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文本内容:
2.
2.2向量减法运算及其几何意义整体设计教学分析向量减法运算是加法的逆运算.学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算.因此类比数的减法减去一个数等于加上这个数的相反数首先引进相反向量的概念然后引入向量的减法减去一个向量等于加上这个向量的相反向量通过向量减法的三角形法则和平行四边形法则结合一定数量的例题深刻理解向量的减法运算.通过阐述向量的减法运算可以转化为向量加法运算渗透化归的数学思想使学生理解事物之间的相互转化、相互联系的辨证思想同时由于向量的运算能反映出一些物理规律从而加强了数学学科与物理学科之间的联系提高学生的应用意识.三维目标
1.通过探究活动使学生掌握向量减法概念理解两个向量的减法就是转化为加法来进行掌握相反向量.
2.启发学生能够发现问题和提出问题善于独立思考学会分析问题和创造地解决问题.能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量.重点难点教学重点:向量的减法运算及其几何意义.教学难点:对向量减法定义的理解.课时安排1课时教学过程导入新课思路
1.问题导入上节课我们定义了向量的加法概念并给出了求作和向量的两种方法.由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算:减去一个数等于加上这个数的相反数.向量的减法是否也有类似的法则呢引导学生进一步探究由此展开新课.思路
2.直接导入数的减法运算是加法运算的逆运算.本节课我们继续学习向量加法的逆运算——减法.引导学生去探究、发现.推进新课新知探究提出问题
①向量是否有减法？
②向量进行减法运算必须先引进一个什么样的新概念？
③如何理解向量的减法？
④向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则那么向量的减法是否也有类似的法则？活动:数的减法运算是数的加法运算的逆运算数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数因此定义数的减法运算必须先引进一个相反数的概念.类似地向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算.可类比数的减法运算我们定义向量的减法运算也应引进一个新的概念这个概念又该如何定义引导学生思考相反向量有哪些性质由于方向反转两次仍回到原来的方向因此a和-a互为相反向量.于是--a=a.我们规定零向量的相反向量仍是零向量.任一向量与其相反向量的和是零向量即a+-a=-a+a=
0.所以如果a、b是互为相反的向量那么a=-bb=-aa+b=
0.1平行四边形法则图1如图1设向量=b=a则=-b由向量减法的定义知=a+-b=a-b.又b+=a所以=a-b.由此我们得到a-b的作图方法.图22三角形法则如图2已知a、b在平面内任取一点O作=a=b则=a-b即a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量这是向量减法的几何意义.讨论结果:
①向量也有减法运算.
②定义向量减法运算之前应先引进相反向量.与数x的相反数是-x类似我们规定与a长度相等方向相反的量叫做a的相反向量记作-a.
③向量减法的定义.我们定义a-b=a+-b即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.规定:零向量的相反向量是零向量.
④向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则这也正是向量的运算的几何意义所在是数形结合思想的重要体现.提出问题
①上图中如果从a的终点到b的终点作向量那么所得向量是什么
②改变上图中向量a、b的方向使a∥b怎样作出a-b呢讨论结果:
①=b-a.
②略.应用示例如图31已知向量a、b、c、d求作向量a-bc-d.图3活动:教师让学生亲自动手操作引导学生注意规范操作为以后解题打下良好基础;点拨学生根据向量减法的三角形法则需要选点平移作出两个同起点的向量.作法:如图32在平面内任取一点O作=a=b=c=d.则=a-b=c-d.变式训练2006上海高考在ABCD中下列结论中错误的是A.=B.AD+=C.-AD=BDD.AD+=0分析:A显然正确由平行四边形法则可知B正确C中-=错误D中+=+=0正确.答案:C例2如图4ABCD中=a=b你能用a、b表示向量、吗图4活动:本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量这是用向量证明几何问题的基础.要多注意这方面的训练特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系.解:由向量加法的平行四边形法则我们知道=a+b同样由向量的减法知=-=a-b.变式训练
1.2005高考模拟已知一点O到ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c则向量等于A.a+b+cB.a-b+cC.a+b-cD.a-b-c图5解析:如图5点O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c结合图形有=+=+=+-=a-b+c.答案:B
2.若=a+b=a-b.
①当a、b满足什么条件时a+b与a-b垂直？
②当a、b满足什么条件时|a+b|=|a-b|？
③当a、b满足什么条件时a+b平分a与b所夹的角？
④a+b与a-b可能是相等向量吗？图6解析:如图6用向量构建平行四边形其中向量、恰为平行四边形的对角线.由平行四边形法则得=a+b=-=a-b.由此问题就可转换为:
①当边AB、AD满足什么条件时对角线互相垂直？|a|=|b|
②当边AB、AD满足什么条件时对角线相等？a、b互相垂直
③当边AB、AD满足什么条件时对角线平分内角？a、b相等
④a+b与a-b可能是相等向量吗？不可能因为对角线方向不同点评:灵活的构想独特巧妙数形结合思想得到充分体现.由此我们可以想到在解决向量问题时可以利用向量的几何意义构造几何图形转化为平面几何问题这就是数形结合解题的威力与魅力教师引导学生注意领悟.例3判断题:1若非零向量a与b的方向相同或相反则a+b的方向必与a、b之一的方向相同.2△ABC中必有++=
0.3若++=0则A、B、C三点是一个三角形的三顶点.4|a+b|≥|a-b|.活动:根据向量的加、减法及其几何意义.解:1a与b方向相同则a+b的方向与a和b方向都相同;若a与b方向相反则有可能a与b互为相反向量此时a+b=0的方向不确定说与a、b之一方向相同不妥.2由向量加法法则+=与CA是互为相反向量所以有上述结论.3因为当A、B、C三点共线时也有++=0而此时构不成三角形.4当a与b不共线时|a+b|与|a-b|分别表示以a和b为邻边的平行四边形的两条对角线的长其大小不定.当a、b为非零向量共线时同向则有|a+b||a-b|异向则有|a+b||a-b|;当a、b中有零向量时|a+b|=|a-b|.综上所述只有2正确.例4若||=8||=5则||的取值范围是A.
[38]B.38C.
[313]D.313解析:=-.1当、同向时||=8-5=3;2当、反向时||=8+5=13;3当、不共线时3||
13.综上可知3≤||≤
13.答案:C点评:此题可直接应用重要性质||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|求解.变式训练已知a、b、c是三个非零向量且两两不共线顺次将它们的终点和始点相连接而成一三角形的充要条件为a+b+c=
0.证明:已知a≠0b≠0c≠0且abbcca1必要性:作=a=b则由假设=c另一方面a+b=+=.由于与是一对相反向量∴有+=0故有a+b+c=
0.2充分性:作=a=b则=a+b又由条件a+b+c=0∴+c=
0.等式两边同加得++c=+
0.∴c=故顺次将向量a、b、c的终点和始点相连接成一三角形.知能训练课本本节练习解答:
1.直接在课本上据原图作这里从略.
2..点评:解题中可以将减法变成加法运算如-=+=这样计算比较简便.
3.图略.课堂小结
1.先由学生回顾本节学习的数学知识:相反向量向量减法的定义向量减法的几何意义向量差的作图.
2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法类比数形结合几何作图分类讨论.作业课本习题
2.2A组
6、
7、
8.设计感想
1.向量減法的几何意义主要是结合平行四边形法则和三角形法则进行讲解的两种作图方法各有千秋.第一种作法结合向量减法的定义第二种作法结合向量的平行四边形法则直接作出从同一点出发的两个向量a、b的差即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量第二种作图方法比较简捷.
2.鉴于上述情况教学中引导学生结合向量减法的几何意义注意差向量的方向也就是箭头的方向不要搞错了a-b的箭头方向要指向a如果指向b则表示b-a在几何证明题目中特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系.。
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