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3.1从算式到方程
3.
1.1一元一次方程知识点1定义1含有未知数的等式就叫做方程.
2.一元一次方程只含有一个未知数元x,未知数x的指数都是1次,这样的方程叫做一元一次方程.例如1700+50x=1800,2(x+
1.5x)=5等都是一元一次方程.
1、如果m-1x|m|+5=0是一元一次方程,那么m=___.
2、下列各式
①3x+2y=1
②m-3=6
③x/2+2/3=
0.5
④x2+1=2
⑤z/3-6=5z
⑥3x-3/3=4
⑦5/x+2=1
⑧x+5中,一元一次方程的个数是( )A、1 B、2 C、3D、
43、若a-1x|a|+3=-6是关于x的一元一次方程,则a=__;x=___
4、下列各式中是一元一次方程的是A、B、C、D、
5、根据“x的3倍与5的和比x的多2”可列方程A、B、C、D、
6、下列方程
①②③2(x+1)+3=
④32x+5-2x-1=4x+
6.一元一次方程共有个.A.1B.2C.3D.4知识点2方程的解使方程中等号左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解.注⑴方程的解和解方程是不同的概念,方程的解实质上是求得的结果,它是一个数值或几个数值,而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程.⑵方程的解的检验方法,首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值,其次比较两边的值是否相等从而得出结论.
1、若x=1是方程k(x-2)=2的解,则k=.
2、已知3是关于x的方程mx+1=0的根,那么m=
3、一个一元一次方程的解为2,请写出这个一元一次方程.
4、若关于的一元一次方程的解是则的值是()A.B.1C.D.
05、(2009·芜湖)已知方程3x-9x+m=0的一个根是1,则m的值是解把x=1代入原方程,得3×-9×1+m=0,解得m=6答案
66、方程的解为-1时,k的值为A、10B、-4C、-6D、-
87、如果方程与方程是同解方程,则k=
8、方程的解与关于x的方程的解互为倒数,求k的值
9、已知x=-1是关于x的方程的一个解,求5的值
10、y=1是方程的解,求关于x的方程的解
11、(2004·青海)关于x的方程ax-3=0的根是2,则a=________
12、(2004·吉林)已知m是方程-x-2=0的一个根,则代数式的值等于____.
3.
1.2等式的性质 等式的性质1等式两边都加上或减去同个数或式子,结果仍相等. 等式的性质1用式子形式表示为如果a=b,那么a±c=b±c2等式的性质2等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等,等式的性质2用式子形式表示为如果a=b,那么ac=bc;如果a=bc≠0,那么=
1、列结论正确的是()A.若x+3=y-7则x+7=y-11;B.若7y-6=5-2y则7y+6=17-2y;C.若
0.25x=-4则x=-1;D.若7x=-7x则7=-
7.
2、列说法错误的是().A.若则x=y;B.若x2=y2则-4x2=-4y2;C.若-x=6则x=-;D.若6=-x则x=-
6.
3、知等式ax=ay下列变形不正确的是().A.x=yB.ax+1=ay+1C.ay=axD.3-ax=3-ay
4、列说法正确的是()A.等式两边都加上一个数或一个整式,所得结果仍是等式;B.等式两边都乘以一个数,所得结果仍是等式;C.等式两边都除以同一个数,所以结果仍是等式;D.一个等式的左、右两边分别与另一个等式的左、右两边分别相加,所得结果仍是等式;
5、等式2-=1变形,应得()A.6-x+1=3B.6-x-1=3C.2-x+1=3D.2-x-1=
33.2解一元一次方程
(一)
五、解方程的一般步骤
1.去分母方程两边同乘各分母的最小公倍数
2.去括号按去括号法则和分配律
3.移项把含有未知数的项移到方程一边,其他项都移到方程的另一边,移项要变号
4.合并把方程化成ax=ba≠0形式
5.系数化为1在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解x=.
1、要解方程
4.5x+
0.7=9x最简便的方法应该首先( )A、去括号 B、移项 C、方程两边同时乘以10 D、方程两边同时除以
4.5分析由于9是
4.5的2倍,所以选择D最简便.
2、解方程解去括号 8x-20x+6=8-4x+6移项 8x-20x+4x=8+6-6合并 -8x=8系数化为1 x=-1
3、如果那么等于()A
1814.55B
1824.55C
1774.45D
1784.45分析与解移项,得2005-
200.5+
20.05=x,解得x=
1824.
55.答案为A.
4、{[x-1-3]-3}=3解去大括号,得[x-1-3]-2=3 去中括号,得x-1-3-2=3 去小括号,得x--3-2=3 移项,得x=+3+2+3 合并,得x= 系数化为1,得x=
175、(2008·江苏)解方程解去括号,得移项、合并同类项,得-x=6,系数化为1,得x=-
66、已知关于x的方程无解,则a的值是()A.1B.-1C.±1D.不等于1的数解去分母,得2x+6a=3x-x+6,即0·x=6-6a因为原方程无解,所以有6-6a≠0,即a≠1,
7、(2003·黄州)解方程.
8、已知y=1是方程2-m-y=2y的解,求关于x的方程mx-3-2=m2x-5的解
9、解方程
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
10、方程中有未知字母,根据方程的解,求未知字母
(1)已知是方程的解,求的值.
(2)已知时,代数式的值是14,求时代数式的值.
3.4实际问题与一元一次方程
(1)用方程思想解决实际问题的一般步骤
1.审审题,分析题中已知什么,求什么,明确各数量之间的关系.
2.设设未知数可分直接设法,间接设法
3.列根据题意列方程.
4.解解出所列方程.
5.检检验所求的解是否符合题意.
6.答写出答案有单位要注明答案
(2)有关常用应用类型题及各量之间的关系
1.和、差、倍、分问题
(1)倍数关系通过关键词语“是几倍,增加几倍,增加到几倍,增加百分之几,增长率……”来体现.
(2)多少关系通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现.
2.等积变形问题“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提.常用等量关系为
①形状面积变了,周长没变;
②原料体积=成品体积.
3.调配问题这类问题要搞清人数的变化,常见题型有
(1)既有调入又有调出;
(2)只有调入没有调出,调入部分变化,其余不变;
(3)只有调出没有调入,调出部分变化,其余不变
(1)有两个工程队,甲工程队有32人,乙工程队有28人,如果是甲工程队的人数是工程队人数的2倍,需从乙工程队抽调多少人到甲工程队?
(2)某班同学利用假期参加夏令营活动,分成几个小组,若每组7人还余1人,若每组8人还缺6人,问该班分成几个小组,共有多少名同学?
4.数字问题
(1)要搞清楚数的表示方法一个三位数的百位数字为a,十位数字是b,个位数字为c(其中a、b、c均为整数,且1≤a≤9,0≤b≤9,0≤c≤9)则这个三位数表示为100a+10b+c.
(2)数字问题中一些表示两个连续整数之间的关系,较大的比较小的大1;偶数用2n表示,连续的偶数用2n+2或2n—2表示;奇数用2n+1或2n—1表示.
(1)已知三个连续偶数的和是2004,求这三个偶数各是多少?
(2)一个两位数,十位上的数字比个位上的数字小5,若此两位数的两个数字位置交换,得一新两位数,那么新两位数与原两位数大45,求新两位数与原两位数的积是多少?
5.工程问题工程问题中的三个量及其关系为工作总量=工作效率×工作时间工程问题有三个基本量工作量、工作时间、工作效率,其基本关系为工作量=工作效率×工作时间;.一般情况下把全部工作量看作1.
(1)一个水池安有甲乙丙三个水管,甲单独开12h注满水池,乙单独开8h注满丙单独开24h可排掉满池的水,如果三管同开,多少小时后刚好把水池注满水?
(2)某工程,甲单独完成续20天,乙单独完成续12天,甲乙合干6天后,再由乙继续完成,乙再做几天可以完成全部工程
6.行程问题
(1)行程问题中的三个基本量及其关系路程=速度×时间.
(2)基本类型有
①相遇问题;
②追及问题;常见的还有相背而行;行船问题;环形跑道问题.水上(空中)问题.此类问题主要涉及四个量静水船速、水速、逆水船速、顺水船速.基本关系为顺水船速=静水船速+水速;逆水船速=静水船速-水速.
(1)甲乙两个人在400米的环形跑道上同时同点出发,甲的速度是6米/秒,乙的速度是4米/秒,乙跑几圈后,甲可超过乙一圈?
(2)甲乙两站相距300km,一列慢车从甲站开往乙站,每小时行40km,一列快车从乙站开往甲站,每小时行80km,已知慢车先行
1.5h,快车
7.商品销售问题有关关系式商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折扣率—商品进价商品利润率=商品利润/商品进价商品售价=商品标价×折扣率再开出,问快车开出多少小时后与慢车相遇?
(1)某产品按原价提高40%后打八折销售,每件商品赚270元,问该商品原标价多少元?现销售价是多少?
(2)甲乙两件衣服的成本共500元,商店老板为获取利润,决定将家服装按50%的利润定价,乙服装按40%的利润定价,在实际销售时,应顾客要求,两件服装均按9折出售,这样商店共获利157元,求甲乙两件服装成本各是多少元?
8.储蓄问题⑴顾客存入银行的钱叫做本金,银行付给顾客的酬金叫利息,本金和利息合称本息和,存入银行的时间叫做期数,利息与本金的比叫做利率.利息的20%付利息税⑵利息=本金×利率×期数本息和=本金+利息利息税=利息×税率(20%)
9、增长率问题(降低率)增长率问题有三个基本量净增量、基础量、增长率,基本关系;
1、(2009·福州)某班学生为希望工程共捐款131元,比每人平均2元还多35元,设这个班的学生有x人,根据题意列方程为_________________解题思路本题的相等关系是捐款总数相等,解决此题的关键是用学生人数、平均数与余数35元表示出捐款总数(2x+35)元答案2x+35=
1312、王老师去集贸市场买鸡蛋,小贩称好以后,王老师发现所买的10斤鸡蛋好象比原来少了一些,于是王老师就把鸡蛋拾进了自己的篮子{已知篮子重一斤}里又让小贩称了一下,结果是11斤1两,于是王老师就让小贩找回自己一斤鸡蛋钱,你知道王老师是怎么知道小贩少给自己一斤鸡蛋的吗?分析解决问题的关键因素——篮子为什么不用篮子正好是10斤,而用了篮子就是11斤1两呢?这就是说小贩的称出了问题一斤的篮子被称成了一斤一两从而可设小贩称的10斤鸡蛋的实际质量是x斤,由题意分析可知x:10=1:
1.1所以x=10:11≈
9.09{斤}也就是说小贩称的10斤鸡蛋实际上约有
9.09斤,所以王老师的做法是对的例
2、某校初三年级学生参加社会实践活动,原计划租用30座客车若干辆,但还有15人无座位
(1)设原计划租用30座客车x辆,试用含x的代数式表示该校初三年级学生的总人数;
(2)现决定租用40座客车,则可比原计划租30座客车少一辆,且所租40座客车中有一辆没有坐满,只坐35人请你求出该校初三年级学生的总人数分析本题表示初三年级总人数有两种方案,用30座客车的辆数表示总人数30x+15用40座客车的辆数表示总人数40(x-2)+35解
(1)该校初三年级学生的总人数为30x+15
(2)由题意得30x+15=40(x-2)+35解得x=630x+15=30×6+15=195(人)答初三年级总共195人
3.某高校共有5个大餐厅和2个小餐厅.经过测试同时开放1个大餐厅、2个小餐厅,可供1680名学生就餐;同时开放2个大餐厅、1个小餐厅,可供2280名学生就餐.
(1)求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐;
(2)若7个餐厅同时开放,能否供全校的5300名学生就餐?请说明理由.分析可以先设1个小餐厅可供名学生就餐,这样的话,2个小餐厅就可供2y个学生就餐,因此大餐厅就可共(1680-2y)名学生就餐.然后在根据开放2个大餐厅、1个小餐厅可以就餐的人数列出方程2(1680-2y)+y=2280解
(1)设1个小餐厅可供名学生就餐,则1个大餐厅可供(1680-2y)名学生就餐,根据题意,得2(1680-2y)+y=2280解得y=360(名)所以1680-2y=960(名)答(略).
(2)因为,所以如果同时开放7个餐厅,能够供全校的5300名学生就餐.【点拨】第⑴问属于直接列方程解应用题,而第⑵问属于说理题,关键是求出这7个餐厅共能容纳多少人就餐,然后比较即可.
4、工艺商场按标价销售某种工艺品时,每件可获利45元;按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.该工艺品每件的进价、标价分别是多少元?分析根据利润=售价-进价与售价=标价×折扣率这两个等量关系以及按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等,就可以列出一元一次方程.解设该工艺品每件的进价是元标价是(45+x)元.依题意,得:8(45+x)×
0.85-8x=(45+x-35)×12-12x解得x=155(元)所以45+x=200(元) 答(略).【点拨】这是销售问题,在解答销售问题时把握下列关系即可商品售价=商品标价×折扣率商品利润=商品售价—商品进价=商品标价×折数—商品进价商品利润率=×100%
5、(2006·益阳市)八年级三班在召开期末总结表彰会前,班主任安排班长李小波去商店买奖品,下面是李小波与售货员的对话李小波阿姨,您好!售货员同学,你好,想买点什么?李小波我只有100元,请帮我安排买10支钢笔和15本笔记本.售货员好,每支钢笔比每本笔记本贵2元,退你5元,请清点好,再见.根据这段对话,你能算出钢笔和笔记本的单价各是多少吗?分析这是一道情景对话问题,具有一定的新颖性.解答这类问题的关键是要从对话中捕捉等量关系.从对话中可以知道每支钢笔比每本笔记本贵2元,同时还可以发现买10支钢笔和15本笔记本共消费(100-5)=95元.根据上述等量关系可以得到相应的方程.解设笔记本每本x元,则钢笔每支为(x+2)元,据题意得 10(x+2)+15x=100-5 解得,x=3(元)所以x+2=5(元)答(略)
6、某工厂计划26小时生产一批零件,后因每小时多生产5件,用24小时,不但完成了任务,而且还比原计划多生产了60件,问原计划生产多少零件?
7、甲、乙两种商品的单价之和为100元,因为季节变化,甲商品降价10%,乙商品提价5%,调价后,甲、乙两商品的单价之和比原计划之和提高2%,求甲、乙两种商品的原来单价?
8、甲、已两个团体共120人去某风景区旅游风景区规定超过80人的团体可购买团体票,已知每张团体比个人票优惠20%,而甲、已两团体人数均不足80人,两团体决定合起来买团体票,共优惠了480元,则团体票每张多少张?
9、(2004·陕西)足球比赛的记分规则为胜一场得3分平一场得1分,输一场得0分,一支足球队在某个赛季中共需比赛14场,现已比赛了8场,输了1场,得17分,请问
(1)前8场比赛中,这支球队共胜了多少场?
(2)这支球队打满14场比赛,最高能得多少分?
(3)通过对比赛情况的分析,这支球队打满14场比赛,得分不低于29分,就可以达到预期的目标,请你分析一下,在后面的6场比赛中,这支球队至少要胜几场,才能达到预期目标?本章综合练习
1、在梯形面积公式S=(a+b)h中,如果a=5cmb=3cmS=16cm2那么h=()A.2cmB.5cmC.4cmD.1cm
2、若关于x的方程3x-1+a=bx+1是一元一次方程,则().A.ab为任意有理数B.a≠0C.b≠0D.b≠
33、方程=4x+5的解是().A.x=-3或x=-B.x=3或x=C.x=-D.x=-
34、若关于x的方程10-与方程8-2x=3x-2的解相同,则k的值为A.0B.2C.3D.
45、当a=时,方程的解是x=
0.
6、若(1-3x)2+=0,则6+m2=.
7、a+b=0,可得a=;由a-b=0可得a=;由ab=1可得a=
8、若与互为相反数,则a等于
9、是方程的解,则
10、方程,则
11、已知方程m+1x∣m∣+3=0是关于x的一元一次方程,则m的值是
12、在等式中,已知,则
13、甲、乙两人在相距10千米的A、B两地相向而行,甲每小时走x千米,乙每小时走2x千米,两人同时出发
1.5小时后相遇,列方程可得
14、将1000元人民币存入银行2年,年利息为5﹪,到期后,扣除20﹪的利息税,可得取回本息和为元
15、某品牌的电视机降价10﹪后每台售价为2430元,则这种彩电的原价为每台元
16、解方程
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)[x--3]-2=4x
17、
18、(9分)已知,若
①,求的值;
②当取何值时,小;
③当取何值时,互为相反数?
19、(7分)某车间有技术工人85人,平均每天每人可加工甲种部件16个或乙种部件10个两个甲种部件和三个乙种部件配成一套,问加工甲乙部件各安排多少人才能使每天加工的甲、乙两种部件刚好配套?
20、(7分)某工厂计划26小时生产一批零件,后因每小时多生产5件,用24小时,不但完成了任务,而且还比原计划多生产了60件,问原计划生产多少零件?
21、(7分)甲、乙两种商品的单价之和为100元,因为季节变化,甲商品降价10%,乙商品提价5%,调价后,甲、乙两商品的单价之和比原计划之和提高2%,求甲、乙两种商品的原来单价?
22、(7分)一个两位数,十位上的数字是个位上数字的2倍,如果把个位上的数与十位上的数对调得到的数比原数小36,求原来的两位数.
23、(7分)某区中学生足球联赛共赛8轮(即每队均需赛8场),胜一场得3分,平一场得1分,负一场得0分在这次足球联赛中,小平安队踢平的场数是所负场数的2倍,共得17分,试问该队胜了几场?
24、(10分)某列车通过250米长的隧道用25秒,通过210米长的隧道用23秒
(1)求这列火车的车长和速度
(2)若该列车比另一列长150米时速为72千米的列车相遇,错车而过需要几秒钟
25、(10分)“全球通”使用者先缴50元月租费,然后每通话1分钟,再付话费
0.4元,“神州行”不缴月租费,每通话1分钟,付话费
0.6元,
(1)一个月通话多少分钟,两种移动通信费用相同?
(2)怎样选择哪种移动通信合算?。