北京市延庆县2016届中考数学一模试卷含答案解析

2016年北京市延庆县中考数学一模试卷　

一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．龙庆峡冰灯于2016年1月中旬接待游客．今年的龙庆峡冰灯以奥运五环、冬奥会运动项目等奥运元素为题材，分为彩灯区、娱乐区、冰展区，总面积达到200000平方米．将200000用科学记数法表示应为（　　）A．20×104B．

0.20×106C．

2.0×106D．

2.0×1052．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示绝对值相等的点是（　　）A．点A与点DB．点A与点CC．点B与点DD．点B与点C3．一个布袋里装有6个只有颜色不同的球，其中2个红球，4个白球．从布袋里任意摸出1个球，则摸出的球是白球的概率为（　　）A．B．C．D．4．剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是中心对称图形的为（　　）A．B．C．D．5．若分式的值为0，则x的值为（　　）A．1或2B．2C．1D．06．如图，在4×4的正方形网格中，tanα的值等于（　　）A．2B．C．D．7．已知如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，CD=6，AE=1，则⊙O的直径为（　　）A．6B．8C．10D．128．若将抛物线y=x2先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（　　）A．B．C．y=（x+2）2﹣1D．9．如图所示，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是（　　）A．SASB．SSSC．AASD．ASA10．如图，大小两个正方形在同一水平线上，小正方形从图

①的位置开始，匀速向右平移，到图

③的位置停止运动．如果设运动时间为x，大小正方形重叠部分的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（　　）A．B．C．D．　

二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．分解因式am2﹣2amn+an2=　　　　　　．12．函数的自变量x的取值范围是　　　　　　．13．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图

1、图2．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是．类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为　　　　　　．14．如图，已知AB∥DC，要使四边形ABCD是平行四边形，还需增加条件　　　　　　．（只填写一个条件即可，不再在图形中添加其它线段）．15．关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值a=　　　　　　，b=　　　　　　．16．下面的图表是我国数学家发明的“杨辉三角”，此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．请你观察，并根据此规律写出（a+b）7的展开式共有　　　　　　项，第二项的系数是　　　　　　，（a+b）n的展开式共有　　　　　　项，各项的系数和是　　　　　　．　

三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算﹣tan60°+2﹣1﹣|﹣|18．已知x2﹣5x=6，请你求出代数式10x﹣2x2+5的值．19．解方程．20．解不等式组把它的解集在数轴上表示出来，并求它的整数解．21．已知如图，菱形ABCD中，过AD的中点E作AC的垂线EF，交AB于点M，交CB的延长线于点F．如果FB的长是2，求菱形ABCD的周长．22．如图，点P（﹣3，1）是反比例函数的图象上的一点．

（1）求该反比例函数的解析式；

（2）设直线y=kx与双曲线的两个交点分别为P和P′，当＜kx时，直接写出x的取值范围．23．食品安全是老百姓关注的话题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输．某饮料加工厂生产的A、B两种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270克该添加剂恰好生产了A、B两种饮料共100瓶，问A、B两种饮料各生产了多少瓶？24．如图，甲船在港口P的南偏西60°方向，距港口86海里的A处，沿AP方向以每小时15海里的速度匀速驶向港口P．乙船从港口P出发，沿南偏东45°方向匀速驶离港口PC=2x，现两船同时出发，2小时后乙船在甲船的正东方向．求乙船的航行速度．（结果精确到个位，参考数据，，）25．已知如图，AB为⊙O的直径，PA、PC是⊙O的切线，A、C为切点，∠BAC=30°．

（1）求∠P的大小；

（2）若AB=6，求PA的长．26．阅读对人成长的影响是巨大的，一本好书往往能改变人的一生，每年的4月23日被联合国教科文组织确定为“世界读书日”．某校倡导学生读书，下面的表格是学生阅读课外书籍情况统计表，图1是该校初中三个年级学生人数分布的扇形统计图，其中八年级学生人数为204人，请你根据图表中提供的信息，解答下列问题图书种类频数频率科普常识840b名人传记

8160.34中外名著a

0.25其他

1440.06

（1）求该校八年级学生的人数占全校学生总人数的百分比；

（2）求表中a，b的值；

（3）求该校学生平均每人读多少本课外书？27．已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（2，﹣3）和B（4，5）．

（1）求抛物线的表达式及顶点坐标；

（2）将抛物线沿x轴翻折，得到图象G1，求图象G1的表达式；

（3）设B点关于对称轴的对称点为E，抛物线G2y=ax2（a≠0）与线段EB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．28．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义如果y′=，那么称点Q为点P的“妫川伴侣”．例如点（5，6）的“妫川伴侣”为点（5，6），点（﹣5，6）的“妫川伴侣”为点（﹣5，﹣6）．

（1）

①点（2，1）的“妫川伴侣”为　　　　　　；

②如果点A（3，﹣1），B（﹣1，3）的“妫川伴侣”中有一个在函数的图象上，那么这个点是　　　　　　（填“点A”或“点B”）．

（2）

①点M*（﹣1，﹣2）的“妫川伴侣”点M的坐标为　　　　　　；

②如果点N*（m+1，2）是一次函数y=x+3图象上点N的“妫川伴侣”，求点N的坐标．

（3）如果点P在函数y=﹣x2+4（﹣2＜x≤a）的图象上，其“妫川伴侣”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣4＜y′≤4，那么实数a的取值范围是　　　　　　．29．阅读下面材料小伟遇到这样一个问题如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．小伟是这样思考的利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．

（1）请你回答AP的最大值是　　　　　　．

（2）参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，请写出求AP+BP+CP的最小值长的解题思路．提示要解决AP+BP+CP的最小值问题，可仿照题目给出的做法．把△ABP绕B点逆时针旋转60，得到△A′BP′．

①请画出旋转后的图形

②请写出求AP+BP+CP的最小值的解题思路（结果可以不化简）．　2016年北京市延庆县中考数学一模试卷参考答案与试题解析　

一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．龙庆峡冰灯于2016年1月中旬接待游客．今年的龙庆峡冰灯以奥运五环、冬奥会运动项目等奥运元素为题材，分为彩灯区、娱乐区、冰展区，总面积达到200000平方米．将200000用科学记数法表示应为（　　）A．20×104B．

0.20×106C．

2.0×106D．

2.0×105【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解200000=

2.0×105；故选D．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．　2．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示绝对值相等的点是（　　）A．点A与点DB．点A与点CC．点B与点DD．点B与点C【考点】数轴；绝对值．【专题】探究型．【分析】根据数轴可以把A，B，C，D四个点表示的数写出来，然后根据写出的数即可得到那两个数的绝对值相等，从而可以得到问题的答案．【解答】解由数轴可得，点A，B，C，D在数轴上对应的数依次是﹣2，﹣

0.5，1，2，则|﹣2|=|2|，故点A与点D表示的数的绝对值相等，故选A．【点评】本题考查数轴，解题的关键是利用数形结合的思想找出所求问题需要的条件．　3．一个布袋里装有6个只有颜色不同的球，其中2个红球，4个白球．从布袋里任意摸出1个球，则摸出的球是白球的概率为（　　）A．B．C．D．【考点】概率公式．【分析】让白球的个数除以球的总个数即为所求的概率．【解答】解因为一共有6个球，白球有4个，所以从布袋里任意摸出1个球，摸到白球的概率为．故选D．【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为概率等于所求情况数与总情况数之比．　4．剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是中心对称图形的为（　　）A．B．C．D．【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的概念进行判断．【解答】解A不是中心对称图形，故错误；B不是中心对称图形，故错误；C是中心对称图形，故正确；D不是中心对称图形，故错误；故选C．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．　5．若分式的值为0，则x的值为（　　）A．1或2B．2C．1D．0【考点】分式的值为零的条件．【分析】分式的值为0的条件是

（1）分子为0；

（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．【解答】解由题意可得x﹣2=0且x﹣1≠0，解得x=2．故选B．【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意“分母不为零”这个条件不能少．　6．如图，在4×4的正方形网格中，tanα的值等于（　　）A．2B．C．D．【考点】锐角三角函数的定义．【专题】网格型．【分析】求一个角的正切值，可将其转化到直角三角形中，利用直角三角函数关系解答．【解答】解如图，tanα==2，故选A．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边是解题的关键．　7．已知如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，CD=6，AE=1，则⊙O的直径为（　　）A．6B．8C．10D．12【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】连接OC，根据题意OE=OC﹣1，CE=3，结合勾股定理，可求出OC的长度，即可求出直径的长度．【解答】解连接OC，∵弦CD⊥AB于E，CD=6，AE=1，∴OE=OC﹣1，CE=3，∴OC2=（OC﹣1）2+32，∴OC=5，∴AB=10．故选C．【点评】本题主要考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键在于连接OC，构建直角三角形，根据勾股定理求半径OC的长度．　8．若将抛物线y=x2先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（　　）A．B．C．y=（x+2）2﹣1D．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解由“左加右减、上加下减”的原则可知，把抛物线y=x2的图象先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则平移后的抛物线的表达式为y=（x+2）2﹣1，故选A．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律左加右减，上加下减．　9．如图所示，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A′O′B′=∠AOB的依据是（　　）A．SASB．SSSC．AASD．ASA【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定．【分析】由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，根据SSS可得到三角形全等．【解答】解由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，依据SSS可判定△COD≌△COD，故选B．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理．　10．如图，大小两个正方形在同一水平线上，小正方形从图

①的位置开始，匀速向右平移，到图

③的位置停止运动．如果设运动时间为x，大小正方形重叠部分的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（　　）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】小正方形运动过程中，y与x的函数关系为分段函数，即当0≤x＜完全重叠前，函数为为增函数；当完全重叠时，函数为平行于x轴的线段；当不再完全重叠时，函数为为减函数．即按照自变量x分为三段．【解答】解依题意，阴影部分的面积函数关系式是分段函数，面积由“增加→不变→减少”变化．故选C．【点评】本题考查了动点问题的函数图象．关键是理解图形运动过程中的几个分界点．本题也可以通过分析s随x的变化而变化的趋势及相应自变量的取值范围，而不求解析式来解决问题．　

二、填空题（本题共18分，每小题3分）11．分解因式am2﹣2amn+an2=　a（m﹣n）2　．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】因式分解．【分析】原式提取a，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解原式=a（m2﹣2mn+n2）=a（m﹣n）2，故答案为a（m﹣n）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．　12．函数的自变量x的取值范围是　x≤6　．【考点】函数自变量的取值范围；二次根式有意义的条件．【专题】计算题．【分析】根据二次根式的意义，被开方式不能是负数．据此求解．【解答】解根据题意得6﹣x≥0，解得x≤6．【点评】函数自变量的范围一般从几个方面考虑

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．　13．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图

1、图2．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是．类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为　　．【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．【专题】几何图形问题．【分析】由图1可得1个竖直的算筹数算1，一个横的算筹数算10，每一横行是一个方程，第一个数是x的系数，第二个数是y的系数，第三个数是相加的结果前面的表示十位，后面的表示个位，由此可得图2的表达式．【解答】解第一个方程x的系数为2，y的系数为1，相加的结果为11；第二个方程x的系数为4，y的系数为3，相加的结果为27，所以可列方程为，故答案为．【点评】考查列二元一次方程组；关键是读懂图意，得到所给未知数的系数及相加结果．　14．如图，已知AB∥DC，要使四边形ABCD是平行四边形，还需增加条件　AB=DC或AD∥BC　．（只填写一个条件即可，不再在图形中添加其它线段）．【考点】平行四边形的判定．【专题】开放型．【分析】根据平行四边形的判定，在已有AB∥DC的条件下，可再加另一组对边平行即可得证它是平行四边形，即加“AD∥BC或AD∥BC”．【解答】解根据平行四边形的判定，可添加条件AB=DC或AD∥BC．故答案为AB=DC或AD∥BC．【点评】本题是开放题，答案不唯一，利用平行四边形的判定方法添加条件．平行四边形的判定方法共有五种，在四边形中如果有

1、四边形的两组对边分别平行；

2、一组对边平行且相等；

3、两组对边分别相等；

4、对角线互相平分；

5、两组对角分别相等．则四边形是平行四边形．　15．关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值a=　1　，b=　1　．【考点】根的判别式．【分析】根据二次项系数不为0以及根的判别式b2﹣4ac≥0，即可得出关于a、b的二元二次不等式组，解不等式组得出a、b的关系，随便写一组满足条件的a、b值即可．【解答】解∵关于x的一元二次方程ax2+bx+=0有实数根，∴有，解得．满足该条件．故答案为1；1．【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于a、b的二元二次不等式组．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数由根的判别式得出关于系数的不等式（或不等式组）是关键．　16．下面的图表是我国数学家发明的“杨辉三角”，此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．请你观察，并根据此规律写出（a+b）7的展开式共有　8　项，第二项的系数是　7　，（a+b）n的展开式共有　n+1　项，各项的系数和是　2n　．【考点】完全平方公式．【专题】规律型．【分析】根据“杨辉三角”，寻找解题的规律．【解答】解根据规律，（a+b）7的展开式共有8项，各项系数依次为1，7，21，35，35，21，7，1，系数和为27，故第二项的系数是7，由此得（a+b）n的展开式共有（n+1）项，各项系数依次为2n．故答案为8，7，n+1，2n．【点评】本题考查了完全平方公式．关键是由“杨辉三角”图，由易到难，发现一般规律．　

三、解答题（本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．计算﹣tan60°+2﹣1﹣|﹣|【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】计算题；实数．【分析】原式第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用负整数指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．【解答】解原式=﹣+﹣=﹣2+．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．　18．已知x2﹣5x=6，请你求出代数式10x﹣2x2+5的值．【考点】代数式求值．【专题】整体思想．【分析】先把10x﹣2x2+5变形为﹣2（x2﹣5x）+5，然后把x2﹣5x=6整体代入进行计算即可．【解答】解10x﹣2x2+5=﹣2（x2﹣5x）+5，∵x2﹣5x=6，∴原式=﹣2×6+5=﹣12+5=﹣7．【点评】本题考查了代数式求值先根据已知条件把代数式进行变形，然后利用整体代入进行求值．　19．解方程．【考点】解分式方程．【专题】计算题．【分析】本题的最简公分母是（2x﹣3）．方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．【解答】解方程两边都乘（2x﹣3），得x﹣5=4（2x﹣3），解得x=1．检验当x=1时，2x﹣3≠0．∴原方程的根是x=1．【点评】

（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，方程两边都乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解．

（2）解分式方程一定注意要代入最简公分母验根．　20．解不等式组把它的解集在数轴上表示出来，并求它的整数解．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集；一元一次不等式组的整数解．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．【解答】解，由

①得x≥﹣2，由

②得x＜3．不等式组的解集在数轴上表示如下故原不等式组的解集为﹣2≤x＜3．故原不等式组的整数解为﹣2，﹣1，0，1，2．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．　21．已知如图，菱形ABCD中，过AD的中点E作AC的垂线EF，交AB于点M，交CB的延长线于点F．如果FB的长是2，求菱形ABCD的周长．【考点】菱形的性质．【分析】首先BD，易证得四边形EFBD为平行四边形，即可求得AD的长，继而求得菱形ABCD的周长．【解答】解连接BD．∵在菱形ABCD中，∴AD∥BC，AC⊥BD．又∵EF⊥AC，∴BD∥EF．∴四边形EFBD为平行四边形．∴FB=ED=2．∵E是AD的中点．∴AD=2ED=4．∴菱形ABCD的周长为4×4=16．【点评】此题考查了菱形的性质与平行四边形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．　22．如图，点P（﹣3，1）是反比例函数的图象上的一点．

（1）求该反比例函数的解析式；

（2）设直线y=kx与双曲线的两个交点分别为P和P′，当＜kx时，直接写出x的取值范围．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】计算题．【分析】

（1）直接把P点坐标代入y=，可求出m的值．从而确定反比例函数的解析式；

（2）把P（﹣3，1）坐标代入y=kx，求出k，然后解反比例函数与一次函数的解析式所组成的方程组得到P′的坐标（3，﹣1），然后观察图象得到当x＜﹣3或0＜x＜3，直线y=kx都在y=的上方．【解答】解

（1）把P（﹣3，1）代入y=得m=﹣3×1=﹣3，所以反比例函数的解析式为y=﹣；

（2）把P（﹣3，1）代入y=kx得k=﹣，∴y=﹣x，解方程组得或，∴P′的坐标为（3，﹣1），当＜kx时，x的取值范围为x＜﹣3或0＜x＜3．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题反比例函数图象与一次函数图象的交点坐标满足两个函数的解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察图象的能力．　23．食品安全是老百姓关注的话题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输．某饮料加工厂生产的A、B两种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270克该添加剂恰好生产了A、B两种饮料共100瓶，问A、B两种饮料各生产了多少瓶？【考点】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用．【专题】工程问题．【分析】本题需先根据题意设出未知数，再根据题目中的等量关系列出方程组，求出结果即可．【解答】解设A饮料生产了x瓶，B饮料生产了y瓶，由题意得，解得，答A饮料生产了30瓶，B饮料生产了70瓶．【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，在解题时要能根据题意得出等量关系，列出方程组是本题的关键．　24．如图，甲船在港口P的南偏西60°方向，距港口86海里的A处，沿AP方向以每小时15海里的速度匀速驶向港口P．乙船从港口P出发，沿南偏东45°方向匀速驶离港口PC=2x，现两船同时出发，2小时后乙船在甲船的正东方向．求乙船的航行速度．（结果精确到个位，参考数据，，）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】根据题意构造直角三角形，求出BP，在Rt△BPD中求出PD，然后在Rt△PDC中表示出PD，继而建立方程可解出x的值．【解答】解设乙船速度为每小时x海里，2小时后甲船在点B处，乙船在点C处，PC=2x，过P作PD⊥BC于D，则BP=86﹣2×15=56（海里），在Rt△PDB中，∠PDB=90°，∠BPD=60°，∴PD=PB•cos60°=28（海里），在Rt△PDC中，∠PDC=90°，∠DPC=45°，∴，∴，即（海里），答乙船的航行速度为每小时20海里．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，能利用三角函数表示相关线段的长度，难度一般．　25．已知如图，AB为⊙O的直径，PA、PC是⊙O的切线，A、C为切点，∠BAC=30°．

（1）求∠P的大小；

（2）若AB=6，求PA的长．【考点】切线的性质．【分析】

（1）由圆的切线的性质，得∠PAB=90°，结合∠BAC=30°得∠PAC=90°﹣30°=60°．由切线长定理得到PA=PC，得△PAC是等边三角形，从而可得∠P=60°．

（2）连接BC，根据直径所对的圆周角为直角，得到∠ACB=90°，结合Rt△ACB中AB=6且∠BAC=30°，得到AC=ABcos∠BAC=3．最后在等边△PAC中，可得PA=AC=3．【解答】解

（1）∵PA是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，∴PA⊥AB，即∠PAB=90°．∵∠BAC=30°，∴∠PAC=90°﹣30°=60°．又∵PA、PC切⊙O于点A、C，∴PA=PC，∴△PAC是等边三角形，∴∠P=60°．

（2）如图，连接BC．∵AB是直径，∠ACB=90°，∴在Rt△ACB中，AB=6，∠BAC=30°，可得AC=ABcos∠BAC=6×cos30°=3．又∵△PAC是等边三角形，∴PA=AC=3．【点评】本题着重考查了圆的切线的性质定理、切线长定理、直径所对的圆周角、等边三角形的判定与性质和解直角三角形等知识，掌握各知识点的运用是关键，难度适中．　26．阅读对人成长的影响是巨大的，一本好书往往能改变人的一生，每年的4月23日被联合国教科文组织确定为“世界读书日”．某校倡导学生读书，下面的表格是学生阅读课外书籍情况统计表，图1是该校初中三个年级学生人数分布的扇形统计图，其中八年级学生人数为204人，请你根据图表中提供的信息，解答下列问题图书种类频数频率科普常识840b名人传记

8160.34中外名著a

0.25其他

1440.06

（1）求该校八年级学生的人数占全校学生总人数的百分比；

（2）求表中a，b的值；

（3）求该校学生平均每人读多少本课外书？【考点】频数（率）分布表；扇形统计图．【分析】

（1）根据扇形统计图得出该校八年级学生的人数占全校学生总人数的百分比即可；

（2）根据

（1）中数据得出144÷

0.06=2400，即可得出课外书籍总数以及a，b的值；

（3）利用扇形统计图得出全校人数，进而求出该校学生平均每人读课外书的数量即可．【解答】解

（1）∵1﹣28%﹣38%=34%．∴该校八年级学生的人数占全校学生总人数的百分比为34%．

（2）∵144÷

0.06=2400，∴a=2400×

0.25=600，b=840÷2400=

0.35．

（3）∵八年级学生人数为204人，占全校学生总人数的百分比为34%，∴全校学生总人数为204÷34%=600．∴该校学生平均每人读课外书2400÷600=4．答该校学生平均每人读4本课外书．【点评】此题主要考查了频数分布直方图以及频率分布直方图和扇形统计图等知识，利用已知得出全校学生的总数是解题关键．　27．已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（2，﹣3）和B（4，5）．

（1）求抛物线的表达式及顶点坐标；

（2）将抛物线沿x轴翻折，得到图象G1，求图象G1的表达式；

（3）设B点关于对称轴的对称点为E，抛物线G2y=ax2（a≠0）与线段EB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】

（1）根据待定系数法求得即可；

（2）根据关于x轴对称的点的坐标特征即可求得；

（3）由于BE∥x轴，把B、E两点坐标代入y=ax2可计算出对应的a的值，然后根据抛物线C2y=ax2（a≠0）与线段BE恰有一个公共点可确定a的范围．【解答】解

（1）把A（2，﹣3）和B（4，5）分别代入y=x2+bx+c得，解得，∴抛物线的表达式为y=x2﹣2x﹣3．∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4．∴顶点坐标为（1，﹣4）．

（2）∵将抛物线沿x轴翻折，得到图象G1与原抛物线图形关于x轴对称，∴图象G1的表达式为y=﹣x2+2x+3．

（3）∵B（4，5），对称轴x=1∴B点关于对称轴的对称点E点坐标为（﹣2，5），当G2过E点时，代入E（﹣2，5），则a=，当G2过B点时，代入B（4，5），则a=所以a的取值范围为≤a＜．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．　28．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y）和Q（x，y′），给出如下定义如果y′=，那么称点Q为点P的“妫川伴侣”．例如点（5，6）的“妫川伴侣”为点（5，6），点（﹣5，6）的“妫川伴侣”为点（﹣5，﹣6）．

（1）

①点（2，1）的“妫川伴侣”为　（2，1）　；

②如果点A（3，﹣1），B（﹣1，3）的“妫川伴侣”中有一个在函数的图象上，那么这个点是　B　（填“点A”或“点B”）．

（2）

①点M*（﹣1，﹣2）的“妫川伴侣”点M的坐标为　（﹣1，2）　；

②如果点N*（m+1，2）是一次函数y=x+3图象上点N的“妫川伴侣”，求点N的坐标．

（3）如果点P在函数y=﹣x2+4（﹣2＜x≤a）的图象上，其“妫川伴侣”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣4＜y′≤4，那么实数a的取值范围是　﹣2＜a＜2　．【考点】反比例函数综合题．【专题】综合题；新定义．【分析】

（1）

①根据“妫川伴侣”的定义及2＞0可得结论；

②求出A、B两点的“妫川伴侣”，代入反比例函数进行检验即可；

（2）

①根据﹣1＜0可得出点M的坐标；

②分m+1＞0，m+1＜0两种情况进行讨论，可得答案；

（3）求出﹣2＜x≤0及x＞0时y的取值范围，进而可得出a的范围即可．【解答】解

（1）

①点（2，1）的“关联点”为（2，1）；

②如果点A（3，﹣1）的关联点为（3，﹣1）；B（﹣1，3）的“关联点”为（﹣1，﹣3），一个在函数y=的图象上，那么这个点是B．故答案为（2，1），B；

（2）

①如果点M*（﹣1，﹣2）是一次函数y=x+3图象上点M的“关联点”是（﹣1，2），那么点M的坐标为（﹣1，2）．故答案为（﹣1，2）；

②当m+1≥0，即m≥﹣1时，由题意得N（m+1，2）．∵点N在一次函数y=x+3图象上，∴m+1+3=2，解得m=﹣2（舍去）；当m+1＜0，即m＜﹣1时，由题意得N（m+1，﹣2）．∵点N在一次函数y=x+3图象上，∴m+1+3=﹣2，解得m=﹣6，∴N（﹣5，﹣2）；

（3）如果点P在函数y=﹣x2+4（﹣2＜x≤a）的图象上，当﹣2＜x≤0时，0＜y≤4，即﹣2＜a≤0；当x＞0时，y=y′，即﹣4＜y≤4，由﹣a2+4＞﹣4，解得a＜2，即0＜a＜2，综上所述，a的范围为﹣2＜a＜2．则“关联点”Q的纵坐标y′的取值范围是﹣4＜y′≤4，那么实数a的取值范围是﹣2＜a＜2．故答案为﹣2＜a＜2【点评】此题属于反比例函数综合题，弄清题中新定义“妫川伴侣”是解本题的关键．　29．阅读下面材料小伟遇到这样一个问题如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．小伟是这样思考的利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．

（1）请你回答AP的最大值是　6　．

（2）参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，请写出求AP+BP+CP的最小值长的解题思路．提示要解决AP+BP+CP的最小值问题，可仿照题目给出的做法．把△ABP绕B点逆时针旋转60，得到△A′BP′．

①请画出旋转后的图形

②请写出求AP+BP+CP的最小值的解题思路（结果可以不化简）．【考点】几何变换综合题．【分析】

（1）由旋转得到△A′BC，有△A′BA是等边三角形，当点A′A、C三点共线时，A′C=AA′+AC，最大即可；

（2）由旋转得到结论PA+PB+PC=P1A1+P1B+PC，只有，A

1、P

1、P、C四点共线时，（P1A+P1B+PC）最短，即线段A1C最短，根据勾股定理，即可．【解答】解

（1）∵△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，∴∠A′BA=60°，A′B=AB，AP=A′C∴△A′BA是等边三角形，∴A′A=AB=BA′=2，在△AA′C中，A′C＜AA′+AC，即AP＜6，则当点A′A、C三点共线时，A′C=AA′+AC，即AP=6，即AP的最大值是6；故答案是6．

（2）

①旋转后的图形如图1；

②如图2，∵Rt△ABC是等腰三角形，∴AB=BC．以B为中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A1P1B．则A1B=AB=BC=4，PA=P1A1，PB=P1B，∴PA+PB+PC=P1A1+P1B+PC．∵当A

1、P

1、P、C四点共线时，（P1A+P1B+PC）最短，即线段A1C最短，∴A1C=PA+PB+PC，∴A1C长度即为所求．过A1作A1D⊥CB延长线于D．∵∠A1BA=60°（由旋转可知），∴∠A1BD=30°．∵A1B=4，∴A1D=2，BD=2∴CD=4+2；在Rt△A1DC中，A1C===2+2．【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了图形的旋转的性质，画出图形是解本题的关键，也是难点．　。