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九年级上册第二十一章二次根式
21.1二次根式二次根式一般地,我们把形如的式子叫做二次根式“”称为二次根号二次根式性质1)是一个非负数2)3)代数式用基本运算符号(基本运算符号包括加、减、乘、除、乘方和开方)把数和表示数的字母连接起来的式子,叫做代数式
21.2二次根式的乘除二次根式乘法二次根式除法最简二次根式满足以下两个条件的二次根式,1)被开方数不含分母;2)被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式在二次根式的运算中,一般要把最后结果化为最简二次根式
21.3二次根式的加减二次根式加减二次根式加减时,可以先将二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并二次根式运算中,多项式乘法法则和乘法公式仍然适用阅读与思考海伦秦九韶公式复杂变形技术,用的是乘法公式数学活动数学的实际应用,可能有一定的吸引力第二十二章一元二次方程
22.1一元二次方程一元二次方程等号两边都是整式,只含有一个未知数(一元),并且未知数的最高次数是2(二次)的方程,叫做一元二次方程一元二次方程的一般形式一般地,任何一个一元二次方程,经过整理,都能化成如下形式这种形式叫做一元二次方程的一般形式,其中ax2是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项
22.2降次解一元二次方程降次思想把高次方程降成低次的,最终变成一次方程去解(这个说了也白说)形方程的解法配方法通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法配方的目的是降次,把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解公式法先把一元二次方程化为一般形式,,则方程的解有三种情况1),方程有两个不相等的实数根,;2),方程有两个相等的实数根;3),方程无实数根求根公式的配方法推导一定要学会,这个是理解配方法的检验标准判别式一般地,式子叫做方程根的判别式,通常用希腊字母表示它,即因式分解法先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次,这种解法叫做因式分解法一元二次方程根与系数的关系由求根公式推导,可再由因式分解法推导,加深理解【韦达定理之二次特例,韦达定理所述之n次方程根与系数的关系由法国韦达最早于16世纪提出,其证明所依据的代数基本定理却是由高斯1799年才给出严格证明(高斯1799年在哥廷根大学的博士论文)】阅读与思考黄金分割数黄金分割比的几何背景与方程解法,实际上这是个方程的应用问题
22.3实际问题与一元二次方程增长率问题与面积问题是最重要的两个典型问题实验与探究三角点阵中前n行的点数计算这个方法是一个提高性问题,高中数学才讲到;另外此问题也可用平行四边形面积公式解决面积法推广后可以得到梯形点阵中前n行点数的计算在初中数学里,这个问题作为一元二次方程的应用问题,背景本身的难度太大了数学活动仍然关注面积问题与增长率问题第二十三章旋转
23.1图形的旋转旋转把一个平面图形绕着平面内的某一点转动一个角度,叫做图形的旋转,此点叫做旋转中心,转动的角度叫做旋转角对应点如果图形上的一点,经过旋转变成另一点,那么这两个点叫做这个旋转的对应点旋转的性质1)对应点到旋转中心的距离相等;2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;3)旋转前后的图形全等【第3条与全等三角形会联系起来使用】
23.2中心对称中心对称把一个图形绕着某一个点旋转180度,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点【与轴对称要区分开】中心对称的性质1)中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心所平分;2)中心对称的两个图形是全等图形中心对称图形把一个图形绕着某一个点旋转180度,如果旋转后的图形与原来的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心关于原点对称的点的坐标两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反,即点(x,y)关于原点的对称称点为(-x,-y)信息技术的应用探索旋转的性质寻求关于旋转的感性认识
23.3课题学习图案设计平移、轴对称、旋转的综合应用与对比,主要还是感性认识阅读与思考旋转对称性扩展了对称性的概念,使之由生活中的轴对称概念扩展到旋转对称数学活动坐标系中轴对称与旋转对称的关系第二十四章圆
24.1圆圆在一个平面内,线段绕其固定的一个端点旋转一周,另一个端点所形成的图形叫做圆固定的端点叫做圆心,线段叫做半径以为圆心的圆,记作“”,读作“圆”圆的性质1)圆上各点到定点(圆心)的距离都等于定长(半径);2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上弦连接圆上任意两点的线段叫做弦直径经过圆心的弦叫做直径弧圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧半圆圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆等圆能够重合的两个圆是等圆等弧能够互相重合的弧叫做等弧圆的对称性1)圆是轴对称图形,任何一条直径都是它的对称轴2)圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心垂径定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧【没给出证明,只是从对称性得到】垂径定理相关1平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧垂径定理相关2平分弦所对的两条弧的直径平分弦,并且垂直于弦圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角圆心角定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等圆心角定理相关1在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等圆心角定理相关2在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧相等圆心角总结同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,它们所对应的其余各组量也相等圆周角顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角圆周角定理在同圆或等圆中,同弧所或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半【此表述有逻辑错误】圆周角定理推论1在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,它们所对的弧一定相等圆周角定理推论2半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90度的圆周角所对的弦是直径圆周角定理推论3圆内接四边形的对角互补圆周角定理推论4如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形【练习中出现】多边形与圆如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆
24.2点、直线、圆和圆的位置关系点与圆的位置关系设的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有经过三点作圆尺规作图定理不在同一直线上的三个点确定一个圆三角形的外心经过三角形的三个顶点可以做一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形是三条边垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心反证法之正式提出【此处可以总结前面所有可以用反证法证明的定理以加深理解】直线和圆相交直线和圆有两个公共点,这时我们说这条直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线直线和圆相切直线和圆只有一个公共点,这时我们说这条直线和圆相切,这条直线叫做圆的切线,这个点叫做切点直线和圆相离直线和圆没有公共点,这时我们说这条直线和圆相离直线和圆的位置关系圆的切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线已知圆和切点作切线尺规作图圆的切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径【反证法】已知圆和圆外一点作切线尺规作图切线长经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆的连线平分两条切线的夹角三角形的内心与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心圆和圆相离如果两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离,有外离和内含两种情况圆和圆相切如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切,有外切和内切两种情况圆和圆相交如果两个圆有两个公共点,那么就说这两个圆相交圆和圆的位置关系设两圆心的距离是d,两圆的半径分别是r1和r2,则外离——dr1+r2;外切——d=r1+r2;相交——r1+r2dr1-r2;内切——d=r1-r2;内含——dr1-r
2.
24.3正多边形和圆正多边形的有关概念一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心,外接圆的半径叫做正多边形的半径,正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角,中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距正三角形、正四边形和正六边形的尺规作图方法这节实际上是前面多边形内容与圆内容的综合应用,所以前面搞定后面就水到渠成了阅读与思考圆周率割圆术与计算机技术
24.4弧长和扇形面积弧长公式扇形面积公式圆锥的母线连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线圆锥的有关公式设圆锥的母线长为,底面圆的半径为,圆锥的侧面展开图的半径为,弧长为,圆锥的侧面积为,圆锥的全面积为实验与探究设计跑道弧长公式的应用数学活动等分圆周,镶嵌,四点共圆条件的探索与证明【这个有难度】第二十五章概率初步
25.1随机事件与概率随机事件在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件,称为随机事件概率刻画随机事件发生可能性大小的数值叫做随机事件的概率古典概型的概率计算一般地,如果在一次试验中,有n种可能的结果,并且它们发生的可能性相等,事件A包含其中的m种结果,那么事件A发生的概率因为,所以
25.2用列举法求概率列举法求古典概型的概率,主要是列表和树形图两种方法阅读与思考概率与中奖这个知识很简单,但难普及,因为太多人不愿意懂
25.3用频率估计概率用频率估计概率一般地,在大量重复度验中,如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近,那么事件A发生的概率PA=p【这个估计也不太好理解】实验与探究的估计【几何概型的介绍】
25.4课题学习键盘上字母的排列规律频率的应用数学活动1)降水调查,算是个统计方面的综合实例;2)几何概型的一个实例;3)抽签的深入理解九年级下册第二十六章二次函数
26.1二次函数及其应用二次函数一般地,形如的函数,叫做二次函数其中,x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数,一次项系数和常数项二次函数的图像一般地,抛物线的对称轴是y轴,顶点是原点当a0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点,a越大,抛物线的开口越小;当a0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点,a越大,抛物线的开口越大二次函数的图像1)当a0时,开口向上;当a0时,开口向下;2)对称轴是直线x=h;3)顶点坐标是(h,k)二次函数与图像的关系一般地,抛物线与形状相同,位置不同把抛物线向上(下)向左(右)平移,可以得到抛物线平移的方向、距离要根据h,k的值来决定二次函数的图像一般地,我们可以用配方法求抛物线的顶点与对称轴,因此,抛物线的对称轴是,顶点坐标是待定系数法求二次函数的解析式求二次函数的解析式,关键是求出待定系数a,b,c的值由已知条件(如二次函数图象上三个点的坐标)列出关于a,b,c的方程组,并求出a,b,c,就可以写出二次函数的解析式
26.2用函数观点看一元二次方程二次函数和一元二次方程的关系一般地,从二次函数的图象可知,1)如果抛物线与x轴有公共点,公共点的横坐标是,那么当时,函数的值是0,因此就是方程的一个根2)二次函数的图象与x轴的位置关系有三种没有公共点,有一个公共点,有两个公共点这对应着一元二次方程的根的三种情况没有实数根,有两个相等的实数根,有两个不等的实数根信息技术应用探索二次函数的性质二次函数与一元二次方程关系的感性认识
26.3实际问题与二次函数有三个要点1)建立函数有关系;2)确定定义域;3)求最大或最小值实验与探究推测植物的生长与温度的关系建模过程的一个简化版,不易掌握数学活动1)二次函数关于坐标轴对称的函数的解析式2)建模的另一个实例第二十七章相似
27.1图形的相似相似图形形状相同的图形叫做相似图形比例线段对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等,如(即ad=bc),我们就说这四条线段是成比例线段,简称比例线段相似多边形的性质相似多边形对应角相等,对应边的比相等【测量】相似比相似多边形对应边的比称为相似比
27.2相似三角形平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线,所得的对应线段的比相等平行线分线段成比例定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段的比相等三角形相似的判定定理1平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似三角形相似的判定定理2如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似三角形相似的判定定理3如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似三角形相似的判定定理4如果一个三角形的两个角与另外一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似直角三角形相似的判定定理如果两个直角三角形斜边的比等于一组直角边的比,那么这两个直角三角形相似相似三角形的周长和面积相似三角形对应高的比等于相似比;相似三角形周长的比等于相似比;相似三角形面积的比等于相似比的平方相似多边形的周长和面积相似多边形周长的比等于相似比;相似多边形面积的比等于相似比的平方观察与猜想奇妙的分形图形这玩意不是很好理解的,包括老师在内
27.3位似位似两个相似多边形,对应顶点的连线相交于一点,对应边互相平行,这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心【单点透视】位似的坐标表示在平面直角坐标系中,如果位似是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k信息技术应用探索位似的性质位似性质的感性认识数学活动1)相似三角形在长度测量中的应用;2)位似与艺术字设计第二十八章锐角三角函数
28.1锐角三角函数锐角三角函数的定义正弦在直角三角形ABC中,锐角A的对边与斜边的比叫做角A的正弦,记作sinA,即余弦在直角三角形ABC中,锐角A的邻边与斜边的比叫做角A的余弦,记作cosA,即正切在直角三角形ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做角A的正切,记作tanA,即常用的锐角三角函数的值常用的锐角三角函数的值可以用勾股定理和30度角所对的直角边是斜边的一半计算出来【即不用死背!!!】阅读与思考一张古老的三角函数表【托勒密终于不再是一个坚持地心说的坏蛋了啊!】
28.2解直角三角形解直角三角形已知直角三角形的一些边和角,求余下的边和角直角三角形中除直角外的个元素的关系1)三边关系(勾股定理);2)两锐角之间的关系;3)边角之间关系,,解直角三角形就依据这些关系利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题);2)根据条件的特点,适当选用锐角在角函数等关系去解直角三角形;3)得到数学问题的答案;4)把数学问题的答案转化为实际问题的答案数学活动三角学知识的综合应用【非常重要】第二十九章投影与视图
29.1投影平行投影由互相平行的光线形成的投影叫做平行投影中心投影由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影正投影投影线垂直于投影平面产生的投影叫做正投影线段正投影的总结1)当线段平行于投影面时,它的正投影与它自己相等;2)当线段倾斜于投影面时,它的正投影比它自己短;3)当线段垂直于投影面时,它的正投影是一个点!平面图形正投影的特点当平面图形平行于投影面时,这个图形的正投影与它自己全等
29.2三视图三视图一个物体在三个投影面内同时进行正投影,在正面内得到的由前向后观察物体的视图,叫做主视图;在水平面内得到的由上向下观察物体的视图,叫做俯视图;在侧面内得到由左向右观察物体的视图,叫做左视图三视图中各视图的关系三视图中,主视图与俯视图表示同一物体的长,主视图与左视图表示同一物体的高,左视图与俯视图表示同一物体的宽;因此,画三视图时,三个视图要放在正确的位置,并且使主视图与俯视图的长对正,主视图与左视图的高平齐,左视图与俯视图的宽相等长、宽、高正对着物体看,左右是长,前后是宽,上下是高阅读与思考视图的产生与应用画法几何的介绍
29.3课题学习制作立体模型立体几何的感性认识数学活动立体几何的感性认识。