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五、数学归纳法归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质,推断该类事物全体都具有的性质,这种推理方法,在数学推理论证中是不允许的完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法,在解数学题中有着广泛的应用它是一个递推的数学论证方法,论证的第一步是证明命题在n=1或n时成立,这是递推的基础;第二步是假设在n=k时命题成立,再证明n=k+1时命题也成立,这是无限递推下去的理论依据,它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般,实际上它使命题的正确性突破了有限,达到无限这两个步骤密切相关,缺一不可,完成了这两步,就可以断定“对任何自然数(或n≥n且n∈N)结论都正确”由这两步可以看出,数学归纳法是由递推实现归纳的,属于完全归纳运用数学归纳法证明问题时,关键是n=k+1时命题成立的推证,此步证明要具有目标意识,注意与最终要达到的解题目标进行分析比较,以此确定和调控解题的方向,使差异逐步减小,最终实现目标完成解题运用数学归纳法,可以证明下列问题与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等Ⅰ、再现性题组
1.用数学归纳法证明n+1n+2…n+n=2·1·2…2n-1(n∈N),从“k到k+1”,左端需乘的代数式为_____A.2k+1B.22k+1C.D.
2.用数学归纳法证明1+++…+nn1时,由n=kk1不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的代数式的个数是_____A.2B.2-1C.2D.2+
13.某个命题与自然数n有关,若n=kk∈N时该命题成立,那么可推得n=k+1时该命题也成立现已知当n=5时该命题不成立,那么可推得______94年上海高考A.当n=6时该命题不成立B.当n=6时该命题成立C.当n=4时该命题不成立D.当n=4时该命题成立
4.数列{a}中,已知a=1,当n≥2时a=a+2n-1,依次计算a、a、a后,猜想a的表达式是_____A.3n-2B.nC.3D.4n-
35.用数学归纳法证明3+5n∈N能被14整除,当n=k+1时对于式子3+5应变形为_______________________
6.设k棱柱有fk个对角面,则k+1棱柱对角面的个数为fk+1=fk+_________【简解】1小题n=k时,左端的代数式是k+1k+2…k+kn=k+1时,左端的代数式是k+2k+3…2k+12k+2,所以应乘的代数式为,选B;2小题(2-1)-(2-1)=2,选C;3小题原命题与逆否命题等价,若n=k+1时命题不成立,则n=k命题不成立,选C4小题计算出a=
1、a=
4、a=
9、a=16再猜想a,选B;5小题答案(3+5)3+5(5-3);6小题答案k-1Ⅱ、示范性题组例
1.已知数列,得,…,,…S为其前n项和,求S、S、S、S,推测S公式,并用数学归纳法证明(93年全国理)【解】计算得S=,S=,S=,S=,猜测S=n∈N当n=1时,等式显然成立;假设当n=k时等式成立,即S=,当n=k+1时,S=S+=+===由此可知,当n=k+1时等式也成立综上所述,等式对任何n∈N都成立【注】把要证的等式S=作为目标,先通分使分母含有2k+3,再考虑要约分,而将分子变形,并注意约分后得到(2k+3)-1这样证题过程中简洁一些,有效地确定了证题的方向本题的思路是从试验、观察出发,用不完全归纳法作出归纳猜想,再用数学归纳法进行严格证明,这是关于探索性问题的常见证法,在数列问题中经常见到假如猜想后不用数学归纳法证明,结论不一定正确,即使正确,解答过程也不严密必须要进行三步试值→猜想→证明【另解】用裂项相消法求和由a==-得,S=(1-)+(-)+……+-=1-=此种解法与用试值猜想证明相比,过程十分简单,但要求发现=-的裂项公式可以说,用试值猜想证明三步解题,具有一般性例
2.设a=++…+n∈N证明nn+1an+1【分析】与自然数n有关,考虑用数学归纳法证明n=1时容易证得,n=k+1时,因为a=a+所以在假设n=k成立得到的不等式中同时加上,再与目标比较而进行适当的放缩求解【解】当n=1时,a=,nn+1=,n+1=2,∴n=1时不等式成立假设当n=k时不等式成立,即kk+1ak+1,当n=k+1时,kk+1+ak+1+kk+1+kk+1+k+1=k+1k+3k+1k+2,k+1+=k+1+k+1+k+=k+2,所以k+1k+2ak+2,即n=k+1时不等式也成立综上所述,对所有的n∈N,不等式nn+1an+1恒成立【注】用数学归纳法解决与自然数有关的不等式问题,注意适当选用放缩法本题中分别将缩小成k+
1、将放大成k+的两步放缩是证n=k+1时不等式成立的关键为什么这样放缩,而不放大成k+2,这是与目标比较后的要求,也是遵循放缩要适当的原则本题另一种解题思路是直接采用放缩法进行证明主要是抓住对的分析,注意与目标比较后,进行适当的放大和缩小解法如下由n可得,a1+2+3+…+n=nn+1;由n+可得,a1+2+3+…+n+×n=nn+1+n=n+2nn+1所以nn+1an+1例
3.设数列{a}的前n项和为S,若对于所有的自然数n,都有S=,证明{a}是等差数列(94年全国文)【分析】要证明{a}是等差数列,可以证明其通项符合等差数列的通项公式的形式,即证a=a+n-1d命题与n有关,考虑是否可以用数学归纳法进行证明【解】设a-a=d,猜测a=a+n-1d当n=1时,a=a,∴当n=1时猜测正确当n=2时,a+2-1d=a+d=a,∴当n=2时猜测正确假设当n=k(k≥2)时,猜测正确,即a=a+k-1d,当n=k+1时,a=S-S=-,将a=a+k-1d代入上式,得到2a=k+1a+a-2ka-kk-1d,整理得k-1a=k-1a+kk-1d,因为k≥2所以a=a+kd,即n=k+1时猜测正确综上所述,对所有的自然数n,都有a=a+n-1d,从而{a}是等差数列【注】将证明等差数列的问题转化成证明数学恒等式关于自然数n成立的问题在证明过程中a的得出是本题解答的关键,利用了已知的等式S=、数列中通项与前n项和的关系a=S-S建立含a的方程,代入假设成立的式子a=a+k-1d解出来a另外本题注意的一点是不能忽视验证n=
1、n=2的正确性,用数学归纳法证明时递推的基础是n=2时等式成立,因为由k-1a=k-1a+kk-1d得到a=a+kd的条件是k≥2【另解】可证a-a=a-a对于任意n≥2都成立当n≥2时,a=S-S=-;同理有a=S-S=-;从而a-a=-na+a+,整理得a-a=a-a,从而{a}是等差数列一般地,在数列问题中含有a与S时,我们可以考虑运用a=S-S的关系,并注意只对n≥2时关系成立,象已知数列的S求a一类型题应用此关系最多Ⅲ、巩固性题组
1.用数学归纳法证明6+1n∈N能被7整除
2.用数学归纳法证明1×4+2×7+3×10+…+n3n+1=nn+1n∈N
3.n∈N,试比较2与n+1的大小,并用证明你的结论
4.用数学归纳法证明等式cos·cos·cos·…·cos=81年全国高考
5.用数学归纳法证明|sinnx|≤n|sinx|(n∈N)(85年广东高考)
6.数列{a}的通项公式a=n∈N,设fn=1-a1-a…1-a,试求f
1、f
2、f3的值,推测出fn的值,并用数学归纳法加以证明
7.已知数列{a}满足a=1,a=acosx+cos[n-1x],x≠kπ,n≥2且n∈N
①.求a和a;
②.猜测a,并用数学归纳法证明你的猜测
8.设flogx=
①.求fx的定义域;
②.在y=fx的图像上是否存在两个不同点,使经过这两点的直线与x轴平行?证明你的结论
③.求证fnnn1且n∈N。