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选修2-
23.
2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义
一、选择题1.已知z1=a+bi,z2=c+di,若z1-z2是纯虚数,则有 A.a-c=0且b-d≠0 B.a-c=0且b+d≠0C.a+c=0且b-d≠0D.a+c=0且b+d≠0[答案] A[解析] z1-z2=a+bi-c+di=a-c+b-di,∵z1-z2是纯虚数,∴a-c=0且b-d≠
0.故应选A.2.[a-b-a+bi]-[a+b-a-bi]等于 A.-2b-2biB.-2b+2biC.-2a-2biD.-2a-2ai[答案] A[解析] 原式=[a-b-a+b]+[-a+b+a-b]i=-2b-2bi.3.如果一个复数与它的模的和为5+i,那么这个复数是 A.B.iC.+iD.+2i[答案] C[解析] 设这个复数为a+bia,b∈R,则|a+bi|=.由题意知a+bi+=5+i即a++bi=5+i∴,解得a=,b=.∴所求复数为+i.故应选C.4.已知复数z1=3+2i,z2=1-3i,则复数z=z1-z2在复平面内对应的点Z位于复平面内的 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限[答案] A[解析] ∵z1=3+2i,z2=1-3i,∴z=z1-z2=3+2i-1-3i=3-1+2+3i=2+5i.∴点Z位于复平面内的第一象限.故应选A.5.▱ABCD中,点A,B,C分别对应复数4+i3+4i3-5i,则点D对应的复数是 A.2-3i B.4+8i C.4-8i D.1+4i[答案] C[解析] 对应的复数为3+4i-4+i=3-4+4-1i=-1+3i,设点D对应的复数为z,则对应的复数为3-5i-z.由平行四边形法则知=,∴-1+3i=3-5i-z,∴z=3-5i--1+3i=3+1+-5-3i=4-8i.故应选C.6.已知z1=m2-3m+m2i,z2=4+5m+6i,其中m为实数,若z1-z2=0,则m的值为 A.4B.-1C.6D.0[答案] B[解析] z1-z2=m2-3m+m2i-[4+5m+6i]=m2-3m-4+m2-5m-6i=0∴解得m=-1,故应选B.7.已知|z|=3,且z+3i是纯虚数,则z= A.-3iB.3iC.±3iD.4i[答案] B[解析] 令z=a+bia,b∈R,则a2+b2=9
①又z+3i=a+3+bi是纯虚数∴
②由
①②得a=0,b=3,∴z=3i,故应选B.8.已知z1,z2∈C且|z1|=1,若z1+z2=2i,则|z1-z2|的最大值是 A.6B.5C.4D.3[答案] C[解析] 设z1=a+bia,b∈R,a2+b2=1z2=c+dic,d∈R∵z1+z2=2i∴a+c+b+di=2i∴∴,∴|z1-z2|=|a-c+b-di|=|2a+2b-2i|==2=2=
2.∵a2+b2=1,∴-1≤b≤1∴0≤2-2b≤4,∴|z1-z2|≤
4.9.复数z=x+yix,y∈R满足|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为 A.2B.4C.4D.8[答案] C[解析] ∵|z-4i|=|z+2|,且z=x+yi∴|x+y-4i|=|x+2+yi|∴x2+y-42=x+22+y2∴x=-2y+3,∴2x+4y=2-2y+3+4y=8·+4y≥
4.10.若x∈C,则方程|x|=1+3i-x的解是 A.+iB.x1=4,x2=-1C.-4+3iD.+i[答案] C[解析] 令x=a+bia,b∈R则=1+3i-a-bi所以,解得故原方程的解为-4+3i,故应选C.
二、填空题11.若z1=x1+y1i,z2=x2+y2ix1,x2,y1,y2∈R,则|z2-z1|=______________.[答案] [解析] ∵z1=x1+y1i,z2=x2+y2i,∴z2-z1=x2-x1+y2-y1i,∴|z2-z1|=.12.已知z1=a+a+1i,z2=-3b+b+2ia,b∈R,若z1-z2=4,则a+b=________.[答案] 3[解析] z1-z2=a+a+1i-[-3b+b+2i]=+[a+1-b+2i]=+a-b-1i=4,∴,解之得,∴a+b=
3.13.计算2+7i-|-3+4i|+|5-12i|i+3-4i=______.[答案] 16i[解析] 原式=2+7i-5+13i+3-4i=2-5+3+7+13-4i=16i.14.复平面内三点A、B、C,A点对应的复数为2+i,对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i,则点C对应的复数为________.[答案] 4-2i[解析] ∵对应的复数是1+2i,对应的复数为3-i,∴对应的复数为3-i-1+2i=2-3i.又=+,∴C对应的复数为2+i+2-3i=4-2i.
三、解答题15.计算5-6i+-2-i-3+4i.[解析] 解法15-6i+-2-i-3+4i=[5-2+-6-1i]-3+4i=3-7i-3+4i=3-3+-7-4i=-11i.解法25-6i+-2-i-3+4i=5-2-3+[-6+-1-4]i=0+-11i=-11i.16.已知复数z1=2+3i,z2=a-2+i,若|z1-z2||z1|,求实数a的取值范围.[解析] z1-z2=2+3i-[a-2+i]=[2-a-2]+3-1i=4-a+2i由|z1-z2||z1|得∴,∴4-a29,∴1a7∴a的取值范围为17.17.已知z1=cosα+isinα,z2=cosβ-isinβ且z1-z2=+i,求cosα+β的值.[解析] ∵z1=cosα+isinα,z2=cosβ-isinβ∴z1-z2=cosα-cosβ+isinα+sinβ=+i∴
①2+
②2得2-2cosα+β=1即cosα+β=.18.1若fz=z+1-i,z1=3+4i,z2=-2+i,求fz1-z2;2z1=2cosθ-i,z2=-+2isinθ0≤θ≤2π,且z1+z2对应的点位于复平面的第二象限,求θ的范围.[解析] 1z1-z2=3+4i--2+i=5+3i,fz1-z2=z1-z2+1-i=5+3i+1-i=6+2i.2z1+z2=2cosθ-i+-+2isinθ=2cosθ-+2sinθ-1i,由题意得,即又θ∈[02π],故θ∈.。