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初三代数几何综合题复习
一、图形的构成问题(等腰三角形、直角三角形、平行四边形)1.如图,在平面直角坐标系中,直线与交于点,分别交轴于点和点,点是直线上的一个动点.
(1)求点的坐标.
(2)当为等腰三角形时,求点的坐标.
(3)在直线上是否存在点,使得以点为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,直接写出D、E的坐标;如果不存在,请说明理由.2.抛物线交x轴于点A-
10、B
(30)交y轴于点C顶点为D以BD为直径的⊙M恰好过点C.1求顶点D的坐标用的代数式表示;2求抛物线的解析式;3抛物线上是否存在点P使△PBD为直角三角形?若存在求出点P的坐标;若不存在说明理由.3.已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在x轴上,与y轴的交点为B(0,1),且b=-4ac.1求抛物线的解析式;2在抛物线上是否存在一点C,使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A?若不存在说明理由;若存在,求出点C的坐标,并求出此时圆的圆心点P的坐标;3根据2小题的结论,你发现B、P、C三点的横坐标之间、纵坐标之间分别有何关系
二、线段和的最值(三种情况)1.已知抛物线与y轴交于点A(0,3),与x轴分别交于B(1,0),C(5,0)两点
(1)求此抛物线的解析式;
(2)若点D为线段OA的一个三等分点,求直线DC的解析式;
(3)若一个动点P自OA的中点M出发,先到x轴上的某点(设为点E),再到抛物线的对称轴上的某点(设为点F),最后沿直线运动到点A求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标,并求出这个最短路径的长2.在平面直角坐标系中,矩形的顶点O在坐标原点,顶点A、B分别在轴、轴的正半轴上,,,D为边OB的中点.(Ⅰ)若为边上的一个动点,当△的周长最小时,求点的坐标;(Ⅱ)若、为边上的两个动点,且,当四边形的周长最小时,求点、的坐标.3.如图在平面直角坐标系中Rt△AOB的顶点坐标分别为A-20O00B04把△AOB绕点O按顺时针方向旋转得到△COD.
(1)求C、D两点的坐标;
(2)求经过A、B、D三点的抛物线的解析式;
(3)在
(2)中的抛物线的对称轴上取两点E、F点E在点F的上方,且EF=1使四边形ACEF的周长最小,求出E、F两点的坐标.
三、线段与图形的面积的最值(函数关系)1.如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形的两边分别在x轴和y轴的正半轴上,.动点在线段上移动(不与、重合),连结,作交边于点,连结.设的长为t.
(1)当t=1时,求直线DE的解析式;
(2)设梯形的面积为,求与t之间的函数关系式,并写出自变量t的取值范围;
(3)是否存在t的值,使得的长取得最小值?若存在,求出此时t的值并求出点的坐标;若不存在,请说明理由.2.在△ABC中,∠ACB为锐角.点D为射线BC上一动点,连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转90º得到AE,连结EC.
(1)如果AB=AC,∠BAC=90º.
①当点D在线段BC上时(与点B不重合),如图1,请你判断线段CE、BD之间的位置和数量关系(直接写出结论);
②当点D在线段BC的延长线上时,请你在图2画出图形,判断
①中的结论是否仍然成立,并证明你的判断;
(2)如图3,当点D在线段BC上运动时,DF⊥AD交线段CE于点F,且∠ACB=45º,AC=,试求线段CF长的最大值.3.如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),与y轴交于C(0,-3)点,点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)连结PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四边形POPC,那么是否存在点P,使四边形POPC为菱形?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)当点P运动到什么位置时,三角形BPC的面积最大并求出此时P点的坐标和三角形BPC的最大面积.4.如图,△OAB是边长为2的等边三角形,过点A的直线
(1)求点E的坐标;
(2)求过A、O、E三点的抛物线解析式;
(3)若点P是
(2)中求出的抛物线AE段上一动点(不与A、E重合),设四边形OAPE的面积为S,求S的最大值
四、图形变换(旋转)1.如图,四边形ABCD是正方形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,连接AM、CM.
①当M点在何处时,AM+CM的值最小;
②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由;
2.如图,在平面直角坐标系中,点的坐标为,点在轴的正半轴上,,为△的中线,过、两点的抛物线与轴相交于、两点(在的左侧).
(1)求抛物线的解析式;
(2)等边△的顶点、在线段上,求及的长;
(3)点为△内的一个动点,设,请直接写出的最小值以及取得最小值时,线段的长.3.如图1,在同一平面内将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起,A为公共顶点,∠BAC=∠AGF=90°,它们的斜边长为2,若∆ABC固定不动,∆AFG绕点A旋转,AF、AG与边BC的交点分别为D、E点D不与点B重合点E不与点C重合设BE=m,CD=n.
(1)请在图中找出两对相似而不全等的三角形,并选取其中一对进行证明.
(2)求m与n的函数关系式,直接写出自变量n的取值范围.
(3)以∆ABC的斜边BC所在的直线为x轴,BC边上的高所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系如图
2.在边BC上找一点D,使BD=CE,求出D点的坐标,并通过计算验证BD+CE=DE.
(4)在旋转过程中3中的等量关系BD+CE=DE是否始终成立若成立请证明若不成立请说明理由.4.
(1)对小杰遇到的问题,请在甲、乙两个方案中任选一个,加以证明(如图1);
(2)如果把条件中的“正方形”改为“长方形”,并设AB=2,BC=3(如图2),试探究EG、FH之间有怎样的数量关系,并证明你的结论;
(3)如果把条件中的“EG⊥FH”改为“EG与FH的夹角为45°”,并假设正方形ABCD的边长为1,FH的长为(如图3),试求EG的长度
五、动点问题(动静转换)1.如图,已知的半径为6cm,射线经过点,,射线与相切于点.两点同时从点出发,点以5cm/s的速度沿射线方向运动,点以4cm/s的速度沿射线方向运动.设运动时间为s.
(1)求的长;
(2)当为何值时,直线与相切?2.抛物线的顶点为M,与轴的交点为A、B(点B在点A的右侧),△ABM的三个内角∠M、∠A、∠B所对的边分别为m、a、b.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根.
(1)判断△ABM的形状,并说明理由.
(2)当顶点M的坐标为(-2,-1)时,求抛物线的解析式,并画出该抛物线的大致图形.
(3)若平行于轴的直线在上下平移的过程中与抛物线交于C、D两点,以CD为直径的圆恰好与轴相切,求该圆的圆心坐标.AyxDCOBxyABCDMOOxyACBPP1DP2POxyAByBODCAxEyBODCAxEADBCNMG图1FEDCBAGyx图2OFEDCBA小杰和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组,有一次,他们碰到这样一道题“已知正方形ABCD,点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上,若EG⊥FH,则EG=FH”经过思考,大家给出了以下两个方案(甲)过点A作AM∥HF交BC于点M,过点B作BN∥EG交CD于点N;(乙)过点A作AM∥HF交BC于点M,作AN∥EG交CD的延长线于点N;小杰和他的同学顺利地解决了该题后,大家琢磨着想改变问题的条件,作更多的探索……HGFEDCBA图3HGFEDCBA图2图1HGFEDCBAABQOPNM。