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www.ks5u.com变化率与导数——知能提升导数是微积分的核心概念之一,学好导数必须正确理解变化率、导数的概念以及其几何意义,下面通过例题来对变化率与导数的知识进行归纳梳理,望能对同学有所启迪1.变化率问题例1求在到之间的平均变化率()分析本题的自变量在分母中出现,因此题目中给出了“”的条件,在一些特殊的情况下,如果题干中未给出这一条件,就需要进行分类讨论本题只需直接套用公式就可以了解析当自变量从变到时,函数的平均变化率评注本题运算量相对较大,可对分子运用平方差公式2.瞬时速度问题例2已知一物体的运动方程为,求此物体在和时的瞬时速度分析要求瞬时速度就是求,本题是分段函数,求解时要根据的取值选取函数的解析式解析当时,,∴,∴当时的瞬时速度为6当时,,∴,∴当时的瞬时速度为6评注在某时刻的速度即瞬时速度,应区别于平均速度3.切线问题例3已知直线,求曲线上和已知直线垂直的切线方程分析利用斜率之间的关系求解解析∵所求切线与直线垂直,∴切线的斜率为又∵,∴,∴,∴,即切点为故所求切线方程为,即评注充分利用垂直的条件和导数的几何意义是解决该类问题的关键4.倾斜角问题例4已知曲线上的一点,则过点的切线的倾斜角为().2.4..6分析先求出切线的斜率,再确定倾斜角的大小解析∵,∴,∴∴点处切线的斜率等于1,故切线的倾斜角为∴答案应选评注若存在,则其为切线的斜率,切线自然存在,从而倾斜角可求5.面积问题例5求曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积分析由题意知切线与两坐标轴所围成的三角形为直角三角形,故需求出切线方程及其在两坐标轴上的截距解析∵,∴在点处的切线方程为,即此切线与轴、轴的交点分别为,,故所求三角形的面积为评注本题将曲线的切线与求三角形的面积联系在一起,可先作出草图,帮助解题。