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www.ks5u.com数学归纳法常见错误剖析初学数学归纳法常出现下面的错误,剖析如下
1、不用假设致误例1用数学归纳法证明1错证
①当时,左边=1,右边==1,所以等式成立
②假设当时等式成立即那么当时,,也就是说当时,等式成立由
①②知对任何等式都成立剖析用数学归纳法证明第
②步骤时,在从“”到“的过程中,必须把的命题作为已给定的条件,要在这个条件基础上去导出时的命题所以在推导过程中故必须把时的命题用上,本解法错因是对假设设而不用正解
①当时,左边=1,右边==1,所以等式成立
②假设当时等式成立即那么当时,=即当时,等式成立由
①②知对任何等式都成立
2、盲目套用数学归纳法中的两个步骤致误例2当为正奇数时,能否被8整除?若能用数学归纳法证明若不能请举出反例证明⑴当n=1时,7+1=8能被8整除命题成立⑵假设当n=k时命题成立即能被8整除则当n=k+1时,不能8整除.由
(1)
(2)知n为正奇数7不能被8整除分析错因;机械套用数学归纳法中的两个步骤,而忽略了n是整奇数的条件证明前要看准已知条件正解
(2)n=k时命题成立,即7能被8整除当n=k+2时,=49(7因7能被8整除且48能被8整除所以能被8整除所以当n=k+2时命题成立由⑴⑵知当为正奇数时,7能被8整除三没有搞清从k到k+1的跨度例3求证错证
(1)当=1时,不等式成立
(2)假设n=k时命题成立,即则当n=k+1时,就是说当n=k+1时不等式成立由⑴⑵知原不等式成立点评上述证明中,从k到k+1的跨度,只加了一项是错误的,分母是相临的自然数,故应是,跨度是三项正确证法
(1)当=1时,左边=,不等式成立
(2)假设n=k时命题成立,即,则当n=k+1时,=()++1+=1+这就是说,当时,不等式成立由⑴⑵知原不等式成立。