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高中数学一轮复习
(十二)概率与统计
1、统计学原理
1.抽样方法1简单随机抽样抽签法、随机样数表法常常用于总体个数较少时,它的主要特征是从总体中逐个抽取.2分层抽样主要特征分层按比例抽样,主要使用于总体中有明显差异.共同点每个个体被抽到的概率都相等().
2.总体分布的估计就是用总体中样本的频率作为总体的概率.总体估计掌握一“表”频率分布表;两“图”频率分布直方图和茎叶图.⑴频率分布直方图用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图.频率分布直方图就是以图形面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.
①频率=.
②小长方形面积=组距×=频率.
③所有小长方形面积的和=各组频率和=
1.【提醒】直方图的纵轴小矩形的高一般是频率除以组距的商而不是频率,横轴一般是数据的大小,小矩形的面积表示频率.例某棉纺厂为了了解一批棉花的质量,从中随机抽取了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标),所得数据都在区间
[540]中,其频率分布直方图如图所示,则其抽样的100根中,有____根在棉花纤维的长度小于20mm.
(30)⑵茎叶图当数据是两位有效数字时,用中间的数字表示十位数,即第一个有效数字,两边的数字表示个位数,即第二个有效数字,它的中间部分像植物的茎,两边像植物茎上长出来的叶子,这种表示数据的图叫做茎叶图.
3.用样本的算术平均数作为对总体期望值的估计;样本平均数
4.用样本方差的大小估计总体数据波动性的好差方差大波动差.1一组数据
①样本方差;
②样本标准差=2两组数据与其中.则它们的方差为标准差为
③若的平均数为,方差为,则的平均数为,方差为.样本数据做如此变换,则,.例某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习,每人投10次,投中的次数如下表学生1号2号3号4号5号甲班67787乙班67679则以上两组数据的方差中较小的一个为=.
二、抽样方法与总体分布的估计1.简单随机抽样设一个总体的个数为N,如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本,且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等,就称这样的抽样为简单随机抽样.常用抽签法和随机数表法.2.系统抽样当总体中的个数较多时,可将总体分成均衡的几个部分,然后按照预先定出的规则,从每一部分抽取1个个体,得到所需要的样本,这种抽样叫做系统抽样(也称为机械抽样).3.分层抽样当已知总体由差异明显的几部分组成时,常将总体分成几部分,然后按照各部分所占的比进行抽样,这种抽样叫做分层抽样.总体分布的估计由于总体分布通常不易知道,我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布,一般地,样本容量越大,这种估计就越精确.总体分布总体取值的概率分布规律通常称为总体分布当总体中的个体取不同数值很少时,其频率分布表由所取样本的不同数值及相应的频率表示,几何表示就是相应的条形图当总体中的个体取值在某个区间上时用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布.总体密度曲线当样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,即总体密度曲线.典型例题例
1.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品,产品数量之比依次为
235.现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本,样本中A种型号产品有16件.那么此样本的容量n=.解答过程A种型号的总体是,则样本容量n=.例2.一个总体中有100个个体,随机编号0,1,2,…,99,依编号顺序平均分成10个小组,组号依次为1,2,3,…,
10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本,规定如果在第1组随机抽取的号码为,那么在第组中抽取的号码个位数字与的个位数字相同,若,则在第7组中抽取的号码是.解答过程第K组的号码为,,…,,当m=6时,第k组抽取的号的个位数字为m+k的个位数字,所以第7组中抽取的号码的个位数字为3,所以抽取号码为63.
三、基本事件之间的关系
1.概率随机事件A的概率是频率的稳定值,反之,频率是概率的近似值.
2.等可能事件的概率如果一次试验中可能出现的结果有n个,且所有结果出现的可能性都相等,那么,每一个基本事件的概率都是,如果某个事件A包含的结果有m个,那么事件A的概率.
3.
①互斥事件不可能同时发生的两个事件叫互斥事件.如果事件A、B互斥,那么事件A+B发生即A、B中有一个发生的概率,等于事件A、B分别发生的概率和,即PA+B=PA+PB,推广.
②对立事件两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件.例如从1~52张扑克牌中任取一张抽到“红桃”与抽到“黑桃”互为互斥事件,因为其中一个不可能同时发生,但又不能保证其中一个必然发生,故不是对立事件.而抽到“红色牌”与抽到黑色牌“互为对立事件,因为其中一个必发生.注意i.对立事件的概率和等于
1.ii.互为对立的两个事件一定互斥,但互斥不一定是对立事件.
③相互独立事件事件A或B是否发生对事件B或A发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件.两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积,即PA·B=PA·PB.因此,当两个事件同时发生的概率P(AB)等于这两个事件发生概率之积,这时我们也可称这两个事件为独立事件.例如从一副扑克牌(52张)中任抽一张设A“抽到老K”;B“抽到红牌”则A应与B互为独立事件[看上去A与B有关系很有可能不是独立事件,但.又事件AB表示“既抽到老K又抽到红牌”即“抽到红桃老K或方块老K”有,因此有.推广若事件相互独立,则.注意i.一般地,如果事件A与B相互独立,那么A与与B,与也都相互独立.ii.必然事件与任何事件都是相互独立的.iii.独立事件是对任意多个事件来讲,而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件,且这多个事件不能同时发生,故这些事件相互之间必然影响,因此互斥事件一定不是独立事件.
④独立重复试验若n次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果,则称这n次试验是独立的.如果在一次试验中某事件发生的概率为P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率.
四、概率的基本性质
1、基本概念
(1)事件包含并事件、交事件、相等事件
(2)若A∩B为不可能事件,即A∩B=,那么称事件A与事件B互斥;
(3)若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件;
(4)当事件A与B互斥时,满足加法公式PA∪B=PA+PB;若事件A与B为对立事件,则A∪B为必然事件,所以PA∪B=PA+PB=1,于是有PA=1—PB
2、概率的基本性质
(1)必然事件概率为1,不可能事件概率为0,因此0≤PA≤1;
(2)当事件A与B互斥时,满足加法公式PA∪B=PA+PB;
(3)若事件A与B为对立事件,则A∪B为必然事件,所以PA∪B=PA+PB=1,于是有PA=1—PB;
(4)互斥事件与对立事件的区别与联系,互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生,其具体包括三种不同的情形
(1)事件A发生且事件B不发生;
(2)事件A不发生且事件B发生;
(3)事件A与事件B同时不发生而对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生,其包括两种情形;
(1)事件A发生B不发生;
(2)事件B发生事件A不发生,对立事件互斥事件的特殊情形求随机概率的三种方法
(一)枚举法例1如图1所示,有一电路是由图示的开关控制,闭合a,b,c,d,e五个开关中的任意两个开关,使电路形成通路.则使电路形成通路的概率是.分析要计算使电路形成通路的概率,列举出闭合五个开关中的任意两个可能出现的结果总数,从中找出能使电路形成通路的结果数,根据概率的意义计算即可解闭合五个开关中的两个,可能出现的结果数有10种,分别是ab、ac、ad、ae、bc、bd、be、cd、ce、de,其中能形成通路的有6种,所以p通路==
(二)树形图法例2小刚和小明两位同学玩一种游戏.游戏规则为两人各执“象、虎、鼠”三张牌,同时各出一张牌定胜负,其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象,若两人所出牌相同,则为平局.例如,小刚出象牌,小明出虎牌,则小刚胜;又如,两人同时出象牌,则两人平局.如果用A、B、C分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌,用A
1、B
1、C1分别表示小明的象、虎、鼠三张牌,那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少?分析为了清楚地看出小亮胜小刚的概率,可用树状图列出所有可能出现的结果,并从中找出小刚胜小明可能出现的结果数解画树状图如图树状图由树状图(树形图)或列表可知,可能出现的结果有9种,而且每种结果出现的可能性相同,其中小刚胜小明的结果有3种.所以P(一次出牌小刚胜小明)=
(三)列表法例3将图中的三张扑克牌背面朝上放在桌面上,从中随机摸出两张,并用这两张扑克牌上的数字组成一个两位数.请你用画树形(状)图或列表的方法求
(1)组成的两位数是偶数的概率;
(2)组成的两位数是6的倍数的概率.分析本题可通过列表的方法,列出所有可能组成的两位数的可能情况,然后再找出组成的两位数是偶数的可能情况和组成两位数是6的倍数的可能情况解列的表格如下根据表格可得两位数有23,24,32,34,42,43.所以
(1)两位数是偶数的概率为.
(2)两位数是6的倍数的概率为.
五、古典概型
(1)古典概型的使用条件试验结果的有限性和所有结果的等可能性
(2)古典概型的解题步骤;
①求出总的基本事件数;
②求出事件A所包含的基本事件数,然后利用公式P(A)=
六、几何概型
(1)几何概率模型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型;
(2)几何概型的概率公式P(A)=;
(3)几何概型的特点1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个;2)每个基本事件出现的可能性相等.例从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数,则其中一个数是另一个的两倍的概率是____例在平面直角坐标系中,设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域,E是到原点的距离不大于1的点构成的区域,向D中随机投一点,则落入E中的概率.
七、随机变量.
1.随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件
①试验可以在相同的情形下重复进行;
②试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;
③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果它就被称为一个随机试验.
2.离散型随机变量如果对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量,a,b是常数.则也是一个随机变量.一般地,若ξ是随机变量,是连续函数或单调函数,则也是随机变量.也就是说,随机变量的某些函数也是随机变量.设离散型随机变量ξ可能取的值为ξ取每一个值的概率,则表称为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列.……P……性质
①;
②.注意若随机变量可以取某一区间内的一切值,这样的变量叫做连续型随机变量.例如即可以取0~5之间的一切数,包括整数、小数、无理数.
3.几种概率分布
(1)二项分布如果在一次试验中某事件发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是[其中]于是得到随机变量ξ的概率分布如下我们称这样的随机变量ξ服从二项分布,记作~B(n·p),其中n,p为参数,并记.二项分布的判断与应用.
①二项分布,实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复,且每次试验只有两种结果,如果不满足此两条件,随机变量就不服从二项分布.
②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小,而每次抽取时又只有两种试验结果,此时可以把它看作独立重复试验,利用二项分布求其分布列.
(2)超几何分布一批产品共有N件,其中有M(M<N)件次品,今抽取件,则其中的次品数ξ是一离散型随机变量,分布列为.〔分子是从M件次品中取k件,从N-M件正品中取n-k件的取法数,如果规定<时,则k的范围可以写为k=0,1,…,n.〕超几何分布的另一种形式一批产品由a件次品、b件正品组成,今抽取n件(1≤n≤a+b),则次品数ξ的分布列为.
(3)超几何分布与二项分布的关系.设一批产品由a件次品、b件正品组成,不放回抽取n件时,其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取,则其中次品数的分布列可如下求得把个产品编号,则抽取n次共有个可能结果,等可能含个结果,故,即~.[我们先为k个次品选定位置,共种选法;然后每个次品位置有a种选法,每个正品位置有b种选法]可以证明当产品总数很大而抽取个数不多时,,因此二项分布可作为超几何分布的近似,无放回抽样可近似看作放回抽样.
(4)正态分布.(基本不列入考试范围)
1.密度曲线与密度函数对于连续型随机变量ξ,位于x轴上方,ξ落在任一区间内的概率等于它与x轴.直线与直线所围成的曲边梯形的面积(如图阴影部分)的曲线叫ξ的密度曲线,以其作为图像的函数叫做ξ的密度函数,由于“”是必然事件,故密度曲线与x轴所夹部分面积等于
1.
2.⑴正态分布与正态曲线如果随机变量ξ的概率密度为.(为常数,且),称ξ服从参数为的正态分布,用~表示.的表达式可简记为,它的密度曲线简称为正态曲线.⑵正态分布的期望与方差若~,则ξ的期望与方差分别为.⑶正态曲线的性质.
①曲线在x轴上方,与x轴不相交.
②曲线关于直线对称.
③当时曲线处于最高点,当x向左、向右远离时,曲线不断地降低,呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.
④当<时,曲线上升;当>时,曲线下降,并且当曲线向左、向右两边无限延伸时,以x轴为渐近线,向x轴无限的靠近.
⑤当一定时,曲线的形状由确定,越大,曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散;越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中.
3.⑴标准正态分布如果随机变量ξ的概率函数为,则称ξ服从标准正态分布.即~有,求出,而P(a<≤b)的计算则是.注意当标准正态分布的的X取0时,有当的X取大于0的数时,有.比如则必然小于0,如图.⑵正态分布与标准正态分布间的关系若~则ξ的分布函数通常用表示,且有.
4.⑴“3”原则.假设检验是就正态总体而言的,进行假设检验可归结为如下三步
①提出统计假设,统计假设里的变量服从正态分布.
②确定一次试验中的取值是否落入范围.
③做出判断如果,接受统计假设.如果,由于这是小概率事件,就拒绝统计假设.⑵“3”原则的应用若随机变量ξ服从正态分布则ξ落在内的概率为
99.7%亦即落在之外的概率为
0.3%,此为小概率事件,如果此事件发生了,就说明此种产品不合格(即ξ不服从正态分布).例厂家在产品出厂前需对产品做检验厂家将一批产品发给商家时商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验以决定是否接收这批产品.(Ⅰ)若厂家库房中的每件产品合格的概率为
0.8从中任意取出4件进行检验求至少有1件是合格的概率;(Ⅱ)若厂家发给商家20件产品中其中有3件不合格按合同规定该商家从中任取2件.都进行检验只有2件都合格时才接收这批产品.否则拒收求出该商家检验出不合格产品数的分布列及期望并求出该商家拒收这批产品的概率.某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数的分布列为
123450.
40.
20.
20.
10.1商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元.表示经销一件该商品的利润.(Ⅰ)求事件“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”的概率;(Ⅱ)求的分布列及期望.
八、数学期望与方差.
1.期望的含义一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为……P……则称为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.
2.⑴随机变量的数学期望
①当时,,即常数的数学期望就是这个常数本身.
②当时,,即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和.
③当时,,即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.⑵单点分布其分布列为.⑶两点分布,其分布列为(p+q=1)ξ01Pqp⑷二项分布其分布列为~.(P为发生的概率)
3.方差、标准差的定义当已知随机变量ξ的分布列为时,则称为ξ的方差.显然,故为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动,集中与离散的程度.越小,稳定性越高,波动越小.
4.方差的性质.⑴随机变量的方差.(a、b均为常数)⑵单点分布其分布列为⑶两点分布其分布列为(p+q=1)⑷二项分布⑸几何分布
5.期望与方差的关系.⑴如果和都存在,则⑵设ξ和是互相独立的两个随机变量,则⑶期望与方差的转化⑷(因为为一常数).
9、线性回归简单的说,线性回归就是处理变量与变量之间的线性关系的一种数学方法变量和变量之间的关系大致可分为两种类型确定性的函数关系和不确定的函数关系不确定性的两个变量之间往往仍有规律可循,回归分析就是处理变量之间的相关关系的一种数量统计方法.它可以提供变量之间相关关系的经验公式.具体说来,对n个样本数据(),(),…,(),其回归直线方程,或经验公式为.其中,其中分别为||、||的平均数.高考概率与统计10大考点解析考点1考查等可能事件概率计算在一次实验中可能出现的结果有n个,而且所有结果出现的可能性都相等如果事件A包含的结果有m个,那么P(A)=这就是等可能事件的判断方法及其概率的计算公式高考常借助不同背景的材料考查等可能事件概率的计算方法以及分析和解决实际问题的能力例1从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛.I求所选3人都是男生的概率;II求所选3人中恰有1名女生的概率;III求所选3人中至少有1名女生的概率.考点2考查互斥事件至少有一个发生与相互独立事件同时发生概率计算不可能同时发生的两个事件A、B叫做互斥事件,它们至少有一个发生的事件为A+B,用概率的加法公式计算事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响,则A、B叫做相互独立事件,它们同时发生的事件为用概率的乘法公式计算高考常结合考试竞赛、上网工作等问题对这两个事件的识别及其概率的综合计算能力进行考查例
2.设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响已知在某一小时内,甲、乙都需要照顾的概率为
0.05,甲、丙都需要照顾的概率为
0.1,乙、丙都需要照顾的概率为
0.125,(Ⅰ)求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少;(Ⅱ)计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率.考点3考查对立事件概率计算必有一个发生的两个互斥事件A、B叫做互为对立事件即或用概率的减法公式计算其概率高考常结合射击、电路、交通等问题对对立事件的判断识别及其概率计算进行考查例3.甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为.(Ⅰ)甲、乙两人在罚球线各投球一次,求恰好命中一次的概率;(Ⅱ)甲、乙两人在罚球线各投球二次,求这四次投球中至少一次命中的概率.考点4考查独立重复试验概率计算若在次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖其它各次试验的结果,则此试验叫做次独立重复试验若在1次试验中事件A发生的概率为P,则在次独立惩处试验中,事件A恰好发生次的概率为高考结合实际应用问题考查次独立重复试验中某事件恰好发生次的概率的计算方法和化归转化、分类讨论等数学思想方法的应用例4.某会议室用5盏灯照明,每盏灯各使用灯泡一只,且型号相同.假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关,该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1,寿命为2年以上的概率为p
2.从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作,只更换已坏的灯泡,平时不换.(Ⅰ)在第一次灯泡更换工作中,求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率;(Ⅱ)在第二次灯泡更换工作中,对其中的某一盏灯来说,求该盏灯需要更换灯泡的概率;(Ⅲ)当p1=
0.8,p2=
0.3时,求在第二次灯泡更换工作,至少需要更换4只灯泡的概率(结果保留两个有效数字).考点5考查随机变量概率分布与期望计算解决此类问题时,首先应明确随机变量可能取哪些值,然后按照相互独立事件同时发生概率的法公式去计算这些可能取值的概率值即可等到分布列,最后根据分布列和期望、方差公式去获解以此考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念和运用概率知识解决实际问题的能力例5.某地最近出台一项机动车驾照考试规定;每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会,一旦某次考试通过,使可领取驾照,不再参加以后的考试,否则就一直考到第4次为止如果李明决定参加驾照考试,设他每次参加考试通过的概率依次为
0.6,
0.7,
0.8,
0.9,求在一年内李明参加驾照考试次数的分布列和的期望,并求李明在一年内领到驾照的概率.考点6考查随机变量概率分布列与其他知识点结合1考查随机变量概率分布列与函数结合例
6.某城市有甲、乙、丙3个旅游景点,一位客人游览这三个景点的概率分别是
0.4,
0.5,
0.6,且客人是否游览哪个景点互不影响,设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.(Ⅰ)求ξ的分布及数学期望;(Ⅱ)记“函数fx=x2-3ξx+1在区间[2,+∞上单调递增”为事件A,求事件A的概率.
2、考查随机变量概率分布列与数列结合例7甲乙两人做射击游戏,甲乙两人射击击中与否是相互独立事件,规则如下若射击一次击中,原射击者继续射击,若射击一次不中,就由对方接替射击已知甲乙两人射击一次击中的概率均为,且第一次由甲开始射击
(1)求前4次射击中,甲恰好射击3次的概率
(2)若第次由甲射击的概率为,求数列的通项公式;求,并说明极限值的实际意义
3、考查随机变量概率分布列与线形规划结合例
8.某工厂生产甲、乙两种产品,每种产品都是经过第一和第二工序加工而成,两道工序的加工结果相互独立,每道工序的加工结果均有A、B两个等级.对每种产品,两道工序的加工结果都为A级时,产品为一等品,其余均为二等品.(Ⅰ)已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示,分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙;(Ⅱ)已知一件产品的利润如表二所示,用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润,在(I)的条件下,求ξ、η的分布列及Eξ、Eη;(Ⅲ)已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示.该工厂有工人40名,可用资金60万元.设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量,在(II)的条件下,x、y为何值时,最大?最大值是多少?(解答时须给出图示)考点7考查随机变量概率分布列性质应用设离散型随机变量的分布列为它有下面性质
①②即总概率为1;
③期望方差离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.高考常结合应用问题对随机变量概率分布列及其性质的应用进行考查.例
9.设随机变量的概率分布为为常数k=12…则a=例10某同学参加科普知识竞赛需回答三个问题竞赛规则规定:每题回答正确得100分回答不正确得100分.假设这名同学每题回答正确的概率均为
0.8且各题回答正确与否相互之间没有影响.
①求这名同学回答这三个问题的总得分的概率分布和数学期望.
②求这名同学总得分不为负分即的概率.例
11.甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位t/hm2)其中产量比较稳定的小麦品种是_____.考点8样本抽样识别与计算简单随机抽样系统抽样分层抽样得共同特点是不放回抽样且各个体被抽取得概率相等均为N为总体个体数n为样本容量.系统抽样分层抽样的实质分别是等距抽样与按比例抽样只需按照定义适用范围和抽样步骤进行就可得到符合条件的样本.高考常结合应用问题考查构照抽样模型识别图形搜集数据处理材料等研究性学习的能力.例12某初级中学有学生270人,其中一年级108人,
二、三年级各81人,现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查,考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案,使用简单随机抽样和分层抽样时,将学生按
一、
二、三年级依次统一编号为1,2,…,270;使用系统抽样时,将学生统一随机编号1,2,…,270,并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况
①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250;
②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265;
③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254;
④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270;关于上述样本的下列结论中,正确的是()A.
②、
③都不能为系统抽样B.
②、
④都不能为分层抽样C.
①、
④都可能为系统抽样D.
①、
③都可能为分层抽样例
13.一工厂生产了某种产品16800件,它们来自甲.乙.丙3条生产线,为检查这批产品的质量,决定采用分层抽样的方法进行抽样,已知甲.乙.丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列,则乙生产线生产了______件产品.考点9考查直方图例
14.为了解某校高三学生的视力情况,随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况,得到频率分布直方图,如右,由于不慎将部分数据丢失,但知道前4组的频数成等比数列,后6组的频数成等差数列,设最大频率为a,视力在
4.6到
5.0之间的学生数为b,则ab的值分别为()A.02778B.02783C.
2.778D.
2.783考点10考查正态分布在某校举行的数学竞赛中,全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N(70,100)已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12名(Ⅰ)试问此次参赛的学生总数约为多少人?(Ⅱ)若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生,试问设奖的分数线约为多少分?可供查阅的(部分)标准正态分布表(x0)=Px<x0)练习题第十二章概率与统计
一、选择题
1.两个实习生每人加工一个零件.加工为一等品的概率分别为和,两个零件是否加工为一等品相互独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为()(A)BCD
2.甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,则所得的两条直线相互垂直的概率是(A)(A)(A)(A)
3.为了迎接2010年广州亚运会,某大楼安装5个彩灯,它们闪亮的顺序不固定,每个彩灯彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色,且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同.记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁,在每个闪烁中,每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮,而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒如果要实现所有不同的闪烁,那么需要的时间至少是()A、1205秒B.1200秒C.1195秒D.1190秒
4.在区间上随机取一个数的值介于0到之间的概率为()A.B.C.D.
5.在区间上随机取一个数x,的值介于0到之间的概率为()A.B.C.D.
6.考察正方体6个面的中心,甲从这6个点中任意选两个点连成直线,乙也从这6个点中任意选两个点连成直线,则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于()A.B.C.D.
7.甲、乙、丙、丁个足球队参加比赛,假设每场比赛各队取胜的概率相等,现任意将这个队分成两个组(每组两个队)进行比赛,胜者再赛,则甲、乙相遇的概率为()A.B.C.D.
8.为了庆祝六一儿童节,某食品厂制作了种不同的精美卡片,每袋食品随机装入一张卡片,集齐种卡片可获奖,现购买该种食品袋,能获奖的概率为()A.B.C.D.
9.设矩形的长为,宽为,其比满足∶=,这种矩形给人以美感,称为黄金矩形黄金矩形常应用于工艺品设计中下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本甲批次
0.
5980.
6250.
6280.
5950.639乙批次
0.
6180.
6130.
5920.
6220.620根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数,与标准值
0.618比较,正确结论是()A.甲批次的总体平均数与标准值更接近B.乙批次的总体平均数与标准值更接近C.两个批次总体平均数与标准值接近程度相同D.两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定
10.ABCD为长方形,AB=2,BC=1,O为AB的中点,在长方形ABCD内随机取一点,取到的点到O的距离大于1的概率为()A.B.C.D.
11.若事件与相互独立,且,则的值等于()A.B.C.D.
二、填空题
1.从一副混合后的扑克牌(52张)中随机抽取2张,则“抽出的2张均为红桃”的概率为(结果用最简分数表示)
2.在区间[-12]上随即取一个数x,则x∈
[01]的概率为
3.三张卡片上分别写上字母E、E、B,将三张卡片随机地排成一行,恰好排成英文单词BEE的概率为
4.加工某一零件需经过三道工序,设第
一、
二、三道工序的次品率分别为、、,且各道工序互不影响,则加工出来的零件的次品率为____________.
5.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同,且在两次罚球中至多命中一次的概率为,则该队员每次罚球的命中率为____________.
6.在区间上随机取一个数x,则的概率为
7.已知一种材料的最佳入量在110g到210g之间若用
0.618法安排实验,则第一次试点的加入量可以是g
8.甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以和表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以表示由乙罐取出的球是红球的事件,则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)
9.盒子中有大小相同的3只白球,1只黑球,若从中随机地摸出两只球,两只球颜色不同的概率是
10.已知离散型随机变量的分布列如右表.若,,则,.
11.若随机变量,则=________.
12.从长度分别为
2、
3、
4、5的四条线段中任意取出三条,则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________
13.现有5根竹竿,它们的长度(单位m)分别为
2.5,
2.6,
2.7,
2.8,
2.9,若从中一次随机抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差
0.3m的概率为.
14.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习,每人投10次,投中的次数如下表学生1号2号3号4号5号甲班67787乙班6[来源:Zxxk.Com]7679则以上两组数据的方差中较小的一个为=.
15.甲、乙、丙三人将参加某项测试,他们能达标的概率分别是
0.
8、
0.
6、
0.5,则三人都达标的概率是,三人中至少有一人达标的概率是
16.点A为周长等于3的圆周上的一个定点,若在该圆周上随机取一点B,则劣弧AB的长度小于1的概率为17.从一堆苹果中任取5只,称得它们的质量如下(单位克)125124121123127则该样本标准差(克)(用数字作答).
三、解答题
1.如图,一个小球从M处投入,通过管道自上而下落A或B或C已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的.某商家按上述投球方式进行促销活动,若投入的小球落到A,B,C,则分别设为l,2,3等奖.(I)已知获得l,2,3等奖的折扣率分别为50%,70%,90%.记随变量为获得kk=123等奖的折扣率,求随机变量的分布列及期望;II若有3人次投入l球为l人次参加促销活动,记随机变量为获得1等奖或2等奖的人次,求.
2.如图,由M到N的电路中有4个元件,分别标为T1,T2,T3,T4,电流能通过T1,T2,T3的概率都是p,电流能通过T4的概率是
0.9.电流能否通过各元件相互独立.已知T1,T2,T3中至少有一个能通过电流的概率为
0.999.(Ⅰ)求p;(Ⅱ)求电流能在M与N之间通过的概率;(Ⅲ)表示T1,T2,T3,T4中能通过电流的元件个数,求的期望.
3.某迷宫有三个通道,进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门首次到达此门,系统会随机(即等可能)为你打开一个通道,若是1号通道,则需要1小时走出迷宫;若是2号、3号通道,则分别需要2小时、3小时返回智能门再次到达智能门时,系统会随机打开一个你未到过的通道,直至走完迷宫为止令表示走出迷宫所需的时间
(1)求的分布列;
(2)求的数学期望
4.在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中,每个单位的节目集中安排在一起.若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为12,……,6),求(Ⅰ)甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率;(Ⅱ)甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率.
5.某同学参加3门课程的考试假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为,第
二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为,>,且不同课程是否取得优秀成绩相互独立记ξ为该生取得优秀成绩的课程数,其分布列为ξ0123Ⅰ求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率;Ⅱ求,的值;Ⅲ求数学期望ξ
6.某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样,购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖,中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料(Ⅰ)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率;(Ⅱ)求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ.
7.某射手每次射击击中目标的概率是,且各次射击的结果互不影响(Ⅰ)假设这名射手射击5次,求恰有2次击中目标的概率(Ⅱ)假设这名射手射击5次,求有3次连续击中目标另外2次未击中目标的概率;(Ⅲ)假设这名射手射击3次,每次射击,击中目标得1分,未击中目标得0分,在3次射击中,若有2次连续击中,而另外1次未击中,则额外加1分;若3次全击中,则额外加3分,记为射手射击3次后的总的分数,求的分布列
8.设平顶向量=(m1)=2n,其中m,n{1234}.(I)请列出有序数组(m,n)的所有可能结果;(II)记“使得(-)成立的(m,n)”为事件A,求事件A发生的概率[来源:学科网ZXXK]
9.投到某杂志的稿件,先由两位初审专家进行评审.若能通过两位初审专家的评审,则予以录用;若两位初审专家都未予通过,则不予录用;若恰能通过一位初审专家的评审,则再由第三位专家进行复审,若能通过复审专家的评审,则予以录用,否则不予录用.设稿件能通过各初审专家评审的概率均为
0.5,复审的稿件能通过评审的概率为
0.3.各专家独立评审.I求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率;II记表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数,求的分布列及期望.
10.某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样,购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖,中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料(Ⅰ)求三位同学都没有中奖的概率;(Ⅱ)求三位同学中至少有两位没有中奖的概率.《概率与统计》练习题参考答案
一、选择题
1.B【解析】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A,则PA=PA1+PA2=
2.C【解析】正方形四个顶点可以确定6条直线,甲乙各自任选一条共有36个基本事件两条直线相互垂直的情况有5种(4组邻边和对角线)包括10个基本事件,所以概率等于.
3.C【解析】每次闪烁时间5秒,共5×120=600s,每两次闪烁之间的间隔为5s,共5×(120-1)=595s.总共就有600+595=1195s.
4.A【解析】在区间[-1,1]上随机取一个数x即时要使的值介于0到之间需使或∴或,区间长度为,由几何概型知的值介于0到之间的概率为.故选A.
5.A【解析】在区间上随机取一个数x即时要使的值介于0到之间需使或,区间长度为,由几何概型知的值介于0到之间的概率为.
6.D【解析】如图,甲从这6个点中任意选两个点连成直线,乙也从这6个点中任意选两个点连成直线,共有种不同取法,其中所得的两条直线相互平行但不重合有共12对,所以所求概率为,选D
7、【解析】所有可能的比赛分组情况共有种,甲乙相遇的分组情况恰好有6种,故选.
8.【解析】故选D
9.【解析】甲批次的平均数为
0.617,乙批次的平均数为
0.613答案A
10.【解析】长方形面积为2以O为圆心1为半径作圆在矩形内部的部分半圆面积为,因此取到的点到O的距离小于1的概率为÷2=取到的点到O的距离大于1的概率为答案B
11.【解析】==答案B
二、填空题
1.解析考查等可能事件概率“抽出的2张均为红桃”的概率为
2.
3.解析题中三张卡片随机地排成一行,共有三种情况,概率为
4.解析加工出来的零件的次品的对立事件为零件是正品,由对立事件公式得加工出来的零件的次品率
5.解析由得
8.
①;
②;
③事件与事件相互独立;
④是两两互斥的事件;
⑤的值不能确定,因为它与中哪一个发生有关【答案】
②④【解析】易见是两两互斥的事件,而
9.【解析】考查古典概型知识
11.答案
12.【解析】依据四条边长可得满足条件的三角形有三种情况:
2、
3、4或
3、
4、5或
2、
4、5,故=
0.
75.答案
0.
7513.【解析】从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10,它们的长度恰好相差
0.3m的事件数为2,分别是
2.5和
2.8,
2.6和
2.9,所求概率为
0.2答案
0.
214.【解析】甲班的方差较小,数据的平均值为7,故方差
15.【解析】三人均达标为
0.8×
0.6×
0.5=
0.24三人中至少有一人达标为1-
0.24=
0.76答案
0.
240.
7616.【解析】如图可设则根据几何概率可知其整体事件是其周长,则其概率是答案17.【解析】因为样本平均数,则样本方差所以答案2
三、解答题
1.Ⅰ解由题意得ξ的分布列为ξ50%70%90%p则Εξ=×50%+×70%+90%=.(Ⅱ)解由Ⅰ可知,获得1等奖或2等奖的概率为+=.由题意得η~(3,)则P(η=2)=21-=.
2.【参考答案】
3.
(1)必须要走到1号门才能走出,可能的取值为1,3,4,6,,,1346分布列为
(2)小时
5.解事件表示“该生第门课程取得优秀成绩”,=123,由题意知,,(I)由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“”是对立的,所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是,(II)由题意知整理得,由,可得,.(III)由题意知===
6.解
(1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C,那么PA=PB=PC=P=PAPP=答甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为
(2)ξ的可能值为0123Pξ=k=k=0123所以中奖人数ξ的分布列为ξ0123PEξ=0×+1×+2×+3×=………………………………………………12分
7.
(1)解设为射手在5次射击中击中目标的次数,则~.在5次射击中,恰有2次击中目标的概率(Ⅱ)解设“第次射击击中目标”为事件;“射手在5次射击中,有3次连续击中目标,另外2次未击中目标”为事件则==(Ⅲ)解由题意可知,的所有可能取值为=所以的分布列是
8.
9.
10.
0.
30.
14.
34.
44.
54.
64.
74.
84.
95.
05.
15.2视力ABCDEF。