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本章复习与小结
(2)
一、递推关系通项公式的求法对于给定递推关系求数列的通项公式成为近年高考考查热点之一常见的出题形式为先给定数列的初始值及数列的递推关系,要求求出通项公式本文结合对历年高考考查的模式,总结出常见的主要有以下几种类型模式一形如递推式由累加法可求得通项公式为例1.(2007北京高考题)数列中,,(是常数,),且成公比不为的等比数列.(I)求的值;(II)求的通项公式模式二形如递推式由得,使用累乘法可得例2.已知数列满足,,,求通项公式模式三形如(其中、为常数)递推式,通常解法是设,求出,因是等比数列则可求出通项公式例3.(2007全国高考卷Ⅰ)已知数列中,,.(I)求的通项公式;(II)略模式四形如(其中为常数)递推式,(、为常数)是其特殊情形后者的等式两边同除以,得,令,则可化归为(、为常数)型例4.(2007天津高考题)在数列中,,其中.(I)求数列的通项公式;(II)略;模式五形如(其中为常数)递推式,设数列,使,则,即,令,则,即已化为模式一例5.已知数列满足,且,求数列的通项公式模式六形如且递推式,它的推广形式为通过对等式两边取对数,得,再令,即转化为类型一例6.已知数列满足,求模式七形如(其中、是不为零的常数)递推式,可变形为,则是公比为的等比数列,这就转化为了模式三例7.(2006福建文科高考题)已知数列满足(I)略;(II)求数列的通项公式;模式八形如及其变形形式和(其中、是不为零的常数)递推式对两边同除以,再令,,即化为等差数列形式例8.(2005重庆高考题)数列满足且记(I)略;(Ⅱ)求数列的通项公式及数列的前n项和模式九形如(其中)递推式,它是模式八的推广通常两边同除以,得,有,再令,得,这就化为了模式五例9.(2006江西高考题)已知数列{an}满足,且,(I)求数列{an}的通项公式;
(2)略解(I)将条件变为,因此为一个等比数列,其首项为1-=,公比,从而,据此可得.模式十形如(其中、是不为零的常数)递推式,将原式转化为,然后再通过迭代进行求解例10.(2005江西高考题)已知数列,,
(1)略;
(2)求数列的通项公式an.模式十一形如(、、、为常数)递推式,解常解法为先设函数,视、为得到特征方程,再以此方程的解的情况来求解若此方程无解,则此数列为循环数列;若特征方程有两个不等的实根、,则可变形为(其中);若特征方程有两个相等的实根,则可变形为(其中为常数)例11.已知数列{an},满足,求an.模式十二形如(其中、为非零常数)递推式例12.(2007四川高考题)已知函数,设曲线在点处的切线与轴的交点为,其中为正实数(Ⅰ)、(Ⅱ)略;(Ⅲ)若,记,证明数列成等比数列,并求数列的通项公式
二、例析数列求和的常用方法数列求和是数列教学内容的中心问题之一,也是近年高考命题的一个热点问题掌握一些求和的方法和技巧可以提高解决此问题的能力本文例析了一些求和的方法,仅供参考
(一)倒序相加法将一个数列倒过来排序(倒序),当它与原数列相加时,若有因式可提,并且剩余的项的和易于求得,则这样的数列可用倒序相加法求和如等差数列的求和公式的推导例1.已知满足,当时,,若,求
(二)错位相减法这是推导等比数列的前项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列的前项和,其中、分别是等差数列和等比数列例2.求数列的前项和
(三)分组求和法所谓分组求和法,即将一个数列中的项拆成几项,转化成特殊数列求和例3.已知数列满足,求其前项和
(四)公式法(恒等式法)利用已知的求和公式来求和,如等差数列与等比数列求和公式,再如、等公式例4.求数列的和
(五)拆项(裂项)相消法若数列能裂项成,即所裂两项具有传递性(即关于n的相邻项,使展开后中间项能全部消去)例5.已知数列满足,求数列的前项和
(六)通项化归法即把数列的通项公式先求出来,再利用数列的特点求和例.求数列的前项和
(七)并项法求和在数列求和中,若出现相邻两项(或有一定规律的两项)和为常数时,可用并项法,但要注意的奇偶性例7.已知数列,求数列的前项和
(八)奇偶分析项当数列中的项有符号限制时,应分为奇数、偶数进行讨论例8.若,求数列的前项和
(九)利用周期性求和若数列,都有(其中为给定的自然数,),则称数列为周期数列,其中为其周期例9.已知数列中,,求其前项的和.
(十)导数法利用函数的求导来计算数列的和例10.求数列前项和,其中.
(十一)待定系数法若数列的和是一个多项式,可以考虑用待定系数法例11.求,,,,的和
(十二)组合数法例12.求数列,,,的和
(十三)极限法求和例13.已知在数列中,,求数列的所有项和
(十四)归纳、猜想、证明法.例14.已知数列,求其前项和。