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向量的概念及运算【知识要点】1.向量的概念1向量:既有大小又有方向的量向量一般用表示,向量的大小即向量的模记作||向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小2零向量:长度为0的向量,记为,其方向是任意的,规定平行于任何向量.3单位向量:模为1个单位长度的向量,向量为单位向量||=14平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量5相等向量:长度相等且方向相同的向量.2.向量的运算1向量加法:设,则+==向量加法满足交换律与结合律;向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”2向量的减法:表示为从的终点指向的终点的向量(、有共同起点)3实数与向量的积:记作λ,;数乘向量满足交换律、结合律与分配律
①当>0时,的方向与的方向;
②μ=.当<0时,的方向与的方向;+μ=.当=0时,.+=.3.两个向量共线定理向量与非零向量共线有且只有一个实数,使得=
4.平面向量的基本定理:如果是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量,有且只有一对实数使其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底【典例解析】例
1.如下图,以向量为边作平行四边形OADB,C为对角线的交点,,试用a,b表示例
2.已知是两个不共线的非零向量,它们的起点相同,且三个向量的终点在一条直线上,求实数的值【巩固练习】一选择题
1.在平行四边形ABCD中,++等于()A.B.C.D.
2.设不共线,与平行,则实数的值是()A.B.C.D.不能确定
3.设为单位向量,
①若为平面内的某个向量,则=||·;
②若与a0平行,则=||·;
③若与平行且||=1,则=上述命题中,假命题个数是()A.0B.1C.2D.
34.M是△ABC的重心,则下列各向量中与共线的是()A.++B.3+C.++D.++
5.设平面向量、、的和如果向量、、,满足,且顺时针旋转后与同向,其中,则()A.-++=B.-+=C.+-=D.++=
6.过△ABC的重心任作一直线分别交AB,AC于点D、E.若,,,则的值为()(A)4(B)3(C)2(D)
17.已知向量a表示“向东航行1km”,向量b表示“向北航行km”,则向量a+b表示A.向东北方向航行2kmB.向北偏东30°方向航行2kmC.向北偏东60°方向航行2kmD.向东北方向航行()km
8.已知的三个顶点A、B、C及所在平面内的一点P,若若实数满足,则实数等于( ).A.B.C.
1.5D.
39.已知等差数列的前n项和为,若,且三点共线(该直线不过点O),则等于()A.100B.101C.200D.
20110.如图OM∥AB,点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界),且,则实数对(xy)可以是()A.B.C.D.
11..已知△ABC的三个顶点,A、B、C及平面内一点P满足,则点P与△ABC的关系是A.P在△ABC的内部B.P在△ABC的外部C.P是AB边上的一个三等分点D.P是AC边上的一个三等分点12.O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足则P的轨迹一定通过△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心
二、填空题
13.给出下列命题
①若||=||,则=;
②;
③;
④若=,=,则=;
⑤若//,//,则//;
⑥=的充要条件是||=||且//;
⑦若A,B,C,D是不共线的四点,则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;其中正确的序号是
14.设A、B、C、D、O是平面上的任意五点,试化简
①=,
②=,
③=
15.在中,为的中点,为的中点,交于点,若(),则
16.是平面内不共线两向量,已知,若三点共线,则=
17.的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,,则实数m=____
18.★已知O是△ABC内一点,+=-3,则△AOB与△AOC的面积的比值为____
三、解答题
19.如图ABCD是一个梯形M、N分别是的中点已知ab试用a、b表示和
20.设两个非零向量e
1、e2不共线.如果=e1+e22e1+8e2=3e1-e2⑴求证:A、B、D共线;⑵试确定实数k使ke1+e2和e1+ke2共线.
21.1如图已知作出+-22如图已知+作出3如图已知-
2.作出【反思总结】ABNMDC+-2。