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题目http://www.xjktyg.com/wxc/第三章数列http://www.xjktyg.com/wxc/http://www.xjktyg.com/wxc/http://www.xjktyg.com/wxc/http://www.xjktyg.com/wxc/http://www.xjktyg.com/wxc/http://www.xjktyg.com/wxc/http://www.xjktyg.com/wxc/http://www.xjktyg.com/wxc/等差数列与等比数列的性质及其应用高考要求http://www.xjktyg.com/wxc/1理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项http://www.xjktyg.com/wxc/2理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题http://www.xjktyg.com/wxc/3理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实际问题http://www.xjktyg.com/wxc/知识点归纳http://www.xjktyg.com/wxc/1http://www.xjktyg.com/wxc/一般数列的通项an与前n项和Sn的关系an=2http://www.xjktyg.com/wxc/等差数列的通项公式an=a1+n-1dan=ak+n-kd其中a1为首项、ak为已知的第k项当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数http://www.xjktyg.com/wxc/3http://www.xjktyg.com/wxc/等差数列的前n项和公式Sn=Sn=Sn=当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式http://www.xjktyg.com/wxc/4http://www.xjktyg.com/wxc/等差数列的通项an与前n项和Sn的关系an=5http://www.xjktyg.com/wxc/等差中项公式A=（有唯一的值）6http://www.xjktyg.com/wxc/等比数列的通项公式an=a1qn-1an=akqn-k其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠07http://www.xjktyg.com/wxc/等比数列的前n项和公式当q=1时，Sn=na1是关于n的正比例式；当q≠1时，Sn=Sn=8http://www.xjktyg.com/wxc/等比中项公式G=（ab0，有两个值）9http://www.xjktyg.com/wxc/等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、……仍为等差数列http://www.xjktyg.com/wxc/10http://www.xjktyg.com/wxc/等差数列{an}中，若m+n=p+q，则11http://www.xjktyg.com/wxc/等比数列{an}中，若m+n=p+q，则12http://www.xjktyg.com/wxc/等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、……仍为等比数列（当m为偶数且公比为-1的情况除外）http://www.xjktyg.com/wxc/13http://www.xjktyg.com/wxc/两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列http://www.xjktyg.com/wxc/14http://www.xjktyg.com/wxc/两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数的数列{anbn}、、仍为等比数列http://www.xjktyg.com/wxc/15http://www.xjktyg.com/wxc/等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列http://www.xjktyg.com/wxc/16http://www.xjktyg.com/wxc/等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列http://www.xjktyg.com/wxc/17http://www.xjktyg.com/wxc/三个数成等差的设法a-daa+d；四个数成等差的设法a-3da-da+da+3d18http://www.xjktyg.com/wxc/三个数成等比的设法a/qaaq；四个数成等比的错误设法a/q3a/qaqaq3因为其公比为0对于公比为负的情况不能包括19http://www.xjktyg.com/wxc/{an}为等差数列，则c0是等比数列http://www.xjktyg.com/wxc/20http://www.xjktyg.com/wxc/{bn}（bn0）是等比数列，则{logcbn}c0且c1是等差数列http://www.xjktyg.com/wxc/题型讲解http://www.xjktyg.com/wxc/例1公差不为零的等差数列的第
二、
三、六项成等比数列求公比qhttp://www.xjktyg.com/wxc/解:设等差数列的通项an=a1+n-1dd≠0http://www.xjktyg.com/wxc/根据题意得a32=a2a6即a1+2d2=a1+da1+5d解得http://www.xjktyg.com/wxc/所以例2设各项均为正数的数列{an}和{bn}满足:an、bn、an+1成等差数列bn、an+
1、bn+1成等比数列且a1=1b1=2a2=3求通项anbnhttp://www.xjktyg.com/wxc/解:依题意得:2bn+1=an+1+an+2
①a2n+1=bnbn+1
②∵an、bn为正数由
②得代入
①并同除以得:∴为等差数列http://www.xjktyg.com/wxc/∵b1=2a2=3∴∴当n≥2时又a1=1当n=1时成立∴http://www.xjktyg.com/wxc/例3在等比数列{an}的前n项中，a1最小，且a1+an=66，a2an-1=128，前n项和Sn=126求n和公比qhttp://www.xjktyg.com/wxc/解∵{an}为等比数列∴a1·an=a2·an-1由a1·an=128，a1+an=66且a1最小得a1=2，an=64解得解得n=6∴n=6q=2http://www.xjktyg.com/wxc/例4已知正项等比数列{an}满足条件
①；
②；求的通项公式http://www.xjktyg.com/wxc/解易知，，由已知得
①，
②①÷
②得，即，∴
①×
②得，即，即，∴，即∴例5在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列，则amam+2am+1成等差数列http://www.xjktyg.com/wxc/（１）写出这个命题的逆命题；（２）判断逆命题是否为真，并给出证明http://www.xjktyg.com/wxc/解（１）逆命题在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若amam+2am+1成等差数列，则Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列http://www.xjktyg.com/wxc/（２）设{an}的首项为a1，公比为q由已知得2am+2=am+am+1∴2a1qm+1=a1+a1qm∵a1≠0q≠0∴2q2－q－1=0∴q=1或q=－http://www.xjktyg.com/wxc/当q=1时，∵Sm=ma1，Sm+2=m+2a1，Sm+1=m+1a1，∴Sm+Sm+1≠2Sm+2∴Sm，Sm+2，Sm+1不成等差数列http://www.xjktyg.com/wxc/当q=－时∴Sm+Sm+1=2Sm+2∴Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列http://www.xjktyg.com/wxc/综上得当公比q=1时，逆命题为假；当公比q≠1时，逆命题为真http://www.xjktyg.com/wxc/点评对公比进行分类是本题解题的要害所在，问题好在分类，活在逆命题亦假亦真二者兼顾，可谓是一道以知识呈现、能力立意的新颖试题http://www.xjktyg.com/wxc/例6在1与2之间插入n个正数a1a2a3…an使这n+2个数成等比数列;又在1与2之间插入n个正数b1b2b3…bn使这n+2个数成等差数列http://www.xjktyg.com/wxc/记An=a1a2a3…anBn=b1+b2+b3+…+bnhttp://www.xjktyg.com/wxc/
①求数列{An}和{Bn}的通项;
②当n≥7时比较An与Bn的大小并证明你的结论http://www.xjktyg.com/wxc/解:
①∵1a1a2a3…an2成等比数列∴a1·an=a2·an-1=…=ak·an-k+1=…=1×2=2∴A2n=a1·ana2·an-1…ak·an-k+1…an-1·a2an·a1=2n∴http://www.xjktyg.com/wxc/∵1b1b2b3…bn2成等差数列∴b1+bn=1+2=3，∴http://www.xjktyg.com/wxc/
②∵∴要比较An与Bn的大小只需比较A2n与B2n的大小也即比较当n≥7时的大小http://www.xjktyg.com/wxc/∵当n=7时∴当n=7时http://www.xjktyg.com/wxc/经验证:n=8n=9时均有命题成立http://www.xjktyg.com/wxc/猜想当n≥7时有用数学归纳法证明ⅰ当n=7时已验证命题成立http://www.xjktyg.com/wxc/ⅱ假设n=kk≥7时命题成立即http://www.xjktyg.com/wxc/又当k≥7时有k22k+1∴http://www.xjktyg.com/wxc/这就是说当n=k+1时命题成立http://www.xjktyg.com/wxc/根据ⅰⅱ可知命题对于都成立http://www.xjktyg.com/wxc/故当n≥7时AnBnhttp://www.xjktyg.com/wxc/例7n2n≥4个正数排成n行n列:其中每一行的数成等差数列每一列的数成等比数列并且所有公比相等http://www.xjktyg.com/wxc/已知a24=1http://www.xjktyg.com/wxc/求S=a11+a22+a33+…+annhttp://www.xjktyg.com/wxc/解:设数列{}的公差为d数列{}i=123…n的公比为qhttp://www.xjktyg.com/wxc/则=a11+k-1dakk=[a11+k-1d]qk-1http://www.xjktyg.com/wxc/依题意得:解得:a11=d=q=±http://www.xjktyg.com/wxc/又n2个数都是正数∴a11=d=q=∴akk=http://www.xjktyg.com/wxc/两式相减得:http://www.xjktyg.com/wxc/例8已知数列中，是其前项和，并且，http://www.xjktyg.com/wxc/⑴设数列，求证数列是等比数列；⑵设数列，求证数列是等差数列；⑶求数列的通项公式及前项和http://www.xjktyg.com/wxc/分析由于{b}和{c}中的项都和{a}中的项有关，{a}中又有S=4a+2，可由S-S作切入点探索解题的途径http://www.xjktyg.com/wxc/解1由S=4a，S=4a+2，两式相减，得S-S=4a-a，即a=4a-4ahttp://www.xjktyg.com/wxc/根据b的构造，如何把该式表示成b与b的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练∴a-2a=2a-2a，又b=a-2a，所以b=2b
①已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3
②由
①和
②得，数列{b}是首项为3，公比为2的等比数列，故b=3·2http://www.xjktyg.com/wxc/当n≥2时，S=4a+2=23n-4+2；当n=1时，S=a=1也适合上式http://www.xjktyg.com/wxc/综上可知，所求的求和公式为S=23n-4+2http://www.xjktyg.com/wxc/说明本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前项和http://www.xjktyg.com/wxc/解决本题的关键在于由条件得出递推公式http://www.xjktyg.com/wxc/小结1http://www.xjktyg.com/wxc/等差数列和等比数列的通项公式、前n项和公式联系着五个基本量:a1d或qnanSnhttp://www.xjktyg.com/wxc/“知三求二”是最基本的运算充分利用公式建立方程是最基本的思想方法http://www.xjktyg.com/wxc/2http://www.xjktyg.com/wxc/列举一些项来判断“关系”和“性质”是解决数列问题常用的思路和手段http://www.xjktyg.com/wxc/3http://www.xjktyg.com/wxc/解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用http://www.xjktyg.com/wxc/学生练习http://www.xjktyg.com/wxc/1http://www.xjktyg.com/wxc/数列11/31/71/161/31…的一个通项公式为an=答案1/2n─1;2http://www.xjktyg.com/wxc/数列abab…的一个通项公式an=答案[a+b+─1n─1a─b];3http://www.xjktyg.com/wxc/数列{an}的前n项之和为Sn=3+2n则其通项公式为an=答案;4http://www.xjktyg.com/wxc/数列{an}满足a1=1an=an─1/2+1n2求其通项公式http://www.xjktyg.com/wxc/答案2─1/2n─1http://www.xjktyg.com/wxc/5http://www.xjktyg.com/wxc/数列{an}中，已知a1=can+1=pan+qp≠1求an的通项公式http://www.xjktyg.com/wxc/答案（略）6http://www.xjktyg.com/wxc/数列{an}满足a1=1/2a1+a2+…+an=n2an求anhttp://www.xjktyg.com/wxc/答案a1+a2+…+an=n2an，a1+a2+…+an─1=an─1an/an─1=n─1/n+1取n=234…n代入上式，各式相乘得an/a1===http://www.xjktyg.com/wxc/（注意上述变形方法，一个式子可以变化成无穷多个式子，这就是函数思想）7http://www.xjktyg.com/wxc/数列{an}的前n项之和Sn和第n项an之间满足2lg=lgSn+lg1─an求an和Snhttp://www.xjktyg.com/wxc/答案原式可以变为Sn─an+12=4Sn1─ana1=1/2可以变为Sn─1+12=4Sn1+Sn─1─SnSn─1+12─4SnSn─1+1+4Sn2=Sn─1+1─2Sn2=0Sn─1+1=2SnSn=Sn─1/2+1/2如果有常数x，使得Sn+x=Sn─1+x/2比较原式可得─x/2=1/2x=─1∴Sn─1=Sn─1─1/2Sn=S1─1=─从而an=Sn─Sn─1=另解直接由原式移项配方可得[Sn─1─an]2=0Sn=1─anSn─1=1─an─1两式相减得an=Sn─Sn─1=an─1─an适合n=1an=an─1/2{an}为等比数列，an=点评以上两种解题的思路有所不同，第一种方法是从an转向Sn第二种方法是从Sn转向anhttp://www.xjktyg.com/wxc/8http://www.xjktyg.com/wxc/数列{an}与{bn}的通项公式分别为an=2nbn=3n+2它们的公共项从小到大排成的数列是{cn}写出{cn}的前5项；2证明{cn}是等比数列http://www.xjktyg.com/wxc/答案1{cn}的前5项为8321285122048;设am=bp=cn则cn=2m=3p+2am+1=2m+1=23p+2=32p+1+1∴am+1不在{cn}中，而am+2=2m+2=43p+2=34p+2+2是{bn}中的项，即cn+1=4cnhttp://www.xjktyg.com/wxc/{cn}是公比为4的等比数列http://www.xjktyg.com/wxc/9http://www.xjktyg.com/wxc/如图一个粒子在第一象限运动，在第一秒内它从原点运动到01而后它接着按图所示的方向在与x轴，y轴平行的方向上来回运动，且每秒移动一个单位长度，那么1999秒时，这个粒子所处的位置为http://www.xjktyg.com/wxc/答案选择粒子到达对角点时的总时间为分析对象http://www.xjktyg.com/wxc/设粒子到达第n个正方形的对角点所用的总时间为an则有an+1=an+n+1+1+n=an+2n+1∴a1=2a2=a1+4a3=a2+6a4=a3+8……an=an─1+2n以上各式相加可得an=nn+1比较an与1999列式nn+1=1999当n=44时，an=1980当n=45时，an=20701999因此粒子走到第44个对角点4444后，在向左走19秒经过奇数对角点后向下，经过偶数对角点后向左，即2544本题的解题关键是构造数列，找出数列的递推式http://www.xjktyg.com/wxc/10http://www.xjktyg.com/wxc/一楼至2楼共n级台阶，上楼梯可以一步上一级台阶，也可以一步上两级台阶，问从一楼上到2楼共有多少种不同的走法？答案设从一楼到第k级台阶共有ak种走法，则有关系式a1=1a2=2ak+2=ak+1+ak（这是一个Fibonacci数列）假设存在两个常数pq，使得ak+2+pak+1=qak+1+pak设bk=ak+1+pak便有bk=b1qk─1即ak+1+pak=a2+pa1qk─1用方程思想，假设有这样的pq，则有解得p=q=或p=─q=─将上述两组数据分别代入ak+1+pak=a2+pa1qk─1式，可得上述两式子相减得课前后备注http://www.xjktyg.com/wxc/ 。
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