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第二章圆锥曲线与方程单元综合测试时间120分钟 分值150分第Ⅰ卷选择题,共60分题号123456789101112答案
一、选择题每小题5分,共60分 1.椭圆x2+4y2=1的离心率为 A.B.C.D.解析∵a=1,b=,∴c==,∴e==,故选A.答案A2.2010·新课标全国卷已知双曲线E的中心为原点,F30是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N-12,-15,则E的方程为 A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1解析∵F30,AB的中点N-12,-15,∴kAB==
1.又∵F30,可设双曲线的方程为-=1,易知a2+b2=9
①再设Ax1,y1,Bx2,y2,则有-=1
②-=1
③由
②-
③可得=,即=∴=·=kAB=
1.又∵=-12,=-15,∴×=1,∴=
④由
①和
④可知b2=5,a2=4,∴双曲线的方程为-=1,故选择B.答案B3.双曲线+=1的离心率e∈12,则k的取值范围是 A.-∞,0B.-120C.-30D.-60,-12解析∵a2=4,b2=-k,∴c2=4-k.∵e∈12,∴=∈14,k∈-120.答案B4.若点P到直线x=-1的距离比它到点20的距离小1,则点P的轨迹为 A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线解析设M20,由题设可知,把直线x=-1向左平移一个单位即为直线x=-2,则点P到直线x=-2的距离等于|PM|,所以动点P的轨迹为抛物线,故选D.答案D5.已知两定点F1-10,F210,且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则动点P的轨迹是 A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.线段解析依题意知|PF1|+|PF2|=|F1F2|=2,作图可知点P的轨迹为线段,故选D.答案D6.2011·课标全国高考设直线l过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|为C的实轴长的2倍,则C的离心率为 A.B.C.2D.3解析不妨设双曲线C为-=1a0,b0,并设l过F2c0且垂直于x轴,则易求得|AB|=,∴=2×2a,b2=2a2,∴离心率e===,故选B.答案B7.过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线 A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.有无穷多条D.不存在解析由定义|AB|=5+2=7,∵|AB|min=4,∴这样的直线有且仅有两条.答案B8.已知42是直线l被椭圆+=1所截得的线段的中点,则l的方程是 A.x-2y=0B.x+2y-4=0C.2x+3y+4=0D.x+2y-8=0解析设l与椭圆的两交点分别为x1,y
1、x2,y2,则得=-,所以=-.故方程为y-2=-x-4,即x+2y-8=
0.答案D9.过椭圆+=1的右焦点作x轴的垂线交椭圆于A、B两点,已知双曲线的焦点在x轴上,对称中心在坐标原点且两条渐近线分别过A、B两点,则双曲线的离心率e为 A.B.C.D.解析A,1,B,-1,设双曲线为-=1a0,b0,渐近线方程为y=±x,因为A、B在渐近线上,所以1=·,=,e====.答案C10.双曲线-=1mn≠0有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,则m+n的值为 A.3B.2C.1D.以上都不对解析抛物线y2=4x的焦点为F10,故双曲线-=1中m0,n0,且m+n=c2=
1.答案C11.设F1,F2是双曲线-=1a0,b0的左、右焦点,点P在双曲线上,若·=0,且||·||=2acc=,则双曲线的离心率为 A.B.C.2D.解析由·=0可知△PF1F2为直角三角形,则由勾股定理,得||2+||2=4c2,
①由双曲线的定义,得||-||2=4a2,
②又||·||=2ac,
③由
①②③得c2-ac-a2=0,即e2-e-1=0,解得e=或e=舍去.答案A12.已知F1,F2分别为双曲线-=1a0,b0的左、右焦点,P为双曲线右支上的任意一点,若的最小值为8a,则双曲线的离心率e的取值范围是 A.1,+∞B.12]C.1,]D.13]解析==+|PF2|+4a≥4a+4a=8a,当且仅当=|PF2|,即|PF2|=2a时取等号.这时|PF1|=4a.由|PF1|+|PF2|≥|F1F2|,得6a≥2c,即e=≤3,得e∈13],故选D.答案D第Ⅱ卷非选择题,共90分
二、填空题每小题5分,共20分13.若双曲线的渐近线方程为y=±x,它的一个焦点是,0,则双曲线的标准方程是________.解析由双曲线的渐近线方程为y=±x,知=,它的一个焦点是,0,知a2+b2=10,因此a=3,b=1,故双曲线的方程是-y2=
1.答案-y2=114.椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则|PF2|=__________,∠F1PF2的大小为________.解析由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a=2×3=6,因为|PF1|=4,所以|PF2|=
2.在△PF1F2中,cos∠F1PF2==-.∴∠F1PF2=120°.答案2 120°15.已知F
1、F2是椭圆+=1的左、右焦点,点P是椭圆上任意一点,从F1引∠F1PF2的外角平分线的垂线,交F2P的延长线于M,则点M的轨迹方程是________.解析由题意知|MP|=|F1P|,∴|PF1|+|PF2|=|MF2|=2a.∴点M到点F2的距离为定值2a.∴点M的轨迹是以点F2为圆心,以2a为半径的圆,其方程为x-2+y2=4a
2.答案x-2+y2=4a216.2011·浙江高考设F1,F2分别为椭圆+y2=1的左,右焦点,点A,B在椭圆上,若=5,则点A的坐标是________.解析设Ax1,y1,Bx2,y2,由F1-,0,F2,0且=5得x2=x1+6,y2=y
1.又A、B两点在椭圆上,故有消去y1得=24,有x1=0,从而y1=±1,故点A的坐标为01和0,-1.答案0,±1
三、解答题写出必要的计算步骤,只写最后结果不得分,共70分17.10分求与椭圆+=1有公共焦点,并且离心率为的双曲线方程.解由椭圆方程+=1,知长半轴a1=3,短半轴b1=2,焦距的一半c1==,∴焦点是F1-,0,F2,0,因此双曲线的焦点也是F1-,0,F2,0,设双曲线方程为-=1a0,b0,由题设条件及双曲线的性质,得解得故所求双曲线的方程为-y2=
1.18.10分2010·天津高考已知椭圆+=1ab0的离心率e=,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为
4.1求椭圆的方程;2设直线l与椭圆相交于不同的两点A,B.已知点A的坐标为-a0,点Q0,y0在线段AB的垂直平分线上,且·=4,求y0的值.解1由e==,得3a2=4c
2.再由c2=a2-b2,得a=2b.由题意可知×2a×2b=4,即ab=
2.解方程组得a=2,b=
1.所以椭圆的方程为+y2=
1.2由1可知A-20.设B点的坐标为x1,y1,直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=kx+2.于是A,B两点的坐标满足方程组由方程组消去y并整理,得1+4k2x2+16k2x+16k2-4=
0.由-2x1=,得x1=.从而y1=.设线段AB的中点为M,则M的坐标为-,.以下分两种情况
①当k=0时,点B的坐标为20,线段AB的垂直平分线为y轴,于是=-2,-y0,=2,-y0.由·=4,得y0=±
2.
②当k≠0时,线段AB的垂直平分线方程为y-=-x+.令x=0,解得y0=-.由=-2,-y0,=x1,y1-y0.·=-2x1-y0y1-y0=++==4,整理得7k2=2,故k=±.所以y0=±.综上,y0=±2或y0=±.19.12分已知过抛物线y2=2pxp0的焦点F的直线交抛物线于Ax1,y1,Bx2,y2两点.求证1x1x2为定值;2+为定值.证明1抛物线y2=2px的焦点为F,设直线AB的方程为y=kk≠0.由消去y,得k2x2-pk2+2x+=
0.由根与系数的关系,得x1x2=定值.当AB⊥x轴时,x1=x2=,x1x2=,也成立.2由抛物线的定义,知|FA|=x1+,|FB|=x2+.+=+====定值.当AB⊥x轴时,|FA|=|FB|=p,上式仍成立.20.12分已知A,
0、B-,0两点,动点P在y轴上的射影为Q,·=
22.1求动点P的轨迹E的方程;2设直线m过点A,斜率为k,当0k1时,曲线E的上支上有且仅有一点C到直线m的距离为,试求k的值及此时点C的坐标.解1设动点P的坐标为x,y,则点Q0,y,=-x0,=-x,-y,=--x,-y,·=x2-2+y
2.∵·=22,∴x2-2+y2=2x2,即动点P的轨迹方程为y2-x2=
2.2设直线m y=kx-0k1,依题意,点C在与直线m平行且与m之间的距离为的直线上,设此直线为m1y=kx+b.由=,即b2+2kb=
2.
①把y=kx+b代入y2-x2=2,整理,得k2-1x2+2kbx+b2-2=0,则Δ=4k2b2-4k2-1b2-2=0,即b2+2k2=
2.
②由
①②,得k=,b=.此时,由方程组解得即C2,.21.14分2010·江西高考图2设椭圆C1+=1ab0,抛物线C2x2+by=b
2.1若C2经过C1的两个焦点,求C1的离心率;2设A0,b,Q3,b,又M,N为C1与C2不在y轴上的两个交点,若△AMN的垂心为B0,b,且△QMN的重心在C2上,求椭圆C1和抛物线C2的方程.解1因为抛物线C2经过椭圆C1的两个焦点F1-c0,F2c0,可得c2=b
2.由a2=b2+c2=2c2,有=,所以椭圆C1的离心率e=.2由题设可知M,N关于y轴对称,设M-x1,y1,Nx1,y1,x10,则由△AMN的垂心为B,有·=0,所以-x+y1-by1-b=0
①由于点Nx1,y1在C2上,故有x+by1=b2
②由
①②得y1=-,或y1=b舍去,所以x1=b,故M-b,-,Nb,-,所以△QMN的重心为,,由重心在C2上得3+=b2,所以b=2,M-,-,N,-,又因为M,N在C1上,所以+=1,得a2=.所以椭圆C1的方程为+=1,抛物线C2的方程为x2+2y=
4.22.12分2011·江西高考Px0,y0x0≠±a是双曲线E-=1a0,b0上一点,M,N分别是双曲线E的左、右顶点,直线PM,PN的斜率之积为.1求双曲线的离心率;2过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线交于A,B两点,O为坐标原点,C为双曲线上一点,满足=λ+,求λ的值.解1点Px0,y0x0≠±a在双曲线-=1上,有-=
1.由题意又有·=,可得a2=5b2,c2=a2+b2=6b2,则e==.2联立得4x2-10cx+35b2=0,设Ax1,y1,Bx2,y2,则
①设=x3,y3,=λ+,即又C为双曲线上一点,即x-5y=5b2,有λx1+x22-5λy1+y22=5b2,化简得λ2x-5y+x-5y+2λ·x1x2-5y1y2=5b
2.
②又Ax1,y1,Bx2,y2在双曲线上,所以x-5y=5b2,x-5y=5b
2.由
①式又有x1x2-5y1y2=x1x2-5x1-c·x2-c=-4x1x2+5cx1+x2-5c2=10b2,得λ2+4λ=0,解出λ=0或λ=-
4.。