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高二数学棱锥基本性质及其应用 本周学习内容棱锥的性质、侧面积公式及体积公式; 本周学习重点棱锥的性质及其应用
一、基本概念
1.定义、概念有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面构成的几何体叫棱锥
2.分类按底面多边形的数,底面、侧面、棱、侧棱、顶点、高、斜高
3.棱锥的性质
1.平行于底面的截面与底面是相似的多边形;
2.有一个面是多边形,其余各面是三角形,但反之不然
4.正棱锥定义如果一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面上的射影是底面的中心,这样的棱锥叫正棱锥判断一个棱锥是否是正棱锥必须满足下列两个条件一是底面是正多边形,二是顶点在底面上的射影是正多边形的中心
5.正棱锥的性质
1.各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形,各等腰三角形底边上的高相等,它叫做正棱锥的斜高;
2.棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形;棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形
6.棱锥的体积及侧面积;棱锥的侧面积等各侧面三角形面积之和
二、相关例题 例
1.判断问题 1底面是正多边形的棱锥是正棱锥 2所有的侧棱都相等的棱锥是正棱锥 3侧面是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥 例
2.如图正四面体ABCD中,E为棱AD的中点,则CE与平面BCD所成角的大小为C A.30°B.60°C.D. 例
3.若正三棱锥的侧面积是底面积的2倍,则底面与底面所成的二面角是D A15°B30°C45°D60° 分析可利用二面角的定义或者说二面角的投影面积公式得到答案 例
4.正四棱锥的侧棱与底面成45°角,则侧面与底面所成二面角的正弦值为D ABCD 分析可设棱高为1,通过转化可得顶点在底面的射影到正多边形的距离,进而可得 例
5.如图所示,面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为aii=1234,此四边形内任一点P到第i条边的距离记为,类比以上性质,体积为V三棱锥的第i个面的面积记为Sii=1234,此三棱锥内任一点Q到第i个面的距离记为Hii=1234,若 A.B.C.D. 分析通过类比分析可得答案或抓住割补的方法利用多面体的何种等于以P为顶点的各个棱锥的体积之和得到解决 例
6.如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为正三角形,底面ABCD为正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,M为底面ABCD内的一个动点,且满足MP=MC,则点M在正方形ABCD内的轨迹为A 例
7.已知正三棱锥的高是4,斜高是,则其中截面的面积为. 分析利用正棱锥的相关定义可得中截面与底面相似并利用面积比为相似比的平方可得中截面的面积 例
8.正三棱锥S-ABC的侧棱长为1,两条侧棱的夹角为45°,过顶点A作截面交SB于D,交SC于E,则△ADE的周长的最小值为 分析利用侧面展开图可得到展开后的直线连接即为在原图中的最短线路 例
9.A
1、B
1、C1分别是三棱锥S-ABC的三侧棱上三点,若 分析抓住,同时注意到即可得 例
10.如图,三棱锥P-ABC中,PB⊥底面ABC于B,∠BCA=90°,,点E,点F分别是PC,AP的中点 1求点B到侧面PAC的距离; 2求异面直线AE与BF所成的角; 3求二面角A-BE-F的大小 解1∵PB⊥平面ABC,∴平面PBC⊥平面ABC 又∵AC⊥BC,∴AC⊥平面PBC∴侧面PAC⊥侧面PBC 又∵E为PC的中点,PB=BC ∴BE⊥PC从而BE⊥侧面PAC,故BE的长就是点B到侧面PAC的距离, 在等腰Rt△PBC中,BE=4 2取EP的中点为G,联结GF、GB则GF∥EA, 在△GFB中, ∴AE与BF所成的角是 说明亦可利用向量的方法求得 3可以证明∠AEF就是二面角A-BE-F的平面角,从而 亦可利用等积转换算出F点到平面ABE的高, 从而得出二面角A-BE-F的平面角为 例
11.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面PAD是正三角形,且平面PAD⊥底面ABCD. 1求证平面PAB⊥平面PAD 2求二面角A-PD-B的大小; 3设AB=1,求点D到平面PBC的距离 解1证明 又,∴平面PAB⊥平面PAD 2解取PD的中点E,连接AE,BE ∴AB⊥平面PAD,∴AE是BE在平面PAD上的射影, ∵△PAD是正三角形, ∴AE⊥PD, 由三垂线定理得BE⊥PD;∠AEB是二面角A-PD-B的平面角; 在Rt△BAE中, ∴二面角A-PD-B的大小为 3解取AD的中点F,连结AF,∵平面PAD⊥平面ABCD,且PF⊥AD, ∴PF⊥平面BCD,设点D到平面PBC的距离为h. ∵VD-PBC=VP-BCD ∴S△PBC·h=S△BCD·PF 在△PBC中,易知 又;即点D到平面PBC的距离为 例
12.四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB∥CD,AD=CD=1,∠BAD=120°,,∠ACB=90° Ⅰ求证BC⊥平面PAC; Ⅱ求二面角D-PC-A的大小; Ⅲ求点B到平面PCD的距离 解1证明∵PA⊥底面ABCD,,∴PA⊥BC, ∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC 又PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC 2∵AB∥CD,∴∠DAB=120° ∠ADC=60°,又AD=CD=1 ∴△ADC为等边三角形,且AC=1 取AC的中点O,则DO⊥AC,∵PA⊥底面ABCD, ∴PA⊥DO,∴DO⊥平面PAC; 过O作OH⊥PC,垂足为H,连DH,由三垂线定理知DH⊥PC ∴DHO为二面角D-PC-A的平面角,由 ∴二面角D-PC-A的大小为arctan
2. 3设点B到平面PCD的距离为d ∵AB∥CD,∴AB∥平面PCD ∴点B到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距离 例
13.已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD是正方形,SA⊥底面ABCD,点E是SC上任意一点 Ⅰ求证平面EBD⊥平面SAC; Ⅱ设SA=4,AB=2,求点A到平面SBD的距离; Ⅲ当的值为多少时,二面角B-SC-D的大小为120°. 解Ⅰ∵ABCD是正方形,∴BD⊥AC, ∵SA⊥底面ABCD,∴SA⊥BD, ∵SA∩AC=A,∴BD⊥面SAC, 又∴平面EBD⊥平面SAC Ⅱ由Ⅰ知,BD⊥面SAC, 又∴平面SBD⊥平面SAC, 设AC∩BD=O,则平面SBD∩平面SAC=SO, 过A作AF⊥SO交SO于点F,则AF⊥面SBD,所以线段AF的长就是点A到平面SBD的距离 ∵ABCD是正方形,AB=2,, 又∵SA=4,△SAO是Rt△, ∵SO·AF=SA·AO,,∴点A到平面SBD的距离为 Ⅲ作BM⊥SC于结DM, ∵SA⊥底面ABCD,AB=AD,∴SB=SD 又∵CB⊥AB,CD⊥AD,∴CB⊥SB,CD⊥SD,∴△SBC≌△SDC, ∴DM⊥SC,∴∠BMD是二面角B-SC-D的平面角,BM=DM 要使∠BMD=120°,只须 即 ∵BM·SC=SB·BC,SC2=SB2+BC2,∴BM2·SC2=SB2·BC2, ∵AB=BC,∴2SB2+2AB2=3SB2,∴SB2=2AB2, 又∵AB2=SB2-SA2∴AB2=SA2 故当时,二面角B-SC-D的大小为120° 本周参考例题
1.下列命题正确的是 A侧棱长都相等的棱锥是正棱锥 B侧棱与底面所成的角都相等的棱锥是正棱锥 C侧棱长相等且底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D侧面与底面所成的角都相等的棱锥是正棱锥
2.设三棱柱ABC-A1B1C1的体积为C,P,Q分别是侧棱AA
1、CC1上的点,且PA=QC1,则四棱锥B-APQC的体积为 A. B. C. D.
3.两个正三棱锥和一个正四棱锥的所有棱长都相等,如果将它们组成一个几何体,则这个几何体至少有几个面 A.5 B.6 C.12 D.14
4.在正三棱锥S-ABC中,∠ASB=40°,M、N分别是SB、SC上的点,若SA=3,则AM+MN+NA的最小值为______
5.正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为23,则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为______
6.已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形,AB∥DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且,AB=1,M是PB的中点 1证明面PAD⊥面PCD; 2求AC与PB所成的角; 3求面AMC与面BMC所成二面角的大小
7.已知三棱锥P-ABC中,E、F分别是AC、AB的中点,△ABC、△PEF都是正三角形,PF⊥AB, 1证明PC⊥平面PAB; 2求二面角P-AB-C的平面角的余弦值; 3若点P、A、B、C在一个表面积为12π的球面上,求△ABC 答案
1.C.
2.C
3.B
4.
5.
6.23
7.23本周课题棱柱 本周内容 了解棱柱的概念,掌握平行六面体,直平行六面体的概念;掌握平行六面体,长方体,正棱柱的性质;掌握直棱柱的侧面积公式与棱柱的体积公式,并能熟练进行相关计算 本周重点
1、棱柱,直棱柱,正棱柱的概念和平行六面体的定义
2、棱柱中有关直线与直线,直线与平面,平面与平面的有关证明与计算 本周难点
1、棱柱有关性质的灵活运用
2、棱柱中的有关证明与计算 本周知识点
1、棱柱的有关概念 有两个面平行,其余各面都是四边形,每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 棱柱的底面、侧面、棱、侧棱、顶点、对角线、高等概念
2、棱柱的性质 1侧棱都相等,侧面都是平行四边形; 2底面与平行于底面的截面是全等的多边形; 3过不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形 3.棱柱的分类
1、按侧棱数分为三棱柱、四棱柱、……
2、按侧棱与底面是否垂直分为斜棱柱、直棱柱其中,底面为正多边形的直棱柱又叫正棱柱
4、平行六面体 底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体侧棱垂直于底面的平行六面体叫做直平行六面体 底面为矩形的直平行六面体叫做长方体长、宽、高相等的长方体叫做正方体
5、关于侧面积和体积公式 S真棱柱侧=cl,其中c为底面周长,l为侧棱长 S斜棱柱侧=cl,其中c为直截面周长,l为侧棱长 V棱柱=Sh,其中,S为底面积,h为棱柱的高
6、定理“体对角线”的平方=共顶点三棱之“平方和” 补1体对角线与三共顶点棱所成角的大小分别为,则 补2体对角线与三共顶点面所成角的大小分别为,则 本周例题 例1设M={正四棱柱},N={直四棱柱,P={长方体},Q={直平行六面体},则四个集合的关系为 A.MPNQB.MPQNC.PMNQD.PMQN 解析理清各概念的内涵及包含关系. 答案B 例
2.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则C1在底面ABC上的射影H必在 A.直线AB上 B.直线BC上 C.直线AC上 D.△ABC内部 解析由AC⊥AB,AC⊥BC1,知AC⊥面ABC1,从而面ABC1⊥面ABC,因此,C1在底面ABC上的射影H必在两面的交线AB上 答案A 例
3.斜三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是边长为a的正三角形,侧棱长为b,AA1与底面相邻两边AB、AC都成45°角,求棱柱的侧面积 解法一作A1D⊥底面ABC于D,连结AD, ∵AA1与AB、AC都成45°角,∴AD为∠BAC的角平分线 又∵△ABC为正三角形,∴AD⊥BC, ∴由三垂线定理AA1⊥BC,又AA1∥C1C, ∴C1C⊥BC,∴侧面B1BCC1为矩形, 解法二作CE⊥A1A于E,连结BE,易证△AEC≌△AEBSAS ∴∠BEA=∠CEA=90°,∴BE⊥A1A ∴A1A⊥面BEC,∴平面BEC为三棱柱的直截面 ∴S侧=CE+EB+BC·A1A 反思本题体现了求棱柱侧面积的两种常用方法 例
4.如图,E是正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱BB1上的点,且A1A=AB,求面AEC1与面ABC所成二面角不大于90°的大小 分析一设法作出二面角的平面角,需先找二面角的棱 解法一延长C1E与CB的延长线交于点M,连结AM, ∵E为BB1中点,而EB∥C1C, ∴B为MC中点,∴MC=2BC=2CA,又∠ACB=60° ∴∠CAM=90°,∵CC1⊥底面ABC, ∴C1A⊥AM,∴∠C1AC就是所求二面角的平面角 而A1A=AB=AC,∴侧面A1ACC1是正方形, ∴∠C1AC=45°, ∴所求二面角大小为45° 分析二考虑到所求二面角为无棱二面角,可用面积投影法解决二面角大小问题 解法二若设A1A=AB=1, 显然,△AEC1在底面ABC的射影就是△ABC,而 例
5.长方体AC1中,从A点沿长方体表面走到C1的最短距离是多少?设长方体的三度分别是a,b,c,且abc. 分析要求最短距离,需把立体问题转化为平面问题来处理,考虑将侧面,底面展开成平面问题便转化为求面上两点间最短距离 解如上图123,有三种方案求同一平面内A与C1两点间直线距离 ∵abc,∴abacbc∴d2最短 例
6.如图,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长为,侧棱长为4,E、F分别为棱AB、BC中点,EF∩BD=G 1求证平面B1EF⊥平面BDD1B; 2求点D1到平面B1EF的距离d; 3求三棱锥B1-EFD1的体积V 解1证法一,连结AC,易知EF∥AC,又AC⊥BD ∴EF⊥BD ∵B1B⊥底面ABCD,∴EF⊥B1B ∴EF⊥平面BDD1B1,∴平面B1EF⊥平面BDD1B1 证法二∵AC⊥BD,AC⊥B1B, ∴AC⊥平面BDD1B1,又EF∥AC ∴EF⊥平面BDD1B1,∴平面B1EF⊥平面BDD1B1 2∵平面B1EF⊥平面BDD1B1, ∴作D1H⊥B1G于H,则D1H即为所求距离d 画出对角面D1DBB1的平面图如下显然△D1HB∽△B1BG, 3 例
7.平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60° 1证明C1C⊥BD;2假定CD=2,,求二面角的平面角的余弦值; 3当的值是多少时,能使A1C⊥平面C1BD?请给出证明 解1∵∠C1CD=∠C1CB, ∴过C1作C1E⊥底面ABCD于E,E一定在∠BCD的角平分线上, 连结AC、由已知,ABCD为菱形, ∴E一定在AC上,∵AC⊥BD,∴C1C⊥BD 2由1知,OC⊥BD,C1O⊥BD, ∴∠C1OC就是所求二面角的平面角, 在△C1OC中,,CD=2,∠C1CD=60° 由余弦定理, 而 3当时,能使A1C⊥平面C1BD, 时,三棱锥C-C1BD为正三棱锥 设A1C与C1O相交于点M,∵A1C1∥AC ∵CO是正△C1BD的高线, ∴M为正△C1BD的中心,∴CG⊥平面C1BD,∴A1C⊥平面C1BD 本周练习
1.用一个过正四棱柱底面一边的平面去截正四棱柱,截面是 A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.平行四边形
2.一个正三棱柱的每一条棱长都是a,则经过底面一边和相对侧棱一个端点的截面面积是 A. B. C. D.
3.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,M为棱AD中点,O为侧面AA1B1B的中心,P为棱CC1上任意一点,则异面直线OP与BM所成的角等于 A.90° B.60° C.45° D.30°
4.一个平行六面体,过一顶点的三条棱长均为a,这三条棱中任意两条的夹角都是60°,则其体积是 A. B. C. D.
5.长方体的高为h,底面积为P,垂直于底面的对角面的面积为Q,则此长方体的侧面积等于______
6.正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长与侧棱长均为2,M为AB中点,N为CC1中点,在棱柱表面上,从M到N的最短距离是_____
7.已知三棱柱A1B1C1-ABC的底面是边长为2的正三角形,侧棱AA1与下底面相邻两边AB、AC均成45° 1求点A1到平面B1BCC1的距离 2若A1到平面ABC与到平面B1BCC1的距离相等时,求AA1的长 参考答案 1--4BCAC
5.
6.
7.112高二数学下学期周末练习
1.下列命题正确的是 A.有两个面互相平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B.棱柱的侧棱一定相等,侧面是平行四边形 C.两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 D.一条侧棱垂直于底面的两边的棱柱是直棱柱
2.三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长均为a,∠A1AC=60°,且侧面ACC1A1⊥底面ABC,则直线BA1与平面ACC1A1所成的角为 A.30°B.45°C.60°D.90°
3.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,点D在棱BB1上,且BD=1,则直线AD与平面AA1C1C所成的角为 A. B. C. D.
4.设斜三棱柱的相邻两侧面组成的三个二面角中,有两个分别是30°、70°,那么第三个二面角的大小为______.
5.用长为6,宽为3的矩形做成一个正三棱柱的侧面,则此正三棱柱的体积为______
6.如图所示,正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为3,底面边长为1,沿侧面从A点到A1点,要求路程AM-MN-NA1最短,则异面直线AM与A1N所成角的余弦值为____
7.已知,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为2,侧棱长为,则二面角B1-AC-B的大小为____
8.已知正三棱柱ABC-A1B1C1中,D为AC中点,AB1⊥BC1,则二面角D-BC1-C的大小为____
9.正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=1,若二面角C-AB-C1的大小为60°,则点C到平面ABC1的距离为____
10.已知△ABC的三个顶点在平面的同侧,且到平面的距离分别为a、b、c,则△ABC的重心到平面的距离是_____
11.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,CC1=3,BC=4,则点A到平面A1BC1的距离是______
12.如图所示,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1ACC1与底面垂直,∠ABC=90°,BC=2,,且AA1⊥A1C,AA1=A1C 1求侧棱AA1与底面ABC所成角的大小; 2求二面角A1-AB-C的大小; 3求二面角B1-BC-A的大小 答案
1.B
2.B
3.D
4.80°
5.
6.
7.45°
8.45°
9.
10.
11.
12.145°260°32006-2007第二学期期中数学试卷分析理
一、试卷情况 本次考试符合高考的形式,题目比较基础,强调基础知识和基本方法的落实学生完成情况整体较好,立体几何在表述上存在个别问题,希望引起注意由于立体几何中向量方法的引入,在部分问题上的难度大大降低,但在使用中要注意建立右手系,提高计算准确率及方法使用的灵活性
二、详细答案
12.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,若棱AB上存在一点P,使D1P⊥PC,则棱AD的长的取值范围是 A. B. C. D. 方法一函数法 ∵在长方体ABCD-A1B1C1D1中,DD1⊥平面ABCD ∴DP为D1P在平面ABCD上的射影 ∵D1P⊥PC,∴DP⊥PC 设AD=y,AP=x,则BP=2-x ∴DP2=x2+y2,PC2=2-x2+y2 ∴在△PDC中,x2+y2+2-x2+y2=4 ∴y2=-x2+2x=-x-12+1 ∵x∈02 方法二几何法 以CD为直径的圆与AB有交点即可,这个交点为点P,就满足DP⊥PC
17.在Rt△ABC中,∠B=90°,∠C=30°,D为BC中点,AC=2,DE⊥平面ABC,且DE=1,则点E到边AC的距离为_____ 过E作EO⊥AC于O,连OD ∵DE⊥平面ABC,∴OD为OE在平面ABC上的射影 ∵OE⊥AC,∴OD⊥OC ∴在Rt△ABC中,∠C=30°,AC=2, ,∴在Rt△COD中, ∴Rt△DOE中, 即为所求
18.正△ABC的边长为3,D、E分别为BC边上的三等分点,沿AD、AE折起,使B、C两点重合于点P,则AP与底面ADE所成的角为_______. 取DE中点O,连OA,PO ∵∠PAD=∠PAE ∴AP在底面ADE上的射影的为∠DAE的角平分线 ∵AD=AE,∴OA为∠DAE的平分线 ∴∠PAO为AP与底面ADE所成的角 ∵在正△ABC中, DP=DE=PE=1,AP=3
19.用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字组成无重复数字的自然数用数字作答 1可组成多少个三位数? 2可组成多少个能被5整除的三位数? 解19×9×8=648个; 2若个位数字是0,则有9×8=72个; 若个位数字是5,则有8×8=64个; 所以,能被5整除的三位数有136个
20.已知1+2x7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7, 1a0+a1+…+a7; 2a2+a4+a6; 3求该展开式中系数最大的项 解1令x=1,则a0+a1+a2+…+a7=1+27=2187; 2令x=-1,则a0-a1+a2-…-a7=1-27=-1 ∵a0+a2+a4+a6=1093∵a0=1∴a2+a4+a6=1092 3 所以该展开式中系数最大的项为
21.如图,点P是边长为1的正方形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD,且PA=2,E为PD的中点 1求证PB∥平面ACE; 2求证平面PAC⊥平面PBD; 3求点B到平面PCD的距离 方法一几何法 1设AC∩BD=O,连OE, ∵在△PBD中,O、E分别为BD、PD的中点, ∴OE∥PB, ∴PB∥平面ACE. 2∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BD,又∵BD⊥AC ∴BD⊥平面PAC∴平面PAC⊥平面PBD. 3∵AB∥CD,∴AB∥平面PCD, ∴点B到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距离 过点A作AM⊥PD于M,∵PA⊥平面ABCD, ∴AD为AM在平面ABCD上的射影, ∵AD⊥CD,∴AM⊥CD,∴AM⊥平面PCD, 即AM的长为点A到平面PCD的距离 ∵在Rt△PAD中,PA=2,AD=1, 所以,点B到平面PCD的距离为 方法二向量方法 3以A为原点建系如图,则P=00,2,C11,0,D01,0,B10,0 设 则
22.如图,平面ABCD⊥平面ABEF,其中四边形ABCD是正方形,四边形ABEF是矩形,AB=2BE,点G是EF的中点 1求证AG⊥平面BGC; 2求二面角B-AC-G的大小; 3求DG与平面AGC所成角的大小 方法一几何方法 1设AB=2a,∵AB=2BE,G为EF的中点, ∴EG=a, ∴AB2=AG2+BG2∴AG⊥BG ∵平面ABCD⊥平面ABEF,BC⊥AB,∴BC⊥平面ABEF ∴BC⊥AG,∴AG⊥平面BGC. 2过点G作GM⊥AB于M,过M作MN⊥AC于N,连GN, ∵平面ABCD⊥平面ABEF,∴GM⊥平面ABCD, ∴MN为GN在平面ABCD上的射影,∴GN⊥AC ∴∠GNM为二面角B-AC-G的平面角 ∵在Rt△ABC中,AM=a,∠BAC=45° ∴在Rt△GMN中, ∴二面角B-AC-G的大小为 3设BD∩平面AGC=O,且BO=DO, ∴点D到平面AGC的距离等于点B到平面AGC的距离 ∵AG⊥BG,AG⊥BC,∴AG⊥平面BGC,∴平面AGC⊥平面BGC 过点B作BP⊥GC于P,∴BP⊥平面AGC ∵在Rt△BGC中,BC=2a, 设DG与平面AGC所成的角为θ, 所以DG与平面AGC所成的角为 方法二向量方法 2以A为原点建系如图,设BE=a,则AB=2a, ∴A00,0,B0,2,0,C2,2,0,G01,1 设为平面ABC的一个法向量 为平面AGC的一个法向量 ∴二面角B-AC-G的大小为 3∵D20,0, ∴DG与平面AGC所成的角为2006-2007第二学期期中数学文试卷分析
一、试卷情况 本次考试符合高考的形式,题目比较基础,强调基础知识和基本方法的落实学生完成情况整体较好,立体几何在表述上存在个别问题,希望引起注意由于立体几何中向量方法的引入,在部分问题上的难度大大降低,但在使用中要注意建立右手系,提高计算准确率及方法使用的灵活性
二、详细答案
12.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,若棱AB上存在一点P,使D1P⊥PC,则棱AD的长的取值范围是 A. B. C. D. 方法一函数法 ∵在长方体ABCD-A1B1C1D1中,DD1⊥平面ABCD ∴DP为D1P在平面ABCD上的射影 ∵D1P⊥PC,∴DP⊥PC 设AD=y,AP=x,则BP=2-x ∴DP2=x2+y2,PC2=2-x2+y2 ∴在△PDC中,x2+y2+2-x2+y2=4 ∴y2=-x2+2x=-x-12+1 ∵x∈02 方法二几何法 以CD为直径的圆与AB有交点即可,这个交点为点P,就满足DP⊥PC
18.正△ABC的边长为3,D、E分别为BC边上的三等分点,沿AD、AE折起,使B、C两点重合于点P,则AP与底面ADE所成的角为_______. 取DE中点O,连OA,OP ∵在正△ABC中,∠PAD=∠PAE ∴AP在底面ADE上的射影的为∠DAE的角平分线上 ∵AD=AE,∴OA为∠DAE的平分线 ∴∠PAO为AP与底面ADE所成的角 ∵DP=DE=PE=1,AP=3
19.用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字组成无重复数字的自然数用数字作答 1可组成多少个三位数? 2可组成多少个能被5整除的三位数? 解19×9×8=648个; 2若个位数字是0,则有9×8=72个; 若个位数字是5,则有8×8=64个; 所以,能被5整除的三位数有136个
20.已知1+2x7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7, 1a0+a1+…+a7; 2a2+a4+a6; 3求该展开式中系数最大的项 解1令x=1,则a0+a1+a2+…+a7=1+27=2187; 2令x=-1,则a0-a1+a2-…-a7=1-27=-1 ∵a0+a2+a4+a6=1093∵a0=1∴a2+a4+a6=1092 3 所以该展开式中系数最大的项为
21.如图,平面ABCD--A1B1C1D1中,E为AA1的中点 1求证CE⊥BD; 2求二面角A-CE-B的大小; 3求BB1与平面BCE所成的角 方法一几何方法 1∵在正方体AC1中,AA1⊥AB,AA1⊥AD, ∴AA1⊥平面ABCD, ∴AC为CE在平面ABCD上的射影, ∵AC⊥BD,∴CE⊥BD. 2设AC∩BD=O,过B作BM⊥CE于M, 连OM,设AB=a, ∵BD⊥AC,BD⊥CE,∴BD⊥平面ACE, ∴OM为BM在平面ACE上的射影, ∴OM⊥CE ∴∠BMO为二面角A-CE-B的平面角 ∵在Rt△BCE中, ∵在Rt△OBM中, 所以,二面角A-CE-B的大小为 3过B1作B1F⊥BE于F. ∵BC⊥BB1,BC⊥AB,∴BC⊥平面ABB1A,∴平面BCE⊥平面ABB1A
1. ∵平面BCE∩平面ABB1A1=BE,∴平面BCE⊥平面ABB1A
1. ∵平面BCE∩平面ABB1A1=BE,∴B1F⊥平面BCE, ∴∠B1BF为直线BB1与平面BCE所成的角 方法二向量方法 2以D为原点建系如图,设AB=a, 则Aa0,0,C0,a,0,Ba,a,0, 设为平面ACE的一个法向量 为平面BCE的一个法向量 ∴二面角A-CE-B的大小为 3∵B1aa,a, ∴BB1与平面BCE所成的角为
22.如图,点P是边长为1的正方形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD,且PA=2,E为PD的中点 1求证PB∥平面ACE; 2求证平面PAC⊥平面PBD; 3求点B到平面PCD的距离 方法一几何法 1设AC∩BD=O,连OE, ∵在△PBD中,O、E分别为BD、PD的中点, ∴OE∥PB, ∴PB∥平面ACE. 2∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BD,又∵BD⊥AC ∴BD⊥平面PAC∴平面PAC⊥平面PBD. 3∵AB∥CD,∴AB∥平面PCD, ∴点B到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距离 过点A作AM⊥PD于M,∵PA⊥平面ABCD, ∴AD为AM在平面ABCD上的射影, ∵AD⊥CD,∴AM⊥CD,∴AM⊥平面PCD, 即AM的长为点A到平面PCD的距离 ∵在Rt△PAD中,PA=2,AD=1, 所以,点B到平面PCD的距离为 方法二向量方法 3以A为原点建系如图, ∴P=00,2,C11,0,D01,0,B10,0 设 则 编稿老师高二数学组审稿老师高二数学组责编马风忠 2006-2007第二学期期中数学文试卷 考试时间为100分钟,试卷满分为100分
一、选择题每题3分,共36分
1.某班从A、B、C、D四位侯选人中,选正、副长事一个,不同的选法种数为 A.4 B.6 C.12 D.16
2.在下列四个正方体中,能得出AB⊥CD的是
3.已知是平面m、n是直线,下列命题中不正确的是 A.若 B.若 C.若 D.若
4.不同的五种商品在货贺上排成一排,其中a、b两种必须排在一起,而c、d两种不能排在一起,则不同的排法共有 种 A.12 B.20 C.24 D.48
5.已知直线a、b与平面 A. B. C. D.
6.北京《财富》全球论坛期间,某高校有14名志愿者参加接待任务,若每天排早、中、晚三班,每班4人,每人每天最多值一班,则开幕式当天不同的排班种数为 A. B. C. D.
7.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是底面A1B1C1D1的中心,则O到平面ABC1D1的距离为 A. B. C. D.
8.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为平面ADD1A
1、平面BCC1B1的中心,则四边形BFD1E在平面ABCD上的射影是
9.已知二面角是直二面角,P为梌AB上一点,PE、PF分别在面内,∠EPB=∠FPB=45°,那么∠EPF的大小是 A.60° B.45° C.120° D.不确定
10.二面角的平面角为120°,,若AB=AC=BD=1,则CD的长为 A. B. C.2 D.
11.设n∈N*,则 A.7n B.7n-1 C. D.
12.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,若棱AB上存在一点P,使D1P⊥PC,则棱AD的长的取值范围是 A. B. C. D.
二、填空题每题4分,共24分
13.若
14.正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M、N分别是棱BC、A1B1的中点,则异面直线D1N与AM所成的角为______
15.在的展开式中,x2的系数中____________用数字作答
16.从6名男生和4名女生中,选出3名代表,要求至少包括1名女生,则不同的选法有____种
17.点A是正△BCD所在平面外一点,AB=AC=AD=BC=1,则点A到平面BCD的距离是_____
18.正△ABC的边长为3,D、E分别为BC边上的三等分点,沿AD、AE折起,使B、C两点重合于点P,则AP与底面ADE所成的角的余弦值为_______.
三、解答题10分×4=40分
19.10分用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字组成无重复数字的自然数用数字作答 1可组成多少个三位数? 2可组成多少个能被5整除的三位数?
20.10分已知1+2x7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7, 1a0+a1+…+a7; 2a2+a4+a6; 3求该展开式中系数最大的项
21.10分如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AA1的中点 1求证CE⊥BD; 2求二面角A-CE-B的大小; 3求BB1与平面BCE所成的角
22.10分如图,点P是边长为1的正方形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD,且PA=2,E为PD的中点 1求证PB∥平面ACE; 2求证平面PAC⊥平面PBD; 3求点B到平面PCD的距离 答案
一、选择题题号123456789101112答案CABCDABBACCA
二、填空题
13.7或
914.90°
15.-
1416.
10017.
18.
三、解答题
19.16482136
20.12187210923672x5
21.1略23arctan2
22.1略2略3编稿老师高二数学组审稿老师高二数学组责编马风忠 2006-2007第二学期期中数学理科试卷 考试时间为100分钟,试卷满分为100分
一、选择题每题3分,共36分
1.某班从A、B、C、D四位侯选人中,选正、副长事一个,不同的选法种数为 A.4 B.6 C.12 D.16
2.在下列四个正方体中,能得出AB⊥CD的是
3.已知是平面m、n是直线,下列命题中不正确的是 A.若 B.若 C.若 D.若
4.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为平面ADD1A
1、平面BCC1B1的中心,则四边形BFD1E在平面ABCD上的射影是
5.不同的五种商品在货贺上排成一排,其中a、b两种必须排在一起,而c、d两种不能排在一起,则不同的排法共有种 A.12 B.20 C.24 D.48
6.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,O是底面A1B1C1D1的中心,则O到平面ABC1D1的距离为 A. B. C. D.
7.已知直线a、b与平面 A. B. C. D.
8.北京《财富》全球论坛期间,某高校有14名志愿者参加接待任务,若每天排早、中、晚三班,每班4人,每人每天最多值一班,则开幕式当天不同的排班种数为 A. B. C. D.
9.已知二面角是直二面角,P为梌AB上一点,PE、PF分别在面内,∠EPB=∠FPB=45°,那么∠EPF的大小是 A.60° B.45° C.120° D.不确定
10.设n∈N*,则 A.7n B.7n-1 C. D.
11.有一直角三角板ABC,∠A=30°,∠C=90°,BC边在桌面上,当三角板在平面与桌成成45°角时,AB边与桌面所成的角等于 A. B. C. D.
12.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,若棱AB上存在一点P,使D1P⊥PC,则棱AD的长的取值范围是 A. B. C. D.
二、填空题每题4分,共24分
13.若
14.正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M、N分别是棱BC、A1B1的中点,则异面直线D1N与AM所成的角为______
15.在的展开式中,x2的系数中____________用数字作答
16.从6名男生和4名女生中,选出3名代表,要求至少包括1名女生,则不同的选法有____种
17.在Rt△ABC中,∠B=90°,∠C=30°,D为BC中点,AC=2,DE⊥平面ABC,且DE=1,则点E到边AC的距离为_____
18.正△ABC的边长为3,D、E分别为BC边上的三等分点,沿AD、AE折起,使B、C两点重合于点P,则AP与底面ADE所成的角为_______.
三、解答题10分×4=40分
19.10分用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字组成无重复数字的自然数用数字作答 1可组成多少个三位数? 2可组成多少个能被5整除的三位数?
20.10分已知1+2x7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7, 1a0+a1+…+a7; 2a2+a4+a6; 3求该展开式中系数最大的项
21.10分如图,点P是边长为1的正方形ABCD所在平面外一点,PA⊥平面ABCD,且PA=2,E为PD的中点 1求证PB∥平面ACE; 2求证平面PAC⊥平面PBD; 3求点B到平面PCD的距离
22.10分如图,平面ABCD⊥平面ABEF,其中四边形ABCD是正方形,四边形ABEF是矩形,AB=2BE,点G是EF的中点 1求证AG⊥平面BGC; 2求二面角B-AC-G的大小; 3求DG与平面AGC所成角的大小 答案
一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C A B B C B D A A C A A
二、填空题
13.7或
914.90°
15.-
1416.
10017.
18.
三、解答题
19.16482136
20.12187210923672x5
21.1,2略3
22.1略23。