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点、直线、平面之间的位置关系单元测试单元测试
一、选择题本大题共12小题,每小题4分,共48分
1.若直线不平行于平面,则下列结论成立的是 A.内所有的直线都与异面; B.内不存在与平行的直线; C.内所有的直线都与相交; D.直线与平面有公共点.
2.已知两个平面垂直,下列命题
①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线;
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线;
③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面;
④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是 A.3 B.2 C.1 D.0
3.空间四边形ABCD中,若,则AC与BD所成角为 A.30° B.45° C.60° D.90°
4.给出下列命题 1直线与平面不平行,则与平面内的所有直线都不平行; 2直线与平面不垂直,则与平面内的所有直线都不垂直; 3异面直线不垂直,则过的任何平面与都不垂直; 4若直线和共面,直线和共面,则和共面. 其中错误命题的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3
5.正方体ABCD-A1B1C1D1中,与对角线AC1异面的棱有 条 A.3 B.4 C.6 D.8 6.如图,将无盖正方体纸盒展开,直线AB、CD在原正方体中的位置关系是 A.平行 B.相交且垂直 C.异面直线 D.相交成60°角
7.点P为△ABC所在平面外一点,PO⊥平面ABC,垂足为O,若PA=PB=PC,则点O是△ABC的 A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心
8.如图长方体中,,则二面角C1—BD—C的大小为 A.30° B.45° C.60° D.90°
9.直线及平面,下列命题正确的是 A.若则 B.若则 C.若则 D.若则
10.平面与平面平行的条件可以是 A.内有无穷多条直线与平行; B.直线 C.直线,直线,且 D.内的任何直线都与平行
11.是异面直线,下面四个命题
①过至少有一个平面平行于;
②过至少有一个平面垂直于;
③至多有一条直线与都垂直;
④至少有一个平面与都平行. 其中正确命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3
12.在下列四个正方体中,能得出AB⊥CD的是
二、填空题本大题共4小题,每小题4分,共16分
13.已知直线//平面,平面//平面,则与的位置关系为_______________.
14.已知直线⊥直线b,//平面,则与的位置关系为_______________.
15.如图,ABC是直角三角形,ACB=,PA平面ABC,此图形中有________个直角三角形.
16.是两个不同的平面,是平面及之外的两条不同直线,给出四个论断
①
②
③
④ 以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题____________.
三、解答题本大题共4小题,每小题9分,共36分 17.如图,H是锐角△ABC的垂心,PH⊥平面PBC,∠BPC=90°,求证 1∠BPA=90°; 2∠APC=90°. 18.已知正方体,O是底面ABCD对角线的交点.求证 1面; 2面. 19.如图,三棱锥,PC⊥平面ABC,PC=AC=2,AB=BC,D是PB上一点,且CD⊥平面PAB. 1求证AB⊥平面PCB; 2求异面直线AP与BC所成角的大小; 3求二面角C—PA—B的正弦值. 20.如图,已知△BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E、F分别是AC、AD上的动点,且. 1求证不论为何值,总有平面BEF⊥ABC; 2当为何值时,平面BEF⊥平面ACD? 参考答案
一、选择题
1.D
2.C 只有
②正确.
3.D
4.D 124错误,3正确.
5.C
6.D 展开图复原可构造等边三角形.
7.B 提示可证Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC,∴OA=OB=OC,所以点O是三角形ABC的外心.
8.A 提示取BD中点O,连结C1O,CO,ÐC1OC即为所求二面角的平面角.
9.D
10.D
11.C
①④正确.
12.A 由线面垂直得线线垂直.
二、填空题
13.平行或在平面内;
14.平行或在平面内;
15.4 Rt△PAB,Rt△PAC,Rt△PBC,Rt△ABC.
16.若
②③④则
①
三、解答题 17.证明∵PH⊥面ABC, ∴PH⊥AC. ∵H为△ABC垂心, ∴BH⊥AC. ∵PH∩H=H,AC⊥面PBH. ∴AC⊥PB. 又∵∠BPC=90°,即BP⊥PC,PC∩AC=C, ∴BP⊥面APC, ∴BP⊥PA.
① 又H为△ABC垂心 ∴AH⊥BC, ∵PH⊥BC, ∴BC⊥平面APH, ∴BC⊥PA.
② 由
①②可得,PA⊥平面PBC, ∴∠APB=∠APC=90°. 18.证明连接,设,连接. 因为是正方体, 所以是平行四边形. 所以,且 又,分别是,的中点, 所以,且. 所以是平行四边形. 又,,, 所以 2因为, 所以 又因为, 所以,所以. 同理可证. 又, 所以 19.解析 1∵PC⊥平面ABC,AB平面ABC,∴PC⊥AB. ∵CD⊥平面PAB,AB平面PAB,∴CD⊥AB. 又,∴AB⊥平面PCB. 2过点A作AF∥BC,且AF=BC,连结PF,CF, 则∠PAF为异面直线PA与BC所成的角. 由1可得AB⊥BC, ∴CF⊥AF. ∵PC⊥AF, ∴AF⊥面PCF,得PF⊥AF. 则,, 在中,, ∴异面直线PA与BC所成的角为. 3取AP的中点E,连结CE、DE. ∵PC=AC=2, ∴CE⊥PA,. ∵CD⊥平面PAB. ∴CD⊥PA. PA⊥面CDE,得DE⊥PA. ∴∠CED为二面角的平面角. 由1AB⊥平面PCB,又∵AB=BC,可求得 在中,, 在中, ∴二面角的正弦值为 20.证明 1因为AB⊥平面BCD, 所以AB⊥CD. 因为CD⊥BC,且, 所以CD⊥平面ABC. 又因为, 所以不论为何值,恒有EF∥CD, 所以EF⊥平面ABC, 又EF平面BEF, 所以不论为何值恒有平面BEF⊥平面ABC. 2由1知,BE⊥EF. 又平面BEF⊥平面ACD, 所以BE⊥平面ACD, 所以BE⊥AC. 因为BC=CD=1,∠BCD=90°,∠ADB=60°, 所以,, 所以. 由,得, 所以. 故当时,平面BEF⊥平面ACD.。