高中数学完整讲义-排列与组合6.排列组合问题的常见模型

排列组合问题的常见模型2知识内容1．基本计数原理⑴加法原理分类计数原理做一件事，完成它有类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种方法，……，在第类办法中有种不同的方法．那么完成这件事共有种不同的方法．又称加法原理．⑵乘法原理分步计数原理做一件事，完成它需要分成个子步骤，做第一个步骤有种不同的方法，做第二个步骤有种不同方法，……，做第个步骤有种不同的方法．那么完成这件事共有种不同的方法．又称乘法原理．⑶加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用．2．排列与组合⑴排列一般地，从个不同的元素中任取个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）排列数从个不同的元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示．排列数公式，，并且．全排列一般地，个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素的一个全排列．的阶乘正整数由到的连乘积，叫作的阶乘，用表示．规定．⑵组合一般地，从个不同元素中，任意取出个元素并成一组，叫做从个元素中任取个元素的一个组合．组合数从个不同元素中，任意取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中，任意取出个元素的组合数，用符号表示．组合数公式，，并且．组合数的两个性质性质1；性质2．（规定）⑶排列组合综合问题解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法1．特殊元素、特殊位置优先法元素优先法先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2．分类分步法对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．4．捆绑法某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．5．插空法某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．6．插板法个相同元素，分成组，每组至少一个的分组问题——把个元素排成一排，从个空中选个空，各插一个隔板，有．7．分组、分配法分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成堆（组），必须除以！，如果有堆（组）元素个数相等，必须除以！8．错位法编号为1至的个小球放入编号为1到的个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于

5、

6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径

①元素分析法以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；

②位置分析法以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；

③间接法先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．2．具体的解题策略有

①对特殊元素进行优先安排；

②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏；

③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；

④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法；

⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；

⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．

⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．典例分析分堆问题本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法？⑴一堆一本，一堆两本，一堆三本；⑵甲得一本，乙得两本，丙得三本；⑶一人得一本，一人得二本，一人得三本；⑷平均分给甲、乙、丙三人；⑸平均分成三堆．有6本不同的书⑴甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？⑵分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？⑶分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？⑷分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少不同的分配方法？⑸分给甲1本、乙1本、丙4本，有多少种不同的分配方法？⑹分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少种不同的分堆方法？⑺摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？七个人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法？⑴选出5个人再分成两组，一组2人，另一组3人；⑵选出6个人，分成两组，每组都是3人；⑶选出2人一组、3人一组，轮流挖土、运土．将名大学生分配到个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种（用数字作答）．把一同排6张座位编号为的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是（）A．B．C．D．现有3辆公交车、3位司机和3位售票员，每辆车上需配1位司机和1位售票员，问车辆、司机、售票员搭配方案一共有多少种？3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有（）A．90种B．180种C．270种D．540种将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为（）A．540B．300C．180D．150某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有种．（用数字作答）染色问题如图，正五边形中，若把顶点A、B、C、D、E染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法有（）A．30种B．27种C．24种D．21种将填入的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有____________．将填入的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有（）A．种B．种C．种D．种用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的、、、四个小方格涂色（允许只用其中几种），使邻区（有公共边的小格）不同色，则不同的涂色方式种数为（）．A．B．C．D．将个和个共个字母填在如图所示的个小方格内，每个小方格内至多填个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有__________种（用数字作答）．如图所示、、、、为个区域，现备有种颜色为个区域涂色，涂色要求每相邻两个区域不同色，每个区域只涂一色，共有多少种不同的涂色方法？如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，且两端的格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色．要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有种（用数字作答）．错位排列编号为的五人入座编号也为的五个座位，至多有人对号的坐法有______种．7个人到7个地方去旅游，甲不去A地，乙不去B地，问共有多少种旅游方案7个人到7个地方去旅游，甲不去A地，乙不去B地，丙不去C地，问共有多少种旅游方案7个人到7个地方去旅游，甲不去A地，乙不去B地，丙不去C地，丁不去D地，问共有多少种旅游方案。