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第二章综合素质检测时间120分钟,满分150分
一、选择题本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.有如下一段演绎推理“有些有理数是真分数,整数是有理数,则整数是真分数”,这个推理的结论显然是错误的,是因为 A.大前提错误 B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误[答案] C[解析] 推理形式不完全符合三段论推理的要求,故推出的结论是错误的.2.已知数列{an}的前n项和Sn=n2·ann≥2,而a1=1,通过计算a
2、a
3、a4,猜想an= A.B.C.D.[答案] B[解析] 考查归纳推理.a2=S2-S1=22a2-1∴a2=a3=S3-S2=32·a3-22·a2=9a3-4×∴a3=a4=S4-S3=42·a4-32a3=16a4-9×∴a4=由此猜想an=3.观察数列1223334444,…的特点,问第100项为 A.10B.14C.13D.100[答案] B[解析] 设n∈N*,则数字n共有n个所以≤100即nn+1≤200,又因为n∈N*,所以n=13,到第13个13时共有=91项,从第92项开始为14,故第100项为
14.4.如果x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴相切于原点,那么 A.F=0,D≠0,E≠0B.E=0,F=0,D≠0C.D=0,F=0,E≠0D.D=0,E=0,F≠0[答案] C[解析] ∵圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴相切于原点,∴圆过原点,F=0,又圆心在y轴上,∴D=0,E≠
0.5.已知ab0,下列不等式中成立的是 A.a2b2B.1C.a4-bD.[答案] C[解析] ∵ab0,∴-b04-b4,∴a4-b.6.已知f1x=cosx,f2x=f1′x,f3x=f2′x,f4x=f3′x,…,fnx=fn-1′x,则f2011x等于 A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx[答案] D[解析] 由已知,有f1x=cosx,f2x=-sinx,f3x=-cosx,f4x=sinx,f5x=cosx,…,可以归纳出f4nx=sinx,f4n+1x=cosx,f4n+2x=-sinx,f4n+3x=-cosxn∈N*.所以f2011x=f3x=-cosx.7.已知数列{an}满足a1=0,an+1=n∈N*,则a20等于 A.0B.-C.D.[答案] B[解析] a2==-,a3==,a4=0,所以此数列具有周期性,0,-,依次重复出现.因为20=3×6+2,所以a20=-.8.已知1+2×3+3×32+4×32+…+n×3n-1=3nna-b+c对一切n∈N*都成立,那么a,b,c的值为 A.a=,b=c=B.a=b=c=C.a=0,b=c=D.不存在这样的a,b,c[答案] A[解析] 令n=123,得所以a=,b=c=.9.已知fx=x3+x,a,b,c∈R,且a+b0,a+c0,b+c0,则fa+fb+fc的值 A.一定大于零B.一定等于零C.一定小于零D.正负都有可能[答案] A[解析] fx=x3+x是奇函数,且在R上是增函数,由a+b0得a-b,所以faf-b,即fa+fb0,同理fa+fc0,fb+fc0,所以fa+fb+fc
0.10.用反证法证明命题“若整数系数一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0有有理根,那么a、b、c中至少有一个是偶数”,下列各假设中正确的是 A.假设a,b,c都是偶数B.假设a,b,c都不是偶数C.假设a,b,c中至多有一个是偶数D.假设a,b,c中至多有两个偶数[答案] B[解析] 对命题的结论“a,b,c中至少有一个是偶数”进行否定假设应是“假设a,b,c都不是偶数”.因为“至少有一个”即有一个、两个或三个,因此它的否定应是“都不是”.11.已知数列{an}的通项公式an=n∈N*,记fn=1-a11-a21-a3…1-an,通过计算f
1、f
2、f
3、f4的值,由此猜想fn= A.B.C.D.[答案] A12.若==,则△ABC是 A.等边三角形B.有一个内角是30°的直角三角形C.等腰直角三角形D.有一个内角是30°的等腰三角形[答案] C[解析] ∵==,由正弦定理得,==,∴===,∴sinB=cosB,sinC=cosC,∴∠B=∠C=45°,∴△ABC是等腰直角三角形.
二、填空题本大题共4个小题,每小题4分,共16分,将正确答案填在题中横线上13.对于“求证函数fx=-x3在R上是减函数”,用“三段论”可表示为大前提是“对于定义域为D的函数fx,若对任意x1,x2∈D且x2-x10,有fx2-fx10,则函数fx在D上是减函数”,小前提是“________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________”,结论是“fx=-x3在R上是减函数”.[答案] 对于任意x1,x2∈R且x2-x10,有fx2-fx1=-x+x=-x2-x1x+x1x2+x=-x2-x1·014.在△ABC中,D为边BC的中点,则=+.将上述命题类比到四面体中去,得到一个类比命题________________________________________________________________________.[答案] 在四面体A-BCD中,G为△BCD的重心,则=++15.已知数列{an},a1=,an+1=,则a
2、a
3、a
4、a5分别为________,猜想an=________.[答案] ,,,,.16.已知函数fx=x2-cosx,对于上的任意x1,x2,有如下条件
①x1x2;
②xx;
③|x1|x
2.其中能使fx1fx2恒成立的条件序号是______.[答案]
②[解析] 易知函数fx是偶函数,且在上是增函数,故能使fx1fx2恒成立的条件只有
②xx.
三、解答题本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.本题满分12分已知a、b、c∈R,且a+b+c=
1.求证a2+b2+c2≥.[解析] 证明由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca.三式相加得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.∴3a2+b2+c2≥a2+b2+c2+2ab+bc+ca=a+b+c
2.由a+b+c=1,得3a2+b2+c2≥1,即a2+b2+c2≥.18.本题满分12分设{an},{bn}是公比不相等的两个等比数列,若cn=an+bn,请证明数列{cn}不是等比数列.[证明] 假设数列{cn}是等比数列,则an+bn2=an-1+bn-1an+1+bn+1.
①因为{an},{bn}是等比数列,设公比分别为p,q,则有a=an-1·an+1,b=bn-1·bn+
1.
②整理
①式,并将
②代入得2anbn=an+1bn-1+an-1bn+
1.所以2anbn=anp·+·bnq,即2=+.因为p≠q,所以+≠2,得出矛盾,所以假设不成立.故数列{cn}不是等比数列.19.本题满分12分若x0,y0,用分析法证明x2+y2x3+y
3.[证明] 要证x2+y2x3+y3,只需证x2+y23x3+y32,即证x6+3x4y2+3x2y4+y6x6+2x3y3+y6,即证3x4y2+3y4x22x3y
3.又因为x0,y0,所以x2y20,故只需证3x2+3y22xy.而3x2+3y2x2+y2≥2xy成立,所以x2+y2x3+y3成立.20.本题满分12分证明下列等式,并从中归纳出一个一般性的结论.2cos=,2cos=,2cos=,……[证明] 2cos=2·=2cos=2=2·=2cos=2=2=…2cos=21.本题满分12分已知数列{an}满足a1=3,an·an-1=2·an-1-
1.1求a2,a3,a4;2求证数列是等差数列,并求出数列{an}的通项公式.[解析] 1由an·an-1=2·an-1-1得an=2-,代入a1=3,n依次取值234,得a2=2-=,a3=2-=,a4=2-=.2证明由an·an-1=2·an-1-1变形,得an-1·an-1-1=-an-1+an-1-1,即-=1,所以{}是等差数列.由=,所以=+n-1,变形得an-1=,所以an=为数列{an}的通项公式.22.本题满分14分已知函数fx对任意实数a、b都有fa+b=fa+fb-1,并且当x0时,fx
1.1求证fx是R上的增函数.2若f4=5,解不等式f3m2-m-
23.[解析] 1证明设任意x1,x2∈R,且x2x1,则有x2-x10,利用已知条件“当x0时,fx1”得fx2-x11,而fx2-fx1=f[x2-x1+x1]-fx1=fx2-x1+fx1-1-fx1=fx2-x1-10,即fx2fx1,所以fx是R上的增函数.2由于f4=f2+f2-1=5,所以f2=
3.由f3m2-m-23得f3m2-m-2f2.由fx是R上的增函数,得3m2-m-22,解得-1m.。