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文本内容:
1平面向量,解三角形,三角函数
1、常规处理的问题求角;求三角形边、角取值或范围;判断三角形的形状;求三角函数表达式;求三角函数最值、单调区间;解三角不等式
2、常用到的知识点【平面向量】加、减、乘、模的运算;平行、垂直的充要条件(主要起工具作用)【解三角形】求角莫忘求“三角”;解决△数形结合正、余弦,列出等式解方程;【三角函数】诱导、化简、统
一、辅助角;单调、对称、3变换;求值用好单位圆
3、常用到的公式、结论诱导公式(法则、内容)和差角公式倍角公式=半角公式(降幂公式)辅助角公式(注意辅助角的确定)正弦定理及变换余弦定理及变换平面向量加减乘(设)===4个重要不等式例题解析
(1)例
1、在△ABC中,设A、B、C的对边分别为a、b、c,向量m=cosAsinAn=-sinAcosA若|m+n|=
2.
(1)求角A的大小;
(2)若b=4且c=a,求△ABC的面积.分析提取知识点,方法解答(写出详细)步骤例
2、在△ABC中,a,b,c分别为角A、B、C的对边,设
(1)f
(1)=0且B-C=,求角C的大小;
(2)若f
(2)=0,求角C的取值范围.分析提取知识点解答(写出详细步骤)例
1、分析从
(1)中知道是“求角”问题,分两步第一,求角A的某一三角函数值其实,就是让我们找出一个和角A有关的等式,化简有题目条件容易发现|m+n|=2正是我们要找的;第二,根据三角形内角范围定角大小(更趋向求余弦,因为余弦在)上单调具体问题还要灵活对待)
(2)问求面积,结合三角形面积公式和
(1)中条件,应积极向努力,求公式中所要求的量解答:
(1)m+n=+cosA-sinAcosA+sinA|m+n|2=+cosA-sinA2+cosA+sinA2=2+2cosA-sinA+cosA-sinA2+cosA+sinA2=2+2cosA-sinA+2=4-4sin(A-)∵|m+n|=2∴4-4sin(A-)=4∴sin(A-)=
0.又∵0<A<∴-<A-<∴A-=0∴A=.2由余弦定理,a2=b2+c2-2bccosA又b=4c=aA=∴a2=32+2a2-2×4×a·即a2-8a+32=0解得a=4,∴c=
8.∴S△ABC=b·csinA=×4×8×sin=
16.例2:、分析
(1)求角分两步第一,有f
(1)=0我们可以得到关于abc的等式,再利用正弦或余弦定理转化成角的关系,最后结合条件B-C=消去角B;第二,利用三角函数求角即可
(2)用条件f
(2)=0求角C的范围,类似于求角,只不过要做相应的调整罢了求角的三角值求角的三角范围(就是找关于该角的三角不等式,常用到基本不等式);定角大小利用单位圆解三角不等式,定角范围解答
(1)∵f
(1)=0,∴a2-a2-b2-4c2=0,∴b2=4c2,∴b=2c,∴sinB=2sinC,又B-C=.∴sinC+=2sinC,∴sinC·cos+cosC·sin=2sinC,∴sinC-cosC=0,∴sinC-=0,又∵∴-<C-<,∴C=.
(2)若f
(2)=0,则4a2-2a2-b2-4c2=0,∴a2+b2=2c2,∴cosC==又a2+b2≥2ab,∴∴cosC≥又∵C∈(0,),∴0<C≤.思路、方法、解题训练
(1)
1、在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b2+c2-a2+bc=
0.
(1)求角A的大小;
(2)若a=,求bc的最大值
2、在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知a+b=5,c=,且4sin2-cos2C=.1求角C的大小;
(2)求△ABC的面积.
3、在△ABC中,a、b、c分别是角A,B,C的对边,且=-.
(1)求角B的大小;
(2)若b=,a+c=4,求△ABC的面积.
4、在△ABC中,abc分别为角A,B,C的对边.已知a=1b=2cosC=.1求边c的值;
(2)求sinC-A的值.例题解析
(2)例
1、设a=b=4sinxcosx-sinxfx=a·b.
(1)求函数fx的解析式;
(2)已知常数>0,若y=fx在区间上是增函数,求的取值范围;
(3)设集合A=,B={x||fx-m|<2}若AB,求实数m的取值范围.分析提取知识点,方法解答(写出详细)步骤例
2、如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角,,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B的横坐标分别为,.
(1)求tan+的值;
(2)求+2的值..例
1、分析
(1)借助向量进行三角函数的化简,要做到“统一”(即角、名、幂);
(2)先求三角函数的单调区间,再结合条件“y=fx在区间上是增函数”,最后选择一个满足条件的区间和比较大小(即谁是谁子集的关系),从而利用数轴列出不等式,求出的范围;
(3)如果先解出集合B,借助关系AB,像
(2)那样求出m的范围,那么解B就会成为此问“难以或不可”逾越的障碍,于是排除这种常规思路理解题意,合理转化“AB”这一条件是解决问题的关键,是矛盾的核心部分AB对A中的任意x,都在B中,即对A中的任意x,不等式|fx-m|<2恒成立关于恒成立问题,分离参数求最值解答
(1)fx=sin2·4sinx+cosx+sinx·cosx-sinx=4sinx·+cos2x=2sinx1+sinx+1-2sin2x=2sinx+1∴fx=2sinx+
1.
(2)∵fx=2sinx+1>
0.由2k-≤x≤2k+得fx的增区间是k∈Z.∵f(x)在上是增函数,取k=0得到fx的一个增区间∴.∴-≥且≤∴∈.
(3)由|fx-m|<2得-2<fx-m<2即fx-2<m<fx+
2.∵AB,∴当≤x≤时,不等式fx-2<m<fx+2恒成立.∴∵=f=3=f=2∴m∈(1,4).例
2、分析
(1)将tan+展开后要用到,有题目知可利用三角函数的定义求出,自然可以求出;
(2)求角(分两步),注意到
(1)中已经求出tan+,,现要求+2,当然要用已知角求解答
(1)由条件得cos=cos=.∵为锐角∴sin==sin==.∵tan==7tan==tan+===-
3.2∵且∴思路、方法、解题训练
(2)
1、已知函数fx=Asinx+A>0>0||<x∈R的部分图象如图所示.
(1)求fx的表达式;
(2)设gx=fx-f求函数gx的最小值及相应的x的取值集合.
2、已知函数fx=sin(x+)+sin(x-)-2cos2x∈R其中>
0.1求函数fx的值域;2若对任意的a∈R,函数y=fxx∈aa+]的图象与直线y=-1有且仅有两个不同的交点,试确定的值(不必证明),并求函数y=fxx∈R的单调增区间.
3、已知向量a=cosxsinx|b|=1且a与b满足|ka+b|=|a-kb|k>0
(1)试用k表示a·b,并求a·b的最小值;
(2)若0≤x≤b=求a·b的最大值及相应x的值.直对高考,考验实力
1、(2008年安徽文)已知函数;
(1)求的最小正周期和图像的对称轴方程;
(2)求在上的值域
2、(2009年安徽文)在中,sinC-A=1
(1)求sinA的值;
(2)设,求的面积
3、(2010安徽文)△ABC的面积是30,内角ABC所对边长分别为a,b,c,1求;
(2)若c-b=1,求a的值.细化解题步骤,抓住得分点做到一步到位,不留遗憾!辅助角公式,一定要当心啊!步步为营,无懈可击!步步为营,你做到了吗边角互化,余弦定理,基本不等式,你观察到了吗?余弦函数的单调区间,你记牢了吗?有化简,有小结,过程较详尽为甚么k=0?其它值行吗?你能直接写出不等关系吗如果不能,千万别忘画数轴!。