互不相容,且,则证明全概率公式的简单应用形式例
1.
4.5(摸彩模型)设在n张彩票有一张奖券,求第二人摸到奖券的概率是多少?解设则类似的故买彩票时候,无论先后,中奖机会均等例
1.
4.6保险公司认为某险种的投保人可以分为两类一类为容易出事故者,另一类为安全者统计资料表明易出事故者在一年内发生事故的概率为
0.4,而安全者发生事故的概率为
0.1,若假定第一类人投保的比例为20%,现在有一人来投保,问该投保人在投保后一年内出事故的概率有多大?解设,,则例
1.
4.7(敏感性问题调查)调查学生阅读黄色书刊与影像,为得到真实结果,设计方案如下:问题A你的生日是否在7月1日之前?问题B你是否看过黄色书刊与影像?现在一个罐子里放白球与红球,抽到白球答问题A,抽到红球答问题B根据统计结果求看黄色书刊与影像的同学的比例解;即于是例如在一次实际调查中红球是30个,白球是20个,则,共收到1583张试卷,其中389张回答“是”,则由此计算得即约有
7.62%的学生看过黄色刊物与影像
1.
4.4贝叶斯公式设是样本空间的一个分割,即互不相容,且,则例
1.
4.8某地区居民的肝癌发病率为
0.0004,现用试剂检查,有病呈阳性的占99%,无病呈阴性的占
99.9%,现在某人检查结果呈阳性,问他真的患肝癌的概率是多少?解记B为“被检查者换有肝癌”,A为事件“检查结果为阳性”,则例
1.
4.9伊索寓言“孩子与狼的问题”记A为“小孩说谎”,B为“小孩可信”,若第一次村民印象为第二此村民印象为§以上计算结果说明,经过两次说谎后,村民对小孩的可信度从
0.8下降到
0.
138.以上例子也适用于银行评级问题§
1.5独立性
1.
5.1独立性的定义若,则称与相互独立若,则称与相互独立以上两个定义是等价的性质
1.
5.1若与相互独立,则与相互独立,与相互独立,与相互独立,证明则与相互独立,其余结论类似可证
1.
5.2多个事件的独立性若,,,且则相互独立N个事件的独立类似定义例
1.
5.2若相互独立,则与相互独立证明所以与相互独立例
1.
5.3两个射手独立射击同一目标,甲乙击中的概率分别为
0.9和
0.8,求目标被击中的概率?解法一法二例
1.
5.4某零件用两种工艺加工,第一种工艺有三道工序,不合格品率分别为
0.
30.
20.1;第二种工艺有两道工序,不合格频率分别为
0.
30.2,试问
(1)那种工艺的合格品的概率比较大?
(2)第二种工艺的两道工序的不合格品概率都是
0.3时,情况如何?解
(1)由独立性,两种工艺的合格品概率分别为故第二种工序的合格品概率大
(2)当第二种工艺的两道工序的不合格品概率都是
0.3时故此时第一种工序的合格品概率高例
1.
5.5有两名选手比赛射击,轮流射击同一目标,甲每枪命中的概率为,乙每枪命中的概率为,甲先射,谁先击中谁获胜,问甲乙获胜的概率各多少?解设为第i次命中目标,则例
1.
5.6系统由多个原件构成,每个原件正常工作的概率为,试求以下系统正常工作的概率
(1)串联系统
(2)并联系统
(3)混合系统解
(1)
(2)法一法二
(3)第二章 随机变量及其分布(10课时)
2、目的与要求:理解随机变量的分布及密度及相关的计算技巧与应用
二、重点随机变量的分布及密度
三、难点随机变量的分布及密度相关应用
四、教学方法讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法.
五、教学手段传统板书与多媒体课件辅助教学相结合.
六、教学过程
2.课题引入P
612.1随机变量及其分布
2.
1.1随机变量的概念随机变量即为样本空间到数得一个映射例样本点合格品0不合格品1随机变量分为连续型随机变量与离散型随机变量两类
2.
1.2随机变量的分布函数定义
2.
1.2随机变量的分布函数的定义例
2.
1.1向半径为r的圆内抛一点,为圆心到弹着点的距离,求的分布函数,并求解当当当综上分布函数的性质定理
2.
1.1
(1)单调性若,则.
(2)有界性,且
(3)右连续性证明
(3)设,且由此得其他的性质注意,对于连续密度与连续的分布函数例
2.
1.2已知柯西分布为求.解
2.
1.3离散的随机变量的概率分布列分布列的基本性质1非负性2正则性P66例
2.
1.3掷两颗骰子,为点数之和,为6点的个数,为最大的点数,求的分布23456789101112012123456例
2.
1.4设离散的随机变量的分布列为-
1230.
250.
50.25求,及分布函数.解当时当时当时当时综上-10123单点分布它的分布函数为0c离散的随机变量的分布函数呈阶梯状例
2.
1.5一汽车驶过三个路口,遇到红绿灯的时间是一样的,各个路口信号灯的工作是相互独立的,为汽车首次遇到红灯经过的路口数,求的分布列解设为汽车在第i个路口遇到红灯,则故的分布列为
01232.
1.4连续随机变量的概率密度函数密度代表点概率质量分布函数表示区间概率质量区间概率质量是由点概率质量累加积分形成故分布函数与密度函数的关系为且密度函数的基本性质
(1)非负性
(2)正则性例
2.
1.7向区间上任意投点,为投点的坐标,求的分布函数与密度函数解:当时当时当时综上的分布函数为的密度函数为例
2.
1.8某电子元器件的寿命为,其密度为各个元件的工作是独立的,问
(1)任取一只,其寿命大于1500小时的概率是多少?
(2)任取4只,4只寿命都大于1500小时的概率是多少?
(3)任取4只,4只中至少一只寿命大于1500小时的概率是多少?
(4)若已知一只寿命大于1500小时,则该元件的寿命大于2000小时的概率是多少?解
(1)
(2)
(3)
(4)记,则所以注意在计算过程中,针对连续型随机变量,一个点的概率质量认定为
0.§
2.2随机变量的数学期望数学期望的通俗理解,可以认为是未来的均值估计P77例
2.
2.1两个赌徒各出50法郎,约定谁先赢得三局,谁得到全部赌本,此时甲赢得两局,乙赢得一局,因故(皇帝召见)终止赌博,问这100法郎的赌本应该怎样分配解对于甲来说,可能出现的情况如下甲甲甲乙甲甲乙乙甲乙乙设甲赢得的赌本为,则的分布为0100所以甲分得的赌本为(元)乙分得的赌本为25元.定义
2.
2.1对于离散的随机变量对于连续的随机变量期望是均值,也可以理解为重心例
2.
2.2对于某疾病的血液检查,如果N个人逐步个检查,工作量太大,现在K人一组,分组检查,问是否可以节省工作量?解;设为分组后,每个人检查的次数,则的分布列为适当选择K可以保证故工作量可以减少.例
2.
2.3每张彩票售价5元,出售100万张,摇奖摇6个号码,开奖规则如下
(1)最后一位相同者获得六等奖,奖金10元
(2)最后两位相同者获得五等奖,奖金50元
(3)最后三位相同者获得四等奖,奖金500元
(4)最后四位相同者获得三等奖,奖金5000元
(5)最后五位相同者获得二等奖,奖金50000元
(6)最后六位相同者获得一等奖,奖金500000元解设为中奖金额,则的分布如下
500000500005000500501000.
0000010.
0000090.
000090.
00090.
0090090.9彩票机构的收益为例
2.
2.4设,求解;
2.
2.3数学期望的性质计算原理原像与像等概率例
2.
2.6已知随机变量的分布列如下
0120.
20.
10.
10.
30.3求的分布.解
012340.
20.
10.
10.
30.
3410140.
20.
10.
10.
30.3合并为
0140.
10.
40.5在计算相关问题的时候,注意对应的点概率质量均为对应的点概率质量均为所以函数的数学期望定义为性质
2.
2.1若c是常数,则性质
2.
2.2若a是常数,则性质
2.
2.3例
2.
2.7某公司经销某种原料,原料的市场需求量(吨)服从
(300500)上的均匀分布,每售出1吨原料,获利
1.5(千元),积压1吨损失
0.5(千元).问公司组织多少货源,可以使得平均收益最大?解:设组织货源为a吨,则获利为即则平均利润为故当吨时,平均收益最大§
2.3随机变量的方差与标准差例某手表厂,甲乙两个师傅所做产品误差分布如下甲师傅的误差数据01乙师傅的误差数据
0102.
3.1方差与标准差的定义以下三种分布,求它们的方差
1.三角分布
12.均匀分布
3.倒三角分布例
2.
3.2某人有一笔资金,可投入两个项目房地产和商业,为房地产的收益,为商业的收益,收益的分布如下
1130.
20.
70.
1640.
20.
70.1试问如何投资较好?解标准差两项目平均收益相差不大,但房地产的标准差大,故风险大,商业的标准差小风险相对较小,故投资商业项目更好.
2.
3.2方差的性质性质
2.
3.1证明记性质
2.
3.2证明性质
2.
3.3证明推论例
2.
3.3设颗骰子的点数,求解
2.
3.3切比雪夫不等式定理
2.
3.1设随机变量的期望与方差都存在,则或者证明;设是连续的随机变量,为密度函数.记,则定理
2.
3.2设随机变量的方差存在,则的充要条件为几乎处处等于常数a即证明充分性显然,下证明必要性,设,这时存在,由于于是即则即取,必要性得证§
2.
4.常用离散分布一.两点分布或01二.二项分布例
2.
4.1某特效药的临床有效率为
0.95,今有10人服用,问至少有8人治愈的概率是多少?解;设为治愈的人数,则,所求概率为至少有8人治愈的概率是
09885.例
2.
4.2设随机变量若,求解由得即所以于是
3.二项分布的期望和方差记二项分布的密度012345678910例
2.
4.3甲乙约定比赛十局,以赢得局数多者为胜,设在每局中甲赢的概率为
0.6,乙赢的概率为
0.4,比赛各局是独立的,试问;甲胜,乙胜,平局的概率各多大?解设为甲胜的局数,则
2.
4.2泊松分布泊松分布的密度012345678910应用范围
(1)在一天内,来到某商场的顾客数.
(2)单位时间内,某电路受到的外界电磁波的冲击次数.
(3)1平方米内,玻璃上的气泡数.
(4)一个铸件上的砂眼数.
(5)在一定时期内,某放射物质放射出来的粒子数.以上随机现象均服从泊松分布.2.泊松分布的期望与方差例
2.
4.4一铸件的砂眼数服从参数为的泊松分布,求至多一个砂眼的概率与至少两个砂眼的概率.解设铸件的砂眼数为,且,则铸件至多一个砂眼的概率为至少2个砂眼的概率为例
2.
4.5某商品的月销售量服从参数为8的泊松分布,问进货多少才能以90%的概率满足顾客需求.解设销售量为,则,设最小进货量为n.则而故月初进货量应该是12件.定理
2.
4.1(泊松定理)若时,有记,则证明记,即对固定的k有从而当n很大,p很小时,有例
2.
4.6已知某种疾病的发病率为
0.001,某单位有5000人,问该单位患病人数不超过5人的概率为多少?解设患病人数为,则,且所求概率为例
2.
4.7有10000人参加人寿保险,每个人的保费为200元,若投保人意外死亡,受益人可以获得100000元赔偿,若人群的死亡率为
0.001,试求保险公司
(1)亏本的概率;
(2)至少获利500000元的概率解设为死亡的人数,则,由于n很大所以利用泊松分布处理,1当,即时,保险公司亏损.2当,即时,保险公司收益至少有500000元.例
2.
4.8为保证设备正常工作,需要配备一些维修工,机器的工作是相互独立的,每台设备出故障的概率为
0.01,试求在以下情况下,设备不能及时维修的概率1一名维修工负责20台设备;2三名维修工负责90台设备;310名维修工负责500台设备;解
(1)设表示在20台设备中出故障设备的台数,则用参数的泊松分布来计算
(2)设表示在90台设备中出故障设备的台数,则用参数的泊松分布来计算
(3)设表示在500台设备中出故障设备的台数,则用参数的泊松分布来计算数据显示,若干维修工共同负责大量设备的维修效率更高.其他的分布
2.
4.3超几何分布设有N件产品,其中M个次品,不放回抽取n件,求有k件次品的概率.
2.
4.4几何分布与负二项分布几何分布某射击运动员,每枪击中的概率为p求第k枪首次击中的概率.负二项分布某射击运动员,每枪击中的概率为p求第r枪击中的时,总共射击了k发子弹的概率.例第3枪击中的时候,共射出了4发子弹的概率1234×√√√√×√√√√×√第r枪击中的时,总共射击了k发子弹的概率.§
2.5常用的连续分布
2.
5.1正态分布正态分布的密度函数正态分布的期望与方差标准正态分布的期望与方差若,求若,求标准正态分布的密度标准正态分布的分布基本运算性质
(1)
(2)
(3)正态分布的标准化定理
2.
5.1若随机变量,则证明两边求导得即例
2.
5.2若随机变量,求
(1)
(2)常数a,使得解
(1)
(2)查表得,故正态分布的原则若随机变量,则这说明以为中心,为半径的范围内集中了大部分的密度,随机变量以较大概率出现在这个范围
2.
5.2均匀分布记ab例
2.
5.4设随机变量现在对进行4次独立观察,试求至少有3次观测值大于5的概率解;设为观测值大于5的次数,则由条件于是均匀分布的期望与方差
2.
5.3指数分布指数分布的密度指数分布的期望与方差指数分布主要刻画原件寿命,及等待服务的时间例
2.
5.5如果某设备在时间发生故障的次数服从参数为的泊松分布,则两次故障的时间间隔服从参数为的指数分布证明由得当时,有当时,有故的密度为所以
2.
5.4伽玛分布
1.伽玛函数伽玛函数的运算性质
(1)
(2)伽玛分布的密度记作特别的当时,伽玛分布就是指数分布,即特别的当时,伽玛分布就是自由度为n的(卡方)分布
2.
5.5贝塔分布贝塔函数贝塔函数的运算性质
(1)
(2)证明
(2)作变化,其雅克比行列式
(2)得证.贝塔分布的密度§
2.6随机变量函数的分布计算原理;原相与相等概率§
2.
6.1离散的随机变量函数的分布…………例
2.
6.1已知随机变量的分布列如下,求的分布列.的分布列为合并得定理
2.
6.1设是连续的随机变量,其密度为严格单调,为其反函数,则其中证明不妨设单调增,则当时,当时,当时,对分布函数求导得密度即定理
2.
6.2对随机变量,则证明故例
2.
6.2
(1)设随机变量,试求的分布
(2)设随机变量,试求的分布解
(1)由于服从正态分布,又所以
(2)由于服从正态分布,又所以.定理
2.
6.3设随机变量,则的密度为证明当时,此时当时,综上绝缘材料的寿命服从对数正态分布.设备故障的维修时间服从对数正态分布.家里仅有两个小孩的年龄差服从对数正态分布.类似有定理
2.
6.4设随机变量,,则例
2.
6.3设随机变量,求的分布解当时,当时,故求导得故例
2.
6.4设随机变量的密度函数为求的密度函数解;当时,当时,当时求导得综上第三章 多维随机变量及其分布(10课时)
3、目的与要求:理解多维随机变量及其分布的基本原理并能解决相应的实际应用问题
二、重点多维随机变量及其分布
三、难点多维密度及其分布
四、教学方法讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法.
五、教学手段传统板书与多媒体课件辅助教学相结合.
六、教学过程
3.课题引入P139多维随机变量的定义称为n维随机变量定义
3.
1.2称为N维随机变量的联合分布函数定理
3.
1.1二维联合分布的性质
(1)单调性当时,有当时,有
(2)有界性
(3)右连续性
(4)非负性引例
3.
1.1二元函数不满足性质
4.故不是二维分布函数
3.
1.3联合分布列Xy……………..联合分布的基本性质
(1)非负性
(2)正则性引例
3.
1.2从1234中任取一数记为,再从中任取一数记为,求的联合分布列及解
123412340000003.
1.4联合密度函数定义
3.
1.4若,则称为的联合密度函数且联合密度函数的性质
(1)非负性
(2)正则性例
3.
1.3设的联合密度函数为试求解
(1)
(2)
3.
1.5常用的多维分布一,多项分布;其中各出现次,则例
3.
1.4100件产品,一等品60件,二等品30件,三等品10件,任取三件,分别表示一等品,二等品的数量,求的联合分布其中,当01230123000000可以计算其他有关事件的概率二,多维超几何分布可以看成取各种类型的球个的概率例
3.
1.5将
3.
1.4例改为不放回抽样,抽取3次,分别表示一等品,二等品的数量,求的联合分布其中,当01230123000000计算其他有关事件的概率三,多维均匀分布的联合密度函数为例
3.
1.6设的联合密度函数为试求四,二元正太分布P
1523.2边际分布与随机变量的独立性
3.
2.1边际分布的定义例
3.
2.1设二维随机变量的联合分布函数为的边际分布函数为
3.
2.2边际分布列边际分布列的定义;例
3.
2.2设二维随机变量的联合分布列为
123010.
540.
460.
160.
330.
513.
2.3边际密度函数边际密度分别为例
3.
2.3设二维随机变量的联合分布函数为求
(1)边际密度函数,;
(2)及解
(1)当时当时当时当时当时所以的边际密度函数为
(2)例
3.
2.5二维正太分布的边际分布为一维正太分布这里令
3.
2.4随机变量的独立性定义
3.
2.1若对于联合分布的分布函数,对于任意的,满足则称相互独立另外对于联合密度函数,若满足则称相互独立例
3.
2.6从中任取两个数,求以下事件的概率;
(1)两数之和小于;
(2)两数之积小于解相互独立,故联合密度函数为
(1)事件的概率为
(2)事件的概率为例
3.
2.7若二维随机变量的联合分布函数为问;是否独立?当时,有当时,有于是同样,当时,有当时,有于是故,所以不独立例
3.
2.8若二维随机变量的联合分布函数如下;判定独立性?
(1)
(2)
(3)
(4)解
(1)即即故所以独立
(2)由于的取值受的决定,故不独立
(3)于是,所以独立
(4)边际分布为于是,所以不独立
3.3多维随机变量函数的分布原理原相与相等概率例
3.
3.1设二维随机变量的联合分布列如下-112-12试求
(1)
(2)
(3)解所求分布列为-20134-3-2013-112例
3.
3.2(泊松分布的可加性)设随机变量,求证证明;故记为一般的有例
3.
3.3(二项分布的可加性)设随机变量,求证证明;由得,又故这表明记为一般的有
3.
3.2最大值与最小值的分布例
3.
3.4(最大值分布)设是n个相互独立的随机变量,若,在以下情况下求的分布
(1);
(2)同分布,
(3)同分布,为连续随机变量,的密度均为
(4)解
(1)的分布为;2若同分布,则
(3)若同分布,则的密度函数为
(4)由得例
3.
3.5(最小值分布)设是n个相互独立的随机变量,若,在以下情况下求的分布
(1);
(2)同分布,
(3)同分布,为连续随机变量,的密度均为
(4)解
(1)的分布为;2若同分布,则
(3)若同分布,则的密度函数为
(4)由得例
3.
3.6某段道路原来有5个路灯,道路改建后有20个路灯来晚间照明,改建后道路管理人员发现灯泡更容易坏了,请解释其中原因解;其平均寿命为小时,5个灯泡第一个烧坏的时间若灯泡每天用10个小时,则30天换灯泡的概率为;20个灯泡第一个烧坏的时间这说明道路改建后,在30天换灯泡的概率更加高,为此需要换上高寿命的节能灯
3.
3.3连续场合的卷积公式定理
3.
3.1设是两个独立的随机变量,其密度函数分别为和,则其和的密度函数为证明类似可证故原结论成立例
3.
3.7(正态分布的可加性)设是两个独立的随机变量,,证明其和解由得又其中,这里命题得证.一般的若则其中,例设是两个独立的随机变量,,,则例
3.
3.8(伽玛分布的可加性)设是两个独立的随机变量,,证明其和由得故记为一般的有又,所以可得以下两个结论
(1)m个独立同分布的指数分布变量之和为伽玛分布变量即,,…….则记为
(2),,…….则即
3.
3.4变量变换法原理利用原相与相等概率,得到相关结论对应的雅可比行列式为则例
3.
3.11(积的公式)设是两个独立的随机变量,其密度函数分别为和,则其和的密度函数为解记则,于是于是例
3.
3.12(商的公式)设是两个独立的随机变量,其密度函数分别为和,则其和的密度函数为法一解记则,于是于是法二即即为
3.
4.2多维随机变量函数的数学期望定理
3.
4.1设是二维的随机变量的期望为特别的例
3.
4.1在长度为a的线段上任意取得两个点,求两点间的平均长度解;二维随机变量的联合分布函数如下于是例
3.
4.2设是独立同分布的随机变量,均服从指数分布,求的数学期望解由得于是这里性质
3.
4.1设是二维的随机变量,则有证明一般的有性质
3.
4.2设是二维的随机变量且相互独立,则有证明由相互独立,有一般的有这里相互独立性质
3.
4.3设是二维的随机变量且相互独立,则有证明;由方差的定义一般的例
3.
4.3设是独立同分布的随机变量,,,求的数学期望,方差,标准差解;例
3.
4.4设一袋中装有m个颜色不同的球,每次从中任取一个,有放回地摸取n次,以表示n次摸球所摸得得不同颜色的数目,求解;则由得
3.
4.3协方差定义
3.
4.1协方差的定义特别的
(1)当,称正相关
(2)当,称负相关
(3)当,称不相关性质
3.
4.4证明由协方差的定义有性质
3.
4.5若随机变量相互独立,则,反之不然证明;由相互独立有,所以=0例
3.
4.6若随机变量,且,这里随机变量不独立,但性质
3.
4.6对于任意的二维随机变量,有证明由方差定义得性质
3.
4.7性质
3.
4.8性质
3.
4.9性质
3.
4.10证明由协方差的性质得;例
3.
4.7若二维随机变量的联合分布函数如下;求解于是例
3.
4.8二维随机变量的联合分布函数如下;求解先计算边际密度再计算一阶矩,二阶矩则则
3.
4.4相关系数定义;称为的(线性)相关系数相关系数也可以看成标准变量的协方差,则;引理
3.
4.
4.(施瓦茨(Schwarz)不等式)对于任意二维随机变量,存在,则有证明不妨设,因为的时候,不等式成立是显然的对于函数恒成立,故即成立性质
3.
4.11,或性质
3.
4.12的充要条件是几乎处处有线性关系,即证明充分性证明若,则,于是必要性证明.当时,有由此得即故当时,几乎处处线性正相关当时,有由此得即故当时,几乎处处线性负相关总结
(1)当时,则称不相关,即之间没有线性关系
(2)当时,则称完全正线性正相关当时,则称完全正线性负相关
(3)当越接近1,线性相关程度越高当越接近0,线性相关程度越底例
3.
4.10二维随机变量的联合分布函数如下;求的相关系数解;先计算边际密度例
3.
4.11设有一笔资金,总量为1如今投资甲乙两种证券,投给甲,投给乙,于是形成一个投资组合,分别为甲乙的收益率,均值分别为(代表平均收益),方差分别为(代表风险)的相关系数为,求组合的平均收益与风险(方差)并求使得投资风险最小的解;组合的收益为组合的平均收益为组合的风险(方差)为要使得最小,必须解得此时风险最小
3.5条件分布与条件期望
3.
5.1条件分布一.离散随机变量的条件分布的定义例
3.
5.2设随机变量相互独立,且,,在已知的条件下,求的分布解由条件概率的定义,得例
3.
5.3设进入商店的顾客人数为,且,每个顾客购买某商品的概率为P,顾客购物相互独立,求购物顾客人数的分布列解由题意得由全概率公式得即二.连续随机变量的条件分布的定义则类似的例
3.
5.5设服从上的均匀分布,求解所以三.连续场合的全概率公式和贝叶斯公式
3.
5.2条件数学期望定理
3.
5.1(重期望公式)设是二维随机变量,且存在,则证明仅证明连续的情况,离散的类似证明记则重期望公式的应用形式(离散的情形)(连续的情形)例
3.
5.7一矿工被困在有三个门得矿井,第一个门通一坑道,沿此坑道3小时抵达安全区,,第二个门通一个坑道,5小时返回原处,第三个门通一个坑道,7小时可返回原处,求矿工平均多少小时到达安全区解假设为矿工到达安全区的需要的时间,为第一次选择的门,则由于第一个门3小时到达安全区,所以由于第二个门5小时返回原处,所以由于第三个门7小时返回原处,所以又所以即所以矿工平均要15小时才能到达安全区例
3.
5.8口袋有编号为12,….,n的n个球,若取到1号球,则得1分球,且停止摸球;若取得i号球,则得到i分,且将球放回,重新摸球,如此下去,求得到是平均总分数解;设为得到的总分数,为第一次取到的球的号码,则又因为,而当时,所以由此解得例
3.
5.9设电力公司每月供应某工厂的电力服从
(1030)的均匀分布(单位),而实际需要的电力服从
(1020)的均匀分布(单位),如果电力足够,则每电可以创造30万元的利润,如果电力不足,则每电力只有10万的利润,求该厂每个月的平均利润解;设每个月的利润为万元,则当时当时则所以该厂的平均利润为433万元例
3.
5.10(随机变量和的数学期望)设为独立的随机变量序列,整数独立,证明:证明应用
(1)设N为一天到商场的顾客数是一个随机变量,且设为第i个顾客的购物金额,且是独立同分布的,,假设与相互独立,则此商场一天的平均营业额为
(2)一只昆虫产卵数服从参数为的泊松分布,每个卵成活的概率为,这里,而表示第i个卵成活,则一只昆虫产卵后的平均成活卵数为第四章 大数定理与中心极限定理(2课时)
4、目的与要求:理解大数定理与中心极限定理的基本原理并能解决相应的实际应用问题
二、重点大数定理与中心极限定理
三、难点中心极限定理
四、教学方法讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法.
五、教学手段传统板书与多媒体课件辅助教学相结合.
六、教学过程
4.课题引入P229伯努利大数定理定理
4.
2.1设为n重伯努利实验中事件A发生的次数,P为每次实验A出现的概率吗,则对于有证明由于且由切比雪夫不等式当时,有P233切比雪夫大数定理定理
4.
2.2设为一列两两不相关的随机变量序列,每个存在,切则证明:因为为一列两两不相关的随机变量序列,故当时,有 特别的有当同分布时,有P.238中心极限定理例
4.
4.2设为独立同分布的随机变量,记则当的时,的密度接近正态分布P239面图P.
2404.4中心极限定理定理
4.
4.1林德贝格-勒维中心极限定理设为一列独立同分布随机变量序列,且,,记则P242定理
4.
4.2隶莫弗-拉普拉斯极限定理设n重伯努利实验中,事件A每次出现的概率为P,记为n次试验中事件A出现的次数记则P243修正P244例
4.
4.5一复杂系统由100个互相独立工作的部件组成,每个部件正常工作的概率为
0.9,已知整个系统至少有85个部件正常工作,系统才能正常,试求系统正常工作的概率解设为100个部件中正常工作的的部件数,,即则故系统正常工作的概率为
0.
966.P243修正P
244.例
4.46某制药厂生产的某药品,对某种疾病的治愈率为80%,现在为了检验此治愈率,任意抽取100个此种病得患者进行临床试验,如果至少有75人治愈,则此药品通过检验,分别在以下情况计算此药品通过检验的可能性
(1)此药品的实际治愈率为80%
(2)此药品的实际治愈率为70%解设为100个临床受试者中治愈的人数,则
(1)
(2)P245例
4.
4.7某车间有同型号的机床200台,一个小时内每台机床70%的时间是工作的,各台机床工作是相互独立的,工作的时候每台机床消耗的电能为15千瓦(KW).问至少要多少电能才可以有95%的可能性保证此车间生产正常解设为200台机床中同时工作的机床数,供电量为y千瓦(kw)则电力需求量为为使工作正常,必须则又故解得;故至少要2252(kw)才能有95%的概率保证此车间正常工作P
2454.
4.8某调查公司受委托,调查某电视节目在S市的收视率P,调查公司将所有调查对象看此节目的的频率作为的估计,现在要保证有90%的把握,使得调查的收视率与真实的收视率之间的差异不大于5%问至少要调查多少对象?解设共调查n个对象,记则则当的时有由题意又解得故至少要调查271个对象P248定理
4.
4.4李雅普洛夫中心极限定理设为独立的随机变量序列,若存在,满足则对于任意的x有注意要点李雅普洛夫定理的条件更宽松,对于只要求独立,不需要同分布,的密度依然是正太密度P236例
4.
4.9一份试卷由99个题目组成,难度由易到难排列,某学生答对第i题的概率为,答题是相互独立的,并且要答对60个以上的题才算通过考试,试计算学生通过考试的概率解设则又故学生通过考试的概率为
0.
005.P
237.2某计算机主机有100个终端,每个终端有80%的时间被使用若各个终端被使用是相互独立的,试求至少15个终端空闲的概率解设X为总共使用的终端个数,则其中则由中心极限定理正态分布故15个终端空闲的概率为
0.9155P
237.3有一批建筑房屋的木柱,其中80%的长度不小于3m现在从中随机抽取100根问其中至少有30根短于3m的概率是多少?解设X为100根中长度不小于3m的根数,则其中则由中心极限定理正态分布,则故至少有30根木柱短于3m的概率为
0.
0088.第五章 三大抽样分布(3课时)一目的与要求:三大抽样分布的的形式二重点三大抽样分布的应用三难点三大抽样分布的推演
四、教学方法讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法.
五、教学手段传统板书与多媒体课件辅助教学相结合.
5.课题引入P
2835.
4.1伽玛分布的一般形式;分布的一般形式P
126.例
2.
6.
3.若,则解先求的分布函数当时故的分布函数为则的密度函数为即若,独立,则P168例
3.
3.8若,且独立,则证明;由得推论若,独立,则定理
5.
4.1设是来自正态分布的样本,其样本均值和样本方差分别为则有
(1)相互独立;
(2);
(3).证明的联合密度为记,作一个正交变换,其中于是,的联合密度为则独立同分布于由于则证毕.P
2866.F-分布设,独立,则称服从自由度为m与n的F分布,记作先导出的密度,由商的密度公式得作变换得即再求出的密度对于注意当随机变量时,对于给定,称满足等式称为分布的分位点.由分布的构造知,若,则则即又故例
5.
4.2P288推论
5.
4.1设是来自的样本,是来自的样本,记,其中,则有证明由于两样本独立可知,相互独立,由定理
5.
4.1知,,由分布的定义可知.P288t-分布定义
5.
4.3设,独立,则称服从自由度为n的t~分布,记作由于于是两边求导得而,则P290推论
5.
4.2设是来自正态分布的一个样本,分别为样本均值与样本方差,则有证明由于则当随机变量时,对于给定,称满足等式称为分布的分位点.由分布的构造知例如
5.5充分统计量例
5.51为了研究某个运动员的打靶命中率,观察其10次射击,发现第三,六次不中外,其余8次都命中,这样的观测结果包含两种信息
(1)打靶10次命中8次;
(2)2次不中是在第3次与第6次明显第2种信息对于命中率没有什么帮助,即实验编号信息对于参数命中率无关紧要即样本加工不损失信息定义
5.51设是来自某总体的样本,为总体的分布函数,对于统计量,如果不依赖参数,则称为的充分统计量例
5.
5.2设总体为二点分布,为样本,令取则故为的充分统计量对于任意一组样本取有故不是的充分统计量
5.
5.2因子分解定理定理
5.
5.1设总体的密度函数为,为样本,则是充分统计量的充分必要条件为存在两个函数和使得证明:现在仅仅证明离散的形式必要性证明设是充分统计量,则在下与无关,记为,令,当时有充分性证明由于当时有该分布与无关这就证明了充分性第六章 参数估计(点估计与极大似然估计)(2课时)一目的与要求:理解点估计与极大似然估计的基本原理与计算方法,并会做相关的应用
二、重点矩估计与极大似然估计
三、难点极大似然估计
四、教学方法讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法.
五、教学手段传统板书与多媒体课件辅助教学相结合.
六、教学过程
7.课题引入P286矩估计的基本原理
8.引例例1设总体X在区间上服从均匀分布,其中是未知参数,如果取得的样本值为,求的矩估计值解因为总体的密度函数为于是则的矩估计量为例2设总体X服从正态分布,其中是未知参数,如果取得的样本值为,求的矩估计值解;由于总体X服从正态分布,故即于是由以上式子解得的矩估计量为P
2871.极大似然估计的基本原理一般我们在选择参数的时候是以使得该事件样本发生的可能性最大为原则
2.似然函数的定义原则选择参数必须使得似然函数最大或者使得最大,此时需要满足条件例1设总体服从泊松分布如果取得样本观测值求参数的极大似然估计解概率函数为似然函数为;取对数得;为使得似然函数最小必须有故的极大似然估计为例2设总体服从指数分布,密度函数为如果取得观测值为,求参数的极大似然估计解似然函数为;取对数得;为使得似然函数最大必须有故的极大似然估计为P290例
6.
1.7设总体服从正态分布,其中是未知参数,如果取得观测值为,求参数的极大似然估计解;似然函数为为使得似然函数最大必须有于是的极大似然估计为,P290例子
6.
1.8设是来自均匀分布总体的样本,试求的极大似然估计解似然函数为:故的极大似然估计为其中第七章 假设检验(3课时)
5、目的与要求:假设检验的基本原理
6、重点假设检验的操作流程
7、难点假设检验的原理的理解及运用范围
四、教学方法讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法.
五、教学手段传统板书与多媒体课件辅助教学相结合.
六、教学过程
9.课题引入及概念的介绍
(1)假设检验的基本原理;小概率事件在几次统计结果中是不应该出现的如果出现应该拒绝承认,并以此为基础来作有效的统计结论的判断
(2)基本的概念显著性水平;即使确定小概率的一个标准拒绝域小概率事件对应的区域
10.假设检验的三种形式
(1)
(2)
(1)注三种形式主要针对不同的产品的检验模型而定的即在不同产品模型中正常与非正常的界定标准基本原理大概率事件在一次统计结果中出现是应该的,正常的,可以接受的小概率在一次统计结果中出现是不正常的,不可接受的简单言之一般最初采集的样本是把概率事件对应的样本,大概率事件的样本最早出现逻辑框架假设为真而统计指标落在无病对应的大概率区间则承认为真,即接受无病判断,否则拒绝假设为真而统计指标落在正常时对应的大概率区间则承认为真,即接受设备正常判断,否则拒绝
11.基本案例
(1)已知的P367例
7.
2.1从甲地发送一个讯号到乙地,设乙地接受的型号值是一个服从正态分布的随机变量,其中为甲地发送的真实信号,现在甲地发送同一信号,乙地接受的信号为设接受方有理由猜测甲地发送的信号值为8,能否接受这种猜测?解原假设与备择假设分别为若原假设为真,则服从的正态分布统计值即故不能拒绝原假设,接受原假设成立,可以认为猜测正确2未知的P368例
7.
2.2某厂生产的某种铝材的长度服从正态分布,其均值设定为240cm,现在从该厂抽取5件产品,测得其长度为单位Cm试判断该厂此类铝材的长度是否满足设定的要求解:原假设与备择假设分别为若原假设为真,则其中而统计结果故拒绝原假设,认为该厂的铝材长度不满足设定要求
7.
2.3两个正态分布总体均值差的检验设是来自正态总体的样本,是来自正态总体的样本,考虑以下三类检验问题这里对常用的两种情况进行讨论一.已知时的两样本u检验的点估计的分布为采用u检验法,检验统计量在时,,拒绝域如下图二.未知时的两样本t检验未知时,例
7.
2.3某厂铸件车间为提高铸件的耐磨性而试制了一种镍合金铸件以取代铜合金铸件,为此各抽取一个容量为8和9的样本,测得其硬度为镍合金
76.
4376.
2173.
5869.
6965.
2970.
8382.
7572.34铜合金
73.
6664.
2769.
3471.
3769.
7768.
1267.
2768.
0762.
61.经专业检验硬度服从正态分布,且方差保持不变,试在显著性水平的情况下判断镍合金硬度是否有显著提高解设表示镍合金的硬度,表示铜合金的硬度,由假定,,计算得到从而又由于故拒绝原假设,由此判断镍合金硬度有显著提高
7.
2.4成对数据检验在对两个总体均值进行比较时,有时数据成对出现,此时需要选取适当的检验指标例
7.
2.4为了比较两种谷种子的优劣,选取10块土质完全不相同的土地,将每块土地分为面积相同的两部分,分别种上两种种子,产量如下:土地12345678910种子1的产量x23352942392937343528种子2的产量y30393540383436334131差d=x-y-7-4-621-511-6-3解现在作如下检验检验统计量为其中,拒绝域为又于是又故有所以,应该拒绝原假设,可以认为种子的平均产量有显著性差异问题P374第一种方法为何不可取
7.
2.5正太总体方差的检验一,单个正太总体方差的检验,对方差的检验需要考虑如下问题采用的统计量为拒绝域为例
7.
2.5某类钢材的重量服从正态分布,某项质量指标是钢材重量的方差不得超过
0.016,现在抽取25块钢材,得到的样本方差为,问当天生产的钢板重量的方差是否满足要求解这是一个单侧检验问题,原假设与备择假设为:查表得,现计算得即检测值在拒绝域所以认为该天生产的钢材重量不符合要求二.两正太总体方差比的F检验设是来自正态总体的样本,是来自正态总体的样本,考虑以下检验问题建立如下统计量当时,.拒绝域为例
7.
2.6甲乙两台机床加工某种零件,零件的直径服从正态分布,总体方差反应了加工精度,为比较两台机床的加工精度有无差别,现在从各自加工的零件中分别抽取7件和8件产品,测得其直径为(机床甲)
16.
216.
415.
815.
516.
715.
615.8(机床乙)
15.
916.
016.
416.
116.
515.
815.
715.0这是一个双侧假设检验问题原假设与备择假设分别为;此处,经计算得于是查表得则拒绝域为样本没有落入拒绝域,即在显著性水平
0.05下可以认为两台机床的加工精度无显著性差异下面再用P值再作此检验由于是双侧检验,故由于P值大于给定的显著性水平,故不能拒绝原假设§
7.3其他分布的参数的假设检验 。