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2.
3.1抛物线及其标准方程
一、选择题1.在直角坐标平面内,到点11和直线x+2y=3距离相等的点的轨迹是 A.直线 B.抛物线C.圆D.双曲线[答案] A[解析] ∵定点11在直线x+2y=3上,∴轨迹为直线.2.抛物线y2=x上一点P到焦点的距离是2,则P点坐标为 A.B.C.D.[答案] B[解析] 设Px0,y0,则|PF|=x0+=x0+=2,∴x0=,∴y0=±.3.抛物线y=ax2的准线方程是y=2,则a的值为 A.B.-C.8D.-8[答案] B[解析] ∵y=ax2,∴x2=y,其准线为y=2,∴a02=,∴a=-.4.2010·湖南文,5设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是 A.4B.6C.8D.12[答案] B[解析] 本题考查抛物线的定义.由抛物线的定义可知,点P到抛物线焦点的距离是4+2=
6.5.设过抛物线的焦点F的弦为AB,则以AB为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是 A.相交B.相切C.相离D.以上答案都有可能[答案] B[解析] 特值法取AB垂直于抛物线对称轴这一情况研究.6.过点F03且和直线y+3=0相切的动圆圆心的轨迹方程为 A.y2=12xB.y2=-12xC.x2=12yD.x2=-12y[答案] C[解析] 由题意,知动圆圆心到点F03的距离等于到定直线y=-3的距离,故动圆圆心的轨迹是以F为焦点,直线y=-3为准线的抛物线.7.过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线 A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.有无穷多条D.不存在[答案] B[解析] 当斜率不存在时,x1+x2=2不符合题意.因为焦点坐标为10,设直线方程为y=kx-1,由得k2x2-2k2+4x+k2=0,∴x1+x2==5,∴k2=,即k=±.因而这样的直线有且仅有两条.8.抛物线y2=8x上一点P到x轴距离为12,则点P到抛物线焦点F的距离为 A.20B.8C.22D.24[答案] A[解析] 设Px012,则x0=18,∴|PF|=x0+=
20.9.抛物线的顶点在坐标原点,焦点是椭圆4x2+y2=1的一个焦点,则此抛物线的焦点到准线的距离为 A.2B.C.D.[答案] B[解析] =c=,∴p=.10.在同一坐标系中,方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0ab0的曲线大致是 [答案] D[解析] 解法一将方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0转化为标准方程+=1,y2=-x.因为ab0,因此
0.所以有椭圆的焦点在y轴,抛物线的开口向左.解法二将方程ax+by2=0中的y换成-y,其结果不变,即说明ax+by2=0的图象关于x轴对称,排除B、C,又椭圆的焦点在y轴,排除A.
二、填空题11.已知圆x2+y2+6x+8=0与抛物线y2=2pxp0的准线相切,则p=________.[答案] 4或8[解析] 抛物线的准线方程为x=-,圆心坐标为-30,半径为1,由题意知3-=1或-3=1,∴p=4或p=
8.12.到点A-10和直线x=3距离相等的点的轨迹方程是________.[答案] y2=8-8x[解析] 设动点坐标为x,y,由题意得=|x-3|,化简得y2=8-8x.13.以双曲线-=1的中心为顶点,左焦点为焦点的抛物线方程是__________.[答案] y2=-20x[解析] ∵双曲线的左焦点为-50,故设抛物线方程为y2=-2pxp0,又p=10,∴y2=-20x.14.圆心在第一象限,且半径为1的圆与抛物线y2=2x的准线和双曲线-=1的渐近线都相切,则圆心的坐标是________.[解析] 设圆心坐标为a,b,则a0,b
0.∵y2=2x的准线为x=-,-=1的渐近线方程为3x±4y=
0.由题意a+=1,则a=.|3a±4b|=5,解得b=或b=,∴圆心坐标为、.
三、解答题15.若抛物线y2=2pxp0上一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6,求M点的横坐标及抛物线方程.[解析] ∵点M到对称轴的距离为6,∴设点M的坐标为x6.∵点M到准线的距离为10,∴,解得,或,故当点M的横坐标为9时,抛物线方程为y2=4x.当点M的横坐标为1时,抛物线方程为y2=36x.16.已知点A0,-2,B04,动点Px,y满足·=y2-
8.1求动点P的轨迹方程.2设1中所求轨迹与直线y=x+2交于C、D两点.求证OC⊥ODO为原点[解析] 1由题意可得·=-x,-2-y·-x4-y=y2-8化简得x2=2y2将y=x+2代入x2=2y中,得x2=2x+2整理得x2-2x-4=0可知Δ=200设Cx1,y1,Dx2,y2x1+x2=2,x1·x2=-4∵y1=x1+2,y2=x2+2∴y1y2=x1+2x2+2=x1x2+2x1+x2+4=4∵·=x1x2+y1y2=0∴OC⊥OD17.过抛物线y2=2pxp0的焦点F的任意一条直线m,交抛物线于P1,P2两点,求证以P1P2为直径的圆和该抛物线的准线相切.[证明] 如下图,设P1P2的中点为P0,过P1,P2,P0分别向准线l引垂线,垂足分别为Q1,Q2,Q0,根据抛物线的定义,得|P1F|=|P1Q1|,|P2F|=|P2Q2|,所以|P1P2|=|P1F|+|P2F|=|P1Q1|+|P2Q2|.因为P1Q1∥P0Q0∥P2Q2,|P1P0|=|P0P2|,所以|P0Q0|=|P1Q1|+|P2Q2|=|P1P2|.由此可知,P0Q0是以P1P2为直径的圆P0的半径,且P0Q0⊥l,因此,圆P0与准线相切.18.抛物线的焦点F是圆x2+y2-4x=0的圆心.1求该抛物线的标准方程;2直线l的斜率为2,且过抛物线的焦点,若l与抛物线、圆依次交于A,B,C,D,求|AB|+|CD|.[解析] 1由圆的方程知圆心坐标为20.因为所求的抛物线以20为焦点,所以抛物线的标准方程为y2=8x.2如右图,|AB|+|CD|=|AD|-|BC|,又|BC|=4,所以只需求出|AD|即可.由题意,AD所在直线方程为y=2x-2,与抛物线方程y2=8x联立得⇒x2-6x+4=0,设Ax1,y1,Dx2,y2,所以x1+x2=6,x1x2=4,|AD|=|AF|+|DF|=x1+2+x2+2=x1+x2+4=6+4=10,所以|AB|+|CD|=|AD|-|BC|=
6.[点拨] 本题求出x1+x2=6,x1x2=4后可以利用弦长公式来求,但直接利用抛物线定义得|AD|=|AF|+|DF|=x1+x2+p,则简单利落.。