还剩5页未读,继续阅读
文本内容:
数学基础知识与典型例题(第十章排列、组合、概率与统计)排列与组合1.分类计数原理:完成一件事,有n类办法,在第1类办法中有种不同的方法,在第2类办法中有种不同的方法,……,在第n类办法中有种不同的方法,那么完成这件事共有N=n1+n2+n3+…+nM种不同的方法.
2.分步计数原理:完成一件事需要分成n个步骤做第一步有种不同的方法做第二步有种不同的方法……做第n步有种不同的方法,那么完成这件事共有N=n1·n2·n3·…nM种不同的方法.注分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心,既可用来推导排列数、组合数公式,也可用来直接解题它们的共同点都是把一个事件分成若干个分事件来进行计算只不过利用分类计算原理时,每一种方法都独立完成事件;如需连续若干步才能完成的则是分步利用分类计数原理,重在分“类”,类与类之间具有独立性和并列性;利用分步计数原理,重在分步;步与步之间具有相依性和连续性.比较复杂的问题,常先分类再分步
3.⑴排列的定义从n个不同的元素中任取mm≤n个元素,按照一定顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.⑵排列数的定义:从n个不同元素中取出mm≤n个元素排成一列,称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数,用符号表示.其中n,m∈,并且m≤n.⑶排列数公式:当m=n时,排列称为全排列,排列数为=记为n!且规定O!=
1.注;
4.⑴组合的定义:从n个不同的元素中任取mm≤n个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.⑵组合数的定义:从n个不同的元素中取出mm≤n个元素的所有组合数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号表示.⑶组合数公式:.规定,其中m,n∈N+,m≤n.注:排列是“排成一排”,组合是“并成一组”前者有序而后者无序.排列与组合⑷组合数的两个性质:
①从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素,因此从n个不同元素中取出n-m个元素的方法是一一对应的,因此是一样多的.
②根据组合定义与加法原理得;在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时,对于某一元素,只存在取与不取两种可能,如果取这一元素,则需从剩下的n个元素中再取m-1个元素,所以有C,如果不取这一元素,则需从剩余n个元素中取出m个元素,所以共有C种,依分类原理有.5.解排列、组合题的基本策略与方法Ⅰ排列、组合问题几大解题方法
①直接法;
②排除法;
③捆绑法在特定要求的条件下,将几个相关元素当作一个元素来考虑,待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”;
④插空法先把一般元素排列好,然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中,此法主要解决“元素不相邻问题”.
⑤占位法从元素的特殊性上讲,对问题中的特殊元素应优先排列,然后再排其他一般元素;从位置的特殊性上讲,对问题中的特殊位置应优先考虑,然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.
⑥调序法当某些元素次序一定时,可用此法.解题方法是先将n个元素进行全排列有种,个元素的全排列有种,由于要求m个元素次序一定,因此只能取其中的某一种排法,可以利用除法起到去调序的作用,即若n个元素排成一列,其中m个元素次序一定,共有种排列方法.Ⅱ排列组合常见解题策略
①特殊元素优先安排策略;
②合理分类与准确分步策略;
③排列、组合混合问题先选后排的策略(处理排列组合综合性问题一般是先选元素,后排列);
④正难则反,等价转化策略;
⑤相邻问题插空处理策略;
⑥不相邻问题插空处理策略;
⑦定序问题除法处理策略;
⑧分排问题直排处理的策略;
⑨“小集团”排列问题中先整体后局部的策略;⑩构造模型的策略.
6.二项式定理:⑴对于,这个公式所表示的定理叫做二项式定理,右边的多项式叫做的展开式.注:展开式具有以下特点项数共有项;系数依次为组合数且每一项的次数是一样的,即为n次,展开式依a的降幂排列,b的升幂排列展开.⑵二项展开式的通项的展开式第r+1为.⑶二项式系数的性质.
①二项展开式中的叫做二项式系数
②在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等;即排列与组合
③二项展开式的中间项二项式系数最大且当时,二项系数是逐渐增大,当时,二项式系数是逐渐减小的.Ⅰ当n是偶数时中间项是第项它的二项式系数最大;Ⅱ当n是奇数时中间项为两项即第项和第项它们的二项式系数最大.
④系数和所有二项式系数的和;奇数项二项式系数的和=偶数项而是系数的和:.
⑤⑷如何来求展开式中含的系数呢?其中且把视为二项式,先找出含有的项,另一方面在中含有的项为,故在中含的项为.其系数为.⑸二项式定理的应用解决有关近似计算、整除问题,运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式排列与组合例
1.3个班分别从5个景点中选择1处游览,不同的选法种数是A5B3CADC例
2.5本不同的课外读物分给5位同学每人一本则不同的分配方法有A20种B60种C120种D100种例
3.6个人排成一排,甲、乙、丙必须站在一起的排列种数为.ABCD例
4.如果集合A={x│≤21},则组成集合A的元素个数有.A1个B3个C6个D7个例
5.如果的展开式中各项系数之和为128则展开式中的系数是A7BC21D例
6.设1+x+1+x+…+1+x=a+ax+ax+…+ax则a=ACBCC2CDC例
7.在的展开式中,的系数是A-297B-252C297D207例
8.对于小于55的自然数,积55-n56-n……68-n69-n等于AABACADA例
9.若1-2x9=a0+a1x+a2x2+…+a8x8+a9x9,则a1+a2+…+a8的值为_______.排列与组合例
10.一个同心圆形花坛,分为两部分,中间小圆部分种植草坪和绿色灌木,周围的圆环分为nn≥3,n∈N等份,种植红、黄、蓝三色不同的花,要求相邻两部分种植不同颜色的花.⑴如图1,圆环分成的3等份为a1,a2,a3,有多少不同的种植方法?如图2,圆环分成的4等份为a1,a2,a3,a4,有多少不同的种植方法?⑵如图3,圆环分成的n等份为a1,a2,a3,……,an,有多少不同的种植方法?概率
1.随机事件及其概率:⑴必然事件:在一定的条件下必然要发生的事件叫做必然事件.⑵不可能事件:在一定的条件下不可能发生的事件叫做不可能事件.⑶随机事件:在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件.⑷随机事件的概率:一般地在大量重复进行同一试验时事件A发生的频率总是接近于某个常数在它附近摆动这时就把这个常数叫做事件的概率记作.⑸概率从数量上反映了一个事件的可能性的大小它的取值范围是必然事件的概率是1不可能事件的概率是
0.
2.等可能事件的概率:⑴基本事件:一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件.⑵等可能事件的概率:如果一次试验由个基本事件组成而且所有结果出现的可能性都相等那么每一个基本事件的概率都是如果某个事件包含的结果有个那么事件的概率为.
3.⑴互斥事件不可能同时发生的两个事件叫互斥事件.如果事件A、B互斥,那么事件A+B发生即A、B中有一个发生的概率,等于事件A、B分别发生的概率和,即PA+B=PA+PB,推广.⑵对立事件两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件.
①对立事件的概率和等于
1.
②互为对立的两个事件一定互斥,但互斥不一定是对立事件.从集合的角度看,由事件A的对立事件所含的结果组成的集合,是全集I中由事件A所含的结果组成的集合的补集.概率
4.相互独立事件事件A或B是否发生对事件B或A发生的概率没有影响这样的两个事件叫做相互独立事件.注:独立事件是对任意多个事件来讲,而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件,且这多个事件不能同时发生,故这些事件相互之间必然影响,因此互斥事件一定不是独立事件.⑴两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积,即PA·B=PA·PB.证明设甲试验共有N1种等可能的不同结果,其中属于A发生的结果有m1种,乙试验共有N2种等可能的不同结果,其中属于B发生的结果有m2种,由于事件A与B相互独立,N1,m1与N2,m2之间是相互没有影响的,那么,甲、乙两试验的结果搭配在一起,总共有N1·N2种不同的搭配,显然这些搭配都是具有等可能性的.另外,考察属于事件AB的试验结果,显然,凡属于A的任何一种试验的结果同属于B的任何一种乙试验的结果的搭配,都表示A与B同时发生,即属于事件AB,这种结果总共有m1·m2种.因此得PAB==·∴PAB=PAPB注:当两个事件同时发生的概率P(AB)等于这两个事件发生概率之和,这时我们也可称这两个事件为独立事件.⑵推广:如果事件相互独立那么⑶独立重复试验若n次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果,则称这n次试验是独立的.如果在一次试验中某事件发生的概率为P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率.注:此式为二项式[1-P+P]n展开式的第k+1项.注:
①一般地,如果事件A与B相互独立,那么A与与B,与也都相互独立.
②对任何两个事件都有概率例
11.10张奖券中只有3张有奖,5个人购买,至少有1人中奖的概率是ABCD例
12.2006年6月7日甲地下雨的概率是
0.15,乙地下雨的概率是
0.
12.假定在这天两地是否下雨相互之间没有影响那么甲、乙都不下雨的概率是A
0.102B
0.132C
0.748D
0.982例
13.从1,2,……,9这九个数中,随机抽取3个不同的数,则这3个数的和为偶数的概率是ABCD例
14.袋中有红球、黄球、白球各1个,每次任取一个,有放回地抽取3次,则下列事件中概率是的是A颜色全相同B颜色不全相同C颜色全不同D颜色无红色例
15.袋中装有白球和黑球各3个,从中任取2球,在下列事件中1恰有1个白球和恰有2个白球;2至少有1个白球和全是白球;3至少有1个白球和至少有1个黑球;4至少有1个白球和全是黑球是对立事件的为A1B2C3D4例
16.甲、乙两人独立地解同一问题,甲解决这个问题的概率是p1,乙解决这个问题的概率是p2,那么恰好有1人解决这个问题的概率是了ABCD例
17.某班有50名学生,其中15人选修A课程,另外35人选修B课程.从班级中任选两名学生他们是选修不同课程的学生的概率是.结果用分数表示概率例
18.某商场开展促销抽奖活动,摇出的中奖号码是8,2,5,3,7,1,参加抽奖的每位顾客从0~9这10个号码中任意抽出六个组成一组,若顾客抽出的六个号码中至少有5个与摇出的号码相同不计顺序即可得奖,则中奖的概率是________.用数字作答例
19.某射手射击1次,击中目标的概率是
0.
9.他连续射击4次,且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论
①他第3次击中目标的概率是
0.9;
②他恰好击中目标3次的概率是
0.93×
0.1;
③他至少击中目标1次的概率是1-
0.
14.其中正确结论的序号是__写出所有正确结论的序号.例
20.A有一只放有x个红球,y个白球,z个黄球的箱子(x、y、z≥0,且),B有一只放有3个红球,2个白球,1个黄球的箱子,两人各自从自己的箱子中任取一球比颜色,规定同色时为A胜,异色时为B胜.
(1)用x、y、z表示B胜的概率;
(2)当A如何调整箱子中球时,才能使自己获胜的概率最大?随机变量与统计
1.随机试验:⑴试验如果满足下述条件
①试验可以在相同的情形下重复进行;
②试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;
③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.它就被称为一个随机试验.⑵如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量如果随机变量可以按一定次序一一列出这样的随机变量叫做离散型随机变量.注:若随机变量可以取某一区间内的一切值,这样的变量叫做连续型随机变量.
2.离散型随机变量设离散型随机变量ξ可能取的值为ξ取每一个值的概率,则表称为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列.……P……有性质
①;
②.
3.称为的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.注:随机变量的数学期望随机变量与统计
4.方差、标准差当已知随机变量的分布列为时,则称为的方差.显然,故为的根方差或标准差.随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动,集中与离散的程度.越小,稳定性越高,波动越小.注:⑴随机变量的方差.(a、b均为常数)⑵期望与方差的转化
5.二项分布如果在一次试验中某事件发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是[其中]于是得到随机变量ξ的概率分布如下01……P我们称这样的随机变量服从二项分布,记作~B(np),其中n,p为参数,并记.注:对二项分布有
6.几何分布:在独立重复试验中一次随机试验中某事件发生的概率是该事件第一次发生时所做试验的次数是一个取值为正整数的离散型随机变量.“”表示在第次独立重复试验时事件第一次发生.于是得到随机变量的概率分布如下:123则称这样的随机变量服从几何分布并记其中.注如果随机变量服从几何分布即则.
7.常用的抽样方法有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种.类别共同点不同点联系适用范围简单随机抽样抽样过程中每个个体被抽取的概率相等从总体中逐个抽取是后两种方法的基础总体个数较少系统抽样将总体均分成几部分,按事先确定的规则在各部分抽取在超始部分抽样时用简单随机抽样总体个数较多分层抽样将总体分成几层,分层进行抽取各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样总体由差异明显的几部分组成随机变量与统计
8.总体分布的估计:用样本估计总体是研究统计问题的一个基本思想方法样本容量越大估计越准确.将总体与随机变量沟通后就可以用概率的知识研究统计问题.⑴当总体中的个体取不同值很少时其频率分布表由所取的样本的不同值及相应的频率来表示其几何表示就是相应的条形图.⑵当总体中的个体取不同值较多时对其频率分布的研究要用到整理样本数据的知识列出分组区间和各区间内取值的频数和频率其几何表示就是相应的频率分布直方图.⑶累积频率分布是从另一个角度反映了一组数据分布的情况因此在频率分布表中常增设一列累积频率而且常在频率分布直方图下面画出累积频率分布图.⑷频率分布将随着样本容量的增大而更加接近总体分布当样本容量无限增大且分组的组距无限缩小时则频率分布直方图趋近于总体密度曲线时相应的累积频率分布图也会趋近于一条光滑曲线即累积分布曲线.⑸生产过程中的质量控制图:通过生产过程中的质量控制图了解统计中假设检验的基本思想明确正态总体及其概率密度函数的概率掌握正态曲线的性质及其应用并了解“小概率事件”的概念和它在一次试验中不可能发生的思想.
9.正态分布.(基本不列入考试范围)Ⅰ密度曲线与密度函数对于连续型随机变量,如图位于x轴上方的曲线叫的密度曲线,以其作为图像的函数叫做的密度函数则落在任一区间内的概率等于它与x轴和直线与直线所围成的曲边梯形的面积(如图阴影部分).由于“”是必然事件,故密度曲线与x轴所夹部分面积等于
1.Ⅱ正态分布与正态曲线如果随机变量ξ的概率密度为.(为常数,且),称服从参数为的正态分布,用~表示.的表达式可简记为,它的密度曲线简称为正态曲线.⑴正态分布的期望与方差若~,则的期望与方差分别为.⑵正态曲线的性质.
①曲线在x轴上方,与x轴不相交.
②曲线关于直线对称.
③当时曲线处于最高点,当x向左、向右远离时,曲线不断地降低,呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.
④当<时,曲线上升;当>时,曲线下降,并且当曲线向左、向右两边无限延伸时,以x轴为渐近线,向x轴无限的靠近.
⑤当一定时,曲线的形状由确定,越大,曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散;越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中.Ⅲ.⑴标准正态分布如果随机变量的概率函数为,则称服从标准正态分布.即~有,求出,而P(a<≤b)的计算则是.随机变量与统计注意当标准正态分布的的x取0时,有当的x取大于0的数时,有.比如则必然小于0,如图.⑵正态分布与标准正态分布间的关系若~则ξ的分布函数常用表示,且有.注:一般正态分布均可化为标准正态总体来进行研究.若只需作变换就可使∴有公式.∴若则=Ⅳ⑴“3”原则.假设检验是就正态总体而言的,进行假设检验可归结为如下三步
①提出统计假设,统计假设里的变量服从正态分布.
②确定一次试验中的取值是否落入范围.
③做出判断如果,接受统计假设.如果,由于这是小概率事件,就拒绝统计假设.⑵“3”原则的应用若随机变量ξ服从正态分布则ξ落在内的概率为
99.7%亦即落在之外的概率为
0.3%,此为小概率事件,如果此事件发生了,就说明此种产品不合格(即不服从正态分布).
10.线性回归:(基本不列入考试范围)回归分析是研究两个或两个以上变量之间相关关系的一种统计方法严格说来,相关关系分为两种,对两个自变量来说,如果它们都是随机的,称它们为相关关系;如果其中一个是可以控制的,非随机的,另一个是随机的,称这种关系为回归关系由一个非随机的变量来估计或预测另一个随机变量的观测值,所建立的数学模型及进行的统计分析,称为一元回归分析,如果这个数学模型是线性的则称为一元线性回归分析尽管具有相关性的变量间的关系不确定,但可以通过大量试验来找出它们之间的统计规律性,然后用一个函数关系近似地描述它们,而且这个函数是线性的,则称它为线性回归函数实际上在用相关系数判定出变量之间线性相关后,一般能用很多条直线来近似地表示x与y这两个变量间的线性关系,因此存在一条最合适的直线,这条直线用著名的“最小二乘法”可以求解,课本的阅读材料就是“最小二乘法”的运用散点图:表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图.随机变量与统计例
21.对于一组数据i=1,2,3,…,n,如果将它们改变为+ci=1,2,3,…,n,其中c≠0,则下面结论中正确的是A平均数与方差均不变B平均数变了,而方差保持不变C平均数不变,而方差变了D平均数与方差均发生了变化例
22.已知的分布列为(如表所示)且设,则的期望值是( )A B C1 D例
23.设随机变量ξ的概率分布列为Pξ=i=则a的值是例
24.已知,E=8,D=
1.6,则n与p的值分别为()A10和
0.8B20和
0.4C10和
0.2D100和
0.8例
25.从含有6个个体的总体中抽取一个容量为2的样本,“每次抽取一个个体时任一个体a被抽到的概率”与“在整个抽样过程中个体a被抽到的概率”为()A均为B均为C第一个为,第二个为D第一个为,第二个为例
26.
①某高校为了解学生家庭经济收入情况,从来自城镇的150名学生和来自农村的150名学生中抽取100名学生的样本;
②某车间主任从100件产品中抽取10件样本进行产品质量检验.I.随机抽样法;Ⅱ.分层抽样法.上述两问题和两方法配对正确的是( )A
①配I,
②配ⅡB
①配Ⅱ,
②配C
①配I,
②配I D
①配Ⅱ,
②配Ⅱ例
27.某校高中生有900人,其中高一年级300人,高二年级200人,高三年级400人,现采取分层抽样法抽取容量为45人的样本,那么高
一、高
二、高三年级抽取的人数分别为A15,5,25B15,15,15C10,5,30D15,10,20例
28.一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球,从中同时取出2个,则其中含红球个数的数学期望是_________.用数字作答例
29.右图是一个容量为200的样本的频率分布直方图,请根据图形中的数据填空⑴样本数据落在范围的频率为;⑵样本数据落在范围的频数为;例
30.抛掷两个骰子,当至少有一个2点或3点出现时,就说这次试验成功.(Ⅰ)求一次试验中成功的概率;(Ⅱ)求在4次试验中成功次数ξ的概率分布列及ξ的数学期望与方差.数学基础知识与典型例题第十章排列、组合、概率与统计答案例
1.A例
2.C例
3.D例
4.C例
5.C例
6.B例
7.D例
8.B例
9.510例
10.解⑴如图1,先对a1部分种植,有3种不同的种法,再对a
2、a3种植,因为a
2、a3与a1不同颜色,a
2、a3也不同所以S
(3)=3×2=6(种)如图2,S
(4)=3×2×2×2-S
(3)=18(种)⑵如图3,圆环分为n等份,对a1有3种不同的种法,对a
2、a
3、…、an都有两种不同的种法,但这样的种法只能保证a1与ai(i=
2、
3、……、n-1)不同颜色,但不能保证a1与an不同颜色.于是一类是an与a1不同色的种法,这是符合要求的种法,记为种.另一类是an与a1同色的种法,这时可以把an与a1看成一部分,这样的种法相当于对n-1部分符合要求的种法,记为.共有3×2n-1种种法.这样就有.即,则数列是首项为公比为-1的等比数列.则由⑴知,∴.∴.答符合要求的不同种法有例
11.D例
12.C例
13.C例
14.B例
15.D例
16.B例
17.例
18.例
19.
①,
③例
20.解
(1)显然A胜与B胜为对立事件,A胜分为三个基本事件
①A1“A、B均取红球”;
②A2“A、B均取白球”;
③A3“A、B均取黄球”.
(2)由
(1)知,于是,即A在箱中只放6个红球时,获胜概率最大,其值为例
21.B例
22.A例
23.B例
24.A例
25.D例
26.B例
27.D例
28.
1.2例
29.
0.3272例
30.本小题主要考查概率及其基础知识和运算能力.解(Ⅰ)一次实验中,设事件A表示“试验成功”,则(Ⅱ)依题意得
10、如果你设定了“伟大的目标”,先“疯狂地达成小目标”吧! 短期目标疯狂突破了,长期目标才能全面征服! Breakthroughs together with persistence lead to success! 我总结十几年的英语训练和人生的成功之路,我深刻地体会到,不论是英语学习,还是为成功而奋斗,单凭毅力是靠不住的,没有成就感的支撑,人是坚持不了多久的,我们必须不断创造成就感,才会变得更有“毅力” 每年寒暑假,我们都会汇集外国专家、中国教师、武警指挥官到“疯狂英语集训营”,进行每天10多个小时的全封闭强化英语集训 宿舍的墙上贴满了英语,每天一日三餐“过关才能吃饭”和“过关才能睡觉”……在这种强大的“全英语环境”攻势下,学员们多年的心理障碍开始突破,多年的聋哑英语被彻底粉碎 尤其令学员永生难忘的是让我一次“疯”个够的“疯狂英语集训营”,锻造了大家吃苦耐劳、战胜惰性的品格,学员间尽情激发对方的潜能,成为了许多人一生中最美好的回忆和最辉煌的经历! 虽然学英语是一个长期的、艰巨的劳动,是一场持久战,但是,如果你能不断有短期的突破,你能不断让自己获得成就感,那你长期坚持的动力就自然产生了 创造了长跑奇迹的“马家军”,最有价值的秘密是“先满足短跑的成就”,马俊仁教练给队员们编了形象而有效的“百米口诀表”,让长跑中的选手每冲进一个百米圈,就想起一件事,比如 跑第一个百米时,口诀“脑袋要冷静,宁可少跑十米,也别犯规” 跑第二个百米时,口诀“我比你们都聪明,跑道我占先” 跑第三个百米时,口诀“我越来越坚定,我越来越往前” 跑第四个百米时,口诀“呼吸困难没关系,要为祖国人民跑最先” 跑第五个百米时,口诀“祖国人民看着我” 跑到六百米,呼吸困难到极点时,口诀“江姐竹签扎手都不喊疼,这点困难算什么!” 跑到一千米,决定胜负了,见有些人已经不行了,这时,口诀“王成手拿爆破筒,冲啊!” 最后只剩二百米时,口诀“不成功便成仁,决战了!不顾一切往前冲,什么都别想!” 马俊仁教练会根据不同的项目,设计不一样的“百米口诀”,让队员一上场都只想口诀,心里就不会乱套,只会玩命地往前跑,并且心里会不断升起一股无穷的力量 马俊仁说“就这个秘诀管了天大的用了!临上场时,不管谁紧张了,你就嘱咐她一句,秘诀记好没有?她一想秘诀,什么都忘了,跑起来,心一点不乱要不,满脑子怎么出成绩,怎么得冠军,还想着破纪录,紧张得七上八下,肯定跑不好” 把中长跑分解成一个个百米短跑的满足,运动员就不会被长距离所吓倒,所以,连破三项世界纪录的王军霞说“马俊仁教练是我遇到过的最严格的教练,他非常聪明,也从不服输,他渴望获得成功,总是希望成为胜利者” 马俊仁教练让“马家军”不只树立远大的理想,而且把大目标分解成了一个个可以量化,可以突破的小目标,女将们的潜能终于像火山一般爆发了 成功原来来自 短期疯狂突破,长期全面征服! Breakthroughs together with persistence lead to success!资料来源回澜阁教育免费下载天天更新www.HuiLanGe.com。