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文本内容:
第一章数
一、数的有关概念和运算
1、有理数任何一个有理数总可以写成的形式,其中p、q是互质的整数,这是有理数的重要特征
2、无理数初中遇到的无理数有三种开不尽的方根,如、;特定结构的不限环无限小数,如
1.101001000100001……;特定意义的数,如π、°等注意判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉,往往要经过整理化简后才下结论
3、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴画数轴时,要注童上述规定的三要素缺一个不可注意
①实数与数轴上的点是一一对应的;
②数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数
4、相反数只有符号不同的两个数,叫做互为相反数,零的相反数是零注意
①若a、b互为相反数,则a+b=o,a2n=b2n(n为正整数)a的绝对值等于b的绝对值
②相反数等于它本身的数是零;
③从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称
5、倒数乘积是1的两个数互为倒数注意零是唯一没有倒数的数,倒数等于本身的数是1或-1)a和b互为倒数;
(3)注意0没有倒数
7、绝对值
(1)一个数a的绝对值有以下三种情况
(2)实数的绝对值是一个非负数,从数轴上看,一个实数的绝对值,就是数轴上表示这个数的点到原点的距离
(3)去掉绝对值符号(化简)必须要对绝对值符号里面的实数进行数性(正、负)确认,再去掉绝对值符号
三、实数与数轴
1、数轴规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴原点、正方向、单位长度是数轴的三要素
2、数轴上的点和实数的对应关系数轴上的每一个点都表示一个实数,而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示实数和数轴上的点是一一对应的关系
四、实数大小的比较
1、在数轴上表示两个数,右边的数总比左边的数大
2、正数大于0;负数小于0;正数大于一切负数;两个负数绝对值大的反而小
五、实数的运算
1、加法
(1)同号两数相加,取原来的符号,并把它们的绝对值相加;
(2)异号两数相加,取绝对值大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值可使用加法交换律、结合律
2、减法减去一个数等于加上这个数的相反数
3、乘法
(1)两数相乘,同号取正,异号取负,并把绝对值相乘
(2)n个实数相乘,有一个因数为0,积就为0;若n个非0的实数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数有偶数个时,积为正;当负因数为奇数个时,积为负
(3)乘法可使用乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律
4、除法
(1)两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除
(2)除以一个数等于乘以这个数的倒数
(3)0除以任何数都等于0,0不能做被除数
5、乘方与开方乘方与开方互为逆运算
6、实数的运算顺序乘方、开方为三级运算,乘、除为二级运算,加、减是一级运算,如果没有括号,在同一级运算中要从左到右依次运算,不同级的运算,先算高级的运算再算低级的运算,有括号的先算括号里的运算无论何种运算,都要注意先定符号后运算
六、有效数字和科学记数法
1、科学记数法设N>0,则N=a×(其中1≤a<10,n为整数)
2、有效数字一个近似数,从左边第一个不是0的数,到精确到的数位为止,所有的数字,叫做这个数的有效数字精确度的形式有两种
(1)精确到那一位;
(2)保留几个有效数字
1、正数都大于零,负数都小于零,正数大于负数.
2、零的相反数是零
3、数轴上表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值.一个正数的绝对值是它本身;零的绝对值是零;一个负数的绝对值是它的相反数.
4、两个负数,绝对值大的反而小.
5、有理数的运算
(1)有理数的加法法则同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;绝对值不等的异号两数相加,取绝对值较大加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;互为相反数的两个数相加得零;一个数同零相加,仍得这个数.
(2)有理数减法法则:减去一个数,等于加上这个数的相反数.
(3)有理数乘法法则两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对植相乘.任何数同零相乘,都得零.不等于零的数相乘,积的符号由负因数的个数决定,当负因数有奇数个时,积为负;当负因数有偶数个时,积为正.几个数相乘,有一个因数为零,积就为零.
(4)有理数除法则除以一个数等于乘上这个数的倒数.注意0不能作除数.
(5)有理数乘方法则an正数的任何次幂都是正数;负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数.
(6)有理数混合运算的运算顺序规定如下
①先算乘方,再算乘除,最后算加减;
②同级运算,按照从左至右的顺序进行;
③如果有括号,就先算小括号里的,再算中括号里的,最后算大括号里的.
(7)科学计数法±a×10n1≤a10,n是正整数
6、
(1)加法交换律a+b=b+a;加法结合律a+b+c=a+(b+c);乘法交换律a·b=b·a;乘法结合律abc=a(bc);乘法分配律a(b+c)=ab+ac.
(2)幂的运算am·an=am+n(m、n为正整数);(m、n为正整数);(n为正整数);(m、n为正整数,mn,a≠0),a0=1(a≠0);(a≠0,n为正整数).
(3)乘法公式平方差公式;完全平方公式=十字相乘法(x+a)x+b=x2+a+bx+ab
二、式的有关概念和运算
1、合并同类项的法则把同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母的指数保持不变.
2、去括号法则括号前面是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉,括号里各项都不变符号;括号前面是“-”号,把括号和它前面的“-”号去掉,括号里各项都改变符号.
3、添括号法则所添括号前面是“+”号,括到括号里的各项都不变符号;所添括号前面是“-”号,括到括号里的各项都改变符号.
4、整式加减的一般步骤1如果有括号,那么先去括号;2如果有同类项,再合并同类项.
5、二次根式
(1)形如的式子叫做二次根式.
(2)最简二次根式根式中不含分母,分母中不含根式,根式中的数和字母不能再开得尽方
(3)几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式叫做同类二次根式
(4)运算;()
(5)双重非负性
三、方程一元二次方程ax2+bx+c=0a≠01.求根公式(△=)△0方程有两不等实数根△=0方程有两相等实数根△0方程无实数根2.韦达定理1ax2+bx+c=0a≠0化系数为1x1+x2=-x1x2=2x2+px+q=0x1+x2=-px1x2=q韦达定理即化系数为1后,两根之和等于一次项系数相反数,两根之积等于常数项
四、不等式的性质
1、如果ab,那么a+cb+c,a-cb-c;
2、如果ab,且c0,那么acbc;如果ab,且c0,那么acbc.
五、锐角三角函数如果a、b、c分别是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边,
1.,,
2.S△=sinA=acsinB=bcsinC3.平方关系Sin2A+cos2A=
14.相等关系若A+B=900则sinA=cosB;tanA=cotB
5.倒数关系tanAtanB=1tanAcotA=
16.商的关系
7.特殊角三角函数值304560SinCostan
六、1弧长和扇形面积的计算如果弧长为l,圆心角度数为n,圆的半径为r,扇形的面积为S,则,.2圆锥的相关计算圆锥展开图成扇形(圆锥母线l为扇形半径R,底面圆周长C为扇形弧长L)圆锥侧面积S=圆锥的全面积S=扇形的中心角
七、比例比例性质反比性质更比性质合比定理等比定理=kb+d+f+…≠0则=k
八、函数一次函数:y=kx+bk≠0;b称为截距k0图像过第
一、三象限;y随x增大而增大k0图像过第
二、四象限;y随x增大而减小b0图像与Y轴正半轴相交;b=0图像经过原点;b0图像与Y轴负半轴相交两直线K相同,则两直线平行,反之亦成立K1K2=-1,则两直线垂直二次函数
1、y=ax2+bx+ca≠0一般式对称轴直线x=顶点(,)
2、y=ax-x1x-x2交点式对称轴直线
3、y=ax+h2+k顶点式对称轴直线x=-h顶点(-h,k)
4、a、b、c符号a:决定图像开口方向,越大,开口越小b:a与b符号满足左同右异(对称轴在x轴左侧ab同号,对称轴在x轴右侧ab异号)c:图像与y轴交点的纵坐标
5、特殊值的符号a+b+c(当x=1时)a-b+c当x=-1时4a+2b+c当x=2时4a-2b+c当x=-2时2a+bx=与x=1的大小关系2a-bx=与x=-1的大小关系
6、抛物线与x轴相交于两点,则两点之间距离为初中公理和定理
1、两点之间,线段最短.
2、经过两点有一条直线,并且只有一条直线
3、两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离
4、对顶角相等
5、平面内,经过直线外或直线上一点,有且只有一条直线与已知直线垂直
6、
(1)经过已知直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行
(2)如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也平行.
7、直线外一点与直线各点连接的所有线段中,垂线段最短,该垂线段叫做点到直线的距离
8、如果两个角的和是直角,那么称这两个角互为余角如果两个角的和是平角,那么称这两个角互为平角
9、同角或等角的余角相等,同角或等角的补角相等
10、平行线的判定
(1)同位角相等,两直线平行;
(2)内错角相等,两直线平行;
(3)同旁内角互补,两直线平行.
11、平行线的性质
(1)两直线平行,同位角相等
(2)两直线平行,内错角相等
(3)两直线平行,同旁内角互补
12、从一个角的顶点引出的一条射线中,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线角平分线的性质角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.角平分线的判定到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.角平分线定理三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例如在△ABC中,AD平分∠BAC,则BD DC=AB AC
9、线段垂直平分线的性质线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.线段垂直平分线的判定到一条线段的两个端点的距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.
10、三角形中的有关公理、定理
(1)三角形外角的性质
①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和;
②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角;
③三角形的外角和等于360°.
(2)三角形内角和定理三角形的内角和等于180°
(3)三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边
(4)三角形中位线定理:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半
11、多边形中的有关公理、定理
(1)多边形内角和定理n边形内角和n-2)×180°
(2)多边形外角和定理任意多边形外角和为360°
(3)多边行中顶点数+面数-棱数=
2.
12、如果图形关于某一直线对称,那么连结对应点的线段被对称轴垂直平分
13、等腰三角形中的有关公理、定理
(1)等腰三角形的两个底角相等(“等边对等角”)
(2)如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(“等角对等边”)
(3)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合,简称“三线合一”.
(4)等边三角形的各个内角都相等,都等于60°5等边三角形底边长为a则底边上高为
14、直角三角形的有关公理、定理
(1)直角三角形的两个锐角互余;
(2)勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;
(3)勾股定理逆定理若一个三角形一条边的平方等于另外两条边的平方和,则这个三角形是直角三角形.
(4)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
(5)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
(6)在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,锐角等于30°,那么它所对的锐角等于30
(7)射影定理如图Rt△ABC中CD⊥AB则CD2=BD·ADAC·BC=CD·ABAC2=AD·ABBC2=BD·AB
(8)全等三角形的对应边相等,对应角相等
15、全等三角形的判定
(1)如果两个三角形的三条边分别对应相等,那么这两个三角形全等(S.S.S.).
(2)如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等,那么这两个三角形全等.(S.A.S.)
(3)如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等,那么这两个三角形全等A.S.A..
(4)有两个角及其中一个角的对边分别对应相等的两个三角形全等(A.A.S.)
(5)如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等,那么这两个直角三角形全等.(H.L.)
16、两组对边分别平行的四边形是平行四边行
17、平行四边形的性质
(1)平行四边形的对边平行且相等;
(2)平行四边形的对角相等;
(3)平行四边形的对角线互相平分.
18、平行四边形的判定:
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形;
(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;
(3)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形;
(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.
19、平行线之间的距离处处相等.
20、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
21、矩形的性质
(1)矩形的四个角都是直角;
(2)矩形的对角线相等且互相平分.
22、矩形的判定
(1)有三个角是直角的四边形是矩形.
(2)有一个角是直角的平行四边形
(3)对角互相平分且相等的四边形
23、一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
24、菱形的性质
(1)菱形的四条边都相等;
(2)菱形的对角线互相垂直平分,并且每一条对角线平分一组对角.
(3)菱形的面积等于其对角线乘积的一半
25、菱形的判定
(1)四条边相等的四边形是菱形.
(2)相邻两边相等的平行四边形是菱形
(3)对角线互相垂直平分的四边形是菱形
26、一组邻边相等的矩形是正方形
27、正方形的性质
(1)正方形的四个角都是直角;
(2)正方形的四条边都相等;
(3)正方形的两条对角线相等,且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角.
28、正方形的判定
(1)有一个角是直角的菱形是正方形;
(2)有一组邻边相等的矩形是正方形.
(3)对角形互相垂直平分且相等的四边形是正方形
29、一组对边平行另一组对边不平行的四边形是梯形两腰相等的梯形是等腰梯形一腰与底垂直的梯形是直角梯形
30、等腰梯形的性质
(1)等腰梯形的同一条底边上的两个内角相等;
(2)等腰梯形的两条对角线相等.
31、等腰梯形的判定
(1)同一条底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形;
(2)两条对角线相等的梯形是等腰梯形.
32、梯形的中位线平行于梯形的两底边,并且等于两底和的一半.
33、n边形的内角和等于(n-2).180°.
34、多边形的外角和都等于360°
35、相似多边形的性质
(1)相似多边形的对应边成比例;
(2)相似多边形的对应角相等;
(3)相似多边形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.
(4)相似三角形对应高的比,对应角平分线的比,对应中线的比等于相似比
36、相似三角形的判定
(1)如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等,那么这两个三角形相似;
(2)如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似;
(3)如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.
39、全等多边形的对应边、对应角分别相等.
40、在平面内,一个图形绕着某个点旋转180°,如果旋转前后的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形
41、中心对称图形上的每一对对应点所连城的线段都被对称中心平分
43、三角形三条边的垂直平分相交于一点,且这一点到三个顶点的距离相等
44、三角形的三条角平分线相交于一点,且这一点到三条边的距离相等
45、连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线
46、三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半
47、平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆其中,定点为圆心,定长为半径
48、圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线圆也是中心对称图形,对称中心是圆心
49、点和圆的位置关系(一点P、圆心O)OPr点P在圆外;OP=r点P在圆上;OPr点P在圆内
50、直线和圆的位置关系(d表示直线到圆心距离)dr相离;d=r相切;dr相交
51、圆和圆的位置关系(d表示两圆心距离)dR+r相离(外离)d=R+r外切R-rdR+r相交d=R-r内切dR-r内含d=0同心圆
52、不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
53、垂直于弦的直径平分这条弦,且平分这条弦所对的弧
54、圆心角顶点在圆心,两边与圆相交的角圆周角角的顶点在圆周上,两边与圆相交
55、同弧或等弧所对的圆周角、圆心角相等
56、一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半,圆心角等于圆周角的2倍
57、在同圆或等圆中圆心角相等圆周角相等弧相等弦相等弦心距相等
58、圆的两条平行弦之间所夹的弧相等
59、
(1)半圆或直径所对的圆周角都等于90°;
(2)90°的圆周角所对的弦是圆的直径.
60、圆心角的度数=它所对的弧度数=2×圆周角度数
61、圆的切线垂直于过切点的直径或半径
62、过直径或半径外端且垂直于这条直径或半径的直线是圆的切线.切线的证明方法
(1)连半径证垂直
(2)作垂直证半径
63、三角形的三个顶点确定一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点,叫做三角形的外心与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心
64、从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
65、相交弦定理圆的两弦相交于一点,各弦被这点所分成的两线段长的乘积相等
66、三角形的“四心”
(1)外心三角形三边垂直平分线交点,这点叫三角形外接圆的圆心这点到三角形三个顶点的距离相等
(2)内心三角形三个角平分线的交点,这点叫三角形内切圆的圆心这点到三角形三条边的距离相等
(3)重心三角形三边中线的交点这点到一边中点的距离=这点到这边所对角的顶点的距离的一半
(4)垂心三角形三边高的交点
67、对某个事物、名称或术语的含义加以解释,作出明确规定,叫做该事物的定义
68、判断一件事情的句子,叫做命题。