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复数的概念与运算知识点归纳http://www.xjktyg.com/wxc/1http://www.xjktyg.com/wxc/虚数单位:1它的平方等于-1,即 ;2实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立2http://www.xjktyg.com/wxc/与-1的关系:就是-1的一个平方根,即方程x2=-1的一个根,方程x2=-1的另一个根是-3http://www.xjktyg.com/wxc/的周期性4n+1=i4n+2=-14n+3=-i4n=14http://www.xjktyg.com/wxc/复数的定义形如的数叫复数,叫复数的实部,叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集,用字母C表示* 3http://www.xjktyg.com/wxc/复数的代数形式:复数通常用字母z表示,即,把复数表示成a+bi的形式,叫做复数的代数形式4http://www.xjktyg.com/wxc/复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系对于复数,当且仅当b=0时,复数a+bia、b∈R是实数a;当b≠0时,复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时,z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时,z就是实数0http://www.xjktyg.com/wxc/5http://www.xjktyg.com/wxc/复数集与其它数集之间的关系NZQRChttp://www.xjktyg.com/wxc/6http://www.xjktyg.com/wxc/两个复数相等的定义如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等即如果a,b,c,d∈R,那么a+bi=c+dia=c,b=d 一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小http://www.xjktyg.com/wxc/如果两个复数都是实数,就可以比较大小 也只有当两个复数全是实数时才能比较大小 7http://www.xjktyg.com/wxc/复平面、实轴、虚轴点Z的横坐标是a,纵坐标是b,复数z=a+bia、b∈R可用点Za,b表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,也叫高斯平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数对于虚轴上的点原点对应的有序实数对为0,0,它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数http://www.xjktyg.com/wxc/故除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系,即复数复平面内的点这是因为,每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来,复平面内的每一个点,有惟一的一个复数和它对应http://www.xjktyg.com/wxc/这就是复数的一种几何意义http://www.xjktyg.com/wxc/也就是复数的另一种表示方法,即几何表示方法8.复数z1与z2的和的定义z1+z2=a+bi+c+di=a+c+b+dihttp://www.xjktyg.com/wxc/9http://www.xjktyg.com/wxc/复数z1与z2的差的定义z1-z2=a+bi-c+di=a-c+b-dihttp://www.xjktyg.com/wxc/10http://www.xjktyg.com/wxc/复数的加法运算满足交换律:z1+z2=z2+z1http://www.xjktyg.com/wxc/11http://www.xjktyg.com/wxc/复数的加法运算满足结合律:z1+z2+z3=z1+z2+z312.乘法运算规则设z1=a+bi,z2=c+dia、b、c、d∈R是任意两个复数,那么它们的积a+bic+di=ac-bd+bc+adihttp://www.xjktyg.com/wxc/其实就是把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部与虚部分别合并http://www.xjktyg.com/wxc/两个复数的积仍然是一个复数http://www.xjktyg.com/wxc/13http://www.xjktyg.com/wxc/乘法运算律1z1z2z3=z1z2z3;2z1z2+z3=z1z2+z1z3;3z1z2+z3=z1z2+z1z3http://www.xjktyg.com/wxc/14http://www.xjktyg.com/wxc/除法运算规则http://www.xjktyg.com/wxc/15*http://www.xjktyg.com/wxc/共轭复数当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数复数z=a+bi和=a-bia、b∈R互为共轭复数http://www.xjktyg.com/wxc/16http://www.xjktyg.com/wxc/复数加法的几何意义如果复数z1,z2分别对应于向量、,那么,以OP
1、OP2为两边作平行四边形OP1SP2,对角线OS表示的向量就是z1+z2的和所对应的向量17http://www.xjktyg.com/wxc/复数减法的几何意义两个复数的差z-z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应http://www.xjktyg.com/wxc/18.复数的模题型讲解http://www.xjktyg.com/wxc/例1计算解例2 计算解例3在复平面内,若所对应的点在第二象限,则实数m的取值范围是()A.B.C.D.解可用直推法,∵∴且且∴m∈34故选Dhttp://www.xjktyg.com/wxc/例4已知z是复数,z+2i、均为实数i为虚数单位,且复数z+ai2在复平面上对应的点在第一象限,求实数a的取值范围http://www.xjktyg.com/wxc/解设z=x+yix、y∈R,∴z+2i=x+y+2i,由题意得y=-2http://www.xjktyg.com/wxc/==x-2i2+i=2x+2+x-4ihttp://www.xjktyg.com/wxc/由题意得x=4,∴z=4-2ihttp://www.xjktyg.com/wxc/∵z+ai2=12+4a-a2+8a-2i,根据条件,已知解得2<a<6,∴实数a的取值范围是2,6http://www.xjktyg.com/wxc/例5设a∈Rz∈C满足z2─a2/z2+a2是纯虚数,求xy应满足的条件http://www.xjktyg.com/wxc/解设z2─a2/z2+a2=kik∈Rk≠0则z2─a2=kiz2+a2z21─ki=a21+ki∴x2─y2+2xyi1─ki=a2+a2ki消去参数k即得x2+y2=a2点评1纯虚数的概念;2虚部的概念;3化复数问题为实数问题的化归思想设z=a+biab∈R;4若两个复数能比较大小,则它们都是实数http://www.xjktyg.com/wxc/5实轴和虚轴的概念http://www.xjktyg.com/wxc/例6设复数z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i,试求实数m取何值时,1z是纯虚数;2z是实数;3z对应的点位于复平面的第二象限http://www.xjktyg.com/wxc/剖析利用复数的有关概念易求得http://www.xjktyg.com/wxc/解1由lg(m2-2m-2)=0,m2+3m+2≠0,得m=3http://www.xjktyg.com/wxc/2由m2+3m+2=0,得m=-1或m=-2http://www.xjktyg.com/wxc/3由lg(m2-2m-2)<0,m2+3m+2>0,得-1<m<1-或1+<m<3http://www.xjktyg.com/wxc/点评对复数的分类条件要注意其充要性,对复数相等、共轭复数的概念的运用也是这样http://www.xjktyg.com/wxc/例7设z∈C,求满足z+∈R且|z-2|=2的复数zhttp://www.xjktyg.com/wxc/分析设z=a+bia、b∈R,代入条件,把复数问题转化为实数问题,易得a、b的两个方程http://www.xjktyg.com/wxc/解法一设z=a+bi,则z+=a+bi+=a+bi+=a++b-i∈Rhttp://www.xjktyg.com/wxc/∴b=http://www.xjktyg.com/wxc/∴b=0或a2+b2=1http://www.xjktyg.com/wxc/当b=0时,z=a,∴|a-2|=2http://www.xjktyg.com/wxc/∴a=0或4http://www.xjktyg.com/wxc/a=0不合题意舍去,∴z=4http://www.xjktyg.com/wxc/当b≠0时,a2+b2=1http://www.xjktyg.com/wxc/又∵|z-2|=2,∴a-22+b2=4http://www.xjktyg.com/wxc/解得a=,b=,∴z=±ihttp://www.xjktyg.com/wxc/综上,z=4或z=±ihttp://www.xjktyg.com/wxc/解法二∵z+∈R,∴z+=+http://www.xjktyg.com/wxc/∴z--=0,z-·=0http://www.xjktyg.com/wxc/∴z=或|z|=1,下同解法一http://www.xjktyg.com/wxc/点评解法一设出复数的代数形式,把复数问题转化为实数问题来研究;解法二利用复数是实数的条件复数问题实数化http://www.xjktyg.com/wxc/这些都是解决复数问题的常用方法http://www.xjktyg.com/wxc/例8已知z1=x2+i,z2=x2+ai对于任意x∈R均有|z1|>|z2|成立,试求实数a的取值范围http://www.xjktyg.com/wxc/分析求出|z1|及|z2|,利用|z1|>|z2|问题转化为x∈R时不等式恒成立问题http://www.xjktyg.com/wxc/解∵|z1|>|z2|,∴x4+x2+1>x2+a2http://www.xjktyg.com/wxc/∴1-2ax2+1-a2>0对x∈R恒成立http://www.xjktyg.com/wxc/当1-2a=0,即a=时,不等式成立;当1-2a≠0时,-1<a<http://www.xjktyg.com/wxc/综上,a∈-1,]http://www.xjktyg.com/wxc/点评本题利用复数的性质求模之后,转化为求含参数的二次不等式的参数取值范围http://www.xjktyg.com/wxc/例9设z是虚数,ω=z+是实数,且-1<ω<2http://www.xjktyg.com/wxc/
(1)求|z|的值及z的实部的取值范围;
(2)设u=,求证u为纯虚数;
(3)求ω-u2的最小值http://www.xjktyg.com/wxc/
(1)解设z=a+bia、b∈R,b≠0,则ω=a+bi+=a++b-ihttp://www.xjktyg.com/wxc/∵ω是实数,b≠0,∴a2+b2=1,即|z|=1http://www.xjktyg.com/wxc/∵ω=2a,-1<ω<2,∴z的实部的取值范围是-,1http://www.xjktyg.com/wxc/
(2)证明u=====-ihttp://www.xjktyg.com/wxc/∵a∈-,1,b≠0,∴u为纯虚数http://www.xjktyg.com/wxc/
(3)解ω-u2=2a+=2a+=2a-=2a-1+=2[a+1+]-3http://www.xjktyg.com/wxc/∵a∈-,1,∴a+1>0http://www.xjktyg.com/wxc/∴ω-u2≥2×2-3=1http://www.xjktyg.com/wxc/当a+1=,即a=0时,上式取等号http://www.xjktyg.com/wxc/∴ω-u2的最小值为1http://www.xjktyg.com/wxc/小结1http://www.xjktyg.com/wxc/复数的加、减、乘、除运算一般用代数形式进行http://www.xjktyg.com/wxc/2http://www.xjktyg.com/wxc/求解计算时,要充分利用i的性质计算问题http://www.xjktyg.com/wxc/3http://www.xjktyg.com/wxc/在复数的求解过程中,要注意复数整体思想的把握和应用http://www.xjktyg.com/wxc/4http://www.xjktyg.com/wxc/复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法,其依据是复数的有关概念和两个复数相等的充要条件http://www.xjktyg.com/wxc/练习http://www.xjktyg.com/wxc/1http://www.xjktyg.com/wxc/数,则在复平面内的对应点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案D2http://www.xjktyg.com/wxc/已知,则在复平面上与对应的点所在的象限是A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案B3http://www.xjktyg.com/wxc/已知复数对应的点位于复平面的虚轴上,则实数为()A1B–1或2C-1D2答案C4http://www.xjktyg.com/wxc/的值等于()A1B–1CD答案C5复平面内若复数所对应的点在第二象限则实数的取值范围是( ) Ahttp://www.xjktyg.com/wxc/ Bhttp://www.xjktyg.com/wxc/ Chttp://www.xjktyg.com/wxc/ Dhttp://www.xjktyg.com/wxc/答案C6http://www.xjktyg.com/wxc/已知是复数,以下四个结论正确的是( )
①若
②若,则
③若
④若,则向量Ahttp://www.xjktyg.com/wxc/仅
②正确 Bhttp://www.xjktyg.com/wxc/仅
②③正确 Chttp://www.xjktyg.com/wxc/
②③④正确 Dhttp://www.xjktyg.com/wxc/仅
②④正确 答案Ahttp://www.xjktyg.com/wxc/ 7http://www.xjktyg.com/wxc/i-2的共轭复数是Ahttp://www.xjktyg.com/wxc/2+iBhttp://www.xjktyg.com/wxc/2-IChttp://www.xjktyg.com/wxc/-2+iDhttp://www.xjktyg.com/wxc/-2-i解析由共轭复数的定义知选Dhttp://www.xjktyg.com/wxc/答案D8http://www.xjktyg.com/wxc/计算2+i+3+i3+4+i5+5+i7其中i为虚数单位的值是Ahttp://www.xjktyg.com/wxc/10Bhttp://www.xjktyg.com/wxc/12Chttp://www.xjktyg.com/wxc/14Dhttp://www.xjktyg.com/wxc/16解析2+i+3+i3+4+i5+5+i7=2+3+4+5=14http://www.xjktyg.com/wxc/答案C9http://www.xjktyg.com/wxc/http://www.xjktyg.com/wxc/设复数ω=-+i,则1+ω等于Ahttp://www.xjktyg.com/wxc/-ωBhttp://www.xjktyg.com/wxc/ω2Chttp://www.xjktyg.com/wxc/-Dhttp://www.xjktyg.com/wxc/解析1+ω=+i=---i=-http://www.xjktyg.com/wxc/答案C10http://www.xjktyg.com/wxc/复数z1=3+i,z2=1-i,则z=z1·z2在复平面内的对应点位于Ahttp://www.xjktyg.com/wxc/第一象限Bhttp://www.xjktyg.com/wxc/第二象限Chttp://www.xjktyg.com/wxc/第三象限Dhttp://www.xjktyg.com/wxc/第四象限解析z=z1z2=3+i1-i=4-2ihttp://www.xjktyg.com/wxc/答案D11http://www.xjktyg.com/wxc/设x、y∈R,且-=,则x+y=___________http://www.xjktyg.com/wxc/解析由已知得-=,即5x-2y+5x-4yi=5+15i,∴x=-1,y=-5http://www.xjktyg.com/wxc/答案-612http://www.xjktyg.com/wxc/下列命题中
①任意两个确定的复数都不能比较大小;
②若|z|≤1,则-1≤z≤1;
③若z12+z22=0,则z1=z2=0;
④z+=0z为纯虚数;
⑤z=z∈Rhttp://www.xjktyg.com/wxc/其中正确的命题是http://www.xjktyg.com/wxc/解析
①中的两个实数可比较大小,
②中的z可为虚数,
③中的z1=i,z2=1,
④中的z=0http://www.xjktyg.com/wxc/答案
⑤13http://www.xjktyg.com/wxc/要使复数=+为纯虚数,其中实数是否存在?若存在,求出a的值,若不存在,说明理由http://www.xjktyg.com/wxc/解要使复数为纯虚数,必须且 0,即,解得但是,当时 =0此时不是纯虚数 当时无意义所以不存在实数使为纯虚数http://www.xjktyg.com/wxc/。