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第40讲平面与空间直线-两条直线的位置关系(第5-6课时)9.两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系⑴平行公理4(三线平行公理)平行于同一直线的两直线平行等角定理(线线平行的性质)如果一个角的两边分别和另一个角的两边分别平行,并且方向相同,那么这两个角相等⑵相交⑶异面
①定义不在同一平面内的两条直线叫做异面直线
②所成的角从二异面直线外的任一点引这两异面直线的平行线,引出的这两条直线所夹的锐角或直角叫做这两异面直线所成的角
③垂直若两异面直线所成的角等于直角,则称这两异面直线互相垂直注意过一点和一条直线垂直的直线在空间有无数多条
④公垂线和两条异面直线都垂直并且都相交的直线,有且只有一条,这条直线叫做这两条异面直线的公垂线
⑤距离夹在两异面直线之间的所有线段中,以它们的公垂线在两交点间的线段长度为最小,这个线段的长叫做这两异面直线的距离注意事项
①分别在两个平面内的各一条直线,它们不一定是异面直线对此不要和异面直线的定义相混淆例如图1和图2中的和就不是异面直线图1中的和是平行的,所以共面;图2中的和是相交的,所以也共面
②定理“垂直于同一直线的两直线平行”在平面几何中成立,但在立体几何中不成立如图3
③题目中的图形如果和教材中的习惯画法不同或者位置颠倒(即处于非正常位置)时,也要能熟练地使用定理
④在做计算题时,所需关系的得来,必须有严密的推理过程,不能随便默认10.证线线平行证线线平行常用的方法如下
①证、都平行于第三直线理论依据是“三线平行公理”
②证、是两个平行平面与第三个平面的交线理论依据是“一平面和两平行平面相交,交线平行”
③证∥平面,是过的平面与的交线理论依据是“直线平行于平面,过此直线的一个平面和此平面相交,那么此直线平行于交线”
④证、都垂直于同一平面理论依据是“垂直于同一平面的两直线平行”
⑤用反证法证、共面且无交点理论依据是“直线平行的定义”
⑥若是两平面的交线,则证此两平面都和平行理论依据是“同时平行于两相交平面的直线与这两相交平面的交线平行”
⑦若、共面,则利用平面几何知识例.如图,、异面,于,于,,∥,于,于,试证四边形为梯形证明∵,,,∴(三垂线逆定理),同理,,且,在平面内,,,∴∥,又∵,,∴∥,∴平面,∵,∴∥,若∥,则∥,这与、异面相矛盾,∴,∴四边形为梯形说明本题用到方法
①③④⑦例.如图,直线、、不共面,两平行平面、截此三直线得和,且,求证此两三角形面积相等证明∵∥,平面=,平面=,∴∥,同理,∥,∴,:=:,:=:,又=,=,∴:=:,∴=,∴,即说明本题使用方法
②11.证线线垂直证线线垂直常用的方法如下
①证垂直于所在的平面理论依据是“直线垂直平面则垂直于平面内的任一直线”
②证在某一平面内且垂直于在内的射影理论依据是“三垂线定理(记为“垂影必垂斜”)”
③证、在某一平面内,是某一直线在内的射影,且理论依据是“三垂线定理逆定理(记为“垂斜必垂影”)”
④证垂直于某一直线,而∥理论依据是“垂直于两平行线之一的直线必垂直于另一直线”
⑤证∥平面,且理论依据是“直线垂直平面则垂直于平面内的任一直线”
⑥证、平移后的夹角是直角理论依据是“异面直线垂直的定义”
⑦若、共面,则可以使用平面几何中证两线垂直的方法例.如图,设、分别是两异面直线上的两条线段,如果=,,求证证明过直线的中点和作平面,∵=,∴是等腰的中线,∴同理,,∴,∴说明本题使用方法
①例.如图,在棱长为1的正方体中,求证证明连接,∵底面,,∴(三垂线定理)说明本题使用方法
②例.如图,直线∥平面,,直线且与平面斜交于点,求证在内的射影和在内的射影互相垂直证明作垂直于,过与作平面交于,则是在内的射影∵∥,∴∥,又∵,∴,而是在内的射影,∴说明本题使用方法
③④例.如图,斜棱柱的底面是正三角形,一条侧棱和底面相邻两边、成等角,求证三棱锥的侧面为矩形证明∵与、成等角,∴在平面内的射影在的角平分线上∵为正三角形,是的平分线,∴,∴(三垂线定理),又∥,∴,∴为矩形说明本题使用方法
②④天启之门http://www.shuhuang.cc/天启之门最新章节txt下载笔趣阁天启之门无弹窗http://www.shuhuang.cc天启之门吧跳舞,全文阅读例.(82年高考第七大题)已知空间四边形,且=,=,、、、分别是边、、、的中点(如图),求证是矩形分析本题证明可分两步,第一步先证明是平行四边形,第二步再证明是矩形思路如下是矩形(邻边垂直)∥且∥(异面直线垂直)本题的关键是证明,可利用=和=得两个等腰和,过顶点和作底边的高和,则,,而和确定平面,而平面,∴说明本题使用方法
⑥解题错误
①不会利用已知条件=和=
②不会证明LJ0104-10两直线的位置关系123456789平行√√相交异面定义所成的角垂直公垂线√距离证线线平行√√√√证线线垂直√√√√√1.是异面直线、的公垂线,在上,在上,而垂直于平面,垂直于平面,、相交于直线,求证∥(分析题目时使用左图,写解答过程时请使用右图)证明过作直线∥,∵平面,∴平面,,又平面,∴,∴垂直、所确定的平面;又,∥,∴,又,∴垂直、所确定的平面;∴∥说明本题使用方法
④2.如图,、分别是、的中点,求证四边形是梯形(分析题目时使用左图,写解答过程时请使用右图)证明(暂缺)说明本题使用方法
①3.如图,空间四边形中,=,、、、分别为、、、的中点,求证为菱形证明∵,,∴,∴为平行四边形;又,=,∴;∴为菱形说明本题使用方法
①4.如图,、、、四点不共面,∥,求证∥证明∵∥,平面,∴∥平面,又平面,平面平面=,∴∥(线面平行的性质定理)说明本题使用方法
③5.如图,是正方形,面、都垂直于底面,若截面垂直于,求证证明说明本题使用方法
①
6.如图,已知空间四边形,且,,求证(分析题目时使用上图,写解答过程时请使用下图)证明作平面,为垂足,连接、,则、分别是、在平面内的射影∵,,∴,,(三垂线逆定理)∴是的垂心,∴,∴(三垂线定理)说明本题使用方法
③7.是正方形,,,求证,分析要证,只要证平面,只要在平面内找两条相交直线,它们都和垂直这由已知可得、要证,易见所在的平面(有两个)不可能与垂直;反过来,所在的平面也不可能与垂直看来需要作辅助线造一个平面,使所在的这个新平面与垂直(过造一个新平面,使与新平面垂直,行吗?)试连接,在平面中,能否在平面中找两条直线与垂直呢?∵平面,在平面内,∴,另外还有(正方形的对角线互相垂直)说明本题使用方法
①8.如图,平面平面=,直线,在内的射影为,求证证明设和确定平面,∵,∴,又为的射影,∴,又=,∴,又,∴说明本题使用方法
①9.如图,空间四边形,四边、、、的中点依次为、、、,求证四边形是矩形证明如图,,∴是平行四边形,又∥,而,∴,∴四边形是矩形考点热点一定掌握!图3图1图2能力测试认真完成!参考答案仔细核对!。