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第一讲集合二.【命题走向】有关集合的高考试题,考查重点是集合与集合之间的关系,近年试题加强了对集合的计算化简的考查,并向无限集发展,考查抽象思维能力,在解决这些问题时,要注意利用几何的直观性,注意运用Venn图解题方法的训练,注意利用特殊值法解题,加强集合表示方法的转换和化简的训练考试形式多以一道选择题为主,分值5分预测2010年高考将继续体现本章知识的工具作用,多以小题形式出现,也会渗透在解答题的表达之中,相对独立具体题型估计为
(1)题型是1个选择题或1个填空题;
(2)热点是集合的基本概念、运算和工具作用三.【要点精讲】1.集合某些指定的对象集在一起成为集合
(1)集合中的对象称元素,若a是集合A的元素,记作;若b不是集合A的元素,记作;
(2)集合中的元素必须满足确定性、互异性与无序性;确定性设A是一个给定的集合,x是某一个具体对象,则或者是A的元素,或者不是A的元素,两种情况必有一种且只有一种成立;互异性一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,同一集合中不应重复出现同一元素;无序性集合中不同的元素之间没有地位差异,集合不同于元素的排列顺序无关;
(3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法;列举法把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内;描述法把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{}内具体方法在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征注意列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法
(4)常用数集及其记法非负整数集(或自然数集),记作N;正整数集,记作N*或N+;整数集,记作Z;有理数集,记作Q;实数集,记作R2.集合的包含关系
(1)集合A的任何一个元素都是集合B的元素,则称A是B的子集(或B包含A),记作AB(或);集合相等构成两个集合的元素完全一样若AB且BA,则称A等于B,记作A=B;若AB且A≠B,则称A是B的真子集,记作AB;
(2)简单性质1)AA;2)A;3)若AB,BC,则AC;4)若集合A是n个元素的集合,则集合A有2n个子集(其中2n-1个真子集);3.全集与补集
(1)包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集,记作U;
(2)若S是一个集合,AS,则,=称S中子集A的补集;
(3)简单性质1)=A;2)S=,=S4.交集与并集
(1)一般地,由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A与B的交集交集
(2)一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集注意求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集的关键是“且”与“或”,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件,结合Venn图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法5.集合的简单性质
(1)
(2)
(3)
(4);
(5)(A∩B)=(A)∪(B),(A∪B)=(A)∩(B)四.【典例解析】题型1集合的概念2009湖南卷理某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱兵乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_12__答案12解析设两者都喜欢的人数为人,则只喜爱篮球的有人,只喜爱乒乓球的有人,由此可得,解得,所以,即所求人数为12人例1.(2009广东卷理)已知全集,集合和的关系的韦恩(Venn)图如图1所示,则阴影部分所示的集合的元素共有http://www.21cnjy.com/A.3个B.2个C.1个D.无穷多个答案B解析由得,则,有2个,选B.题型2集合的性质例2.2009山东卷理集合若则的值为A.0B.1C.2D.4答案D解析∵∴∴故选D.【命题立意】:本题考查了集合的并集运算并用观察法得到相对应的元素从而求得答案本题属于容易题.随堂练习
1.广东地区2008年01月份期末试题汇编设全集U=R,A={x∈N︱1≤x≤10},B={x∈R︱x2+x-6=0},则下图中阴影表示的集合为()A.{2}B.{3}C.{-3,2}D.{-2,3}
2.已知集合A={y|y2-a2+a+1y+aa2+10}B={y|y2-6y+8≤0},若A∩B≠φ,则实数a的取值范围为().分析解决数学问题的思维过程,一般总是从正面入手,即从已知条件出发,经过一系列的推理和运算,最后得到所要求的结论,但有时会遇到从正面不易入手的情况,这时可从反面去考虑.从反面考虑问题在集合中的运用主要就是运用补集思想.本题若直接求解,情形较复杂,也不容易得到正确结果,若我们先考虑其反面,再求其补集,就比较容易得到正确的解答.解由题知可解得A={y|ya2+1或ya}B={y|2≤y≤4}我们不妨先考虑当A∩B=φ时a的范围.如图HYPERLINKhttp://www.21cnjy.com/EMBEDFlash.Movie由,得∴或.即A∩B=φ时a的范围为或.而A∩B≠φ时a的范围显然是其补集从而所求范围为.评注一般地,我们在解时,若正面情形较为复杂,我们就可以先考虑其反面,再利用其补集,求得其解,这就是“补集思想”.例4.已知全集,A={1}如果,则这样的实数是否存在?若存在,求出,若不存在,说明理由解∵;∴,即=0,解得当时,,为A中元素;当时,当时,∴这样的实数x存在,是或另法∵∴,∴=0且∴或点评该题考察了集合间的关系以及集合的性质分类讨论的过程中“当时,”不能满足集合中元素的互异性此题的关键是理解符号是两层含义变式题已知集合,求的值解由可知,
(1),或
(2)解
(1)得,解
(2)得,又因为当时,与题意不符,所以,题型3集合的运算例5.2008年河南省上蔡一中高三月考已知函数的定义域集合是A函数的定义域集合是B
(1)求集合A、B
(2)若AB=B求实数的取值范围.解
(1)A=B=
(2)由AB=B得AB,因此所以所以实数的取值范围是例6.(2009宁夏海南卷理)已知集合http://www.21cnjy.com/则A.B.C.D.答案A解析易有,选A点评该题考察了集合的交、补运算题型4图解法解集合问题例7.(2009年广西北海九中训练)已知集合M=http://www.21cnjy.com/,N=,则()A.B.C.D.答案C例8.湖南省长郡中学2008届高三第六次月考试卷数学(理)试卷设全集,函数的定义域为A,集合,若恰好有2个元素,求a的取值集合解时,∴∴,∴∴当时,HYPERLINKhttp://www.21cnjy.com/EMBEDEquation.3在此区间上恰有2个偶数例9.向50名学生调查对A、B两事件的态度,有如下结果http://www.21cnjy.com/赞成A的人数是全体的五分之三,其余的不赞成,赞成B的比赞成A的多3人,其余的不赞成;另外,对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人?解赞成A的人数为50×=30,赞成B的人数为30+3=33,如上图,记50名学生组成的集合为U,赞成事件A的学生全体为集合A;赞成事件B的学生全体为集合B设对事件A、B都赞成的学生人数为x则对A、B都不赞成的学生人数为+1赞成A而不赞成B的人数为30-x,赞成B而不赞成A的人数为33-x依题意30-x+33-x+x++1=50解得x=21所以对A、B都赞成的同学有21人,都不赞成的有8人http://www.21cnjy.com/点评在集合问题中,有一些常用的方法如数轴法取交并集,韦恩图法等,需要考生切实掌握本题主要强化学生的这种能力解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件,想到用韦恩图直观地表示出来本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂,一时理不清头绪,不好找线索画出韦恩图,形象地表示出各数量关系间的联系例11.(1999上海,17)设集合A={x||x-a|2},B={x|1},若AB,求实数a的取值范围解由|x-a|2,得a-2xa+2,所以A={x|a-2xa+2}由1,得0,即-2x3,所以B={x|-2x3}因为AB,所以,于是0≤a≤1点评这是一道研究集合的包含关系与解不等式相结合的综合性题目主要考查集合的概念及运算,解绝对值不等式、分式不等式和不等式组的基本方法在解题过程中要注意利用不等式的解集在数轴上的表示方法.体现了数形结合的思想方法例12.已知{an}是等差数列,d为公差且不为0,a1和d均为实数,它的前n项和记作Sn设集合A={an|n∈N*}B={xy|x2-y2=1xy∈R}试问下列结论是否正确,如果正确,请给予证明;如果不正确,请举例说明
(1)若以集合A中的元素作为点的坐标,则这些点都在同一条直线上;
(2)A∩B至多有一个元素;解
(1)正确;在等差数列{an}中,Sn=则a1+an这表明点an的坐标适合方程yx+a1于是点an均在直线y=x+a1上
(2)正确;设xy∈A∩B则xy中的坐标xy应是方程组的解,由方程组消去y得2a1x+a12=-4*,当a1=0时,方程*无解,此时A∩B=;当a1≠0时,方程*只有一个解x=此时,方程组也只有一解故上述方程组至多有一解∴A∩B至多有一个元素点评该题融合了集合、数列、直线方程的知识,属于知识交汇题变式题解答下述问题(Ⅰ)设集合,求实数m的取值范围.分析关键是准确理解的具体意义,首先要从数学意义上解释的意义,然后才能提出解决问题的具体方法解HYPERLINKhttp://www.21cnjy.com/EMBEDEquation.3的取值范围是UM={m|m-2}.HYPERLINKhttp://www.21cnjy.com/EMBEDEquation.3(解法三)设这是开口向上的抛物线,,则二次函数性质知命题又等价于HYPERLINKhttp://www.21cnjy.com/EMBEDEquation.3注意,在解法三中,fx的对称轴的位置起了关键作用,否则解答没有这么简单题型6课标创新题例13.七名学生排成一排,甲不站在最左端和最右端的两个位置之一,乙、丙都不能站在正中间的位置,则有多少不同的排法?解设集合A={甲站在最左端的位置},B={甲站在最右端的位置},C={乙站在正中间的位置},D={丙站在正中间的位置},则集合A、B、C、D的关系如图所示,∴不同的排法有种.点评这是一道排列应用问题,如果直接分类、分步解答需要一定的基本功,容易错,若考虑运用集合思想解答,则比较容易理解上面的例子说明了集合思想的一些应用,在今后的学习中应注意总结集合应用的经验五.【思维总结】集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言,并用集合语言表达数学问题,运用集合观点去研究和解决数学问题1.学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素,熟练运用集合的各种符号,如、、、、=、A、∪,∩等等;2.强化对集合与集合关系题目的训练,理解集合中代表元素的真正意义,注意利用几何直观性研究问题,注意运用Venn图解题方法的训练,加强两种集合表示方法转换和化简训练;解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容(即读懂问题中的集合)以及各个集合之间的关系,常常根据“Venn图”来加深对集合的理解,一个集合能化简(或求解),一般应考虑先化简(或求解);3.确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容,解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法
①区别∈与、与HYPERLINKhttp://www.21cnjy.com/EMBEDEquation.
3、a与{a}、φ与{φ}、{12}与{12};
②AB时,A有两种情况A=φ与A≠φ
③若集合A中有n个元素,则集合A的所有不同的子集个数为,所有真子集的个数是-1所有非空真子集的个数是
④区分集合中元素的形式如HYPERLINKhttp://www.21cnjy.com/EMBEDEquation.3;;HYPERLINKhttp://www.21cnjy.com/EMBEDEquation.3;;HYPERLINKhttp://www.21cnjy.com/EMBEDEquation.3;;HYPERLINKhttp://www.21cnjy.com/EMBEDEquation.3
⑤空集是指不含任何元素的集合、和的区别;0与三者间的关系空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集条件为,在讨论的时候不要遗忘了的情况
⑥符号“”是表示元素与集合之间关系的,立体几何中的体现点与直线(面)的关系;符号“”是表示集合与集合之间关系的,立体几何中的体现面与直线面的关系逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科,是人们认识和研究问题不可缺少的工具,是为了培养学生的推理技能,发展学生的思维能力w.w.w.k.s.
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