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文本内容:
《概率论与数理统计》第
四、五章练习学院班级、学号姓名成绩
一、单项选择题(每小题2分,共16分)说明请将答案直接填入下表中!
1.将一枚硬币重复投掷次,以与分别表示正面向上和反面向上的次数,则和的相关系数等于AABCD
2.设随机变量和的方差存在且不等于0,则是和CA不相关的充分条件,但不是必要条件B独立的充分条件,但不是必要条件C不相关的充分必要条件D独立的充分必要条件
3.设是一个随机变量,,为常数,则对任意常数,必有DABCD
4.设随机变量和独立同分布,方差存在且不为零,记,,则随机变量与必然DA不独立B独立C相关系数不为零D相关系数为零
5.假设随机变量,,且相关系数,则DABCD
6.设随机变量和都服从正态分布,且它们不相关,则CA与一定独立B服从二维正态分布C与未必独立D服从一维正态分布
7.设随机变量独立同分布,且其方差为,令随机变量,则CABCD
8.设为独立同分布的随机变量序列,且均服从参数为的指数分布,记为标准正态分布的分布函数,则CABCD
二、填空题(每小题2分,共14分)
1.设随机变量的服从参数为的指数分布,则
2.设随机变量服从二项在区间上服从均匀分布,随机变量,则方差
3.设随机变量服从参数为1的泊松分布,则
4.设一次试验的成功率为,进行100次独立重复试验,当时,成功次数的标准差的值最大,其最大值为,
55.设随机变量相互独立,其中在上服从均匀分布,服从正态分布,服从参数为的泊松分布,记,则
466.设随机变量和的相关系数为
0.5,,,则
7.设随机变量和的数学期望分别为和2,方差分别为1和4,而相关系数为,则根据切比雪夫不等式
三、解答题(每题7分,共49分)
1.设随机变量服从区间上的均匀分布,,,求条件概率【答】;
2.设连续型随机变量的概率密度为,试求
(1)随机变量的分布函数;
(2)数学期望与方差;【解】
(1)
(2);,
3.假设一设备开机后无故障工作的时间服从指数分布,平均无故障工作的时间()为5小时,设备定时开机,出现故障时自动关机,而在无故障的情况下工作2小时便关机试求设备每次开机无故障工作的时间的分布函数【答】
4.设为两个随机事件,且,,令,求
(1)二维随机变量的概率分布;
(2)与的相关系数;
(3)的概率分布【答】
(1)XY0102/31/1211/61/12
(2)
(3)Z012P2/31/41/
125.设随机变量和的联合分布在以点,,为顶点的三角形区域上服从均匀分布,试求随机变量的方差【解】
四、综合与应用题(每题10分,共20分)
1.假设一部机器在一天内发生故障的概率为
0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周5个工作日里无故障,可获利润10万元;发生一次故障仍可获利润5万元;发生二次故障所获利润0元;发生三次或三次以上故障就要亏损2万元求一周内期望利润是多少?【解】设一周5个工作日内发生故障的天数为则又设一周内所获利润万元,则(万元)
2.某保险公司多年统计资料表明,在索赔户中,被盗索赔户占20﹪,以表示在随机抽查的100个索赔户中,因被盗向保险公司索赔的户数
(1)试写出随机变量的概率分布;
(2)利用中心极限定理,求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率近似值【解】
(1)设在抽查的100个索赔户中,被盗户数为,则可以看作100次重复独立试验中,被盗户数出现的次数,而在每次试验中被盗户出现的概率是
0.2,因此,故的概率分布为()
(2)被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率即为事件的概率,由中心极限定理得
五、证明题(本题10分)
1.对于任意二事件和,,,称为事件与的相关系数
(1)证明事件和独立的充分必要条件是其相关系数等于零
(2)利用随机变量相关系数的基本性质,证明【提示】
(1)略;
(2)考虑随机变量和,易见,;。