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高三期末考试数学综合模拟试题
一一、选择题本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知四边形ABCD上任意一点P在映射→作用下的象P‘构成的图形为四边形若四边形ABCD的面积等于6,则四边形的面积等于(D)A.9B.C.D.62.(理)已知复数z的模为2,则|z-i|的最大值为_______A.1B.2C.D.3【解】图解法由复数模的几何意义,画出右图,可知当圆上的点到M的距离最大时即为|z-i|最大所以选D;【另解】不等式法或代数法或三角法|z-i|≤|z|+|i|=3所以选D(文)复数是纯虚数,则=(C)A.0B.1C.2D.33.要得到函数的图象,只须将函数的图象(C)A.向左移个单位,再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变B.向右移个单位,再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变C.向左移个单位,再把所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变D.向右移个单位,再把所有点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变4.如图所示,在棱长为1的正方体的面对角线上存在一点使得取得最小值,则此最小值为AA.B.C.D.5.(理)若n–m表示[mn](mn)的区间长度,函数的值域区间长度为,则实数a值为(A)A.4B.2C.D.1(文)定义两种运算,,则函数为A.奇函数B.偶函数C.奇函数且为偶函数D.非奇函数且非偶函数6.已知a、b表示直线,α、β表示平面,则a∥的一个充分条件是(D)A.a∥,∥B.⊥,a⊥C.a∥b,b∥D.,a∥b7.函数的图像如图所示,下列数值排序正确的是()A.yB.C.D.O1234x解设x=2x=3时曲线上的点为A、B点A处的切线为AT点B处的切线为BQ,TyBA如图所示,切线BQ的倾斜角小于直线AB的倾斜角小于Q切线AT的倾斜角O1234x所以选B8.右图给出的是计算的值的一个程序框图,其中判断框内应填入的条件是A.i>10B.i10C.i>20D.i209.一个几何体的三视图如右图所示,其中正视图和侧视图是腰长为6的两个全等的等腰直角三角形,该几何体的的体积为A.54B.72C.108D.21610.设O
(00),A
(10),B
(01),点P是线段AB上的一个动点,,若,则实数的取值范围是CA.B.C.D.解题探究本题考查了平面向量的基础知识及解一元二次不等式的方法.解析设P点坐标为,由得∴即.又∴即,解得.又点P是线段AB上的一个动点,∴,∴.
11.理)已知过定点P,P到双曲线渐近线的距离为()A.4B.2C.D.解题探究通过直线过定点可以确定出定点P的坐标为(0,4),问题转化为求点到直线的距离.解析B由得由得∴过点P(0,4).由双曲线方程可知渐近线方程为则P(0,4)到渐近线的距离的.(文)已知过定点P,曲线过P点的切线方程为()A.B.C.D.解题探究通过直线过定点可以确定出定点P的坐标为(0,4),且点P不在曲线上,问题转化为求过曲线外一点的曲线的切线方程.解析B由得由得∴过点P(0,4).由得,则.又可设曲线与过P点的切线的切点为,由题意,解得.∴,所求的切线方程为,即.12.下列四个命题1掷两枚硬币,可能出现“两个正面”、“两个反面”、“一正一反”3种结果;2某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球,则每种颜色的球被摸到的可能性相同;3在等腰Rt△ABC中,过直角顶点C在内部作一条射线CM,与线段AB交于点M,则AMAC的概率为;45个人抽签,甲先抽,乙后抽,那么乙与甲抽到某号中奖签的可能性肯定不同.其中正确的命题个数是()A.0B.1C.2D.3解析1应为4种结果,还有一种是“一反一正”;2摸到红球的概率为1/2,摸到黑球的概率为1/3,摸到白球的概率为1/6;3在AB上取,连接,则,设A={在内部作一条射线CM,与线段AB交于点M,AMAC},则,;4抽签有先有后,但每人抽到某号的概率是相同的.其理由是假设5号签为中奖签,甲先抽到中奖签的概率为1/5;乙接着抽,其抽中5号签的概率为.故选B第II卷(非选择题,共90分)
二、填空题本大题有4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.13.已知函数的图象在点处的切线方程是,则314.以为渐近线的双曲线的离心率为
15.(理)展开式中常数项(不含x的项)的和为,则的最简表达式是___________.文已知数列满足,(),则的值为,的值为.【思路1】分别求出、、、,可以发现,且,故.【思路2】由,联想到两角和的正切公式,设,则有,,,,…….则,故.从以上变式3到变式5,你能受到什么启发呢?结构与两角和或差正切公式相似,这样的数列一定是周期数列.16.设M是△ABC内一点,且,∠BAC=30º,定义fM=m,n,p,其中m、n、p分别是△MBC、△MCA、△MAB的面积,若fM=,x,y,则的最小值为18.
三、解答题本大题6小题,共74分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤17.(本小题满分12分)已知函数(I)求函数的最小正周期T;(II)在给定的坐标系中,用“五点法”作出函数在一个周期上的图象.17.(本小题满分12分)解(I)……………………………………………………4分………………………………………………………………6分(II)列表x0sin()010-10描点画图18(理)、本小题12分旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路,每个旅游团任选其中一条.
(1)求3个旅游团选择3条不同的线路的概率
(2)求恰有2条线路没有被选择的概率.
(3)求选择甲线路旅游团数的期望.
18、解
(1)3个旅游团选择3条不同线路的概率为P1=…………3分
(2)恰有两条线路没有被选择的概率为P2=……6分
(3)设选择甲线路旅游团数为ξ,则ξ=0,1,2,3P(ξ=0)=P(ξ=1)=P(ξ=2)=P(ξ=3)=ξ0123P∴ξ的分布列为∴期望Eξ=0×+1×+2×+3×=………………12分(文)有同一型号的汽车100辆为了了解这种汽车每耗油1L所行路程的情况现从中随机抽出10辆在同一条件下进行耗油1L所行路程试验,得到如下样本数据(单位km)
13.
712.
714.
413.
813.
312.
513.
513.
613.
113.4
(1)根据所给分组情况,完成频率分布表;分组频数频率[
12.
4512.95[
12.
9513.45[
13.
4513.95[
13.
9514.45)合计
101.0
(2)根据上表,在给定坐标系中画出频率分布直方图,并根据样本估计总体数据落在区间[
12.
9513.95的概率为____________;
(3)根据样本,对总体进行估计
17.解析
(1)频率分布表分组频数频率[
12.
4512.
9520.2[
12.
9513.
4530.3[
13.
4513.
9540.4[
13.
9514.
4510.1合计
101.0
(2)频率分布直方图估计总体数据落在区间[
12.
9513.95)的概率为__
0.7__________;3因此,总体的期望值进行估计约为
13.4【点评】本题考查了统计初步知识,特别要注意频率分布直方图中纵坐标为频率/组距
19.本小题满分12分已知正项数列{an}满足Sn+Sn-1=ta+2n≥2,t0,a1=1,其中Sn是数列{an}的前n项和.(Ⅰ)求通项an;(Ⅱ)记数列{}的前n项和为Tn,若Tn<2对所有的n∈N*都成立.求证0<t≤1.解∵a1=1由S2+S1=ta+2,得a2=ta,∴a2=0(舍)或a2=,Sn+Sn-1=ta+2
①Sn-1+Sn-2=ta+2n≥3
②①-
②得an+an-1=t(a-a)(n≥3),(an+an-1)[1-t(an-an-1)]=0,由数列{an}为正项数列,∴an+an-1≠0,故an-an-1=(n≥3),即数列{an}从第二项开始是公差为的等差数列.∴an=eq\b\lc\{\a\al1n=1n≥2.
(2)∵T1=1<2,当n≥2时,Tn=t++++…+=t+t21-=t+t2要使Tn2对所有的n∈N*恒成立,只要Tn=t+t2<t+t2≤2成立,∴0<t≤1.命题意图:考查数列前n项和与数列通项公式的关系、等差数列、裂项求和法等20.(理)(本小题满分12分)如图,三棱锥P—ABC中,PC平面ABC,PC=AC=2,AB=BC,D是PB上一点,且CD平面PAB.I求证AB平面PCB;II求异面直线AP与BC所成角的大小;(III)求二面角C-PA-B的大小.解法一I∵PC平面ABC,平面ABC,∴PCAB.…………………………2分∵CD平面PAB,平面PAB,∴CDAB.…………………………4分又,∴AB平面PCB.…………………………5分II过点A作AF//BC,且AF=BC,连结PF,CF.则为异面直线PA与BC所成的角.………6分由(Ⅰ)可得AB⊥BC,∴CFAF.由三垂线定理,得PFAF.则AF=CF=,PF=,在中,tan∠PAF==,∴异面直线PA与BC所成的角为.…………………………………9分(III)取AP的中点E,连结CE、DE.∵PC=AC=2,∴CEPA,CE=.∵CD平面PAB,由三垂线定理的逆定理,得DEPA.∴为二面角C-PA-B的平面角.…………………………………11分由IAB平面PCB,又∵AB=BC,可求得BC=. 在中,PB=,.在中,sin∠CED=.∴二面角C-PA-B的大小为arcsin.……14分解法二(I)同解法一.II由IAB平面PCB,∵PC=AC=2,又∵AB=BC,可求得BC=.以B为原点,如图建立坐标系.则A(0,,0),B(0,0,0),C(,0,0),P(,0,2).,.…………………7分则+0+0=2.==.∴异面直线AP与BC所成的角为.………………………10分(III)设平面PAB的法向量为m=x,y,z.,,则即解得令=-1得m=,0,-1.设平面PAC的法向量为n=.,,则即解得令=1得n=1,1,0.……………………………12分=.∴二面角C-PA-B的大小为arccos.………………………………14分本小题满分12分已知ABCD是矩形,AD=4,AB=2,E、F分别是线段AB、BC的中点,PA⊥平面ABCD.Ⅰ求证PF⊥FD;Ⅱ问棱PA上是否存在点G,使EG//平面PFD,若存在,确定点G的位置,若不存在,请说明理由.(文)(Ⅰ)证明:连结AF在矩形ABCD中因为AD=4AB=2点F是BC的中点所以∠AFB=∠DFC=45°.所以∠AFD=90°即AF⊥FD.又PA⊥平面ABCD所以PA⊥FD.所以FD⊥平面PAF.故PF⊥FD.(Ⅱ)过E作EH//FD交AD于H则EH//平面PFD且AH=AD.再过H作HG//PD交PA于G则GH//平面PFD且AG=PA.所以平面EHG//平面PFD则EG//平面PFD从而点G满足AG=PA.[说明:
①用向量法求解的参照上述评分标准给分;
②第2小题也可以延长DF与AB交于R然后找EG//PR进行处理.]
21.(本小题满分12分)已知函数(Ⅰ)若F(x)在x=1处取得极小值-2,求函数F(x)的单调区间;(Ⅱ)令的解集为A,且满足A∪(0,1)=(0,+∞),求的取值范围.解(I)
①又由在x=1处取得极小值-2可知
③将
①、
②、
③式联立,解得a=3,b=0,c=-3……………………………………4分由同理,由∴F(x)的单调递减区间为[-1,1],单调递增区间为……6分(Ⅱ)由上问知又…………………………8分∴当a<0时,显然A∪(0,1)=(0,+∞)不成立,不满足题意∴a>0,且……………………10分又由A∪(0,1)=(0,+∞)知……12分……………………14分22.(本小题满分14分)已知椭圆一个顶点为A(0,1),且它的离心率与双曲线的离心率互为倒数.(I)求椭圆的方程;(Ⅱ)过A点且斜率为k的直线与椭圆相交于A、B两点,点M在椭圆上,并且满足,求k的值.22.(本小题满分14分)解(Ⅰ)∵双曲线∴椭圆的离心率为………………………………2分∵椭圆的一个顶点为A(0,1),∴b=1…………4分(Ⅱ)过A点且斜率为k的直线的方程是y=kx+1,代入到椭圆方程中,消去y并整理得…………………………………………………………6分显然这个方程有两解设即A(0,1),B……………………………………8分……………………10分将E点的坐标代入到椭圆方程中,并去分母可得展开整理得………………………………14分方法二(Ⅱ)过A点且斜率为k的直线的方程是y=kx+1,代入到椭圆方程中,消去y并整理得
①………………………………………………6分显然这个方程有两解设∵点M在C上,…………………………………………12分
②又由
①式知代入到
②式得………………………………14分第8题正视图侧视图俯视图…………9分.....
13.
45.....
14.
4512.
4512.
9513.
950.
20.
40.
60.81频率/组距路程(km).....
13.
45.....
14.
4512.
4512.
9513.
950.
20.
40.
60.81频率/组距路程(km)PABCDFEPABCDFE·HG。