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高中数学第八章-圆锥曲线方程考试内容数学探索©版权所有www.delve.cn椭圆及其标准方程.椭圆的简单几何性质.椭圆的参数方程.数学探索©版权所有www.delve.cn双曲线及其标准方程.双曲线的简单几何性质.数学探索©版权所有www.delve.cn抛物线及其标准方程.抛物线的简单几何性质.数学探索©版权所有www.delve.cn考试要求数学探索©版权所有www.delve.cn
(1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质,了解椭圆的参数方程.数学探索©版权所有www.delve.cn
(2)掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.数学探索©版权所有www.delve.cn
(3)掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质.数学探索©版权所有www.delve.cn
(4)了解圆锥曲线的初步应用.§
08.圆锥曲线方程知识要点
一、椭圆方程.
1.椭圆方程的第一定义⑴
①椭圆的标准方程i.中心在原点,焦点在x轴上.ii.中心在原点,焦点在轴上.
②一般方程.
③椭圆的标准参数方程的参数方程为(一象限应是属于).⑵
①顶点或.
②轴对称轴x轴,轴;长轴长,短轴长.
③焦点或.
④焦距.
⑤准线或.
⑥离心率.
⑦焦点半径i.设为椭圆上的一点,为左、右焦点,则由椭圆方程的第二定义可以推出.ii.设为椭圆上的一点,为上、下焦点,则由椭圆方程的第二定义可以推出.由椭圆第二定义可知归结起来为“左加右减”.注意椭圆参数方程的推导得方程的轨迹为椭圆.
⑧通径垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标和⑶共离心率的椭圆系的方程椭圆的离心率是,方程是大于0的参数,的离心率也是我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.⑸若P是椭圆上的点.为焦点,若,则的面积为(用余弦定理与可得).若是双曲线,则面积为.
二、双曲线方程.
1.双曲线的第一定义⑴
①双曲线标准方程.一般方程.⑵
①i.焦点在x轴上顶点焦点准线方程渐近线方程或ii.焦点在轴上顶点.焦点.准线方程.渐近线方程或,参数方程或.
②轴为对称轴,实轴长为2a虚轴长为2b,焦距2c.
③离心率.
④准线距(两准线的距离);通径.
⑤参数关系.
⑥焦点半径公式对于双曲线方程(分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点)“长加短减”原则构成满足(与椭圆焦半径不同,椭圆焦半径要带符号计算,而双曲线不带符号)⑶等轴双曲线双曲线称为等轴双曲线,其渐近线方程为,离心率.⑷共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线.⑸共渐近线的双曲线系方程的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时,它的双曲线方程可设为.例如若双曲线一条渐近线为且过,求双曲线的方程?解令双曲线的方程为,代入得.⑹直线与双曲线的位置关系区域
①无切线,2条与渐近线平行的直线,合计2条;区域
②即定点在双曲线上,1条切线,2条与渐近线平行的直线,合计3条;区域
③2条切线,2条与渐近线平行的直线,合计4条;区域
④即定点在渐近线上且非原点,1条切线,1条与渐近线平行的直线,合计2条;区域
⑤即过原点,无切线,无与渐近线平行的直线.小结过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点,可以作出的直线数目可能有
0、
2、
3、4条.
(2)若直线与双曲线一支有交点,交点为二个时,求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.⑺若P在双曲线,则常用结论1P到焦点的距离为m=n,则P到两准线的距离比为m︰n.简证=.常用结论2从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.
三、抛物线方程.
3.设,抛物线的标准方程、类型及其几何性质图形焦点准线范围对称轴轴轴顶点(0,0)离心率焦点注
①顶点.
②则焦点半径;则焦点半径为.
③通径为2p,这是过焦点的所有弦中最短的.
④(或)的参数方程为(或)(为参数).
四、圆锥曲线的统一定义..
4.圆锥曲线的统一定义平面内到定点F和定直线的距离之比为常数的点的轨迹.当时,轨迹为椭圆;当时,轨迹为抛物线;当时,轨迹为双曲线;当时,轨迹为圆(,当时).
5.圆锥曲线方程具有对称性.例如椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对称的.因为具有对称性,所以欲证AB=CD即证AD与BC的中点重合即可.注椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质椭圆双曲线抛物线定义1.到两定点F1F2的距离之和为定值2a2a|F1F2|的点的轨迹1.到两定点F1F2的距离之差的绝对值为定值2a02a|F1F2|的点的轨迹2.与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.(0e1)2.与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.(e1)与定点和直线的距离相等的点的轨迹.图形方程标准方程0a0b0y2=2px参数方程t为参数范围─axa,─byb|x|a,yRx0中心原点O(0,0)原点O(0,0)顶点a0─a00b0─ba0─a000对称轴x轴,y轴;长轴长2a短轴长2bx轴,y轴;实轴长2a虚轴长2b.x轴焦点F1c0F2─c0F1c0F2─c0焦距2c(c=)2c(c=)离心率e=1准线x=x=渐近线y=±x焦半径通径2p焦参数P。