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一、选择题本题共10小题,每小题5分,共50分1.已知sinαcosα=,且<α<,则sinα-cosα的值为 .A.-B.C.D.-解析 因为<α<,所以sinα>cosα,又sinαcosα=,所以sinα-cosα2=sin2α-2sinαcosα+cos2α=1-2×=,解得sinα-cosα=.故选C.答案 C2.已知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°,c=2a+3b,d=ka-bk∈R,且c⊥d,那么k的值为 .A.-6B.6C.-D.解析 a·b=1×2×cos60°=1,∵c⊥d,∴c·d=2a+3b·ka-b=2ka2-2a·b+3ka·b-3b2=2k-2+3k-12=
0.∴k=.答案 D3.若函数fx=1+tanxcosx0≤x<,则fx的最大值为 .A.1B.2C.+1D.+2解析 因为fx=1+tanxcosx=cosx+sinx=2cos,当x=时,函数取得最大值为
2.答案 B4.在△ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足=2,则·+等于 .A.-B.-C.D.解析 由=2,AM=1知,PM=,PA=,因为M是BC的中点,所以+=2,所以·+=2·=2||||cos180°=2×××-1=-.故选A.5.把函数y=sinωx+φ其中φ是锐角的图像向右平移个单位,或向左平移π个单位都可以使对应的新函数成为奇函数,则ω= .A.2B.3C.4D.1解析 由题意知,函数的周期T=2=π,∴ω==
2.答案 A6.已知α和β都是锐角,且sinα=,cosα+β=-,则sinβ的值为 .A.B.C.D.解析 由题意得cosα=,sinα+β=因为<α+β<π,所以sinβ=sin[α+β-α]=sinα+βcosα-cosα+βsinα=×--×=.答案 C7.如右图,非零向量=a,=b,且BC⊥OA,C为垂足.若=λa,则λ= .A.B.C.D.解析 ⊥即⊥,∴·=0,即-·=0,∴|O|2-·=0,即λ2|a|2-λa·b=
0.∴λ=.答案 A8.y=sinx+cosx2-1是 .A.最小正周期为2π的偶函数B.最小正周期为2π的奇函数C.最小正周期为π的偶函数D.最小正周期为π的奇函数解析 y=sinx+cosx2-1=sin2x,所以函数是最小正周期为π的奇函数,故选D.答案 D9.若函数fx=sinωxω>0在区间上单调递增,在区间上单调递减,则ω= .A.B.C.2D.3解析 由于函数fx=sinωx的图像经过坐标原点,根据已知并结合函数图像可知图略,为函数fx的四分之一周期,故=,解得ω=.答案 B10.使函数y=sin2x+φ+cos2x+φ为奇函数,且在上是减函数的φ的一个值为 .A.B.C.D.解析 可考虑代入法.y=sin2x+φ+cos2x+φ=2sin.当φ=时,y=2sin=2sin2x+是非奇非偶函数,因此排除A.当φ=时,y=2sin=2sin2x是奇函数,但在上是增函数,因此排除B.当φ=时,符合题意,同样可排除D.答案 C
二、填空题本题共5小题,每小题5分,共25分11.如果|cosθ|=,<θ<3π,那么sin的值等于______.解析 由<θ<3π,可知cosθ<0,则|cosθ|=-cosθ=,cosθ=-.又∵<<,∴sin<0,∴sin=-=-.答案 -12.已知tanx=6,那么sin2x+cos2x=________.解析 原式====.答案 13.在△ABC中,已知AB=2,BC=3,∠ABC=60°,AH⊥BC于H,M为AH的中点,若=λ+μ,则λ+μ=________.解析 因为AB=2,BC=3,∠ABC=60°,所以BH=1,又M为AH的中点,所以==+==+,所以λ+μ=.答案 14.tan10°-sin40°的值为________.解析 原式=sin40°=·sin40°=·sin40°=======-
1.答案 -115.y=sinsin的最小正周期T=________.解析 y=sinsin=sincosx=·cosx=sinxcosx+cos2x=sin2x+1+cos2x=sin+∴T=π答案 π
三、解答题本大题共6小题,共75分16.12分若sinA=,sinB=,且A、B均为钝角,求A+B的值.解 ∵A、B均为钝角且sinA=,sinB=,∴cosA=-=-=-,cosB=-=-=-,∴cosA+B=cosAcosB-sinAsinB=×-×=
①又∵<A<π,<B<π,∴π<A+B<2π
②由
①②知,A+B=.17.12分已知向量a=,b=,且x∈.1求a·b及|a+b|;2求函数fx=a·b-4|a+b|的最小值.解 1a·b=coscos-sinsin =cos=cos2x.|a+b|2=a2+b2+2a·b=cos2+sin2+cos2+sin2+2cos2x=2+2cos2x=4cos2x.而x∈,∴|a+b|=2cosx.2fx=a·b-4|a+b|=cos2x-4×2cosx=2cos2x-8cosx-1=2cosx-22-
9.∵x∈,∴cosx∈,当cosx=1时,fx取得最小值为2×12-8×1-1=-
7.18.12分已知函数fx=cos+2sin·sin.求1函数fx的最小正周期.2函数fx在区间[-,]上的值域.解 1fx=cos+2sin·sin=cos2x+sin2x+sinx-cosxsinx+cosx=cos2x+sin2x-cos2x=sin.所以最小正周期T==π.2∵x∈.∴2x-∈.∴fx=sin在上单调递增,在区间上单调递减,∴当x=时,fxmax=
1.=又∵f=-<f=,∴当x=-时,fxmin=-.∴函数fx在上的值域为.19.12分已知点A、B、C的坐标分别为A
30、B
03、Ccosα,sinα,α∈.1若||=||,求角α的值;2若·=-1,求的值.解 1∵=cosα-3,sinα,=cosα,sinα-3,∴|==,||==.由||=||,得sinα=cosα.又∵α∈,∴α=.2由·=-1,得cosα-3cosα+sinαsinα-3=-
1.∴sinα+cosα=.
①又==2sinαcosα.由
①式两边平方,得1+2sinαcosα=,∴2sinαcosα=-.∴=-.20.13分已知函数fx=Asinωx+φx∈R,ω00φ的部分图像如图所示.1求函数fx的解析式;2求函数gx=f-f的单调递增区间.解 1由题设图像知,周期T=2=π,所以ω==
2.因为点在函数图像上,所以Asin=0,即sin=
0.又因为0<φ<,所以<+φ<.从而+φ=π,即φ=.又点01在函数图像上,所以Asin=1,解得A=
2.故函数fx的解析式为fx=2sin.2gx=2sin-2sin=2sin2x-2sin=2sin2x-2=sin2x-cos2x=2sin.由2kπ-≤2x-≤2kπ+k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+k∈Z.所以gx的增区间是k∈Z.21.14分已知函数fx=1+cotxsin2x+msin·sin.1当m=0时,求fx在区间上的取值范围;2当tanα=2时,fα=,求m的值.解 1当m=0时,fx=sin2x+sinxcosx=+sin2x=sin2x-cos2x+=sin+.∵x∈,∴2x-∈.∴sin∈.∴fx的值域为.2fx=sin2x+sinxcosx-cos2x=+sin2x-cos2x=[sin2x-1+mcos2x]+.∵tanα=2,∴sin2α===,cos2α===-.∴=+.∴m=-
2.。