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代数复习研究实数复习研究一 实数的有关概念
1.实数的分类有理数实数无理数
2.数轴:规定了________、________、_________的直线叫做数轴.数轴上的点与实数成__________关系即每一个实数都可以用_____________来表示.反之___________________都表示一个实数.
3.相反数:只有_________不同的两个数叫做互为相反数.如果a与b互为相反数则___________在数轴上a与b分别在______的两旁并且_______________相等.相反数等于本身的数有_____________.
4.绝对值:一个正数的绝对值是_______一个负数的绝对值是_______零的绝对值是____.在数轴上一个数的绝对值就是表示这个数的点与______的距离.任何一个数的绝对值都是________.绝对值等于本身的数是_______________.
5.倒数:___________的两个数叫做互为倒数.______没有倒数.倒数等于本身的数有______.
6.平方根、立方根:若x²=a则x叫做a的_________.正数a的_________叫做a的算术平方根.一个正数的平方根有______它们互为________零的平方根是_______一个负数________平方根;一个正数的算术平方根有_____个.若x³=a则x叫做a的_________.平方根等于本身的数有_____________算术平方根等于本身的数有_____________立方根等于本身的数有_____________.
7.近似数与有效数字:一个近似数从_________________数字起到需要精确的数位止所有的数字都叫做这个数的有效数字.有效数字越__________近似数就越精确.
8.三种常见的非负数:
①实数的绝对值|a|______0
②实数的平方a²______0
③算术平方根______0a_____0非负数具有如下性质:
①若干个非负数的和、积、商除数不为零仍是_______________;
②若干个非负数之和为零则每一个非负数必为________;
③一个非负数不大于零时这个非负数必为_________.
9.实数的大小比较
①数轴上的点表示的数右边的总比左边的_________.
②两个负数绝对值越大数越_________.
③两个正数平方越大数越___________.二 实数的运算
1.有理数的运算法则 加法法则:同号两数相加__________________.异号两数相加__________________.互为相反数的两数相加___________. 减法法则:减去一个数等于__________________________. 乘法法则:两数相乘__________________________________________.几个不为0的数相乘_______________________________________.除法法则:除以一个数等于__________________________.两数相除________________________________________.幂的运算法则:am·an=__________;amn=__________;abn=__________.
2.用字母表示有理数的运算律:
①加法交换律:______________________;
②加法结合律:______________________;
③乘法交换律:______________________;
④乘法结合律:______________________;
⑤乘法分配律:______________________. 有理数的运算法则和运算律对实数同样适用.
3.实数的混合运算顺序:先算_________再算_________最后算__________.如果有括号就先算____________.同级运算应________________________.整式、分式与根式复习研究三 整式及其运算
1.单项式:只含有____和_____的乘积的代数式叫做单项式单独一个数或一个字母也是_______.
2.多项式:几个_______的和叫做多项式.
3.同类项的概念____________________________________________叫做同类项.概念中所指的两个相同是指1______________;2______________________.几个常数项也是________.合并同类项的法则是______________________________________________.
4.整式的运算1整式的加减其实质就是___________________________.2幂的运算法则
①同底数的幂相乘________________________;
②幂的乘方_________________________;
③积的乘方_____________________________;
④同底数的幂相除_______________________.写成字母形式应该分别是_____________________________________.3整式乘法中应用最广泛的是以下几个乘法公式:平方差公式a+ba-b=_____________________;完全平方公式a±b²=______________________;以及公式x+ax+b=_____________________;四 因式分解
1.因式分解:把一个多项式化成几个__________的乘积形式.
2.因式分解的基本方法有:1提取公因式法;2_______________;平方差公式a²-b²=______________;完全平方公式a²±2ab+b²=______________;以及公式x²+a+bx+ab=__________________;*3___________等.
3.因式分解的注意要点:1按分解方法循序渐进一般步骤;2因式分解要分解到不能再分解为止;3考试时可以考虑多种方法的综合运用;4因式分解的结果是否正确可以用整式乘法进行检验;5因式分解不加说明都指的是在有理数范围内分解.五 分式及其运算
1.分式:对于整式A、B,A÷B可以写成的形式当___中含有字母且_____时叫做分式.
(1)对于分式,当_______时分式没有意义;
(2)对于分式,当_______时分式值为0;
(3)对于分式,当_______时分式的值大于
0.
2.分式的基本性质:M为不等于0的整式1符号法则:2约分:根据分式的基本性质把分式的分子和分母的________约去叫做约分.3通分把几个异分母的分式利用分式的基本性质化成__________的分式叫做通分.4最简分式是指______________________________________________.
3.分式的运算:1分式的加减法:2分式的乘除法:3分式的乘方:n为正整数分式化简或运算的结果一般都要化成______________或整式.六二次根式及其运算
1.形如的式子a≥0叫做______________.a≥0的值是一个非负数.
2.最简二次根式应该具备两个条件:2_____________________;2___________________________.
3.同类二次根式:几个二次根式化成__________________后如果__________相同那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.
4.二次根式的主要性质1²=________a≥0;2=|a|=3=____________a≥0b≥0;4=____________a≥0b>
0.
5.二次根式的运算:1加减法:二次根式的加减实质是合并同类二次根式.2乘除法:·=a≥0b≥0;==a≥0b>
0.二次根式的化简或运算最终的结果都要化成最简二次根式或整式.
6.分母有理化1定义:把分母中的根号化去,叫做分母有理化.2方法:分子分母都乘以分母的有理化因式.3互为有理化因式:两个二次根式相乘结果不含二次根式这两个二次根式叫做互为有理化因式.与;a+与a-;+与-互为有理化因式.七指数概念及其运算
1.零指数幂和负整数指数幂1零指数:a0=1a≠
0.即任何_________的数的零次幂都等于_______.2负整数指数a–p=a≠0p为正整数.即任何_________的数的-p次幂等于这个数的p次幂的_______.也可以看成a–p=a≠0p为正整数即底数变____同时指数变______.
2.科学记数法1一个绝对值大于10的数可以记成a×10n的形式其中1≤|a|<10n为正整数.2一个绝对值小于10的数可以记成a×10–n的形式其中1≤|a|<10n为正整数.3一个绝对值介于1到10之间的数可以记成a×100的形式其中1≤|a|<
10.八一次方程组及其解法
1.等式的性质:
①等式两边都加上或减去___________所得的结果仍然是_____;
②等式两边都乘以________所得的结果仍然是____.
③等式两边都除以__________________所得的结果仍然是____.
2.含有_________的等式叫做方程.
3.方程的解是_________________________________一元方程的解也叫做根.
4.__________________叫做解方程.
5.一元一次方程:只含有一个______且未知数的次数是_____的整式方程叫做一元一次方程.
6.一元一次方程的一般形式___________________.
7.解一元一次方程的一般步骤是:
①______;
②______;
③____;
④__________;
⑤_________.
8.几两个含有两个未知数且未知数的次数是一次的整式方程组成的一组方程叫做二元一次方程组.
9.二元一次方程的一般形式是:
10.方程组的解是__________________________.
11.求解方程及方程组的依据是_______________.
12.解二元一次方程组的基本思想是化归的思想通过_______将其转化为一元一次方程来解常用方法是_______________和________________.九一元一次不等式组及其解法
1.不等式的基本性质1若a>b则a±c>b±c.2若a>bc____0则ac____bc..3若a>bc____0则ac____bc..
2.和解一元一次方程类似解一元一次不等式一般步骤也有:
①________;
②_________;
③_________;
④__________;
⑤__________.
3.在数轴上表示不等式的解集时要注意空心圆圈和实心圆点的不同意义.
4.不等式组的解集是不等式组中每个不等式的解集的__________准确地写出不等式组的解集的有效方法是利用_________.十一元二次方程及其解法
1.一元二次方程的一般形式为_____________________a____0其中二次项系数为_____一次项系数为_____常数项为_____.
2.任何△______0的一元二次方程ax²+bx+c=0a≠0都可以用求根公式求得x=_____________.
3.一元二次方程的一般解法有:
①___________;
②___________;
③___________;
④求根公式法.
4.在实数范围内分解二次三项式ax²+bx+ca≠0的因式当△≥0时设ax²+bx+c=0的两根为x
1、x2则ax²+bx+c=ax-_____x-_____.十一一元二次方程根的判别式
1.一元二次方程ax²+bx+c=0a≠0的根的情况由判别式△=_______来判定.1△>0方程有两个不相等的实数根.2△=0_________________________.3△<0_________________________.
3.判别式△的应用应分为1已知一元二次方程或一元二次方程中字母系数的范围判定方程根的情况.2已知一元二次方程根的情况来确定字母系数的范围或满足的条件.十二一元二次方程根与系数的关系
1.一元二次方程ax²+bx+c=0a≠0如果它有两个根x1x2则x1+x2=______x1·x2=_______.
2.以x1x2两个实数为根的一元二次方程是______________________.
3.在一元二次方程ax²+bx+c=0a≠0中
①有一个根为0则c=_________;
②有一个根为1则a+b+c=_____;
③有一个根为-1则a-b+c=_________;
④若两根互为相反数则b=______且b²-4ac______;
⑤若两根互为倒数则c=______且b²-4ac______.十三分式方程
1.______里含有__________的方程叫做分式方程.
2.解分式方程的基本方法是通过______将分式方程转化为________求解.特殊形式的分式方程可采用换元法.
3.分式方程转化为整式方程的过程中有可能产生____因此解分式方程必须注意_____.
4.验根的方法可以把解出的整式方程的根只代入原分式方程的_____________中去检验.十四列方程组解应用题
1.列方程组解应用题的一般步骤是1认真审题:准确理解名词术语的含义区分问题类型分清已知量与未知量及其等量关系.2恰当设元:选择关联最多的一个或几个量设为未知数根据已知量与未知量的关系列代数式.3列方程组:根据等量关系列出方程组.4求解方程组:求出未知数的值.5检验作答:检验求得的值是否正确和符合实际情形,并写出答案.
2.常见问题类型:1和、差、倍、分问题对于和差问题,注意“多”、“少”、“大”、“小”的含义,弄清谁比谁大,可按“大-小=差”或“小+差=大”的形式转化为相等关系,不要盲目地加减对于倍分问题,要抓住问题中谁是谁的倍数,分清“甲是乙的两倍”和“甲比乙多两倍”的含义等.两数差=较大数-较小数较大数=较小数×倍数±增减数2等积变形问题这类问题的前提条件是:只改变物体的形状而不改变物体的体积.变形前的体积=变形后的体积3增降率问题增长降低率=×100%4平均增降率问题基数×1±平均增降率n=n次增降后到达数5银行储蓄把钱存入银行叫储蓄存入的钱叫本金经过约定的期限银行将付给除本金外的一笔钱这笔钱叫利息利息÷本金×100%=利率.储蓄的利率由国家规定所得的利息要缴20%的利息税.本金×利率×期数﹦利息利息×应纳税率﹦应纳税额本金+本金×利率×期数×1-20%=实得本利和6利润问题基本概念利润问题的基本量是商品利润、商品利润率、商品售价、商品进价.成本价进价或本金商家取得某一商品所需要的付出的金额标价商家出售商品时所标明的价格售价指商品成交时的实际价格;利润指商品售价与进价之间的差额,即商品利润=商品售价-商品进价;利润率指利润与成本的比率,即×100%=商品利润率7行程问题在匀速运动的前提下路程s速度v时间t之间的基本关系是:路程=速度×时间即s=vt由这一公式你还能说出它的两个变形公式吗?行程问题中有相遇问题、追及问题、环行问题、顺逆流问题等.在分析问题时,要注意出发时间、方向之间的关系,可以利用列表或画线段示意图分析题意.8工程问题工程问题主要有工作效率、工作时间、工作量这些数量之间的等量工作效率×工作时间=工作量各队合作工作效率=各队工作效率之和全部工作量之和=各队工作量之和9数字问题10劳力调配问题十五函数及其图象知识要点Ⅰ.变量与函数
1.在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做____还有一种量它的取值始终保持不变我们称之为______.
2.一般地如果在一个变化过程中有两个变量x和y对于x的每一个值y都有_____的值与之对应我们就说x是________y是_______此时也称y是x的函数.
3.函数的表示方法有三种:
①______;
②______;
③______.
4.在一个变化过程中自变量的取值通常有一定的范围给定自变量的一个值就可以求出对应的__________.
5.某火车以120千米/时的速度匀速地由甲地开往乙地.火车行驶的路程s与行驶时间t之间的函数关系式是_________其中____是自变量______是因变量自变量的取值范围是____________.
6.函数解析式是数学式子的自变量取值范围
①当函数解析式是只含有一个自变量的整式时________;
②当函数解析式是分式时,_______________;
③当函数解析式是二次根式时________________;
④实际问题的函数解析式中自变量取值范围__________________________________.Ⅱ.平面直角坐标系及函数的图象
1.在平面上画两条原点重合、__________且具有相同长度单位的数轴构成平面直角坐标系其中水平的一条数轴是______或_____取向_____为正方向;铅直的数轴叫______或______取向____为正方向;两条数轴的交点叫做______.
2.在平面直角坐标系中任意一点的位置都可以用_______表示这样的_________叫做点的坐标.
3.平面直角坐标系中的点和____________一一对应.
4.坐标系各象限内点的坐标的符号规律:若点Pxy在第一象限则_________________;若点Pxy在第二象限则_________________;若点Pxy在第三象限则_________________;若点Pxy在第四象限则_________________;若x<0y<0则点Pxy在第_______象限;若x>0y<0则点Pxy在第_______象限.
5.x轴上的点的____坐标为0y轴上的点的____坐标为
0.
6.点P1x1y1点P2x2y2若P1P2∥x轴则x1_______x2y1______y2;若P1P2∥y轴则x1_______x2y1______y
2.
7.关于x轴、y轴、原点对称的点横纵坐标的关系关于x轴对称的两点横坐标____纵坐标_________;关于y轴对称的两点横坐标_________纵坐标____;关于原点对称的两点横坐标、纵坐标__________.
8.在第
一、三象限角平分线上它的横坐标___纵坐标;在第
二、四象限角平分线上它的横坐标与纵坐标______________.
9.Pxy到y轴的距离是___到x轴的距离是___.
10.坐标平面内两点P1x1y1P2x2y2之间的距离P1P2若点P1x10P2x20则P1P2=____________;若点P10y1P20y2则P1P2=____________;若点P1ay1P2ay2则P1P2=____________;若点P1x1bP2x2b则P1P2=____________;若P1x1y1P2x2y2则P1P2=_________________.
11.描点法画函数图象的一般步骤是:_____、______、______.
12.用描点法画函数图象时点取的越多越稠密所画图象越________.
13.图象上每一点的坐标代表了函数的一对对应值它的_____表示自变量的某一个值_____表示与它对应的函数值.Ⅲ.一次函数的图象和性质
1.能用自变量的_________表示解析式的函数我们称之为一次函数.
2.一次函数通常表示为__________的形式其中k、b是常数k≠
0.特别地当b=0时一次函数_______常数k≠0也叫做正比例函数.
3.正比例函数与一次函数的关系是:正比例函数____用“是”、“不是”填空特殊的一次函数,一次函数_______用“是”、“不是”、“不一定是”填空正比例函数.
4.一个函数若是一次函数其自变量的最高次数必须是______且一次项系数__________.
5.确定一次函数关系式的方法:根据题意找出问题中的变量并用字母表示然后找出自变量和因变量之间的_________结合已知条件进而列出一次函数表达式.
6.一次函数y=kx+bk≠0的图象是一条_________它必经过点_________________.特别地正比例函数y=kxk≠0的图象是经过_____的一条直线.
7.画一次函数y=kx+bk≠0的图象时只要确定_____个点的位置就可以画出这条直线.
8.一次函数y=kx+bk≠0的图象是由正比例函数y=kxk≠0的图象沿轴________b>0或________b<0平移得到的一条直线.
9.两个一次函数y1=k1x+b1y2=k2x+b2:
①当k1=k2时函数的图象是两条______的直线.
②当k1≠k2时函数的图象是两条_______的直线.*
③当k1k2=-1时函数的图象是两条互相垂直的直线.
10.对于一次函数y=kx+bk≠0
①当k>0b>0时函数图象过____________象限;
②当k>0b<0时函数图象过____________象限;
③当k>0b=0时函数图象过________象限;
④当k<0b>0时函数图象过___________象限;
⑤当k<0b<0时函数图象过____________象限;
⑥当k<0b=0时函数图象过_________象限.
⑦当k>0时y随x的增大而_____这时函数的图象从左到右_____;
⑧当k<0时y随x的增大而_____这时函数的图象从左到右_____.
11.先设待求函数关系式其中含有未知常数系数再根据条件列出方程或方程组求出未知系数从而得到所求结果的方法,叫做待定系数法.
12.用待定系数法确定一次函数的关系式的一般步骤为:一设、二列、三解、四还原
①设一次函数的一般形式y=kx+bk≠0;
②根据已知条件列出关于kb的二元一次方程组;
③解这个方程组求出kb;
④将已经求出的kb的值代入解析式.
13.确定正比例函数y=kxk≠0的表达式需要____个条件.
14.已知在y=kx中当x=2时y=4则该函数的表达式为_____________________.
15.若函数y=kx+b的图象经过点20和0-3则函数的解析式为______________________.Ⅳ.反比例函数的图象和性质
1.一般地,形如________k是常数,k≠0的函数叫做反比例函数.
2.反比例函数的自变量x的取值范围是________.
3.若y=3xm则m=______.
4.在y=-x中k=_______.
5.反比例函数y=k/xk≠0的图象通常称为_______.
6.反比例函数y=k/xk≠0有下列性质:
①当k>0时函数的图象在第____、____象限在每个象限内曲线从左向右下降也就是在每个象限内y随x的增大而_________;
②当k<0时函数的图象在第______、_____象限在每个象限内曲线从左向右上升也就是在每个象限内y随x的增大而___________.
7.反比例函数y=k/xk≠0的图象与x轴、y轴都______交点填“有”或“没有”.8.叙述反比例函数的增减性必须指明“在哪个象限内”或“哪个分支”或“x______0时”或“x_____0时”.Ⅴ.二次函数的图象与性质
1.二次函数的一般式是 它的图象是一条 其顶点坐标是 对称轴是直线 .1当a>0时抛物线开口 且当x= 时函数有最 值是 在对称轴左侧即当x 时y随x的增大而 ;在对称轴右侧即当x 时y随x的增大而 .2当a 0时抛物线开口向下且当x= 时函数有最 值是 在对称轴左侧即当x 时y随x的增大而 ;在对称轴右侧即当x 时y随x的增大而 .
2.二次函数y=ax²+bx+c经过配方可以写成y=ax-h²+k的形式这里 .
3.在直角坐标系中,抛物线y=ax²+bx+c上的特殊点 1顶点D当b=0时抛物线顶点在y轴上是2与y轴交点C3若与x轴有两个交点A、B,则Ax10,Bx2,0,这里x1x2是方程ax²+bx+c=0a≠0的实根.AB=====
4.当对称轴在y轴右侧且平行于y轴时,a与b号;当对称轴在y轴左侧且平行于y轴时,a与b号.
5.抛物线y=ax²与抛物线y=ax²+bx+c的关系是形状,不同抛物线y=ax²抛物线y=ax-h²抛物线y=或y=ax²y=a(x±m)²±n(平移口诀左加右减,上加下减)
6.二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)中,a、b、c的几何意义1a决定图象的2c决定图象与的交点的坐标位置,当c=0时抛物线过点;抛物线交y轴于负半轴,则c03a、b共同决定对称轴当a、b同号时对称轴与x轴的_______相交当_________时对称轴与x轴的______相交b=0时对称轴为______.4△=b²-4ac,当时,抛物线与x轴有两个交点;当△=0时,抛物线与x轴,又说;△<0时,抛物线与x轴交点个数为
7.四个二次(二次函数、二次三项式、二次方程、二次不等式)之间的联系二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)右边是关于x的二次三项式ax²+bx+c;当y=0时即为一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0);当y≠0时即为一元二次不等式ax²+bx+c>0(a≠0)…
①或ax²+bx+c<0(a≠0)…
②这四个二次之间的联系与判别式△=b²-4ac的符号密不可分现以a>0为例揭示“四个二次”之间的内在联系:当a>0时1△>0抛物线与x轴有两个交点二次三项式ax²+bx+c=0(a≠0)的值可正、可负、可零方程ax²+bx+c=0(a≠0)有相异两实根不等式
①的解集在两根之外,不等式
②的解集在两根之间2△=0抛物线与x轴只有一个交点二次三项式的值非负方程ax²+bx+c=0a≠0有两等根不等式
①的解集是x≠-不等式
②的解集为空集.3△>0抛物线与x轴无交点二次三项式的值恒正方程ax²+bx+c=0(a≠0)无实根不等式
①的解集是全体实数不等式
②的解集是空集.统计与概率一数据的收集、整理、描述
1.为了一特定目的而对所有考察对象作的全面调查叫做普查.为一特定目的而对部分考察对象作的调查叫做抽样调查._______是通过调查总体的方式来收集数据的___________是通过调查样本的方式来收集数据的.
2.最常用的统计图有条形图、扇形图、折线图、直方图这四种统计图各具特点___________可以直观地反映出数据的数量特征;___________可以直观地反映出各部分数量在总量中所占的份额;___________可以直观地反映出数据的数量变化规律;___________可以直观地反映出数据的分布规律.
3.所要考察的对象的全体叫做总体把组成总体的每一个考察对象叫做个体从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本.一个样本包含的个体的数量叫做这个样本的容量.
4.在记录数据时每个对象出现的次数叫做频数.频数与数据总数的比值叫做数据的频率.二数据的分析
1.在一组数据中用数据的总和除以数据的数据的总个数就得到这组数据的平均数.计算公式为:如果有n个数x1x2……xn,那么=x1+x2+……+xn叫做这n个数的平均数.
2.在一组数据中各个数在总结果中所占的百分比称为这个数据的权重每个数乘以它相应的权重后所得的平均数叫做这组数据的加权平均数.计算公式为:=f1x1+f2x1+……+fnxn.
3.在一组数据中,__________________数据叫做这组数据的众数.
4.将一组数据按大小依次排列,把处在_________位置的一个数据或最中间两个数据的平均数叫做这组数据的中位数.
5.一组数据中的_______减去_______所得的差称为极差.
6.用“先平均再求差然后平方最后再平均”的方法得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况这个结果通常称为叫做方差.计算公式为:S²=[x1-²+x2-²+……+xn-²].三统计与概率
1.无需通过试验就能够预先确定它们在每一次试验中都一定会发生的事件称为_______事件.在每一次试验中都一定__________的事件称为不可能事件.______事件和______事件统称为确定事件.
2.无法预先确定在一次试验中会不会发生的事件称为_______事件.
3.表示一个事件发生的____________的这个数,叫做该事件的概率.必然事件发生的概率为1记作P必然事件=_____;不可能事件发生的概率为0记作P不可能事件=_____;如果A为随机事件那么0<PA<
1.
4.概率的计算方法有:
①________法;
②_______法.特别注意用这两种方法求概率时务必使各种情况出现的机会均等.
5.当试验次数很大时事件发生的频率稳定在_______附近因此我们可以通过多次试验用________估计事件发生的概率.
6.在用试验方法估计概率的过程中有些问题会遇到找不到相应的实物或者用实物进行试验困难很大的情况用_________模拟实验来估计该事件发生的概率.几何复习研究一立体图形
1.视图:从正面、上面和侧面(左面或右面)三个不同的方向看一个物体然后描绘三张所看到的图即视图
2.正视图:把从物体的正面看到的图形,叫做正视图;
3.侧视图:把从物体的侧面看到的图形,叫做侧视图;
4.俯视图:把从物体的上面看到的图形,叫做俯视图依观看方向不同,侧视图又可以分为左视图、右视图
5.画三视图的原则:1首先要确定主视图的位置然后在主视图的右面画出_______主视图的_____画出俯视图.2虚实:在画图时看得见的轮廓线画成______看不见的轮廓线画成______.3大小:____视图要长对正____视图要高平齐_____视图要宽相等.注意所看既所画
①正视图是长方形的立体图形有___________________________________.
②正视图和左视图都是长方形的立体图形有_________________________.
③正视图和左视图都是长方形并且俯视图是长方形、圆或三角形的立体图形有__________________________________________________.多面体是由平面图形围成的立体图形,沿着多面体的棱将它剪开,可以把多面体变成一个平面图形.正方体的平面展开图规律“最长两边走,田凹不能有”
6.投影:物体在光线的照射下在地面或墙壁上留下的影子.1平行投影:_____光线可以看成是平行光线像这样的光线所形成的投影称为平行投影.平行投影的特点:________________________________.2中心投影:若一束光线是从_______________发出的这样的光线形成的投影称为中心投影.中心投影的特点:
①等高物体垂直地面放置时离点光源近的物体影子____.
②等长物体平行地面放置时离点光源越近影子越____.
③点光源、_____、______三点在同一直线上.3视点、视线和盲区人看物体时________的位置称为视点由视点发出的光线称为_________________的地方称为盲区.二平面图形一一些定义
1.线段、射线、直线的区别与联系,表示方法.线段和射线都是______的一部分线段有______个端点射线有______个端点.
2.线段中点的定义两点间的距离线段长短的比较方法.
3.角、平角、周角、余角、补角、角平分线、对顶角的定义.角的单位换算是_______进制1度=_____分1分=_____秒.如果∠A+∠B=90°那么∠A、∠B互为________;如果∠A+∠B=180°那么∠A、∠B互为_________反之亦然.
4.垂线、垂线段、点到直线的距离.
5.识别同位角、内错角、同旁内角.
6.平行线:在同一平面内两条不重合的直线叫做平行线.
7.命题、命题的构成、真命题、假命题命题判断一件事情的句子叫做命题.命题的构成每一个命题都是由题设和结论两部分组成即每一个命题都可以写成“如果…..那么….”的形式“如果”后的语句是“题设”“那么”后的语句是“结论”.如果题设成立那么结论一定成立这样的一些命题叫做真命题.如果题设成立时不能保证一定成立它们都是错误的命题像这样的命题叫做假命题.
8.定理、公里、证明、逆命题、逆定理经过推理证实是正确的这样的真命题叫做定理.有些命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的并作为判定其他命题真假的根据这样的真命题叫做公理.除公理外一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断.这个推理的过程叫做证明.在两个命题中如果第一个命题的题设是第二个命题的结论而第一个命题的结论又是第二个命题的题设那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题那么另一个叫做它的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题那么它也是一个定理这两个定理叫做互逆定理其中一个叫做另一个的逆定理.二一些事实
1.两点确定___________.
2.两点之间_________最短.
3.两条直线相交只有_________交点.
4.同角或等角的余角相等;同角或等角的补角相等.
5.对顶角相等.对顶角相等的根据是什么
6.在同一平面内经过直线外或直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
7.垂线段最短.
8.平行线的性质、判定如下表:性质判定1两直线平行同位角_____内错角_____同旁内角______;2两平行线间的距离______夹在平行间的______相等;3过平行线外一点可以_____直线与这条直线平行1两直线被第三直线所截若同位角_____或内错角______或同旁内角_____则这两直线平行;2若a∥cb∥c则______;3若a⊥cb⊥c则______.三三角形
1.什么叫三角形三角形的边、顶点、角、外角
2.三角形的分类1按边分类不等边三角形三角形底边和腰不等的等腰三角形____________________________2按角分类直角三角形三角形锐角三角形___________________
3.三角形中的主要线段1角平分线:三角形一个角的平分线与这个角的对边相交这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.2中线:在三角形中,连结一个顶点与它对边中点的线段,叫做三角形的中线.3高线:从三角形一个顶点向它的对边画垂线,顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线简称三角形的高.4三角形的中位线平行于_________并且等于__________________.
4.三角形的内角和定理
5.三角形的外角的性质1三角形的一个外角等于_____________________________________.2三角形的一个外角大于______________________________________.
6.三角形的三边关系两边之差第三边两边之和
7.已知三条线段怎样判断它们能否组成三角形
8.三角形的心:三角形____________的交点是三角形的内心它到_______距离相等;三角形的外心是______________的交点它到三角形的________距离相等三角形的重心是_______________的交点它将三角形的中线分成两线段的比例关系是_______;三角形的垂心是____________的交点.四三角形的全等
1.___________叫做全等三角形全等三角形的对应边______对应角_______.
2.三角形全等的判定公理用字母简写为_______________推理为_______.对于直角三角形全等的判定除了以上方法外还有_______公理.但SSA或AAA或面积相等或周长相等这两个三角形_____全等.
3.全等三角形对应边上的中线____对应边上的高____对应角的平分线_____.五等腰三角形的性质和判定
1.等腰三角形的性质1等腰三角形的两底角_____________.等边对等角2等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合3等边三角形各角相等并且每个角都等于__________.
2.等腰边三角形的判定1有两个角________的三角形是等腰三角形.等角对等边2三边________的三角形是等边三角形.3三角________的三角形是等边三角形.4有一个角为60°的________________是等边三角形.六直角三角形的性质和判定
1.直角三角形的性质1直角三角形两锐角___________.2直角三角形中30°角所对的直角边等于____________及其逆定理.3直角三角形斜边上的中线_______________.4勾股定理若a、b、c分别为直角三角形的两条直角边和斜边,则有a²+b²=c².
2.直角三角形的判定1有两锐角________________是直角三角形.2勾股定理的逆定理:若a、b、c分别为三角形的三边,且a²+b²=c²则该三角形是直角三角形且c边所对的角是直角.3如果三角形一边上的中线等于这边的一半那么这个三角形是直角三角形且这边所对的角是直角.七多边形
1.多边形的定义.在平面内,由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的封闭图形叫做n边形,又称为多边形.多边形的任何一边向两方延长如果其它各边都在延长所得直线的同旁这样的多边形叫做凸多边形它的每一个内角均小于180°.
2.正多边形如果多边形的各边都相等,各内角也都相等,那么就称它为正多边形.
3.n边形从一个顶点出发有______条对角线这些对角线把n边形分成______个三角形n边形一共有________条对角线.
4.n边形的内角和为_________;多边形的外角和为_______.
5.用同一种正多边形拼地板哪几种正多边形能铺满地面正三角形、正方形、正六边形能铺满平面;而正五边形、正八边形不能铺满平面.同一种正n边形的瓷砖能否铺满地面而无缝隙的关键是:中的k有正整数解.
6.用两种正多边形组合拼地板哪两种正多边形组合能铺满地面用正三角形和正方形;正三角形和正六边形;正四边形和正八边形;正三角形和正十二边形能铺满地面.
7.几种正多边形铺满地面的理由是什么“围绕一点拼在一起的几种正多边形的内角之和为一个圆周”的条件也不一定能铺满地面.如:正五边形和正十边形的组合尽管能够围绕一点拼成一个周角但不能扩展到整个平面所以正五边形和正十边形结合不能铺满地面.八平行四边形
1.平行四边形的定义:______________________________叫做平行四边形.
2.平行四边形的性质:
①对边_______;
②对角_______;
③邻角________;
④对角线____________.
3.平行四边形的判定:
①两组对边分别______的四边形是平行四边形;
②两组对角分别_______的四边形是平行四边形;
③一组对边________的四边形是平行四边形;
④两组对边分别_______的四边形是平行四边形;
⑤对角线_________的四边形是平行四边形.九特殊平行四边形
1.矩形、菱形、正方形的定义、性质与判定
2.平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系十梯形
1.梯形的定义_______________________________________________.
2.等腰梯形是____对称图形不是_____对称图形.
3.平行线等分线段定理是_________.
4.三角形的中位线定理是__________________________________________.
5.梯形的中位线定理是___________________________________________.
6.解决梯形有关问题,通常是通过作辅助线把梯形问题转化为三角形和特殊的四边形.常用的添加辅助线的方法有以下几种:十一多边形与多边形的面积
1.回顾三角形、矩形、菱形、正方形、平行四边形、梯形面积的计算、有关公式与推论.
2.等底同底等高同高的两个三角形面积____________.
3.等底的两个三角形面积的比等于它们的_______的比.
4.等高的两个三角形面积的比等于它们的________的比.
5.多边形的面积图形面积公式说明三角形S=ahS=a+b+cra,b,c为三角形的三边,h为a边上的高,r为内切圆的半径等边三角形S=a²a为边长矩形S=aba为长,b为宽正方形S=a²a为边长平行四边形S=aha为边长h为a边上的高菱形S=efS=ahe、f为对角线长,a为边长,h为a边上的高梯形S=a+bhS=mha,b为两底长,h为高,m为中位线长
6.计算图形的面积是几何问题中一种常见的问题,求面积的基本方法有1直接法:根据面积公式和性质直接进行运算.2割补法:通过分割或补形把不规则图形或不易求解的问题转化为规则图形或易于求解的问题.3等积法:根据面积的等积性质进行转化求解常见的有同底等高、等底同高和全等的等积转化.4等比法:将面积比转化为对应线段的比.熟悉以下基本图形中常见的面积关系:十二成比例线段
1.若a、b、c、d线段成比例则应写为__________;其中___是第四比例项.
2.若线段x是线段a、c的比例中项则x=______.
3.若=则由比例的基本性质得______=______;由合比定理得______=______;由分比定理得_____=_____;由等比定理得______=______b+d≠
04.如右图,若l1∥l2∥l3,则=_______=_______=_______=_______=_______=________.
5.如右图,如果=,那么______∥______如果=那么______∥______如果==那么_______∥________.
6.如图若点C是线段AB的黄金分割点则AC2=________.十三相似三角形
1.如图如果DE∥BC那么△ABC∽_____如果EF∥AB那么△CEF∽_______如果DE∥BCEF∥AB那么ABC∽_______∽________.
2.如图如果∠1=______那么△ACD∽△ABC;如果AC2=_______那么△ACD∽△ABC;如果△ACD∽△ABCCD⊥AB那么∠ACD=____度CD2=_______BC2=_______.
3.两个相似三角形的相似比为k则对应高的比是______对应中线的比是_______对应角平分线的比是_______周长的比是_______面积的比是______.
4.以知D、E、F分别是△ABC三边的中点若△DEF的周长是16cm则△ABC的周长是______若△ABC的面积为96cm2则△DEF的面积为______.十四三角函数
1.锐角三角函数的定义如图在Rt△ABC中∠C=Rt∠sinA=______cosA=______tanA_____cotA=______.
2.分别写出特殊角0°30°45°60°90°的三角函数值.0°30°45°60°90°正弦sin余弦cos正切tan余切cot
3.锐角三角函数间的关系1 sin90°-=_______cos90°-=________tan90°-=_______cot90°-=________.2同角三角函数间的关系:
①平方关系:sin2+cos2=__________.
②倒数关系=______或tan·cot=_______.
③商的关系:=______=________.
4.锐角三角形函数值的变化当为锐角时个三角函数值均为正且0﹤sin﹤10﹤cos﹤1sintan随着角度的增大而_______coscot随着角度的增大而________.当0°﹤﹤45°时sin﹤costan﹤cot.当45°﹤﹤90°时sin﹥costan﹥cot.十五解直角三角形
1.直角三角形的边角关系如图在直角△ABC中∠C=90ºabc分别是△ABC中∠A∠B∠C的对边.
①三边之间关系a2+b2=______
②两锐角之间关系∠A+∠B=______.
③边角关系sinA=______cosA=______tanA=______cotA=_____
④直角三角形斜边上的中线等于________
⑤在直角三角形中30°角所对的边等于_________.
2.其它有关公式:
①面积S=_______;
②内切圆半径r=_______;
③外接圆半径R=_______.
3.解直角三角形的四种类型已知条件解法两条直角边a和bc=_____tanA=_____∠B=_____一条直角边a和斜边cb=_____sinA=______∠B=_____一条直角边a和锐角Ac=_____b=______∠B=______斜边c和锐角Aa=_____b=_____∠B=______
4.解直角三角形的应用1有关概念
①坡度:坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫做坡度i坡比.如图i=h:l坡度越大坡面越陡. 坡角:坡面与水平面的夹角用表示为tan=i=
②仰角、俯角:如图视线在水平线上方的角叫做仰角;视线在水平线下方的角叫做俯角.
③方向角:如图正北或正南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角常用“北偏东西××度”或“南偏东西××度”来描述.OA的方向角表示为________OB的方向角表示为________OC的方向角表示为________ 2注意:解直角三角形的应用问题应注意数形结合思想把实际问题转化为数学问题.十六图形与变换
1.轴对称图形与轴对称1定义:
①如果一个图形沿一条直线折叠后直线两旁的部分互相______那么这个图形叫做轴对称图形这条直线叫做________.
②如果一个图形沿一条直线折叠后能够和另一个图形重合那么这两个图形叫做__________.2性质:
①轴对称图形上对应点所连的线段被对称轴_________;对应线段_______;对应角_______;
②成轴对称的两个图形对应点所连的线段被对称轴_________;_________相等;___________相等.3轴对称图形与轴对称的区别:
①__________反应了一个图形的特性;
②______反应了两个图形的特性.
2.中心对称图形与中心对称1定义:
①如果一个图形绕着某点旋转180º后能与______重合这个图形叫做______对称图形这个点叫做对称中心.
②如果一个图形绕着某点旋转180º后能与另一个图形_____那么这两个图形叫做__________.2中心对称的性质:
①两个图形重合;
②连接对称点的线段都经过对称中心并且被对称中心平分.
3.图形的平移与旋转1平移的定义与性质定义:如果一个图形_____________________这样的图形运动称为平移.平移两要点:
①平移的方向;
②平移的距离.性质:
①平移不改变图形的形状和大小即平移前后的两个图形全等.
②对应线段平行且相等或在同一直线上对应角相等.
③经过平移两个对应点所连的线段平行且相等或在同一直线上.2旋转的定义与性质定义:如果一个图形绕某一个定点沿某一个方向___________这样的图形运动称为旋转.这个定点称为旋转中心转动的角度称为旋转角.旋转三要点:
①旋转中心;
②旋转方向;
③旋转角度.性质:
①旋转不改变图形的形状和大小即旋转前后的两个图形全等.
②任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等都是旋转角.
③经过旋转对应点到旋转中心的距离相等.
4.平面直角坐标系中点的坐标变化与图形变换1图形的横坐标不变纵坐标加上或减去k个单位则图形_________________.图形的纵坐标不变横坐标加上或减去k个单位则图形__________________.2图形的横坐标不变纵坐标乘以正数k或1/k则图形_________________.图形的纵坐标不变横坐标乘以正数k或1/k则图形_________________.3图形的横纵坐标都乘以正数k或1/k则图形_________________.4图形的横坐标不变纵坐标乘以-1则图形_________________.图形的纵坐标不变横坐标乘以-1则图形_________________.图形的横纵坐标都乘以-1则图形_________________.十七圆的基本性质Ⅰ.圆的认识
1.在平面内到定点的距离等于定长的点的集合是圆其中定点叫做圆心它确定圆的位置定长叫做圆的半径长度它确定圆的大小确定一个圆的两个要素.
2.半径相等的两个圆为等圆同圆或等圆的半径相等.
3.弦是连接圆上两点的线段;直径是过圆心的弦是圆中最长的弦.
4.弧是圆上两点之间的部分半圆周是圆弧___________的弧叫做劣弧大于半圆周的弧叫做优弧显然圆弧可以分为三类.
5.定点在圆心的角叫做圆心角.
6.圆是一个旋转对称图形无论绕圆心旋转多少度它都能与自身重合对称中心即为圆心.
7.圆心角、弧、弦之间的关系定理:在同圆和等圆中如果两个圆心角、两条弧、两条弦中_________相等那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
8.圆是轴对称图形它的任意一条直径所在的直线都是它的对称轴.9垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的弧.
10.圆周角1定义:顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角.2定理:
①在同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等都等于该弧所对的圆周角的一半;想一想:这里的“弧”能改为“弦”吗?
②在同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧相等;
③半圆或直径所对的圆周角相等都等于90º直角;
④90º的圆周角所对的弦是直径.Ⅱ.与圆有关的位置关系
1.点与圆的位置关系1设⊙O的半径为r点到圆心的距离为d则d﹥r点在______d=r点在______d﹤r点在______;2经过A、B两点的圆的圆心在线段AB的____________上.3不在同一直线上的三个点确定一个圆.也就是说经过三角形的三个顶点可以画一个圆并且只能画一个圆.经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的______圆三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心这个三角形叫做这个圆的_______三角形.三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点.
2.直线与圆的位置关系1用直线和圆的公共点的个数来区分直线与圆的三种位置关系.
①若一条直线与圆没有公共点就说这条直线与这个圆相离;
②若一条直线与圆只有一个公共点就说这条直线与这个圆相切此时这条直线叫做圆的切线这个公共点叫做切点;
③若一条直线与圆有两个公共点就说这条直线与这个圆相交此时这条直线叫做圆的点线.2用圆心O到l直线的距离d与半径r的大小来区分直线与的三种位置关系d=r___________;dr____________;d_______________.3直线与圆相切的判定定理:经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线.4直线与圆相切的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径.5切线长圆的切线上某一点与切点之间的线段长定理:从圆外一点引圆的两条切线它们的切线长是______圆心和这点连线平分_____的夹角.6与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆一个三角形的内切圆是唯一的三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心这个三角形叫做这个圆的外切三角形.三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点.
3.圆与圆的位置关系1用两圆公共点的个数可以将两圆位置关系分为三大类:相离、相切、相交.如果两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离相离包括外离和内含若两圆的圆心相同,这两个圆还可以叫做同心圆;如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切相切包括外切和内切;如果两个圆有两个公共点,那么就说这两个圆相交.用两圆的半径r
1、r2r1>r2和圆心距d之间的数量关系来判断两圆的位置关系:dr1+r2___________;d=r1+r2____________;r1-r2dr1+r2_______________;d=r1-r2____________;dr1-r2____________.Ⅲ.圆中的计算问题
1.弧长的计算公式:如果弧长为l,圆心角度数为n,圆的半径为r,那么,弧长的计算公式为
2.如果设圆心角是n°的扇形面积为S,圆的半径为r,那么扇形的面积为.因此扇形面积的计算公式为或.
3.圆锥是由一个底面和一个侧面围成的圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线.连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高.圆锥的侧面展开图是一个扇形这个扇形的半径等于圆锥的母线的长扇形的弧长等于圆锥底面的周长圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积,而圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的和. 平行四边形菱形矩形正方形┓┏┓┙S1S2S1S2S1S2S3S1S2S3S1S2S3S4S1S2S3S4l1l2l3ABCDEFGABCDEFOACBABCDEFABCD1ABCabc┏i=h:llh仰角俯角水平线东南西北ABCO30°45°60°。