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高中数学必修4重点公式与解题技巧公式一设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等sin(2kπ+α)=sinαcos(2kπ+α)=cosαtan(2kπ+α)=tanαcot(2kπ+α)=cotα公式二设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα 公式三任意角α与-α的三角函数值之间的关系sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα 公式四利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα公式五利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα 公式六±α及±α与α的三角函数值之间的关系 以上k∈Z诱导公式记忆口诀 ※规律总结※上面这些诱导公式可以概括为对于k·±αk∈Z的个三角函数值,
①当k是偶数时,得到α的同名函数值,即函数名不改变;
②当k是奇数时,得到α相应的余函数值,即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan(奇变偶不变)然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号(符号看象限)例如sin2π-α=sin4·-α,k=4为偶数,所以取sinα当α是锐角时,2π-α∈270°,360°,sin2π-α<0,符号为“-”所以sin2π-α=-sinα上述的记忆口诀是奇变偶不变,符号看象限公式右边的符号为把α视为锐角时,角k·360°+α(k∈Z),-α、180°±α,360°-α所在象限的原三角函数值的符号可记忆水平诱导名不变;符号看象限各种三角函数在四个象限的符号如何判断,也可以记住口诀“一全正;二正弦;三为切;四余弦”这十二字口诀的意思就是说第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“+”;第二象限内只有正弦是“+”,其余全部是“-”;第三象限内切函数是“+”,弦函数是“-”;第四象限内只有余弦是“+”,其余全部是“-”其他三角函数关系⒈同角三角函数的基本关系式倒数关系:tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1商的关系sinα/cosα=tanα=secα/cscαcosα/sinα=cotα=cscα/secα平方关系sin^2α+cos^2α=11+tan^2α=sec^2α1+cot^2α=csc^2α同角三角函数关系六角形记忆法六角形记忆法(参看图片或参考资料链接)构造以上弦、中切、下割;左正、右余、中间1的正六边形为模型
(1)倒数关系对角线上两个函数互为倒数;
(2)商数关系六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积(主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积)由此,可得商数关系式
(3)平方关系在带有阴影线的三角形中,上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方两角和差公式⒉两角和与差的三角函数公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβcos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβtanα+tanβtan(α+β)=——————1-tanα·tanβtanα-tanβtan(α-β)=——————1+tanα·tanβ倍角公式⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式(升幂缩角公式)sin2α=2sinαcosαcos2α=cos^2α-sin^2α=2cos^2α-1=1-2sin^2α2tanαtan2α=—————1-tan^2α半角公式⒋半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式)1-cosαsin^2α/2=—————21+cosαcos^2α/2=—————21-cosαtan^2α/2=—————1+cosα⒌万能公式2tanα/2sinα=——————1+tan^2α/21-tan^2α/2cosα=——————1+tan^2α/22tanα/2tanα=——————1-tan^2α/2万能公式推导附推导sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/cos^2α+sin^2α......*,(因为cos^2α+sin^2α=1)再把*分式上下同除cos^2α,可得sin2α=tan2α/1+tan^2α然后用α/2代替α即可同理可推导余弦的万能公式正切的万能公式可通过正弦比余弦得到三倍角公式⒍三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3α=3sinα-4sin^3αcos3α=4cos^3α-3cosα3tanα-tan^3αtan3α=——————1-3tan^2α三倍角公式推导附推导tan3α=sin3α/cos3α=sin2αcosα+cos2αsinα/cos2αcosα-sin2αsinα=2sinαcos^2α+cos^2αsinα-sin^3α/cos^3α-cosαsin^2α-2sin^2αcosα上下同除以cos^3α,得tan3α=3tanα-tan^3α/1-3tan^2αsin3α=sin2α+α=sin2αcosα+cos2αsinα=2sinαcos^2α+1-2sin^2αsinα=2sinα-2sin^3α+sinα-2sin^2α=3sinα-4sin^3αcos3α=cos2α+α=cos2αcosα-sin2αsinα=2cos^2α-1cosα-2cosαsin^2α=2cos^3α-cosα+2cosα-2cos^3α=4cos^3α-3cosα即sin3α=3sinα-4sin^3αcos3α=4cos^3α-3cosα三倍角公式联想记忆记忆方法谐音、联想正弦三倍角3元减4元3角(欠债了被减成负数,所以要“挣钱”音似“正弦”)余弦三倍角4元3角减3元(减完之后还有“余”)☆☆注意函数名,即正弦的三倍角都用正弦表示,余弦的三倍角都用余弦表示和差化积公式⒎三角函数的和差化积公式α+βα-βsinα+sinβ=2sin—----·cos—---22α+βα-βsinα-sinβ=2cos—----·sin—----22α+βα-βcosα+cosβ=2cos—-----·cos—-----22α+βα-βcosα-cosβ=-2sin—-----·sin—-----22积化和差公式⒏三角函数的积化和差公式sinα·cosβ=
0.5[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=
0.5[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=
0.5[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-
0.5[cos(α+β)-cos(α-β)]和差化积公式推导附推导首先我们知道sina+b=sina*cosb+cosa*sinbsina-b=sina*cosb-cosa*sinb我们把两式相加就得到sina+b+sina-b=2sina*cosb所以sina*cosb=sina+b+sina-b/2同理若把两式相减就得到cosa*sinb=sina+b-sina-b/2同样的我们还知道cosa+b=cosa*cosb-sina*sinbcosa-b=cosa*cosb+sina*sinb所以把两式相加我们就可以得到cosa+b+cosa-b=2cosa*cosb所以我们就得到cosa*cosb=cosa+b+cosa-b/2同理两式相减我们就得到sina*sinb=-cosa+b-cosa-b/2这样我们就得到了积化和差的四个公式:sina*cosb=sina+b+sina-b/2cosa*sinb=sina+b-sina-b/2cosa*cosb=cosa+b+cosa-b/2sina*sinb=-cosa+b-cosa-b/2好有了积化和差的四个公式以后我们只需一个变形就可以得到和差化积的四个公式.我们把上述四个公式中的a+b设为xa-b设为y那么a=x+y/2b=x-y/2把ab分别用xy表示就可以得到和差化积的四个公式:sinx+siny=2sinx+y/2*cosx-y/2sinx-siny=2cosx+y/2*sinx-y/2cosx+cosy=2cosx+y/2*cosx-y/2cosx-cosy=-2sinx+y/2*sinx-y/2向量的运算加法运算AB+BC=AC,这种计算法则叫做向量加法的三角形法则已知两个从同一点O出发的两个向量OA、OB,以OA、OB为邻边作平行四边形OACB,则以O为起点的对角线OC就是向量OA、OB的和,这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则对于零向量和任意向量a,有0+a=a+0=a|a+b|≤|a|+|b|向量的加法满足所有的加法运算定律减法运算与a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量,--a=a,零向量的相反向量仍然是零向量
(1)a+-a=-a+a=0
(2)a-b=a+-b数乘运算实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作λa,|λa|=|λ||a|,当λ0时,λa的方向和a的方向相同,当λ0时,λa的方向和a的方向相反,当λ=0时,λa=0设λ、μ是实数,那么
(1)λμa=λμa
(2)λ+μa=λa+μa
(3)λa±b=λa±λb
(4)-λa=-λa=λ-a向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算向量的数量积已知两个非零向量a、b,那么|a||b|cosθ叫做a与b的数量积或内积,记作a•b,θ是a与b的夹角,|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影零向量与任意向量的数量积为0a•b的几何意义数量积a•b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和sin(-α)=cosαcos(-α)=sinαtan(-α)=cotαcot(-α)=tanαsin(+α)=cosαcos(+α)=-sinαtan(+α)=-cotαcot(+α)=-tanαsin(-α)=-cosαcos(-α)=-sinαtan(-α)=cotαcot(-α)=tanαsin(+α)=-cosαcos(+α)=sinαtan(+α)=-cotαcot(+α)=-tanα。