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文本内容:
第一章一元一次不等式和一元一次不等式组§
1.1不等关系§
1.2不等式的基本性质§
1.3不等式的解集§
1.4一元一次不等式§
1.5一元一次不等式与一次函数§
1.6一元一次不等式组第二章分解因式§
2.1分解因式§
2.2提公因式法§
2.3运用公式法第三章分式§
3.1分式§
3.2分式的乘除法§
3.3分式的加减法§
3.4分式方程第四章相似图形§
4.1线段的比§
4.2黄金分割§
4.4相似多边形§
4.5相似三角形§
4.6探索三角形相似的条件§
4.8相似多边形的性质§
4.9图形的放大和缩小第五章数据的收集与整理§
5.1每周干家务活的时间§
5.2数据的收集§
5.3频数与频率§
5.4数据的波动第六章证明
(一)§
6.1你能肯定吗§
6.2定义与命题§
6.3为什么它们平行§
6.4如果两条直线平行§
6.5三角形内角和定理的证明§
6.6关注三角形的外角§
1.1不等关系§
1.2不等式的基本性质§
1.3不等式的解集§
1.4一元一次不等式§
1.5一元一次不等式与一次函数§
1.6一元一次不等式组第二章分解因式§
2.1分解因式§
2.2提公因式法§
2.3运用公式法第三章分式§
3.1分式§
3.2分式的乘除法§
3.3分式的加减法§
3.4分式方程第四章相似图形§
4.1线段的比§
4.2黄金分割§
4.4相似多边形§
4.5相似三角形§
4.6探索三角形相似的条件§
4.8相似多边形的性质§
4.9图形的放大和缩小第五章数据的收集与整理§
5.1每周干家务活的时间§
5.2数据的收集§
5.3频数与频率§
5.4数据的波动第六章证明
(一)§
6.1你能肯定吗§
6.2定义与命题§
6.3为什么它们平行§
6.4如果两条直线平行§
6.5三角形内角和定理的证明§
6.6关注三角形的外角第一章一元一次不等式和一元一次不等式组§
1.1不等关系要点1.一般地,用符号“<”(或“≤”),“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式2.“不大于”指的是“等于或小于”,通常用符号“≤”表示例如,x不大于10可以表示为x≤10(读作“x小于或等于10”)例题1.如下图,用两根长度均为lcm的绳子,分别围成一个正方形和圆
(1)如果要使正方形的面积不大于25㎝2,那么绳长l应满足怎样的关系式?
(2)如果要使圆的面积大于100㎝2,那么绳长l应满足怎样的关系式?
(3)当l=8时,正方形和圆的面积哪个大?l=12呢?
(4)改变l的取值再试一试,在这个过程中你能得到什么启发?在上面的问题中,所围成的正方形的面积可以表示为,圆的面积可以表示为
(1)要使正方形的面积不大于25㎝2,就是,即
(2)要使圆的面积大于100㎝2,就是≥100,即≥100
(3)当l=8时,正方形的面积为,圆的面积为,∵4<
5.1,∴此时圆的面积大当l=12时,正方形的面积为,圆的面积为,∵9<
11.5,∴此时还是圆的面积大
(4)不论怎样改变l的取值,通过计算发现总是圆的面积大,因此,我们可以猜想,用长度增色为l㎝的两根绳子分别围成一个正方形和圆,无论l取何值,圆的面积总大于正方形的面积,即>2.用不等式表示
(1)a的相反数是正数;
(2)m与2的差小于;
(3)x的与4的和不是正数;
(4)y的一半与x的2倍的和不小于3解答
(1)a的相反数是-a,正数是比零大的数,所以“a的相反数是正数”就是-a>0;
(2)“m与2的差”就是m-2,“差小于”即是m-2<;
(3)“x的”就是x,“x的与4的和不是正数”就是x+4≤0;
(4)“y的一半”不是y“x的2倍”就是2x,“不小于3”即指大于或等于3,故“y的一半与x的2倍的和不小于”就是y+2x≥3§
1.2不等式的基本性质要点1.不等式的基本性质不等式的两边都加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变例题
1.利用不等式的基本性质,填“>”或“<”
(1)若a>b,则2a+12b+1;
(2)若<10,则y-8;
(3)若a<b,且c>0,则ac+cbc+c;
(4)若a>0,b<0,c<0,(a-b)c0答案
(1)>;
(2)>;
(3)<;
(4)<
2.按照下列条件,写出仍能成立的不等式,并说明根据
(1)a>b两边都加上-4;
(2)-3a<b两边都除以-3;
(3)a≥3b两边都乘以2;
(4)a≤2b两边都加上c;答案
(1)a-4>b-4(不等式基本性质1);
(2)a>-b(不等式基本性质3);
(3)2a≥6b(不等式基本性质2);
(4)a+c≤2b+c(不等式基本性质2)§
1.3不等式的解集要点1.能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解2.一个含有未知数的不等式的所有解,组成这个不等式的解集3.求不等式解集的过程叫做解不等式4.数轴上实心与空心的区别在于空心点表示解集不包括这一点,实心点表示解集包括这一点5.数轴上表示不等式的解集遵循“大于向右走,小于向左走”这一原则例题
1.
(1)你能找出几个使不等式成立的x的值吗?
(2)能使不等式成立吗?答案
(1)可以找出许多使不等式成立的x的值,比如取,则>15不等式成立,取则>15不等式成立,取,则,>15不等式成立,等等
(2)当时,<15不等式不成立当时,<15不等式不成立当,>15不等式成立2.不等式<6的正整数解答案在不等式<6的两边都减去3,得<∴x<3而满足x<3的正整数有1,2,所以不等式的正整数解为1,2§
1.4一元一次不等式要点1.不等式的左右两边都是整式,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是1,像这样的不等式,叫做一元一次不等式§
1.5一元一次不等式与一次函数要点1.掌握一元一次不等式与一次函数的关系,会运用函数解决不等式有关问题例题1.如果y=-2x-5那么当x取何值时,y0解由图可知,当x-
2.5时y02.兄弟俩赛跑,哥哥先让弟弟跑9m,然后自己才开始跑已知弟弟每秒跑3m,哥哥每秒跑4m列出函数关系式,作出函数图象,观察图象回答下列问题
(1)何时哥哥追上弟弟?
(2)何时弟弟跑在哥哥前面?
(3)何时哥哥跑在弟弟前面?
(4)谁先跑过20m?谁先跑过100m?5你是怎样求解的?与同伴交流解如图§
1.6一元一次不等式组要点1.一般地关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起就组成一个一元一次不等式组2.一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集3.求不等式组解集的过程叫做解不等式组4.解一元一次不等式组的步骤:
①求出这个不等式组中各个不等式的解集
②利用数轴求出这些不等式解集的公共部分
③表示这个不等式组的解集例题1.解不等式组:2x-1-x
①½x3
②解不等式
①,得x1/3,解不等式
②,得x6,在同一条数轴上表示不等式
①和
②的解集如图:因此原不等式组的解集为1/3x6本章体会1.感受生活中存在着大量的不等关系,了解不等式的意义,初步体会不等式是研究量与量之间关系的重要模型之一2.经历由具体实例建立不等式模型的过程,进一步发展学生的符号感与数学化的能力3.感知不等式、函数、方程的不同作用与内在联系,并体会分类讨论的数学思想4.会解有两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组并会用数轴确定其解集第二章分解因式§
2.1分解因式要点1.把一个多项式化成几个整式的乘积的形式这种变形叫把这个多项式分解因式.2.分解因式与整式乘法二者是互逆的过程3.因式分解是恒等变形4.分解因式要注意以下几点
①分解的对象必须是多项式.
②分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
③要分解到不能分解为止.例题1.下列各题中,从左式到右式的变形,哪些是分解因式哪些不是分解因式为什么1a2+2ab+a2=a+b2;2x2-3x+2=x-1x-2;3x+2x-1=x2+x-2;4xx+2=x2+2x;5x2-y2=x+yx-y;6m2+m-4=m+3m-2+
2.答1,2,5题中,从左式到右式的变形是分解因式,因为各题中的左式都是多项式,而右式都是整式乘积形式,均符合分解因式的定义;而3,4,6题中,从左式到右式的变形都不是分解因式,各题中的右式都不是整式乘积的形式,因此不符合分解因式的定义2.计算7652×17-2352×17解7652×17-2352×17=177652-2352=17765+235765-235=17×1000×530=90100003.20042+2004能被2005整除吗解∵20042+2004=20042004+1=2004×2005∴20042+2004能被2005整除§
2.2提公因式法要点1.要点1.多项式ab+bc各项都含有相同的因式b我们把多项式各项都含有的相同因式叫做这个多项式各项的公因式2.如果一个多项式的各项都含有公因式那么就可以把这个公因式提出来从而将多项式化成两个因式乘积的形式这种分解因式的方法叫做提公因式法例题1.将下列各式分解因式⑴3x+6⑵7x2-21x⑶8a3b2-12ab3c+ab⑷-24x3-12x2+28x⑸ax-y+by-x⑹6m-n3-12n-m2解⑴3x+6=3x+3×2=3x+2⑵7x2-21x=7x·x-7x·3=7xx-3⑶8a3b2-12ab3c+ab=ab·8a2b-ab·12b2c+ab·1=ab8ab2-12b2c+1⑷-24x3-12x2+28x=-24x3+12x2-28x=-4x·6x2+4x·3x-4x·7=-4x6x2+3x-7⑸ax-y+by-x=ax-y-bx-y=x-ya-b⑹6m-n3-12n-m2=6m-n3-12[-m-n]2=6m-n3-12m-n2=6m-n2m-n-22.请在下列各式等号右边填入“+”或“-”号使等式成立12-a=-a-22y-x=-x-y3b+a=+a+b4b-a2=+a-b25-m-n=-m+n§
2.3运用公式法要点1.关于完全平方式
①两个数的平方和,加上或者减去这两个数的积的2倍,等于这两个数的和或者差的平方
②a2+2ab+b2=a+b2a2-2ab+b2=a-b2
③形如a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的式子称为完全平方式上面的两个公式就是完全平方公式.运用这两个公式,可以把形式是完全平方式的多项式分解因式
④一个多项式如果是由三部分组成,其中的两部分是两个式子或数的平方,并且这两部分的符号都是正号,第三部分是上面两个式子或数的乘积的二倍,符号可正可负,像这样的式子就是完全平方式
⑤一个多项式如果是由三部分组成,其中的两部分是两个式子或数的平方,并且这两部分的符号都是正号,第三部分是上面两个式子或数的乘积的二倍,符号可正可负,像这样的式子就是完全平方式.2.平方差公式a+ba-b=a2-b23.由分解因式与整式乘法的关系可以看出如果把乘法公式反过来那么就可以把某些多项式分解因式这种分解因式的方法叫做运用公式法例题1.分解下列因式(平方差公式)⑴1-4x2=1-2x1+2x⑵m2-4=m+4m-4⑶x2-4y2=x+2yx-2y⑷4m+n2-m-n2=2m+n2-m-n2=[2m+n+m-n]·[2m+n-m-n]=2m+2n+m-n2m+2n-m+n=3m+nm+3n⑸3x3-12x=3xx2-4=3xx+2x-22.分解下列因式完全平方公式⑴x2+4x+4=x+22⑵4a2+4a+1=2a+12⑶m2+10ma+b+25a+b2=[m+5a+b]2=m+5a+5b2⑷-x2+4y2+4xy=-x2-4xy+4y2=-x-2y2⑸x+y2-6x+y+9=x+y2-2x+y3+32=x+y-323.把下列各式分解因式(综合公式法)13ax2+6axy+3ay2=3ax2+2xy+y2=3ax+y2281m4-72m2n2+16n4=9m2-4n22=3m+2n23m-2n2本章体会1.分解因式这一概念有如下几个特点
①结果一定是积的形式
②每个因式必须是整式
③各因式要分解到不能再分解为止.2.分解因式与多项式乘法
①首先,分解因式与整式乘法这种互逆关系是分解因式各种方法的理论基础,教材中几种分解因式基本方法的引入都紧扣这一关键.多项式的乘法公式与分解因式公式实际上是同一个公式,只是用法不同,如果乘法公式掌握得好,分解因式也就容易了
②其次,可以利用分解因式与整式乘法这种互逆关系来检验分解因式的结果是否正确3.分解因式的方法和步骤把一个多项式分解因式,首先观察这个多项式的特点,选用适当的方法分解因式.
①当所给的多项式的各项有公因式时,应先提公因式;
②当一个多项式是两项(或可以化成两项)的平方差形式时,就选用平方差公式;
③当一个多项式是完全平方式(或可以转化为完全平方式)时,就选用完全平方公式;
④当一个多项式两个平方项都含有负号时,先提负号,使括号内的多项式的平方项变为正号;
⑤当多项式是二次三项式(或可以看作是二次三项式)时,通过变换,把这个多项式转化为完全平方式,再进行分解因式4.多项式的分解因式,必须是把一个多项式化成几个整式乘积的形式
①单项式与多项式相乘,ma+b+c=ma+mb+mc;多项式与多项式相乘,得x+mx+n=x2+m+nx+mn.
②乘法公式有平方差公式a+ba-b=a2-b2完全平方公式a+b2=a2+2ab+b2,a-b2=a2-2ab+b2立方和与立方差公式a+ba2-ab+b2=a3+b3,a-ba2+ab+b2=a3-b35.运用完全平方公式把一个多项式分解因式的主要思路与方法是
①首先要观察、分析和判断所给出的多项式是否为一个完全平方式,如果这个多项式是一个完全平方式,再运用完全平方公式把它进行分解因式.有时需要先把多项式经过适当变形,得到一个完全平方式,然后再把它分解因式
②在选用完全平方公式时,关键是看多项式中的第二项的符号,如果是正号,则用公式a2+2ab+b2=a+b2;如果是负号,则用公式a2-2ab+b2=a-b2
③在一个多项式中,两个平方项的符号必须相同,才有可能成为完全平方式
④在对多项式分解因式时,一般都是先把完全平方项的符号变为正的,也就是先把负号提到括号外面,然后再把括号内的多项式运用完全平方公式分解因式.
⑤当给出的多项式的结构比较复杂时,不能直接看出是否为完全平方式的形式,可以通过代换的方法或经过适当的变形如添括号,把原多项式化为完全平方式第三章分式§
3.1分式要点1.如果整式A除以整式B可以表示成的形式.且除式B中含有字母,那么称式子为分式其中,A叫做分式的分子,B叫做分式的分母2.因为零不能作为除数,所以分数的分母不能是零3.在分式中,分母的值不能是零分式中的分母如果是零,则分式没有意义在分式中,当分子为零而分母不为零时,分式的值为零4.分式的基本性质分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变5.把一个分式的分子和分母的公因式约去这种变形叫做分式的约分例题1.下列各式,哪些是整式,哪些是分式?答案整式有分式有2.当x取什么值时,下列分式有意义?⑴⑵⑶解⑴由分母x-2=0,得x=2所以当x≠2时,分式有意义⑵由分母4x+1=0,得x=-所以当x≠-时,分式有意义⑶由分母|x|-3=0,得x=±3所以当x≠±3时,分式有意义3.当x取何时,下列分式的值为零
(1);
(2)答案
(1)∵∴
(2),即∵x=3,即当x=3时,分式的值为零4..分别写出下列等式中括号里面的分子或分母
(1);
(2)答案
(1);
(2)§
3.2分式的乘除法要点1.两个分式相乘把分子相乘的积作为积的分子把分母相乘的积作为积的分母;两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘2.化简分式时通常要使结果成为最简分式或者整式例题1.计算下列各题
(1);
(2);
(3)答案
(1)
(2);
(3)2.约分
(1);
(2);
(3);
(4)答案
(1);
(2);
(3)
(4)3.计算
(1);
(2)答案
(1)原式=
(2)原式=4.先化简,再求值,其中答案原式=∴当时,§
3.3分式的加减法要点1.同分母的分式相加减分母不变把分子相加减异分母的分式相加减,先通分化为同分母的分式然后再按同分母的加减法法则进行计算例题1.计算解
(1)
(2)2.计算§
3.4分式方程要点1.分母中含有未知数的方程叫做分式方程2.使分母为零的未知数的值就是增根3.解分式方程的一般步骤
①去分母,化为整式方程
②解整式方程
③检验
④结论例题1.解方程解:方程两边同时乘以xx-2得x=2x-3解这个方程得x=6检验将x=6代入原方程得左边==右边所以x=6是原方程的根解:方程两边同时乘以x-2得1-x=-1-2x-2解这个方程得x=2检验:将x=2代入原方程知分母为0所以x=2为原方程的增根所以原方程无解2.从甲地到乙地有两条公路一条是全长600km的普通公路,另一条是全长480km的高速公路某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45km/h,由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半,求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间这一问题中有哪些等量关系?客车在普通公路上行驶的平均速度×客车由普通公路从甲地到乙地的时间=600km客车在高速公路上行驶的平均速度×客车由高速公路从甲地到乙地的时间=480km客车在高速公路上行驶的平均速度-客车在普通公路上行驶的平均速度=45km/h2×由高速公路从甲地到乙地的时间=由普通公路从甲地到乙地的时间如果设客车由高速公路从甲地到乙地所需时间为x小时,那么它由普通公路从甲地到乙地的时间为h根据题意可得方程453.一艘轮船逆流航行2km的时间比顺流航行2km的时间多用了40分钟在横线上补充一个条件并提出一个问题如:已知水速为2km/h求船在静水中的速度解:设船在静水中的速度为xkm/h根据题意方程两边都乘以3x+2x-2得3x+2=3x-2+x+2x-
2.x2=
16.解这个整式方程得x=±4经检验x=±4都是原方程的根但是x=-4不符合题意应舍去.答:船在静水中的速度是4km/h本章小结1.分式是表示具体情景中数量的模型,分式是分数的“代数化”,所以其性质与运算是完全类似的数学(分式)与现实世界密切联系2.分式和分数也有类似的性质3.产生增根的原因是我们在方程的两边同乘了一个可能使分母为零的整式.因此解分式方程可能产生增根所以解分式方程必须检验.4.列方程解应用题的几个步骤
①审题找出有哪些已知量未知量各量之间有什么关系
②根据题意列方程
③解分式方程注意验根
④写答第四章相似图形§
4.1线段的比要点1.如果选用同一个长度单位,量得两条线段AB,CD的长度分别是mn那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n或写成其中线段ABCD分别叫做这个线段比的前项和后项如果把表示成比值k那么或AB=k·CD2.四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段3.4.合分比性质例题1.已知C为线段AB上一点,AC∶CB=5∶3.求:AC∶AB及AB∶CB的值解设一份为k,这样AC=5k,CB=3k,则AB=8k∴AC∶AB=5k∶8k=5∶8,AB∶CB=8k∶3k=8∶3.2.如图,在平行四边形ABCD中,∠B=30°,AD=10.AE为BC边上的高,垂足E为BC中点.求:AE∶BC.解在Rt△ABE中B=300∴AB=2AE.∵BC=AD=10E是BC中点∴BE=5由勾股定理可得3.§
4.2黄金分割要点1.如图4-5点C把线段AB分成两条线段AC和BC如果那么称线段AB被点C黄金分割goldensection点C叫做线段AB的黄金分割点AC与AB的比称为黄金比2.3.例题1.如图,设AB是已知线段,在AB上作正方形ABCD,取AD的中点E连接EB延长长DA至F使EF=EB.以线段AF为边作正方形AFGH.点H就是AB的黄金分割点你能说说这种作法的道理吗解:设AB=1那么在Rt△BAE中§
4.4相似多边形要点1.各角对应相等各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形2.相似多边形对应边的比叫做相似比3.一般而言,形状相同的图形称为相似图形例题1.你能否证明相似多边形周长的比等于相似比?∵六边形ABCDEF∽六边形A1B1C1D1E1F1且相似比是k.§
4.5相似三角形要点1.三个角对应相等三条边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形2.相似三角形的各对应角相等各对应边对应成比例3.相似比等于1的两个三角形全等例题1.在下面的两组图中,各有两个相似三角形,试确定x、y、m、n的值2.如图
(1)
(2)中的△ABC∽△A′B′C′,△ABC∽△ADE,那么哪些角是对应角,哪些边是对应边,对应角有什么关系?对应边呢? 3.如图,已知△ABC∽△A′B′C′,AE=50cmEC=30cmBC=70cm∠BAC=45°,∠ACB=40°求
①∠AED和∠ADE的大小
②求DE的长§
4.6探索三角形相似的条件要点1.判定两个三角形相似的方法
①两角对应相等的两个三角形相似
②三边对应成比例的两个三角形相似
③两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似例题1.有一池塘周围都是空地.如果要测量池塘两端A、B间的距离你能利用本节所学的知识解决这个问题吗2.下面两个三角形是否相似为什么解:在△ABC和△AEF中.且∠A是公共角,∴△ABC∽△AEF.两边对应成边成比例且夹角相等的两个三角形相似.3.如图,DE分别是△ABC边ABAC上的点DE∥BC.⑴图中有哪些相等的角⑵找出图中的相似三角形解:1∵DE∥BC∴∠ADE=∠B∠AED=∠C.
(2)△ADE∽△ABC∵∠ADE=∠B∠AED=∠C∴△ADE∽△ABC.两角对应相等的两个三角形相似§
4.8相似多边形的性质要点1.相似三角形对应高的比对应角平分线的比对应中线的比,对应周长的比等于相似比2.相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方例题1.如图所示在等腰△ABC中底边BC=60cm高AD=40cm四边形PQRS是正方形.
1.△ASR与△ABC相似吗为什么
2.求正方形PQRSR的边长.解:1△ASR∽△ABC,理由是:∵四边形PQRS是正方形∴RS∥BC∴∠ASR=∠B∠ARS=∠C∴△ASR∽△ABC
(2)由1可知△ASR∽△ABC.∴相似三角形对应高的比等于相似比§
4.9图形的放大和缩小要点1.如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一个点,这个点叫做位似中心,这是的相似比又称为位似比2.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比3.位似对应线段互相平行第五章数据的收集与整理§
5.1每周干家务活的时间要点1.为了一定的目的而对考察对象进行全面调查,称为普查,其中所考察对象的全体称为总体population,而组成总体的每一个考察对象称为个体individual.2.普查的困难:
①总体中的个体数目较多工作量较太大无法一一考查;
②受客观条件的限制无法对个体一一考查;
③考查具有破坏性不允许对个体一一考查.3.从总体中抽取部分个体进行调查,这种调查称为抽样调查samplinginvestigation其中从总体中抽取部分个体叫做总体的一个样本例题1.为了准确了解全国人口状况,我国每10年进行一次全国性人口普查.当考查我国人口年龄构成时在这一事例中,你能说出总体、个体分别是什么吗?答总体就是具有中华人民共和国国籍并在中华人民共和国境内常住人口的年龄;个体就是符合这一条件的每一个公民的年龄.2.我国每五年进行一次全国1%人口的抽样调查,其中被抽取的1%人口就是全国人口的一个样本§
5.2数据的收集要点1.抽样调查只考查总体的一部分,因此它的优点是调查范围小,节省时间、人力、物力和财力,但其调查结果往往不如普查得到的结果准确2.为了获得较为准确的调查结果,抽样调查时应注意样本的广泛性和代表性3.随机调查就是按机会均等的原则进行调查,亦即总体中每个个体被调查的概率都相同例题1.下列调查中,你认为采用什么调查方式较合适?⑴要了解一批月饼的口味.⑵要了解某旅游团中男女人数情况.⑶要了解阳泉市人均居住面积情况.⑷要预测下届美国总统候选人情况.⑸要了解阳泉市化工厂某批烟花的质量情况.⑹要了解伊拉克人民受战争伤害的情况.⑺要了解义井中学下届学生入学的情况.⑻要了解阳泉市郊区人口老龄化问题.2.为了了解阳泉市郊区老年人健康的真实情况,小华利用派出所的户籍随机调查了该地区10%的老年人,发现他们一年平均生病3次左右.你认为他的调查方式如何?答可行像小华这种随机调查的方式是收集数据常用的方法,使总体中每个个体被调查的概率都相同§
5.3频数与频率要点1.我们称每个考查对象出现的次数为频数absolutefrequency每个对象出现的次数与总次数的比值为频率relativefrequency例题1.小明和小亮从同一本书中分别随机抽取了6页,在统计了1页,2页,3页,4页,5页,6页“的”和“了”出现的次数后,分别求出了它们出现的频率并绘制了下图:⑴随着统计页数的增加这两个字出现的频率是如何变化的⑵你认为该书中“的”和“了”两个字的使用频率哪个高2.现场调查107班同学们的身高单位cm并填写下表将数据用适当的统计图表表示出来并计算全班同学身高的平均数⑴计算极差:这组数据的最小数是:141cm最大的数是:172cm它们的差极差是:172-141=31cm;⑵确定分点半开半闭区间法;⑶定组距分组:根据极差分成七组经验法则100个数据以内分5-12组;⑷用唱票的方法绘制频数分布表;⑸绘制频数分布直方图;⑹绘制频数分布折线图§
5.4数据的波动要点1.数学上,数据的离散程度还可以用方差或标准差来刻画2.极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差3.方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数即4.用一组数据的极差、方差或标准来反映这组数据离散程度或波动情况一组数据的极差、方差或标准差越小这组数据就越稳定例题1.2004年5月31日,A,B两地的气温变化如下图所示1这一天,A、B两地的平均气温分别是多少?2A地这一天气温的极差、方差分别是多少?B地呢?3A、B两地的气候各有什么不同?2.某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加一项校际比赛.在最近的10次选拔赛中,他们的成绩(单位cm)如下1他们的平均成绩分别是多少?2甲、乙这10次比赛成绩的方差分别是多少?3这两名运动员的运动成绩分别是多少4历届比赛表明的,成绩达到
5.96m就有可能夺冠,你认为为了夺冠应选谁参加这项比赛?如果历届比赛成绩表明,成绩达到
6.10m就能打破记录,那么你认为为了打破记录应选谁参加这项比赛?本章体会⑴用样本的某些特性估计总体相应的特性.⑵用样本的平均数、中位数和众数去估计相应总体的平均水平特性.⑶用样本的频数、频率、频数分布表、频数分布直方图和频数分布折线图去估计相应总体数据的分布情况.⑷用样本的极差、方差或标准差去估计相应总体数据的波动情况.第六章证明
(一)§
6.1你能肯定吗例题1.如图四边形ABCD四边的中点分别为EFGH度量四边形EFGH的边和角你能发现什么结论改变四边形的形状还能得到类似的结论吗你能肯定这个结论对所有的四边形ABCD都成立吗结论四边形EFGH是平行四边形改变四边形的形状还能得到类似的结论.不能肯定这个结论对所有的四边形ABCD都成立2.当n=012345时代数式n2-n+11的值是质数吗你能否得到结论:对于所有自然数nn2-n+11的值都是质数答是的不能§
6.2定义与命题要点1.对名称和术语的含义加以描述作出明确的规定也就是给出它们的定义2.判断一件事情的句子叫做命题3.每个命题都由条件condition和结论conclusion两部分组成.条件是已知事项结论是由已事项推断出的事项.一般地命题可以写成“如果……那么……”的形式其中“如果”引出的部分是条件“那么”引出的部分是结论.4.正确的命题称为真命题truestatement不正确的的命题称为假命题falsestatement.5.要说明一个命题是假命题通常可以举出一个例子使之具备命题的条件而不具备命题的结论这种例子称为反例6.公认的真命题称为公理,除了公理外其它真命题的正确性都通过推理的方法证实,推理的过程称为证明,经过证明的真命题称为定理例题1.下列句子中哪些是命题1动物都需要水;是2猴子是动物的一种;是3玫瑰花是动物;是4美丽的天空;不是5三个角对应相等的两个三角形一定全等;是6负数都小于零;是7你的作业做完了吗不是8所有的质数都是奇数;是9过直线外l一点作直线l的平行线;不是10如果abac那么b=c.是2.下列命题的条件是什么?结论是什么?⑴如果两个角相等,那么它们是对顶角;⑵如果a>bb>c那么a=c;⑶两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等;⑷菱形的四条边都相等;⑸全等三角形的面积相等解
3、改写如果两个三角形的两角和其中一角的对边对应相等,那么这两个三角形全等条件两个三角形的两角和其中一角的对边对应相等结论这两个三角形全等3.这几个命题哪些是正确的?哪些不正确?⑴如果两个角相等,那么它们是对顶角;假命题⑵如果a>bb>c那么a=c;假命题⑶两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等;真命题⑷菱形的四条边都相等;真命题⑸全等三角形的面积相等真命题§
6.3为什么它们平行要点1.公理两条直线被第三条直线所截如果同位角相等那么这两条直线平行.2.定理两条直线被第三条直线所截如果同旁内角互补那么这两条直线平行.3.定理两条直线被第三条直线所截如果内错角相等那么这两条直线平行.例题1.已知:如图,∠1和∠2是直线ab被直线c截出的同旁内角且∠1与∠2互补.求证:a∥b.证明∵∠1与∠2互补已知∴∠1+∠2=1800互补的定义.∴∠1=1800-∠2等式的性质.又∵∠3+∠2=1800平角的定义∴∠3=1800-∠2等式的性质.∴∠1=∠3等量代换.∴a∥b同位角相等两直线平行.2已知:如图6-5∠1和∠2是直线ab被直线c截出的内错角且∠1=∠
2.求证a∥b.证明∵∠1=∠2已知∠1+∠3=1800平角的定义.∴∠2+∠3=1800等量代换.∴∠2与∠3互补互补的意义.∴a∥b同旁内角互补两直线平行§
6.4如果两条直线平行要点1.公理两条平行线被第三条直线所截同位角相等2.定理两条平行线被第三条直线所截内错角相等3.定理两条平行线被第三条直线所截同旁内角互补例题1.已知如图直线a∥b∠1和∠2是直线ab被直线c截出的内错角求证∠1=∠
2.证明∵a∥b已知∴∠3=∠2两直线平行同位角相等.又∵∠1=∠3对顶角相等∴∠1=∠2等量代换.2.已知如图直线a∥b∠1和∠2是直线ab被直线c截出的同旁内角求证∠1+∠2=180°证明∵a∥b已知∴∠2=∠3两直线平行同位角相等.又∵∠1+∠3=180°平角的意义.∴∠1+∠2=180°等量代换.§
6.5三角形内角和定理的证明要点1.三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°例题1.已知如图△ABC求证∠A+∠B+∠C=180°分析延长BC到D过点C作射线CE∥AB这样就相当于把∠A移到了∠1的位置把∠B移到了∠2的位置.证明作BC的延长线CD过点C作CE∥AB则∠1=∠A两直线平行内错角相等∠2=∠B两直线平行同位角相等.又∵∠1+∠2+∠3=1800平角的定义∴∠A+∠B+∠ACB=1800等量代换.2.直角三角形的两锐角之和是多少度等边三角形的一个内角是多少度请证明你的结论.已知如图在△ABC中,DE∥BC∠A=600∠C=
700.求证∠ADE=50°.§
6.6关注三角形的外角要点1.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和2.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角例题1.已知:如图在△ABC中AD平分外角∠EAC∠B=∠C.求证:AD∥BC.证明∵∠EAC=∠B+∠C三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和∠B=∠C已知∴∠B=∠EAC等式性质.∵AD平分∠EAC已知.∴∠DAE=∠EAC角平分线的定义.∴∠DAE=∠B等量代换.∴a∥b同位角相等两直线平行.2.已知如图,在△ABC中∠1是它的一个外角E为边AC上一点延长BC到D连接DE求证∠1∠
2.证明∵∠1是△ABC的一个外角已知∴∠1∠3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角∵∠3是△CDE的一个外角外角定义∴∠3∠2三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角∴∠1∠2不等式的性质本章小结1.证明命题的一般步骤⑴理解题意:分清命题的条件已知结论求证;⑵根据题意画出图形;⑶结合图形用符号语言写出“已知”和“求证”;⑷分析题意探索证明思路;⑸依据思路运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;⑹检查表达过程是否正确完善.数学八下内容整理480600=452xxadcb那么bc,,ad如果;bcaddcba那么如果ACBABCDEFAECDFGHABCE11F33ABCDEABCSREPDQ频率●123456统计的页数
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020.01图例■的●了●●●●●■■■■■■1721451551681631481631551631621551621581601601601451571551541441591521591521521601501501491581571571571691551551681681541501571501581451451711441651412170≤x<175正5165≤x<170正9160≤x<165正正正一16155≤x<160正9150≤x<155正一6145≤x<1503140≤x<145学生数频数身高x/cm身高/cm学生人数气温/℃624598590585593618574580618613乙601613600604597612598610596585甲ABCHDEFGabc132abc132abc132ABCE213DDCBAEABCABCACDBE··CABF1345ED2。