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寒假作业一(答案)
一、选择题1.A解析 即在A中把B中有的元素去掉.2.C解析 如图,阴影部分表示集合∁UA∩B,而集合A={x|x},∁UA={x|x≤}.B={y|-1≤y≤1},所以∁UA∩B={x|x≤}∩{y|-1≤y≤1}={x|-1≤x≤}.3.A4.B解析 ∵“A∩{01}={0}”得不出“A={0}”,而“A={0}”能得出“A∩{01}={0}”,∴“A∩{01}={0}”是“A={0}”的必要不充分条件.5.A解析 由题意可知,p假q真.6.D解析 由可得A=[-12∪2,+∞,前三个选项都有可能,对于选项D,∁RB=-∞,a],不可能有A⊆∁RB.7.D解析 A=,∵11∈B,∴a|11-5|=
6.又由|x-5|a,得5-ax5+a,而5-a-15+a
11.画数轴知选D.8.D解析 A中原命题的否命题为“若x2≠1,则x≠1”,故A错;在B中,“x=-1”是“x2-5x-6=0”的充分不必要条件,故B错;C中命题的否定应为“∀x∈R,x2+x+1≥0”,故C错;在D中,逆否命题与原命题同真假,易知原命题为真,则其逆否命题也为真命题,因此D正确.9.A解析 命题“若A,则B”的否命题为“若綈A,则綈B”,显然“a=1或a=-1”的否定为“a≠1且a≠-1”,“直线l1与l2平行”的否定为“直线l1与l2不平行”,所以选A.10.C解析 命题“∀x∈
[12],x2-a≤0”为真命题的充要条件是a≥4,故其充分不必要条件是实数a的取值范围是集合[4,+∞的非空真子集,正确选项为C.
二、填空题本大题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在题中横线上11.充分不必要12.{x|0≤x1}解析 A={x|≤1}={x|-1≤0}={x|≤0}={x|x≥1或x0},因此∁RA={x|0≤x1}.13.4个14.{2468}解析 A∪B={x∈N*|lgx1}={123456789},A∩∁UB={m|m=2n+1,n=01234}={13579},∴B={2468}.15.必要不充分16.
④解析 对于
①,当α=β=0时,tanα+β=0=tanα+tanβ,因此选项
①是真命题;对于
②,注意到lg2x+lgx+1=lgx+2+≥0,因此选项B是真命题;对于
③,在△ABC中,由AB⇔ab⇔2RsinA2RsinB⇔sinAsinB其中R是△ABC的外接圆半径,因此选项
③是真命题;对于
④,注意到当φ=时,y=sin2x+φ=cos2x是偶函数,∴
④是假命题.
三、解答题本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.解析 A={x|x2-5x+6=0}={23},A∪B=A,∴B⊆A.
①当m=0时,B=∅,B⊆A;
②当m≠0时,由mx+1=0,得x=-.∵B⊆A,∴-∈A. ∴-=2或-=3,得m=-或-.∴满足题意的m的集合为{0,-,-}.18.解析 1是特称命题;用符号表示为∃α∈R,sin2α+cos2α≠1,是一个假命题.2是全称命题;用符号表示为∀直线l,l存在斜率,是一个假命题.3是全称命题;用符号表示为∀a,b∈R,方程ax+b=0恰有唯一解,是一个假命题.4是特称命题;用符号表示为∃x0∈R,=2是一个假命题.19.解析 依题意知,对任意x∈R,都有|x-a|+|x+1|2;由于|x-a|+|x+1|≥|x-a-x+1|=|a+1|,因此有|a+1|2,a+1-2或a+12,即a-3或a
1.所以实数a的取值范围是-∞,-3∪1,+∞.20.解析 1当m=3时,E={x||x-1|≥3}={x|x≤-2或x≥4},F={x|1}={x|0}={x|-6x4}.∴E∩F={x|x≤-2或x≥4}∩{x|-6x4}={x|-6x≤-2}.2∵E={x||x-1|≥m},
①当m≤0时,E=R,E∪F=R,满足条件.
②当m0时,E={x|x≤1-m或x≥1+m},由E∪F=R,F={x|-6x4},∴解得0m≤
3. 综上,实数m的取值范围为m≤
3.21.解析 由题意得B={x|x≥3或x≤1},1由A∩B=∅,A∪B=R,可知A=∁RB=13,∴∴a=
2.2∵B={x|x≥3或x≤1},∴q{x|1x3}.∴q是p的必要条件,即p⇒q.∴A⊆∁RB=13.∴∴2≤a≤2,∴a=
2.22.解析 1P={x|-2≤x≤10},S={x|1-m≤x≤m+1}.若x∈P是x∈S的充要条件,∴∴m不存在.2若存在实数m,使x∈P是x∈S的必要条件,∴S⊆P.若m<0,即S=∅时,满足条件.若S≠∅,应有 解之得 0≤m≤
3.综之得,m≤3时,x∈P是x∈S的必要条件.寒假作业二(答案)
一、选择题本大题共10小题,每小题5分,共50分.每小题中只有一项符合题目要求1.A解析 当f0=-1时,f1可以是0或1,则有2个映射.当f0=0时,f1=1,则有1个映射.2.C解析 由得x-1且x≠1,即函数fx的定义域为-11∪1,+∞.3.B解析 逐项验证即可.4.D解析 本题主要考查函数的奇偶性、单调性及利用图像解不等式,根据已知条件可画出fx的草图如图所示.不等式≤0⇔≤0⇔≥0⇔或由图可知不等式的解集为[-20∪02].故选D.5.C解析 fx=1+log2x的图像可由fx=log2x的图像上移1个单位得到,且过点,
0、11,由指数函数性质可知gx=21-x为减函数,且过点02,故选C.6.A解析 1当x≥2时,fx=x2+x-3,此时对称轴为x=-,fx∈[3,+∞.2当x2时,fx=x2-x+1,此时对称轴为x=,fx∈[,+∞.综上知,fx的值域为[,+∞.7.C解析 令t=3x,即x=log3t,则问题转化为函数y=t2-mt+m+1在1,+∞上的图像恒在x轴的上方,即Δ=-m2-4m+10或解得m2+
2.8.B解析 f1=-30,f2=-0,f3=0,故选B.9.D解析 ∵fx+2=fx,∴T=
2.又0≤x≤1时,fx=x2,可画出函数y=fx在一个周期内的图像如图.显然a=0时,y=x与y=x2在
[02]内恰有两不同的公共点.另当直线y=x+a与y=x20≤x≤1相切时也恰有两个公共点,由题意知y′=x2′=2x=1,∴x=.∴A,,又A点在y=x+a上,∴a=-,∴选D.10.B解析 1对于方程fgx=0,令t=gx,则由ft=0可得t=-
101.gx=-1时,x=±1,有2个.gx=0时,有3个解.gx=1时,x=±2,有2个.∴fgx=0的实根个数a=
7.2对于方程gfx=0,令t=fx,由gt=0,得t1∈-2,-1,t2=0,t3∈12.fx=t1,无解;fx=t3,无解.fx=03个解,即b=
3.∴a+b=10,选B.
二、填空题本大题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在题中横线上11.解析 ∵fx=是奇函数,利用赋值法,∴f-1=-f1.∴=-.∴a+1=31-a,解得a=.12.10或解析 =,两边取10为底的对数,得lga-lga=,解得lga=1或lga=-,故a=10或a=.13.1解析 由fx+1=fx-1,知fx+2=fx,函数y=fx是以2为周期的周期函数.因为log5∈-2,-1,log5+2=log∈01,又fx为偶函数且x∈[-10],fx=3x+, 所以当x∈
[01]时,fx=3-x+.所以flog5=flog5+2=flog=+=+=+=
1.14.610000解析 由lg1000-lg
0.001=6,得此次地震的震级为6级.因为标准地震的振幅为
0.001,设9级地震最大振幅为A9,则lgA9-lg
0.001=9解得A9=106,同理5级地震最大振幅A5=102,所以9级地震的最大振幅是5级的10000倍.15.|log2|x-1||16.
②④解析 易知
①错,
②对,对于
④,由对称性知也对,对于
③,在同一坐标系中,分别作出两函数的图像,在直线x=1左侧的那个交点十分容易发现,在其右侧有无交点呢?通过图像很难断定,下面我们利用存在零点的条件fa·fb0来解决这个问题,两函数图像的交点的横坐标就是函数fx=-|log2x|的零点,其中f1=0,f2=-0,f4=0,所以在直线x=1右侧,函数有两个零点,一个在12内,一个在24内,故函数fx=-|log2x|共有3个零点,即函数y=和y=|log2x|的图像有3个交点.
三、解答题本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.解析 1当x0时,fx在-∞,-2]上递减,在-20上递增;当x0时,fx在02]上递减,在2,+∞上递增.综上,fx的单调增区间为-20,2,+∞,单调减区间为-∞,-2],02].2当x0时,fx=16,即x+22=16,解得x=-6;当x0时,fx=16,即x-22=16,解得x=
6.故所求x的值为-6或
6.18.解析 1由得-1x
1.由0lg2-2x-lgx+1=lg1,得
110.因为x+10,所以x+12-2x10x+10,解得-x.由得-x.2当x∈
[12]时,2-x∈
[01],因此y=gx=gx-2=g2-x=f2-x=lg3-x.19.解析 1∵f-1=-f1=f-1+5=f4,∴f1+f4=
0.2设x∈
[14],fx=ax-22-5,由1得a=2,此时fx=2x-22-5,且f1=-
3.设f1=-3,f0=0,可得x∈[-11],fx=-3x.故fx=3fx= 得fxmax=3,fxmin=-
5.20.解析 1∵fx=b·ax图像过点A16,B324,∴又a0且a≠1, ∴a=2,b=3,∴fx=3·2x.2由1知不等式x+x-m≥0即为x+x-m≥
0.∴问题转化成当x∈-∞,1]时m≤x+x恒成立.令gx=x+x,易知gx在-∞,1]上为减函数.∴gx≥g1=+=. ∴m≤.21.解析 1依题意有y=且x∈N*,因为y0,x∈N*,由得6≤x≤10,x∈N*.由得10x≤38,x∈N*.所以函数为y=定义域为{x|6≤x≤38,x∈N*}.2当x=10时,y=100x-5756≤x≤10,x∈N*取得最大值425元.当x10时,y=-3x2+130x-575,当且仅当x=-=时,y取最大值.但x∈N*,所以当x=22时,y=-3x2+130x-57510x≤38,x∈N*取得最大值833元,比较两种情况,可知当床位定价为22元时净收入最多.22.解析 1方法一 ∵gx=x+≥2=2e,等号成立的条件是x=e. 故gx的值域是[2e,+∞.因而只需m≥2e,则gx=m就有实根.方法二 作出gx=x+的图像如图.可知若使gx=m有实根,则只需m≥2e.方法三 解方程由gx=m,得x2-mx+e2=
0.此方程有大于零的根,故等价于故m≥2e.2若gx-fx=0有两个相异的实根,即gx=fx中函数gx与fx的图像有两个不同的交点.作出gx=x+x0的图像.∵fx=-x2+2ex+m-1=-x-e2+m-1+e2,其对称轴为x=e,开口向下,最大值为m-1+e
2.故当m-1+e22e,即m-e2+2e+1时,gx与fx有两个交点, 即gx-fx=0有两个相异实根.∴m的取值范围是-e2+2e+1,+∞.寒假作业三(答案)
一、选择题本大题共10小题,每小题5分,共50分.每小题中只有一项符合题目要求1.B解析 由等差中项的定义结合已知条件可知2a4=a5+a3,∴2d=a7-a5=-1,即d=-. 故选B.2.D解析 由等比数列性质可知a3a5a7a9a11=a=243,所以得a7=3,又==a7,故选D.3.D解析 ∵S5=×5,又∵S5=a1+a5,∴a1+a5=
0.∴a3=0,∴S11=×11=×11=×11=110,故选D.4.D解析 各项均不为零的等差数列{an},由于a-an-1-an+1=0n∈N*,n≥2,则a-2an=0,an=2,S2009=4018,故选D.5.A解析 由于a2a4=a,a4a6=a,所以a2·a4+2a3·a5+a4·a6=a+2a3a5+a=a3+a52=
25.所以a3+a5=±
5.又an0,所以a3+a5=
5.所以选A.6.B解析 =a3·a6⇒1+3d2=1+2d·1+5d⇒dd+1=0⇒d=-1,∴a3=-1,a4=-2,∴q=
2. ∴a6=a4·q=-4,第四项为a6·q=-
8.7.B解析 fn+1=fn+,∴累加,得f20=f1+++…+=f1+=
97.8.D解析 ∵成等比,∴ay2=a·a-. 即2y=-,x-10,∴x1.x-1x+1,∴y0,∴位于第四象限.9.A解析 a9S8-a8S9=-==-a1a8=-aq7,因为a0,q0,所以-aq70,即a9S8a8S9,故选A.10.C解析 方法一 设等差数列的首项为a1,公差为d,根据题意可得,即解得所以,S2012=2012a1+d=2012×-4021+2012×2011×2=2012×4022-4021=
2012.方法二 由S2011==2011a1006=-2011,解得a1006=-1,则S2012====
2012.
二、填空题本大题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在题中横线上11.解析 由题意知2n=m+m+n, ∴n=2m.又n2=m·m·n,∴n=m2,∴m2=2m.∴m=2,∴n=4,∴a2=4,b2=2,c2=
2. ∴e==.12.解析 ===.13.2解析 ∵S3==6,而a3=4, ∴a1=
0. ∴d==
2.14.
1223.4解析 应为1200+
0.3×12+
0.3×11+…+
0.3=1200+
0.3×=
1223.4元.15.4解析 设等比数列{an}的公比为q,其中q0,依题意得a=a2·a4=
4.又a30,因此a3=a1q2=2,a1+a2=a1+a1q=12,由此解得q=,a1=8,an=8×n-1=24-n,an·an+1·an+2=29-3n.由于2-3=,因此要使29-3n,只要9-3n≥-3,即n≤4,于是满足an·an+1·an+2的最大正整数n的值为
4.16.-解析 因为=,所以==-,即q5=-5,所以q=-.
三、解答题本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.解析 ∵an,an+1是x2-2n+1x+=0的两根, ∴an+an+1=2n+1,an·an+1=.∴an+1+an+2=2n+
3. ∴an+2-an=
2.∴a3-a1=2,a5-a3=2,……,a2n-1-a2n-3=
2.∴a2n-1-a1=2n-1.∴a2n-1=2n-1,∴当n为奇数时,an=n.同理可得当n为偶数时an=n.∴an=n.∴bn===-.∴Sn=b1+b2+b3+…+bn=1-+-+-+…+-=1-=.18.解析 1设成等差数列的三个正数分别为a-d,a,a+d.依题意,得a-d+a+a+d=15,解得a=
5.所以{bn}中的b3,b4,b5依次为7-d1018+d.依题意,有7-d18+d=100,解得d=2或d=-13舍去.故{bn}的第3项为5,公比为
2.由b3=b1·22,即5=b1·22,解得b1=.所以{bn}是以为首项,2为公比的等比数列,其通项公式为bn=·2n-1=5·2n-
3.2数列{bn}的前n项和Sn==5·2n-2-,即Sn+=5·2n-
2.所以S1+=,==
2. 因此{Sn+}是以为首项,公比为2的等比数列.19.解析 1由x1=3,得2p+q=3,又x4=24p+4q,x5=25p+5q,且x1+x5=2x4,得3+25p+5q=25p+8q,解得p=1,q=
1.2Sn=2+22+…+2n+1+2+…+n=2n+1-2+.20.解析 1设{an}的公比为q,则an=a1qn-
1.由已知,有化简,得又a10,故q=2,a1=
1. 所以an=2n-
1.2由1知,bn=2=a++2=4n-1++
2.因此,Tn=1+4+…+4n-1+1++…++2n=++2n=4n-41-n+2n+21.解析 1依题意知,An是一个以480为首项,-20为公差的等差数列的前n项和,所以An=480n+×-20=490n-10n2,Bn=5001++5001++…+5001+-600=500n+500++…+-600=500n+500×-600=500n--
100.2依题意得,BnAn,即500n--100490n-10n2,可化简得n2+n-
10. ∴可设fn=,gn=n2+n-
10.又∵n∈N*,∴可知fn是减函数,gn是增函数.又f3=g3=2,f4=g4=
10.则当n=4时不等式成立,即4年.22.解析 1因为Sn+n=2an,所以Sn-1=2an-1-n-1n≥2,n∈N*.两式相减,得an=2an-1+
1.所以an+1=2an-1+1n≥2,n∈N*,所以数列{an+1}为等比数列.因为Sn+n=2an,令n=1得a1=
1.a1+1=2,所以an+1=2n,所以an=2n-
1.2因为bn=2n+1an+2n+1,所以bn=2n+1·2n.所以Tn=3×2+5×22+7×23+…+2n-1·2n-1+2n+1·2n,
①2Tn=3×22+5×23+…+2n-1·2n+2n+1·2n+1,
②①-
②,得-Tn=3×2+222+23+…+2n-2n+1·2n+1=6+2×-2n+1·2n+1=-2+2n+2-2n+1·2n+1=-2-2n-1·2n+
1.所以Tn=2+2n-1·2n+
1.若2010,则2010,即2n+
12010.由于210=1024211=2048,所以n+1≥11,即n≥
10.所以满足不等式2010的n的最小值是
10.寒假作业四(答案)
一、选择题本大题共10小题,每小题5分,共50分.每小题中只有一项符合题目要求1.D解析 由题意,得解此不等式组,得.故选D.2.D3.A解析 b≤0时,fx在1,e上为增函数,b0时,当x0时,x+≥2,当且仅当x=即x=取等号.若使fx在1,e上为单调函数,则≤1或≥e,∴0b≤1或b≥e
2.综上b的取值范围是b≤1或b≥e2,故选A.4.C解析 规律71的末位为772末位为973的末位为374末位为175的末位为7,…,的末位为79317931,…,而2013=4×503+1,∴2013的末位是
7.5.D解析 正奇数从小到大排,则89位居第45位,而45=4×11+1,故89位于第四列.6.B解析 根据fx是偶函数,可得fx=f|x|=|x|-
1.因此fx2-1=|x2-1|-
1.解不等式|x2-1|-10,得0x22,因此x∈-,0∪0,.7.D解析 画出可行域,如图中阴影部分所示.要使ax+y≤3恒成立,即可行域必须在直线ax+y-3=0的下方,故分三种情况进行讨论
①当a0且≥1,即0a≤3时,恒有ax+y≤3成立;
②当a=0时,y≤3成立;
③当a0时,恒有ax+y≤3成立.综上可知,a≤
3.8.C解析 ∵x+3y=5xy,∴+=
1.∴3x+4y=3x+4y×1=3x+4y+=+++≥+2=5,当且仅当=,即x=1,y=时等号成立.9.B解析 根据勾股定理以及正方形的面积公式并结合解题探究可知,经过n次“生长”后,所得图形中所有正方形的面积和等于第一个正方形的面积的n+1倍,即为n+
1.故选B.10.C解析 设AD=x,S=x16-x≤2=
64. 当且仅当x=8时成立.∵树围在花圃内,∴0a≤8时,x=8能满足条件,即fa=
64. 当8a12时,S=x16-x最大值为a16-a.∴fa= 选C.
二、填空题本大题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在题中横线上11.-4112.4解析 依题意知,+y+x=1+++1≥2+2=4,当且仅当x=y=1时取等号.13.coscos·…·cos=,n∈N*解析 从已知等式的左边来看,余弦的个数从1逐个增加,分子上从π开始也是逐个增加,分母分别是357,…,可以看出分母的通项为2n+1,等式的右边是通项为的等比数列,由以上分析可以猜想出的结论为coscos·…·cos=,n∈N*.14.1解析 由约束条件作出其可行域如图所示由图可知当直线x=m经过函数y=2x的图像与直线x+y-3=0的交点P时取得最大值,即得2x=3-x,即x=1=m.15.解析 依题意得=+=+1-=-2+=--2+的最大值是当-=0,即=,=时取得最大值.16.解析 设两个正方形边长分别为a,b,则由题可得a+b=1,且≤a,b≤,S=a2+b2≥2×2=,当且仅当a=b=时取等号.
三、解答题本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.解析 1∵=1,cosx,=cosx1,∴·=2cosx,||·||=1+cos2x.∴fx=cos,=.2∵x∈[-,], ∴fx=cos,==,cosx∈[,1].∵2≤cosx+≤, ∴≤fx≤1,即≤cos,≤
1.18.解析 1若a1,a2,…,an∈R,a1+a2+…+an=1,求证a+a+…+a≥.2构造函数fx=x-a12+x-a22+…+x-an2=nx2-2a1+a2+…+anx+a+a+…+a=nx2-2x+a+a+…+a,因为对一切x∈R,都有fx≥0,所以Δ=4-4na+a+…+a≤0,从而证得a+a+…+a≥.19.解析 1f′x=-3x2+2ax,要使fx在02上单调递增,则f′x≥0在02上恒成立.∵f′x是开口向下的抛物线,∴∴a≥
3.2∵0≤θ≤,∴tanθ=-3x2+2ax∈
[01].根据题意0≤-3x2+2ax≤1在01]上恒成立,由-3x2+2ax≥0,得a≥x,a≥. 由-3x2+2ax≤1,得a≤x+.又x+≥当且仅当x=时取“=”, ∴a≤.综上,a的取值范围是≤a≤.20.解析 1由已知得∴d=
2. 故an=2n-1+,Sn=nn+.2由1得bn==n+.假设数列{bn}中存在三项bp,bq、brp,q,r互不相等成等比数列,则b=bpbr.即q+2=p+r+. ∴q2-pr+2q-p-r=
0.∵p,q,r∈N*,∴∴2=pr,p-r2=0,∴p=r,与p≠r矛盾.所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列.21.解析 1第n次投入后,产量为10+n万件,销售价格为100元,固定成本为元,科技成本投入为100n万元,所以,年利润为fn=10+n100--100nn∈N*.2由1知fn=10+n100--100n=1000-80+≤520万元.当且仅当=,即n=8时,利润最高,最高利润为520万元.答从今年算起第8年利润最高,最高利润为520万元.22.解析 1f5=
41.2因为f2-f1=4=4×1,f3-f2=8=4×2,f4-f3=12=4×3,f5-f4=16=4×4,……由上式规律,所以得出fn+1-fn=4n.因为fn+1-fn=4n⇒fn+1=fn+4n⇒fn=fn-1+4n-1=fn-2+4n-1+4n-2=fn-3+4n-1+4n-2+4n-3=…=f1+4n-1+4n-2+4n-3+…+4=2n2-2n+
1.3当n≥2时,==-,∴+++…+=1+·1-+-+-+…+-=1+1-=-.寒假作业五(答案)
一、选择题本大题共10小题,每小题5分,共50分.每小题中只有一项符合题目要求1.A解析 由a=1可得l1∥l2,反之,由l1∥l2可得a=1或a=-2,故选A.2.A解析 两部分面积之差最大,即弦长最短,此时直线垂直于过该点的直径.因为过点P11的直径所在直线的斜率为1,所以所求直线的斜率为-1,方程为x+y-2=
0.3.A解析 ∵抛物线y2=4x的焦点是10,直线3x-2y=0的斜率是,∴直线l的方程是y=x-1,即3x-2y-3=0,故选A.4.D解析 设圆心Ca0a0,由=2得,a=2,故圆的方程为x-22+y2=4,即x2+y2-4x=
0.5.B解析 由等比中项的性质得到a,c的一个方程,进一步转化为关于e的方程,解之即得所求.6.B解析 设焦点为F±c0,双曲线的实半轴长为a,则双曲线的离心率e1=,椭圆的离心率e2=,所以=
2.选B.7.B解析 F1-,0,F2,0,2c=2,2a=
2.∵·=0,∴||2+||2=|F1F2|2=4c2=
40.∴+2=||2+||2+2·=
40.∴|+|=
2.8.A解析 特殊值法,取准线上一点0,-1.设Mx1,x,Nx2,x,则过M、N的切线方程分别为y-x=x1x-x1,y-x=x2x-x2.将0,-1代入得x=x=4,∴MN的方程为y=1,恒过01点.9.D解析 ||=|AF|-p=yA,||=|DF|-p=yB,||·||=yAyB=p
2.因为,的方向相同,所以·=||·||=yAyB=p
2.10.D解析 设Px1,x,Qx2,x,∴kAP==x1-1,kPQ==x2+x
1.由题意得kPA·kPQ=x1-1x2+x1=-1,∴x2=-x1=+1-x1-
1.利用函数性质知x2∈-∞,-3]∪[1,+∞,故选D.
二、填空题本大题共6小题,每小题5分,共30分,把答案填在题中横线上11.2x-y+8=0解析 ∵l1⊥l3,∴k1=tanα=2,k2=tan2α==-.∵l2的纵截距为-2,∴l2的方程为y=-x-
2.由∴P-32,l1过P点.∴l1的方程为2x-y+8=
0.12.x+2+y-2=解析 因为通过两个定点的动圆中,面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆,于是解方程组得交点A-,,B-32.因为AB为直径,其中点为圆心,即为-,,r=|AB|=,所以圆的方程为x+2+y-2=.13.解析 设圆心C40到直线y=kx-2的距离为d,则d=,由题意知问题转化为d≤2,即d=≤2,得0≤k≤,所以kmax=.14.+=1解析 抛物线y2=8x的焦点坐标为20,则依题意知椭圆的右顶点的坐标为20,又椭圆与双曲线x2-y2=1有相同的焦点,∴a=2,c=.∵b2=a2-c2,∴b2=2,∴椭圆的方程为+=
1.15.3解析 因为M-30,N30,所以=60,||=6,=x+3,y,=x-3,y.由||·||+·=0,得6+6x-3=0,化简整理得y2=-12x.所以点A是抛物线y2=-12x的焦点,所以点P到A的距离的最小值就是原点到A-30的距离,所以d=
3.16.解析 依题意,|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|+|PF2|≥2c,所以0≤=.又双曲线的渐近线方程y=±x,则=.因此e==2,故0≤.
三、解答题本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.解析 1依题意知直线l的斜率存在,因为直线l过点M-20,故可设直线l的方程为y=kx+2.因为P,Q两点在圆x2+y2=1上,所以||=||=
1.因为·=-,即||·||·cos∠POQ=-.所以∠POQ=120°,所以点O到直线l的距离等于.所以=,解得k=±.所以直线l的方程为x-y+2=0或x+y+2=
0.2因为△OMP与△OPQ的面积相等,所以MP=PQ,即P为MQ的中点,所以=
2.设Px1,y1,Qx2,y2,所以=x2+2,y2,=x1+2,y1.所以即
①因为P,Q两点在圆x2+y2=1上,所以
②由
①及
②得解得 故直线l的斜率k=kMP=±.18.解析 1由题意得解得b=. 所以,椭圆C的方程为+=
1.2由得1+2k2x2-4k2x+2k2-4=
0.设点M,N的坐标分别为x1,y1,x2,y2,则y1=kx1-1,y2=kx2-1,x1+x2=,x1x2=.所以|MN|===.又因为点A20到直线y=kx-1的距离d=,所以△AMN的面积为S=|MN|·d=.由=,化简得7k4-2k2-5=0,解得k=±
1.19.解析 1设点P的坐标为x0,y0.由题意,有+=
1.
①由A-a0,Ba0,得kAP=,kBP=.由kAP·kBP=-,可得x=a2-2y,代入
①并整理得a2-2b2y=
0.由于y0≠0,故a2=2b
2.于是e2==,所以椭圆的离心率e=.2方法一依题意,直线OP的方程为y=kx,设点P的坐标为x0,y0.由条件得消去y0并整理得x=.
②由|AP|=|OA|,A-a0及y0=kx0,得x0+a2+k2x=a
2.整理得1+k2x+2ax0=
0.而x0≠0,于是x0=,代入
②,整理得1+k22=4k22+
4.由ab0,故1+k224k2+4,即k2+
14.因此k23,所以|k|.方法二 依题意,直线OP的方程为y=kx,可设点P的坐标为x0,kx0.由点P在椭圆上,有+=
1.因为ab0,kx0≠0,所以+1,即1+k2xa
2.
③由|AP|=|OA|,A-a0,得x0+a2+k2x=a2,整理得1+k2x+2ax0=0,于是x0=.代入
③,得1+k2·a2,解得k23,所以|k|.
20.解析 1由已知可得点A-60,F40,设点P的坐标是x,y,则=x+6,y,=x-4,y.由已知得则2x2+9x-18=0,x=或x=-
6.∵点P位于x轴上方,∴x=-6舍去,只能取x=.由于y0,于是y=.∴点P的坐标是,.2直线AP的方程是x-y+6=
0.设点M的坐标是m0-6≤m≤6,则M到直线AP的距离是.于是=6-m,解得m=
2.椭圆上的点x,y到点M的距离d有d2=x-22+y2=x2-4x+4+20-x2=x-2+
15.由于-6≤x≤6,∴当x=时,d取得最小值.21.解析 1由题意,知m+11,即m
0.由得m+2x2+4m+1x+3m+1=
0.又由Δ=16m+12-12m+2m+1=4m+1m-2≥0,解得m≥2或m≤-1舍去,∴m≥
2.此时|EF1|+|EF2|=2≥
2.当且仅当m=2时,|EF1|+|EF2|取得最小值2,此时椭圆的方程为+y2=
1.2设直线l的方程为y=kx+t.由方程组消去y得1+3k2x2+6ktx+3t2-3=
0.∵直线l与椭圆交于不同的两点A,B,∴Δ=6kt2-41+3k23t2-30,即t21+3k
2.
①设Ax1,y1,Bx2,y2,QxQ,yQ,则x1+x2=-.由=,得Q为线段的AB的中点,则xQ==-,yQ=kxQ+t=.∵·=0,∴直线AB的斜率kAB与直线QN的斜率kQN乘积为-1,即kQN·kAB=-1,∴·k=-
1.化简得1+3k2=2t,代入
①式得t22t,解得0t
2.又k≠0,即3k20,故2t=1+3k21,得t.综上,直线l在y轴上的截距t的取值范围是,2.22.解析 1由题意知得2设Ax1,y1,Bx2,y2,线段AB的中点为Qm,m.由题意知,设直线AB的斜率为kk≠0.由得y1-y2y1+y2=x1-x
2.故k·2m=
1.所以直线AB的方程为y-m=x-m.即x-2my+2m2-m=
0.由消去x,整理得y2-2my+2m2-m=
0.所以Δ=4m-4m20,y1+y2=2m,y1·y2=2m2-m.从而|AB|=·|y1-y2|=·.设点P到直线AB的距离为d,则d=.设△ABP的面积为S,则S=|AB|·d=|1-2m-m2|·.由Δ=4m-4m20,得0m
1.令u=,0u≤,则S=u1-2u2.设Su=u1-2u2,0u≤,则S′u=1-6u
2.由S′u=0,得u=∈0,].所以[Su]max=S=.故△ABP面积的最大值为.。