还剩45页未读,继续阅读
本资源只提供10页预览,全部文档请下载后查看!喜欢就下载吧,查找使用更方便
文本内容:
北师大版数学(八年级下册)教材编写说明第1章不等式
一、主要内容与知识定位首先通过具体事例建立不等关系,探索不等式的性质,了解一般不等式的解与解集以及解不等式的概念.其次具体研究一元一次不等式的解、解集、解的数轴表示;解一元一次不等式以及一元一次不等式的简单应用.再次通过具体事例研究一元一次不等式、一元一次方程、一次函数之间的内在联系.最后安排的是一元一次不等式组的解、解集、用数轴确定解集,解一元一次不等式组以及一元一次不等式组的简单应用的内容.本章的知识定位与传统教材有些不同,在这套教材中,前三册已经介绍了一元一次方程、一次函数及二元一次方程组的内容,现在再学习一元一次不等式和一元一次不等式组已是顺理成章的了,但是知识体系的变化会引起对不等式整个内容的理解与把握上的不同,相应问题的难度与函数、方程的综合程度会有所加大,并且突出由一些具体的实际问题抽象为不等关系模型的过程,让学生体会建立不等关系及学习一元一次不等式和一元一次不等式组的意义,并且关注学生学习习惯的养成与“数学化”能力等方面的发展,渗透函数、方程、不等式思想
二、设计思路本章的“教学目标”是
1.经历将一些实际问题抽象为不等关系的过程,体会不等式也是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型.进一步发展符号感.
2.能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义.
3.经历通过类比、猜测、验证发现不等式性质的探索过程,掌握不等式的基本性质.
4.理解不等式(组)解与解集的含义,会解简单的一元一次不等式,并能在数轴上表示一元一次不等式的解集.会解由两个一元一次不等式组成的不等式组,并会在数轴上确定解集.初步体会数形结合思想.
5.根据具体问题中的数量关系,列出一元一次不等式(组).解决简单的实际问题.并能根据具体问题的实际意义,检验结果是否合理.
6.初步体会不等式、方程、函数之间的内在联系与区别.为了完成上述教学目标,本章的设计思路是 本章教材是在学生学习了一元一次方程、二元一次方程组和一次函数基础上才开始研究简单的不等式关系的.通过前面的学习,学生已初步体会到生活中量与量之间的关系是众多而且复杂的.大量的同类量之间最容易想到的就是它们有大小之分,而且学生通过前面的学习已初步经历了建立方程模型、建立函数关系解决一些实际问题的数学化过程,为分析量与量之间的关系积累了一定的经验,在此基础上展开不等式的学习已顺理成章.另外,不等式不仅是现阶段学生学习的重点内容,而且也是学生后续学习的重要基础.根据学生现有的认知基础和认知特点,本章教材的设计主要有下列特点a丰富的实际背景.为学生探索实际问题中的不等关系提供了生动、有趣、有用的丰富的实际背景.如等周问题、测树围研究树高的问题、分配宿舍的问题、优惠销售的问题等.这些都为学生提供了独立思考或合作交流的较大的空间,以进一步发展学生的符号表达及学生提出问题、分析问题、解决问题的能力.b突出知识之间的内在联系.不等式与方程、函数一样都是反映客观事物变化规律及其关系的模型,是数学学习的重要内容之一.函数能够刻画事物之间对应变化的过程,方程刻画的是某个变化过程的一瞬间,而不等式则刻画变化过程中同类量之间的一个普遍现象.一定条件下,它们可以互相转化.为此教材专设一节关于一元一次不等式、一元一次函数联系的内容,意在引导学习者初步体会从整体中把握部分的常用的思考方法,渗透函数、方程、不等式思想和数形结合等重要的数学思想,拓宽学生视野.(数形结合数轴、与三角形27页的做一做、与函数图象.)c关注学生学习的发展.如在读一读中设置了线性规划的基础——不等式表示的平面区域.为学有余力的学生搭建深入思考的平台.
三、章节内容分析1.不等关系感受生活中存在着大量的不等关系,了解不等式的意义,初步从中体会不等式是研究量与量之间关系的重要模型之一.经历由具体事例建立不等式模型的过程,进一步发展学生数学化的能力与符号感.本节中几个值的注意的问题1.教材更加重视应用,教材中设置了较多的应用背景的材料,以突出不等式的模型作用另外本章在第4节之前不具体的研究不等式是几次的不等式,都是对更一般的不等式进行研究2.教材P2不等关系的场景最主要的设置目的是由此问题产生许多的不等式,进而引出不等式的概念,从诸多不等式的建立过程中,体会不等式的作用与意义通过合情推理获得猜想这里对于猜想是否正确并不作研究而意在为研究不等式的性质打下伏笔.3.P4的做一做的设计意图是想通过学生感兴趣的问题建立不等关系从中体会不等关系的普遍性这里建立的不等关系均为一次的也为研究的重点不等式---一次不等式打基础.P9的议一议意在让学生归纳出不等式的概念.4.第4题设置的目的主要是让学体会一个问题中可能涉及较多的量量与量之间存在着复杂的相依关系更多的是不等关系而且为不等式组的学习留有余地.
3、4两题合起来就组成一个不等式组8χ+4(10-χ)≤
72.2.不等式的基本性质经历不等式基本性质的探索过程体会不等式与等式的异同初步体会不等式的意义.掌握不等式的基本性质.对于不等式的性质
23.特别是性质3学生可能猜测与理解上都有一定的困难见于这种情况我们设置了一个做一做目的是想让学生自己在做的过程中感受、体验从中的变化规律,从中获得不等式可能有哪些性质,它与等式的性质不尽相同等经验不等式与等式的性质到底不同在哪里?教师最好让学生用他们的语言说一说,以培养学生的说理意识并从感性认识上升到理性认识当然这里学生可能说不到位,甚至有些困难,教师要适当的加以点拨;特别是性质3对于学生有一定的挑战性,教师可以组织学生进行讨论,最好结合相反数等概念以帮助理解这一性质本节习题后安排的试一试是想让学有余力的学生在实数范围内比较两个代数式的大小,继续发展优生的符号感,培养学生的分类讨论意识,或者是理解成为对不等式的基本性质2,3的延伸不等式的基本性质2,3中都是指对不等式的两端同乘以(或除以)同一个数,而这里是对不等式“21”的两端同乘以一个代数式a,因此需要对a进行讨论…,这样对不等式的基本性质2,3就进行了从乘以或除以同一个数推广到可以同乘以或除以同一个定号的指正符号非零的代数式了.为学生的后继学习打下基础.除此之外本题在培养学生缜密思维优化学生思维品质方面都有一定作用.3.不等式的解集理解不等式的解与解集的意义;了解不等式解集的数轴表示本节一开始的问题的设置目的一方面是让学生再次体会建立不等式模型的作用,另一方面主要是通过研究这里所建立的不等式,借助想一想的栏目体会不等式的解的意义,体会与方程的解的异同在此基础上得到不等式的解及其解集的概念对于这些概念的处理不必让学生背诵概念,而是给学生一些时间,让他们自己举出一些具体的不等式并说出他们的解(或解集),也可以对于同一个不等式分小组找一找这个不等式的解,然后把大家的成果集中起来对比、验证,最后写出不等式的解集本节议一议的设置目的就在于此对于不等式解集的数轴表示,教师要引导学生回忆实数与数轴上的点之间的对应关系,每一个数都能够在数轴上表示因此不等式的解集也可以在数轴上表示至于怎样表示教师不妨直接给出,这里不必让学生探索但可以有意识地让学生体会数轴表示不等式解集的优越性增强学生数形结合的能力4.一元一次不等式体会一元一次不等式的形成过程;会解简单的一元一次不等式,并能在数轴上表示出解集;初步认识一元一次不等式的应用价值,发展学生分析问题、解决问题的能力;初步感知实际问题对不等式解集的影响积累利用一元一次不等式解决简单实际问题的经验;感知不等式、函数、方程的不同作用与内在联系.一元一次不等式设置了2课时,第一课时在前边一元一次不等式建立模型的基础上,明确什么是一元一次不等式,教学中要给切实让学生通过回顾、观察、思考、归纳出一元一次不等式的概念并与以前学过的一元一次方程、一元一次函数等概念加以比较进一步加深对这些概念的理解.明确了什么是一元一次不等式之后通过例
1、2正式进入怎样解一元一次不等式的研究并给出规范的解的过程.在这两个例子的处理过程中有尽可能地让学生思考让学生说一说每一步变形的理由增强学生的代数推理能力.对于学生可能出现的解不等式的常见错误教师不要急于纠正要让学生充分发表自己的见解.并养成自我检查解题步骤的良好学习习惯以达到事半功倍的效果.本单元的第二课时是从P15做一做开始的这个做一做的题目难度比上节课的例2略有所增加也是两个学生易错的问题处理方法可以与上节课的例题处理类似地进行教师一不能包办代替二不能急于纠正学生出现的错误.对于本节的例
3、4其设置的目的主要有1继续体会建立不等式模型解决实际问题的全过程体会学习不等式的作用2让学生体会实际问题对解不等式的影响3继续训练解不等式的技能.5.一元一次不等式与一次函数通过作函数图象、观察函数图象进一步理解函数概念,并从中初步体会一元一次不等式与一次函数的内在联系.通过具体问题初步体会一次函数的变化规律与一元一次不等式解集的联系.作函数图象的设计意图是想让学生在作的过程中体会随着自变量取值的变化,函数值也随之变化,再通过观察所作函数的图象反过来思考分别当时,X的取值的集合是什么?,这个问题本身看上去似乎不难?但对于这种思维方式对于初学的学生来说并不习惯,这里需要用函数观点作指导,还要具体通过解方程找到函数值为零时X的值然后可以直接写出不等式的解集(当然这里渗透了两个问题
(1)一个函数可以确定许多不等式;
(2)函数的变化趋势)想一想的设置本意仍然是想让学生用画图象的方法完成以体会函数的变化对解不等式的影响当然学生可能直接用不等式的性质求解,也可以关于做一做,学生的做法可能是多种多样的,教师一方面鼓励学生多角度思考问题,但还要注意引导学生说明自己解决问题的思路与理由,在交流各自想法的同时使学生互相补充,达到对不等式、函数、方程的整体认识,感受三者之间的内在联系
1.本单元的第2课时主要侧重一元一次不等式的应用,但在处理手法上是先建立函数模型,再建立不等式模型这样处理基于两点思考
(1)函数、方程、不等式是紧密联系的一个整体,而其中函数为主体,这样突出知识之间的内在联系,便于引导学生养成从知识整体出发思考问题,以养成良好的思维习惯这样也符合《标准》提出的要求随着学生学习不断地深入,在知识掌握、思维能力、分析问题和解决问题的能力要求上都体现“螺旋上升”
(2)同时也为后一节课正式提出一元一次不等式和一次函数的学习做铺垫在教学过程中,教师不要急于求成,要引导学生仔细审题,仔细分析量与量之间的关系,沿着“读题---建立模型---求解模型---解释”的思路让学生主动能思考,广泛交流同时对学有困难的学生适时适当的加以点拨对于其它解法对的要及时加以鼓励最好是在处理完例5之后可引导学生反思,让他们说一说解决这些问题的体会,有哪些经验教训可以让大家参考,而不要总是由教师去说解决此类问题同学们应当注意哪些问题,也不要人为的这堂课的题目归为一个什么类型,避免增加学生的记忆负担6.一元一次不等式组经历通过具体问题抽象出不等式组的过程.理解一元一次不等式组及其解的意义初步感知利用一元一次不等式解集的数轴表示求不等式组解和解集的方法.体会运用不等式组解决简单的实际问题的过程,提高学生的学习热情.P24问题场景的设置目的是想从学生熟悉的一个事例出发,自然地引入不等式组的概念,同时体会不等式组与不等式一样也是解决实际问题的一个工具对于P25页的想一想的
(2)要引导学生自己尝试,让他说一说,按照他的理解,怎样的值才能算是不等式组的一个解以加深对不等式组的解的意义的理解(也可以类比方程组的解的概念来理解不等式组的解的概念)对于例1,教师要鼓励学生去解,但对于解题的规范书写,及利用数轴的技能要求,教师要注意统一要求同时还要继续关注学生解不等是的技能水平P27做一做是不等式组的第二课时,本问题反映几何与代数的综合,要先让学生自己列不等式组,提供时间让学生交流他们的做法,渗透转化思想学习解不等式,用好数轴是关键在教材中给出的解不等式组的题目,对于每个不等式组的解在数轴上有多种情况(可能无解,可能…),教师不宜总结题型,最好等学生学完本单元或本章之后再让学生自我总结体会从P31做一做开始是本单元的最后一课时,本节的主旨是运用不等式组解决一些简单的实际问题这里的做一做对一般学生来说可能有一定的挑战性,教师可以引导学生先过事理关题目中说的是怎样的一件事?再过文理关从字眼上讲有一间宿舍住不满是什么含义?最后再过算理关对于本节的例4,题目中提供的信息较多,教师在教学过程中,要善于引导学生通过列表等形式分析量与量之间的关系,并逐渐养成习惯本节课还要继续关注学生解不等式组的准确性,注意检验解的合理性关于本章的回顾与思考本章的回顾与思考的学习,要比传统教材更加注意两点
1.重视不等式组模型的建立和运用模型解决实际问题的一般能力培养;
2.注意加强函数、方程、不等式三者之间的内在联系.几个具体建议1.组织学生以问题串的形式整理本章学习的主要内容并让学生自己画一个本章知识联络图体会知识之间的发展脉络与内在联系.2.关注学生对知识发生、发展过程的理解、认识如对解不等式中“移项变号”的理解、运用不等式(组)解决实际问题的一般步骤的认识等,可以让通过举具体例子加以描述.3.回顾知识的形成过程中要引导学生总结在处理某个问题时有哪些是学生自己原创的方法.总结哪些方法对自己的思考有较大的启迪自己印象最深的是什么自己最困惑的是什么等等.4.要尽可能地调动学生的学习主观能动性多让他们提出问题并通过自主探究、合作交流解决问题达到升华认识的目的.课后还要留适量的开放性的问题关注学生的学习个性.5.对于学生的回答与讨论要关注他们对于不等式意义的理解以及分析问题、解决问题的能力要给予充分关注本章总的教学建议数学教学是数学活动的教学,是师生交往、互动和共同发展的过程.教学中,要将学生推到学习的前沿,注重发挥学生的学习主体性和主观能动性.
1.关注与旧知的联系,提高思维能力.“有效的教学一定要从学生已经知道了什么开始”.教学过程中,要关注不等式、函数、方程的内在联系.不等关系与相等关系有着辩证的联系,在不等式的注意利用与等式(方程)对比进行教学,这样有利于学生认识不等式,体会知识之间的内在联系,加强学生对知识的整体认识,发展学生的辩证思维.如对不等式的基本性质的研究可以类比等式的基本性质,并比较其异同.
2.设置丰富的问题情境,体会知识的发生、发展过程.教学中,要充分发挥教材中的“做一做”、“想一想”、“议一议”等栏目提供的问题情境,组织学生展开学习.在这个过程中,如,要让学生经历探索不等式(组)模型的形成过程,要给学生留有充分地思考与活动时间,使其初步体会学习不等式的价值.通过充分经历观察、实验、归纳、类比、抽象、概括和数学表示,自然过渡到“模型化”的全过程,教师不要急于求成,不要包办代替学生的活动,要适时给以恰当的引导,发展学生分析问题,解决问题的能力,关注学生学习能力的提高.
3.恰当地把握扎实基础与培养能力的关系不等式的基本性质、不等式(组)的解法及不等式解集的数轴表示是学生后继学习的重要基础和必备技能,一定量的练习是完全必要的,但切不可停留在简单的模仿训练与机械记忆上,更不必强调解不等式(组)的步骤.要引导学生能够说出一个不等式为什么可以从一种形式变形为另一种形式,它的解为什么能在数轴上表示,为什么可以通过数轴迅速准确地确定不等式组的解,发展其等价变形能力、说理能力和数形结合能力,养成步步有据、准确表达的良好学习习惯.在教学过程中,对学生求解不等式(组)的基本训练要自始至终加以关注,而不是一步到位突击进行.如对一些实际问题建立不等式模式之后,同样要关注其求解过程、解的准确性及解释解的合理性,在这个过程中,使学生进一步体会不等式(组)的解与方程(组)的解的异同,体会不等式的意义.4.恰当地把握实际背景题目的难度,关注学生多角度的思考.关于一元一次不等式(组)的应用,最重要的是帮助学生建立不等意识,学习将实际问题数学化.有实际背景的题目要控制在教材例、习题水平,不要人为的加大难度.相应地教师要鼓励学生自主探索与合作交流,多引导学生主动地从事观察、实验、猜测、验证、推理与交流等活动.要鼓励解法多样性,如,对某些实际问题学生可能用方程、函数知识处理,只要能够解释其合理性就应当鼓励不必强求统一.发展学生的思维策略促进学生一般数学观的建立.5.关注学生学习个性,提高学生的学习积极性.尊重学生的个体差异,关注学生的学习情感和自信心的建立.全日制义务教育《数学课程标准》指出“学生的个体差异表现为认知方式与思维策略的不同,以及认知水平和学习能力的差异,教师要及时了解并尊重学生的个体差异,满足多样化的学习需要”.不等式的教学同样要提倡解决问题策略的多样化,发展学生的学习个性,允许出错,鼓励异端.特别是对学有困难的学生教师要耐心倾听他们的看法,适时引导增强其学习的兴趣和自信心.对于学有余力的学生,要多提供一些材料,指导他们自学发展他们的数学才能.例如,对于本章后一个读一读的学习,教师可以提供有关简单线性规划的材料让学有余力的学生阅读,尝试解决一些简单的实际问题从中体会最优化思想.本章总的评价建议1.关注学生学习过程的评价“对学生数学学习过程的评价,包括参与数学活动的程度、自信心、合作、交流的意识,以及独立思考的习惯、数学思考的发展水平等方面”(课标第87页).本章的教学要特别关注学生在建立不等式模型的过程中的表现,如,是其独立思考还是合作交流获得的?思考的是否有条理?学生的阅读理解、符号表达、求解不等式(组)等基本能力较以前的学习是否有所发展.及时发现学生的点滴进步,及时鼓励.
2.恰当评价学生的基本知识和基本技能落实双基是《课标》的基本要求,对于学生在提出问题、分析问题、解决问题的能力培养方面,要注意循序渐进,螺旋上升,恰当引导,不可要求过高.例如,对于运用不等式(组)解决简单的实际问题,学生不一定就能一次完成好,但只要有闪光的地方(例如,能够借助列表,画相应的函数图象等方法来分析),就要给予鼓励.3.恰当评价学生对不等式内容的实质性认识关注学生对问题的实质性认识与理解,不强求形式化的模仿和机械记忆(如对不等式的3条基本性质,不强求学生背过,而要关注学生对它的理解与灵活运用).要鼓励多角度的思考问题,不强求形式的统一.第1章分解因式
一、主要内容与知识定位分解因式主要学习分解因式的概念、会用两种方法分解因式,即提公因式法、平方差公式和完全平方公式(直接用公式不超过两次)进行因式分解(指数是正整数).学习分解因式最主要的是为解高次方程作准备,另则学习对于代数式变形的能力和体会分解的思想、逆向思考的作用
二、设计思路本章的教学目标
1、经历探索分解因式方法的过程,体会数学知识之间的整体(整式乘法与因式分解)联系.
2、了解因式分解的意义,会用提公因式法、平方差公式和完全平方公式(直接用公式不超过两次)进行因式分解(指数是正整数).
3、通过乘法公式(a+b)(a-b)=a2-b2,(a±b)2=a2±2ab+b2的逆向变形,进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力,发展有条理思考及语言表达能力.为了达到上述目标本章教材的主要设计思路是本章教材是在学生学习了整式运算的基础上提出来的,事实上,它是整式乘法的逆向运用,与整式乘法运算有密切的联系.分解因式的变形不仅体现了一种“化归”的思想,而且也是解决后续——分式的化简、解方程等——恒等变形的基础,为数学交流提供了有效的途径.分解因式这一章在整个教材中起到了承上启下的作用..根据《标准》的要求,本章教材介绍了最基本的常用分解因式的方法提公因式法和应用公式法(平方差公式、完全平方公式).从全章的引入到每一节课的引入,立足渗透类比这种重要的思想方法.通过如类比因数分解的意义导入因式分解的意义等.另外本章的设计体现了以问题串的形式创设问题情境的指导思想,如观察多项式x2-25和9x2-y2,它们有什么共同特征?能否将它们分别写成两个因式的乘积?与同伴交流你的想法等,让学生经历观察、发现、类比、归纳、总结、反思的过程,感受整式乘法与因式分解之间的互逆变形关系,发展学生有条理的思考及语言表达能力.本章在呈现形式上力求突出通过因数分解与因式分解的类比,让学生体会、理解、认识因式分解的意义;对比整式的乘法设置了探索因式分解方法的相关活动,让学生感受整式乘法与因式分解之间的这种逆向恒等变形的价值;通过设置恰当的有一定梯度的题目,关注学生知识技能的发展和不同层次学生的学习需要.
三、章节内容分析1.分解因式经历从分解因数到分解因式的类比过程;了解分解因式的意义,以及它与整式乘法的关系;感受分解因式在解决相关问题中的作用.本节以类比因数分解来引入因式分解的学习教学时教师可以创设这样的问题情境:在小学我们曾经学习过因数分解我们知道利用因数分解可以简化运算、研究整数的性质等例如教材上给了我们一个例子………,这样我们很快发现能被100整除教师组织学生研究这个数还能被哪个整数整除?教材中每一步变形的依据是什么?在这里解决问题的关键是什么?让学生广泛发表自己的见解教师继续创设问题情景你想过没有,类似的整式可以不可以分解成几个整式的乘积呢?你是否试着举例说明呢?…………P97的想一想答案不惟一,不必要求一个学生个都说全只要说出一个就给予鼓励关于教材P98的做一做,立意不只是复习整式的乘法,而是反过来观察这个变化过程,引入因式分解的概念,以渗透两者之间的关系因式分解的概念只是一个描述性概念,并不严格,再次体现“淡化概念,注重实质”的《标准》精神P98想一想目的是进一步明确因式分解与整式的乘法的关系因式分解并不是我们又学习了一种新的运算,而是将我们以前学习的整式乘法的过程反过来表示而已,整式乘法与分解因式都是将整式变形的重要工具处理完本节课的随堂练习之后,一定要引导学生回顾本节课的整个学习过程,使学生从中体会学习因式分解问题的作用学习分解因式的作用主要是为后继学习方程与多项式的恒等变形作准备,虽然内容简单,课时也较少,但是,分解因式问题的提出,实际上是对整式乘法的逆过程的思考并运用,逆向思考的方法也是我们处理一般问题的一个重要方法,而且也是人们发现问题的重要方法(发现问题比解决一个问题更重要)2.提公因式法经历探索多项式各项公因式的过程并在具体问题中能确定多项式各项的公因式;会用提公因式法把多项式分解因式多项式中的字母指数仅限于正整数的情况;进一步了解分解因式的意义加强学生的直觉思维并渗透化归的思想方法.对于提公因式法教师不必归类解析,要尽可能地调动学生积极主动地思考,探究相信学生不管是通过类比提公因数,或者是运用乘法对加法的分配率的逆应用,都能找到公因式,并且将它提出来教材中通过提问题串的不仅仅是为了引出提公因式的概念,更重要的是调动思维,说明算理教学过程中,教师不宜增加难度,关键是让学生理解提公因式的意义与原理3.运用公式法经历通过整式乘法的平方差公式、完全平方公式逆向得出用公式法分解因式的方法的过程,发展学生的逆向思维和推理能力;运用公式法(直接用公式不超过两次)分解因式(指数是正整数)在运用公式法分解因式的两节课中,教师要有意识的引导学生再熟悉乘法公式的来历,以及乘法公式的结构,多注意培养学生认真观察地良好习惯在题目设置上不要过于复杂
四、本章总的教学建议
1、注重使学生经历探究因式分解的方法的过程,进一步发展学生的观察、发现、归纳、总结等能力.探索因式分解的方法,事实上是对整式乘法的再认识,因此,在教学过程中,教师要借助学生已有的整式乘法运算的基础,给学生提供丰富有趣的问题情境,并给他们留下充分探索与交流的时间和空间,让他们经历从整式乘法到因式分解的这种互逆变形的过程,并能用符号合理的表示出因式分解的关系式.如对“运用公式法”的学习,教师可以利用教科书中的问题串或根据需要创设一个新的具有启发性的问题情境,鼓励学生通过独立思考与讨论发现问题情境中的变形关系,并运用符号进行表示,然后再运用所学的知识去解决相关的问题.在这一过程中,学生不仅能够理解、归纳因式分解变形的特点,同时也可以充分感受到这种互逆变形的过程和数学知识的整体性.
2、注重学生对因式分解的理解,发展学生分析问题的能力和推理能力.《标准》中要求学生“能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想,并进一步寻求证据,给出理由或举出反例.能清晰、有条理地表达自己的思考过程,做到言之有理,落笔有据;在与他人交流的过程中,能运用数学语言,合乎逻辑的进行讨论与质疑.”上述要求在前面的“整式的运算”等代数知识的教与学的过程中,已做了大量的落实工作,在因式分解这一章的教学中,教师仍要有意识的培养学生的推理能力,在用符号表示因式分解的公式之前,应引导学生对整式乘法与因式分解互逆变形的规律进行分析、归纳与概括,发现其中的数量关系,并将得到的因式分解的这个关系用符号一般性的表示出来.例如在P100中开始的
(1)
(2)两个问题中,教师应鼓励学生通过合情推理进行大胆推测,并经历利用符号间的运算验证猜测或解决问题这一重要的数学探索过程.
3、有意识的培养学生逆向思考问题的习惯.在探索分解因式的方法的活动中,教师要通过对整式乘法与因式分解之间的互逆关系的探究过程培养学生有条理的思考、表达与交流的能力,引导学生在活动中运用类比的思想进行思考,并自觉地用语言说明变形过程.
4、保证基本的运算技能,避免繁杂的题型训练.符号运算对于数学来说是必不可少的,运用提公因式法和公式法分解因式是学习本章内容的一个重要目标,由于因式分解在后面几章的学习中还可以继续巩固,因此教学中要依据教材的要求,适当的分阶段进行必要的训练,使学生在具备基本的运算技能的同时,能够明白每一步的算理.教学中要避免过多繁琐的运算,不追求试题数量和试题的难度(如直接用公式不超过两次,指数都为正整数等).
五、评价建议
1、注重从具体的因数分解类比得出因式分解的过程,以及探索因式分解方法过程的评价.在本章第一节课的学习中,学生都经历了探索因式分解方法的过程,学生已有的有关因数分解和整式乘法等知识构成了他们进一步学习的基础.评价时要看学生能否积极主动的从事各项活动;能否向同伴交流自己的想法、听取他们的建议和意见等.另外还要考虑到学生在活动的各个环节中能否有条理的进行思考、准确的表达整式乘法与因式分解的互逆变形过程;能否根据整式乘法公式的特点来描述分解因式所用公式的特点等.教师对学生想到的有效方法都应及时予以充分的肯定.
2、对知识技能的评价应注重学生对因式分解意义的理解和应用.
3.关注学生能否选取适当的方法将一个多项式进行因式分解,甚至在分解因式时,可以让学生说明每一步思考的理由.
4.关注学生能否感受到用类比的思想方法去分析、理解整式乘法与因式分解的关系.第三章分式
一、主要内容与知识定位
1、主要内容本章主要学习分式的有关概念,分式的基本性质、分式的四则运算,分式方程的概念、分式方程(仅限于能够化为一元一次方程的分式方程)的解法及其应用
2、知识定位
(1)分式是“整式”之后对代数式的进一步研究,所以研究方法与整式相同如让学生经历用字母表示现实情境中数量关系(分式、分式方程)的过程,经历通过观察、归纳、类比、猜想获得分式基本性质以及分式加、减、乘、除运算法则的过程,体会分式、分式方程的模型思想,进一步发展符号感
(2)“分式”是“分数”的“代数化”,所以可通过类比获得有关的性质、运算法则,要注意培养学生地观察、归纳、类比、猜想等合情推理能力
(3)分式的运算广泛地用到了第三章《分解因式》的内容,可以培养学生的代数推理能力与恒等变形能力
(4)分式方程与一元一次方程一样都是方程范畴的特殊类型,研究的方法类似,但也有不同之处(验根)
(5)教科书中给出的分式不加特殊说明分母都有意义分式是否有意义为第5册的研究反比例函数作准备
二、设计思路本章教学目标⒈经历用字母表示现实情境中数量关系(分式、分式方程)的过程,了解分式、分式方程的概念,体会分式、分式方程的模型思想,进一步发展符号感.⒉经历通过观察、归纳、类比、猜想获得分式基本性质、分式加、减、乘、除运算法则的过程,培养学生的推理能力与代数恒等变形能力.⒊熟练掌握分式的基本性质,会进行分式的约分、通分和加、减、乘、除四则运算,会解可化为一元一次方程的分式方程(方程中分式不超过两个),会检验分式方程的根.⒋能解决一些简单的与分式、分式方程有关的实际问题具有一定的分析问题、解决问题的能力与应用意识.5.通过学习,能获得学习代数知识的常用方法,能感受代数学习的价值从本章的知识定位可以看出
(1)分式、分式方程是解决实际问题的一种模型;
(2)它与分数、因式分解、一元一次方程、反比例函数有联系,可以加强知识之间的纵向联系;
(3)可以培养学生地合情推理能力与代数恒等变形能力为此,教材从设计思路上十分突出以下几点⒈密切分式与现实生活的联系,突出分式、分式方程的模型思想.分式是表示具体情境中数量的模型,分式方程则是表示这些数量之间相等关系的模型为了体现这一点,教材通过土地沙化的实际问题引入分式概念在引入分式方程时,教材设置了有关农业生产、学生郊游等实例,并让学生经历建立“分式方程模型”这一数学化的过程,体会分式方程的意义与作用,培养学生的应用意识在学习分式方程应用时,教材力图使问题贴近学生的生活实际,如房屋租金、交水费、服装销售、糖果定价、购买文具等实际问题,以增进数学(分式)与现实世界的密切联系,提高学生解决实际问题的兴趣与能力,使学生在(知识与技能以外)数学思考、解决问题、情感态度价值观方面都得到发展.
2.突出数学合理推理能力的培养,注重自主探索、合作交流学习方法的形成由于分式是分数的“代数化”,所以其性质与运算是完全类似的因此,教材十分注重观察、归纳、类比、猜想等思维方法的应用如在分式基本性质的探索过程中,采用了观察、类比的方法,让学生在讨论、交流中获得;在分式加、减、乘、除运算法则的探索过程中,采用了类比小学分数的方法,通过观察、猜想获得;分式方程的概念也是通过抽象、概括获得这样,既渗透了常用的数学思维方法,又培养了学生的数学合理推理能力;更重要地是学生在获得这些知识时,形成了自主探索、合作交流的发现式学习方法,这是非常重要的,体现了本次课程改革的核心----努力改变学生的学习方式
3.注重运算法则建立的过程和运算算理的理解程度,适当降低分式纯运算的难度分式的化简、求值、运算,也是代数运算的基础,但它完全类似于分数的学习,因此适当控制难度、注重运算法则建立的过程及对运算算理的理解程度是本章的一大特点如在分式运算方面,教材的例习题难度都不大,运算步骤不多,并注意一题多解;解分式方程时,注重讨论、交流整章中都尽可能地将分式的运算置于实际问题之中,让学生在解决这些实际问题中,探索法则、理解法则、应用法则,体会学习分式、分式方程的价值
三、各小节分析1.分式通过展现实际场景(土地沙化)及“做一做、议一议”活动,让学生抽象、概括出分式的概念;通过分数的化简类比出分式的基本性质具体说明
1.对于P115的例1
(2),可以从两方面理解
(1)类比分数(特殊到一般);
(2)字母a本身是可以表示任何数的,这里只是要求作为分母的数a≠0(一般到特殊)
2.P116类比分数的基本性质得到分式的基本性质,要引导学生独立思考、大胆质疑,为什么可以类比?因为字母可以表示任何数对于程度好的学生,也可以运用代数推理如与相等吗?可以大胆猜想,假设≠,则2a≠2a,出现矛盾,所以=
3.分式的约分要用到分解因式,但它只是一种工具,难度不能比第三章难
4.P117的读一读学生对商场购物并不陌生,不同的商场对顾客的吸引力不同,也不难理解;但是,用分式方程表示这个吸引力的大小对学生却是陌生的、具有桥战性的教学中,要引导学生从理解F与S、F与d2的关系去理解公式的合理性学生可能会问“为何分母不等于d而等于d2?”可以告诉学生“这是根据物理学中的万有引力定理”;当然,将公式写成也是对的,只是会改变k的大小也可以让学生通过自己附近所在商场的具体情况验证这个公式的合理性,从而体会数学的价值2.分式的乘除法通过类比分数,在猜想、交流活动中获得分式乘除法运算法则,并用数学符号语言表示;最后在“西瓜问题”中体会运算算理、培养运算技能与代数推理能力具体说明
1.P120的猜一猜
(1)一定要让学生全面参与,独立思考,并说一说他们是怎样想的?为什么可以这样想?
(2)在学生广泛交流的基础上,自己总结分式乘除运算法则,并用数学的符号语言表示
2.P121的做一做
(3)对于现阶段的学生来说具有一定的挑战性,需要用变化观点(函数思想)来认识和解释该问题在中,当是常量时,的值随着R的值的增大而增大;可以引导学生使用计算器代值验证、进行估推3.分式的加减法在实际问题情景中体会学习分式加减法的必要性,进一步体会分式的模型思想;通过类比分数,在做一做活动中得到运算法则;通过类比,在例1中尝试最简单的异分母分式的加减运算,在此基础上过渡到较复杂的异分母分式的运算“做一做”,并在例3中强化运算技能、代数推理能力与建模能力具体说明
1.P123的场景
(1)教学时,要关注学生对分式建模能力的培养;
(2)问题2涉及比较两个分式的大小学生可能知道两式做差但是写成的差式中谁作被减数不唯一只要写的正确就要给予肯定
2.P124的做一做
(1)应相信学生通过类比分数的加减,经过自己的尝试可以得到分式加减的运算性质,教师千万不要代替学生思考,告诉学生答案;
(2)对于学生出现的错误不能简单地否定,而要让他们找到错误的根源例如:如果学生这样计算:教师可以这样引导”你规定了一个新的运算这个运算一定成立吗……上式对于任意不等于0的数a都成立吗给a一个值试一试.
3.P126例32是利用“求差法”比较两个分式的大小,进行代数推理;对一部分学生来说可能有困难,教学中可根据实际情况适当说明4.分式方程通过三个实例让学生经历建模的过程,经历由具体到一般的抽象、概括分式方程概念的过程从而体会分式方程的模型思想;通过等式性质研究分式方程的解法,在议一议活动中发现分式方程与一元一次方程解法的不同----验根;最后通过P134的两个实际问题及P136的习题,让学生再次经历“实际问题---分式方程模型---求解---解释解的合理性”的过程,体会分式方程在实际问题中的广泛应用,以培养学生分析问题、解决问题的能力和应用意识.具体说明
1.《数学课程标准》只要求“会解可化为一元一次方程的分式方程(方程中的分式不超过两个)”,因此教学中不能随意加深难度
2.P130图4--1的问题BC、AD的长度都是用字母表示的,有些学生理解上可能有困难不把其当做已知量,教师可以根据学生的实际情况灵活处理比如开始时把BC、AD给成具体的数值确保学生运用相似列出分式方程并提醒学生这种利用图形的性质建立等量关系的方法也是研究问题的一种常用方法渗透数形结合思想方法
3.P131--132的解方程验根问题提到为止,无须做过多的解释,但对于能提出问题的学生,教师要及时给予鼓励严格来讲凡是解方程都应该检验因为解方程的步骤实际上是先假定了方程有解,所以必须检验所得到的解是不是原方程的解.解一元一次方程之所以可以省略检验是因为每一步变形都有相应的同解原理作保证,解分式方程之所以必须检验是因为解方程的过程有出现了非同解变形
4.P134的场景和例3教学中,可以让学生创编收电费、卫生费等问题,发展学生提出问题、分析问题、解决问题的能力如P212总复习题30这样类型的问题
四、一些建议
(一)教学建议
1.在学生经历用字母表示实际问题中数量、数量关系的过程中,应鼓励学生独立思考、自主探索与合作交流,教师不能代替学生的各种活动
2.为了让学生在观察、类比、猜想、尝试等活动中学习分式的运算法则,发展学生的合理推理能力,教科书提供了丰富的素材,教学中反对直接给出定义,并让学生死记硬背及进行大量单纯的运算,要将重点放在对法则的探究过程上,使学生充分活动起来,在观察、类比、猜想、尝试等一系列思维活动中自觉地发现法则、接受法则、应用法则;另外,要关注学生对算理的理解以及解决简单的实际问题的能力,以培养学生代数语言的表达能力、运算能力和有条理思考问题的能力
3.分式方程的解法,只要求掌握可化为一元一次方程的分式方程方程中分式不超过两个
4.分式方程的应用,要有意识的培养学生的阅读理解能力,鼓励学生从多角度思考问题,采用不同方法寻求等量关系并用分式方程表示,并会检验、解释计算结果的合理性
5.创造性使用教材
(1)P117的读一读可以作为实践活动,让学生真正走上社会做调查(查阅资料、采访商场管理人员、询问购物人群),经历收集数据、分析处理数据的过程,发现相关因素、相关因素之间的相互依赖关系,最后尝试建立模型
(2)根据所给的方程编一道联系实际的应用问题,不解方程
(二)评价建议
1.注重过程性评价在本章学习中,教科书呈现了大量的具体问题抽象数量关系的实例,目的是让学生经历观察、抽象、类比、猜想等思维过程所以,评价应关注学生在这些具体活动中的投入程度-----能否积极主动地参与各种活动,如在分式方程学习中,有无检验分式方程根的意识?等等其次是看学生在这些活动中的思维发展水平----能否独立思考,能否用数学语言分式、分式方程表示自己的想法,能否反思自己的思维过程发现新的问题,如解分式方程与解一元一次方程有哪些联系与区别等
2.关注学生解决实际问题的能力.解决实际问题是数学学习的归宿为此,教科书设置了丰富的实例,这些实例涉及了工业、农业、环保、学生生活实际、数学本身的方方面面评价时应关注学生从现实生活中发现并提出数学问题的能力,能否尝试不同方法寻求问题中数量关系并用分式、分式方程表示,能否表达自己解决问题的过程(自然语言、符号语言),能否获得问题的答案并检验、解释结果的合理性
3.延迟评价学生运算的熟练程度.分式的运算是提高代数恒等变形能力的一个基础,但不能因此就加大运算量与题目的难度,应遵循教村的基本要求,要允许学生经过一定的时间,达到课程标准要求的目标,要把评价重点放在对运算法则的探索过程以及运算算理的理解程度上第四章图形相似
一、主要内容及其定位
1、知识内容本章主要学习形状相同的图形及其线段的比、成比例线段、相似多边形、位似等的基本性质,探索并体验相似在现实生活中的广泛应用
2、价值与七年级(上、下)、八年级(上)中涉及的全等图形相比,形状相同的图形不仅是现实世界运动变化的最简捷形式之一,而且是现实生活中更为广泛存在的现象(全等图形其实就是它的一个特例)事实上,探索相似图形的一些重要性质,不仅是认识、描述物体的形状,更好地刻画现实世界的必要手段,而且也是解决现实世界中的具体问题,进行数学交流的重要工具
3、前后联系现实世界中既有图形的合同变换,也有图形的相似变换,在义务教育阶段是学生接触相对完整的图形变换,是义务教育的性质所决定的本章是继“图形全等、三角形全等”之后集中研究图形形状的内容,不仅是对图形全等内容的进一步深化和发展,而且是对图形研究方法的综合运用学习本章有关内容,不仅是第三学段“图形的认识”、“图形与变换”等部分的重要目标,而且也是密切数学与现实之间必然联系以及“图形与空间”各部分之间内在联系的重要桥梁
二、设计思路与全章教学目标全章教学目标
(1)结合现实情景了解线段的比、成比例线段,通过建筑、艺术等方面的实例了解黄金分割.
(2)通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似,通过具体实例认识形状相同的图形(图形的相似)
(3)经历探索相似的图形性质的过程,知道相似多边形的对应角相等,对应边成比例,面积的比等于对应边比的平方.
(4)理解两个三角形相似的概念,探索并掌握两个三角形相似的条件.
(5)了解图形的位似,能够利用位似等方法将一个图形放大或缩小;利用图形的相似解决一些实际问题.为实现上述教学目标本章的设计思路是立足学生已有的生活经验、初步的数学活动经历以及已经掌握的有关数学内容,分别从观察和分析生活中大量存在的成比例线段、黄金分割、形状相同的图形入手,直观地认识形状相同的图形,逐步探索和了解相似多边形、相似三角形的性质和判定条件;通过测量旗杆的高度、相似多边形面积、周长问题的综合运用,使学生更好地掌握图形相似的基本内容,进一步体会图形相似的应用价值和丰富内涵;同时,通过将一个图形放缩,了解位似及其简单特性,将图形的相似、位似与已经认识的“图形与坐标”、“简单作图”、估测等内容巧妙地结合在一起在整章内容的编排中,体现以直观几何、操作几何为主体风格、以已经出现的各种方法的综合运用为手段,从所研究的图形的难度(由图形的大小、形状完全相同,到形状相同)、研究方式方法的综合程度等方面,提高学生认识、把握和研究“空间与图形”的水平本章所涉及的学习素材包含了大量与相似图形有关的现实物体、现实问题等内容,反映数学在建筑、艺术等方面的广泛应用、体现数学丰富的文化价值的内容,既可以很好地体现图形的相似作为联系数学与现实生活、科技发展的桥梁作用,也可以很好地呈现相似图形丰富的数学内涵本章的每节内容都力图提供生动有趣、便于学生活动、交流的问题情景,并通过深入观察、分析、动手、动脑等操作性活动,进一步丰富学生对图形相似等内容的正确理解和准确把握,形成有关图形相似比较全面的认识整个设计意图,不仅在于引导学生观察和自觉分析生活现实和数学现实中的图形相似现象,自觉总结图形相似的有关特征并自觉地应用到现实之中,逐步形成正确的数学观,而且在于通过“图形相似”,进一步丰富学生的数学活动经验和体验,在学习中有意识地培养学生积极的情感、态度,认识数学丰富的人文价值,促进观察、分析、归纳、概括等一般能力和审美意识的发展
三、章节内容分析1.线段的比本节设计的基本思路在于,创设一个恰当的问题情景,促使学生自觉地认识现实中的比例模型,在解决问题的氛围中了解线段的比在教学中,宜结合现实情景使学生真正了解线段的比、成比例线段;理解并掌握比例的基本性质及其简单应用.其中,引入比值k的方法是值得注意的教学要点当然,添加“表示成比值k,那么,=k或AB=k•CD”的目的在于,为简化比例的性质(尤其是传统意义下的合比、分比、等比定理等结论),将所有的比例运算转化为代数运算2.黄金分割黄金分割是《课程标准》明确提出的内容,学习这些内容,不仅实现段比例的要求,更是体现数学的文化价值、体现数学与建筑、艺术等学科必然联系的你纽带在教学中,建议通过建筑、艺术上的实例引入黄金分割,使学生真正体会其中的文化价值,同时,在应用中进一步强化线段的比、成比例线段等相关内容3.形状相同的图形本节既包括生活中物体的相似、三维图形的相似,也包括平面图形的相似,但是,并没有给出明确的“图形相似”的定义,而是仅仅渗透图形相似的基本涵义,引入“形状相同的图形”,通过大量现实模型、事例,使学生认识、感受形状相同的图形的基本含义,从整体上把握“形状相同”的内涵通过“用橡皮筋画形状相同的图形”、通过平面直角坐标系下坐标的变化初步感受平面图形的相似为此,建议在教学中,通过典型实例观察和认识现实生活中物体的相似,并结合具体实例认识形状相同的图形(图形的相似)体会图形相似在现实中的广泛存在性以及数学的人文价值进一步提高数学应用意识4.相似多边形本节意在“图形相似”的基础上,通过学生的操作、观察,得到“相似多边形”更具体的内涵,初步掌握多边形的基本性质,进一步发展数学思维水平为此,在教学中,建议在实际情景中认识相似多边形的基本涵义;经历探索相似多边形概念的过程,初步掌握相似多边形的对应角相等,对应边成比例的性质;在探索相似多边形的过程中进一步发展学生归纳、类比、反思、交流等方面的能力,提高数学思维水平,体会反例的作用5.相似三角形本节的基本思路是,在上节的相似多边形的基础上,从一般到特殊,进一步研究相似三角形的基本概念、基本性质,学习相似三角形简单应用为此,教学中,要注意理解两个三角形相似的概念,通过一些具体的情景和应用,深化对相似三角形的理解和认识;进一步体会数学前后内容之间的内在联系,初步认识特殊与一般之间的辨证关系,发展学生的数学兴趣和学习的自信心6.探索三角形相似的条件本节的基本思路是,在上节的相似三角形的的基本概念、基本性质的基础上,通过直观方法探究相似三角形的判断方法,学习相似三角形简单应用尤其是,对于图形相似方法的判定,本套教材是以三角形的相似判定为根基的,在教学中,要注意落实到位通过本杰(单元)的教学,要突出“经历两个三角形相似条件的探索过程”,进一步发展学生的探究、交流和动手、动脑、手脑和谐一致的习惯;使学生初步掌握两个三角形相似的条件,包括两角对应相等的两个三角形相似,三边对应成比例的两个三角形相似,两组对应边成比例、夹角相等的两个三角形相似;能够运用三角形相似的条件解决简单的问题,进一步发展学生的合情推理能力和初步的逻辑推理意识7.测量旗杆的高度测量某些不能直接度量的物体的高度,是综合运用相似的良好机会,同时,也可以很好地体现学生个性化的学习特征,实现学生之间的合作、交流作为相似三角形综合应用的良好素材,本节课的基本定位是在学生的自主探索的活动中综合运用三角形相似的各种方法,建议采取活动课的形式,可以先经过讨论、进行方案设计,而后进行户外的实际测量当然,被测物不一定是旗杆,其它的物体(如,楼房、树、水塔等)也可以在教学中,通过测量旗杆高度的实际问题,使学生综合运用判定三角形相似的条件解决问题,发展学生数学应用意识,提高学生对相似三角形的理解和认识;在分组合作活动以及全班交流过程中,进一步积累数学活动的经验和成功体验,更好地奠定数学学习的自信心8.相似多边形的周长比和面积比探索相似多边形周长比、面积比的有关性质,是多边形相似的重要内容,对此,《课程标准》也有明确界定在教学中,引导学生探索、发现周长比是教学的难点,其中,用好比值k的方法以及线段比的有关内容是关键通过本节的教学,要达到如下目标
1、经历探索相似多边形性质的过程,并在探究过程中发展学生良好的情感、态度、价值观,体验解决问题策略的多样性;
2、理解并初步掌握相似多边形周长的比等于相似比、面积的比等于对应边比的平方并能用来解决简单的问题.9.图形的放大与缩小将一个图形放大与缩小,是极具挑战性的问题,虽然前面已经接触到利用橡皮筋将一个图形放大,但确实近似的方法,同时,其中的一些基本道理也尚未说明这正是本节的教学要点之一事实上,本节所涉及的位似图形是一种特殊的相似图形,而相似图形未必都能构成位似关系在教学中,本节的目标要求是了解位似图形及其有关概念,了解位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比的基本性质;能够利用位似等方法将一个图形放大或缩小;利用图形的相似解决一些简单的实际问题,并在有关的学习和运用过程中发展学生的数学应用意识,进一步培养学生动手操作的良好习惯.回顾与思考建议本部分采用2课时;根据教学实际,教师可以灵活地处理诸如说理等内容,但不宜要求过深,更不要增加诸如“平行截割定理”等证明问题;对于有关的操作性问题,建议认真落实,并在本回顾思考中,引导学生反思、交流,比较其中方法的优劣
四、一些建议1.全章教学建议
(1)尽量从学生现实、生活现实中的大量实例出发呈现图形相似的有关内容,让学生体验图形与现实世界的密切联系,体会图形相似与图形全等等内容之间的内在联系,经历图形相似等有关基本事实来龙去脉的全过程本章的基本定位是“以直观的方式探索图形相似的基本性质,在研究方法、思维方法上有所提高”在教学中,应以现实生活中的大量实例为素材,从学生熟悉的活动出发,对相似图形进行观察、分析,探究和主动应用;进一步培养学生从图形相似的角度分析现实问题、提出有关的数学问题并加以适当的解决,同时,发展学生运用相似图形改善自己生存环境的自觉意识
(2)提倡根据学生实际、教学实际和当地实际创造性地利用与图形相似有关的各种资源进行教学在教学中,教师要引导学生充分挖掘和利用现实生活中大量存在的图形相似现象,并对其中的一些共同规律加以及时的分析、总结,尤其是充分利用具有地方特色的题材;同时,充分利用相对真实的情景以及现实生活中大量存在的图形相似的典型图案进行教学,尽可能全面地体现教学素材的现实性和问题的挑战性
(3)强调学生的动手操作、“在做中学”以及合作交流,让学生亲身经历观察、画相似图形、探索相似的性质和条件等活动过程,帮助学生积累有关数学操作活动的经验和对图形美的体验,并在这个过程中,通过独立思考、自主探索和合作交流,进一步体验图形相似的数学内涵,获得有关相似图形的知识和一定的成功经历,形成有关的简单技能,体会学习的乐趣,发展思维,学会学习本章中的许多内容需要学生对图形进行观察、动手操作和直观发现,如利用橡皮筋、方格纸等手段画形状相同的图形,探索三角形相似的条件等,虽然其中涉及说理和简单推理,但不要求证明教学中应充分利用这部分内容的特点,将观察、动手操作等实践活动贯穿于教学过程的始终;经过大量的观察、动手操作等实践活动,使学生积累丰富的数学活动经验,获得对有关图形相似内容的理解性掌握
(4)重视学生个性化的学习需求,有意识地提高学生分析和解决已有的图形问题、发现新的图形相似问题以及自觉地进行说理(和简单推理)等方面的能力本章许多内容的编排,始终贯穿一个思想---有意识地满足学生多样化的学习需求,真正为学生提供个性化学习的时间和空间如,画出一个相似图案,不同的学生可能提出不同的思路和方法(如,通过橡皮筋,方格纸,复印机,尺轨作图,利用计算机软件等),对此,建议教师充分发挥学生的能动性,通过适当的交流、合作达到学生的共同进步和不同的成长结果(即不同的学生获得不同的数学学习结果)
(5)重视发展学生对相似图形的分析、欣赏和一定的审美意识,有意识地引导学生从文化的角度把握和驾驭黄金分割、图形相似等数学内容本章教材的编写,十分注重体现数学的文化价值,并适时地插入介绍一些有关数学发现与数学史的知识,以及数学在建筑、美术、音乐等领域的广泛应用的典型事例,不仅在于丰富学生对数学发展的整体认识,对后续学习的激励作用,而且在于体现数学对人的全面发展的育人价值
(6)注意体现处理图形问题的研究方法、思维水平的螺旋式上升的编排原则,关注相关数学内容之间的联系和综合运用作为本套教材的第4册,本章在内容上是从前3册集中在“图形的合同”发展为集中研究“图形的相似、位似”,但仍采取直观发现、活动操作的形式;在学生思维水平上,学生已经经历了从佐证、说理到简单的一步推理、两步推理的过程,必须在本章内容的学习中体现从直观发现到自觉说理的过渡,为本册最后正式出现证明打下坚实的基础2.评价建议
(1)关注学生参与观察、分析现实生活中的相似图形,参与相似图形的画图、性质探究等数学活动的主动程度,对有关问题的好奇心、求知欲以及合作交流的意识
(2)关注学生能否从图形相似的角度识别现实生活中大量存在的有关现象和规律,能否对简单的图形作适当的分析,真正理解和掌握有关图形相似、三角形相似、位似的基本概念和基本性质;关注学生对有关的操作技能、基本的合作意识的熟练程度,以及在运用图形相似解决有关问题的活动中所表现出的创新意识
(3)评价学生能否在具体情景中根据问题需要进行恰当的操作,并用适当的语言表达和交流自己的学习体验、学习结果,如根据问题的需要作出适当的相似图形,向他人展示自己的“作品”,与同伴交流各自的体验,用适当的语言对自己在相似图形操作活动中的一些做法给出适当的解释和简单说理等
(4)本章定位于以直观几何为主体、附以一定程度上的说理和简单推理有关的相似图形的探究活动可以通过多种方式,既可以直观操作,也可以在计算机上演示为此,教师要特别关注学生个性化的学习需求以及对个性化学习的恰当评价;同时,宜在过程性评价中安排数量适当的“长作业”(如利用相似解决有关的问题),在笔试中安排比例适当的操作题;并根据过程性评价和终结性评价两个方面的结果,从定性、定量两个角度综合地呈现评价结果
(5)在探究图形相似的特性、解决有关问题过程中,恰当评价学生的创新意识和实践能力,关注学生对数学的文化价值的理解和认识尤其是对学生自主探索意识的评价,应主要体现在对相似图形性质、条件的探索过程之中要充分关注学生解决问题的过程及所表现出来的差异,同时注意发挥学生在数学问题解决过程中的自我评价的作用课题学习制作视力表
1、整体设计思路《标准》设置课题学习的主要目的之一,在于体现数学与其他学科之间的必然联系,体现数学内部的数与代数、空间与图形、统计与概率之间的联系本册教材刚刚学习“图形的相似”,设计“制作视力表”正好能够体现数学与学生视力健康、眼科医学的必然联系事实上,诸如视力表等问题,几乎天天见到,但很少有人认真思考其中的道理---图中的字母是相似图形吗?、能根据空间的实际随心设计视力表、而测试的效果是相同的吗?为此,本课题学习旨在结合前面学过的图形相似的有关内容,为学生创设有利于操作、实践的情景,不仅能够综合运用有关的知识、技能,而且能够发展学生的综合能力,提高分析问题、解决问题的能力,初步形成主动用数学的意识
2、与本册“图形的相似”的关联视力表中的字母彼此之间是相似图形,具有固定视力的人在不同距离处能同样清楚地看到的E字图形是相似图形,相似比与距离的比有关完成设计视力表,可以多次运用图形相似的知识和方法,多次运用比和比例
3、教学目标分析主要包括三个方面探索视力表中蕴含的数学知识,体会视力表的制作原理,进一步发展学生综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力进一步理解相似图形及其相似比、位似图形及其位似比等有关内容体验从数学的角度观察、分析现实生活中的某些现象,初步形成“用数学”的自觉意识
4、建议与案例分析建议在教学中体现本单元的几个步骤---引导学生发现字母E之间的相似关系;可以用E的高与它到眼睛的水平距离之比来刻画视力;根据一个已知的标准视力表,结合前面的结论制作测试距离变更后的视力表1安排2课时进行教学2教学方式宜小组合作的方式3一个具体的案例分析“制作视力表”课堂教学实录附《测量旗杆的高度》案例设计与点评教材义务教育课程标准实验教科书数学(八年级下册,新世纪版)教学目标
1、在测量旗杆的具体问题情境中,进一步理解相似三角形概念及其性质
2、应用相似三角形概念及其性质解决有关实际问题,发展学生的数学应用意识
3、积累数学操作活动经验,培养学生的问题意识,提高分析问题和解决问题的能力教学重点能灵活应用相似三角形的性质解决有关实际问题教学难点不同条件下解决实际问题中数学操作活动的原理及其方法的选取教学过程(说明—本节内容2课时,第一节是室外测量活动课,下面展示的是第二节内堂课的实录)
(一)导入新课---问题情景教师同学们,我们知道数学来源于生活,反过来又为生活生产服务今天我们一起来交流和探讨利用相似三角形的有关知识测量旗杆高度的问题计算机显示课题测量旗杆的高度教师我们已经让大家分组完成测量我们学校的旗杆的高度问题哪个小组把你们的测量结果向大家汇报一下?
(二)进入新课---尝试建立模型小明让我们小组先来吧教师你们是星期六完成的吗?小明不是教师为什么?小明下小雨了教师噢,那是什么时候完成的?小明星期天完成的,星期天有太阳(大部分小组是在星期天完成的,有些小组是在星期六完成的)教师能把你们组测量的数据展示给同学们吗?小明可以(实物投影展示)记录表(长度单位CM)时间小明身高小明影长小明身高/小明影长旗杆影长旗杆高度8001602280.70142512001601241.2977519001601820.881138教师通过测量这些数据你发现了什么规律?小明早晨太阳刚升起,我的影长比身高长;正午时,我的影长比身高短;太阳快落山时,我的影长比身高又长了教师还有要补充的吗?小明小组没有了教师请坐教师小兵,你们组呢?小兵和小明他们组一样(用实物投影展示)记录表(长度单位CM)时间小亮身高小亮影长小亮身高/小亮影长旗杆影长旗杆高度8001722450.701424.512001721331.2977519001721960.881139教师其他同学还有什么发现吗?学生没有了学生1小明和小亮身高虽然不一样,但在同一时刻,小明身高与影长之比与小亮的身高与影长之比相等教师太棒了!这个比值与你们组的计算的结果相比呢?学生1一样的.教师很好,请坐(板书在同一时刻,两个物体的高度与它们的影长成比例)教师根据你们测量的数据能求出旗杆的高度吗?学生可以教师全班一起计算旗杆高度,计算出结果后告诉老师教师算好了请举手……“学生2”请回答学生
29.98米教师请坐有不同答案吗?学生
39.99米教师请坐教师大约是10米,还有其它答案吗?学生都差不多教师谁来说一下,你是如何求出旗杆高度的?学生4在同一时刻,旗杆及影长、旗杆的顶端和影子的端点连起来可构成一个直角三角形;同样人及影子、头顶和影子的端点连起来也可构成一个直角三角形这两个直角三角形相似,所以小明身高比小明影长等于旗杆高度比旗杆影长把小明身高、影长及旗杆影长的数值代入即可以求出旗杆高度教师很好,还有哪位同学想补充学生5我觉得在同一时刻即早上800时,我用小明的身高与小明影长之比
0.7去乘以旗杆的影长
14.25就可以了教师:他们说的对吗?学生都对(大屏幕显示)教师事实上,他们都是利用构造相似三角形的办法求出旗杆的高度的,与小明占的位置有关系吗?学生没有关系教师演示(拖动鼠标,变换△DEF的位置)教师这里必须具备一个条件晴天有阳光学生6老师,如果是夜晚他们小组的这种方法还可以这样测量吗?显然不行学生不行!……可以!有月光也可以教师这个问题提的很好!要是在阴天,你们还能测出旗杆的高度吗?
(三)深化新内容---解释、应用和发展……四人小组可讨论一下,看有什么办法可以测出旗杆高度?学生8可以用吊车把人吊上去,皮尺测量旗杆的高度学生7这样做是不是成本太大了,要花很多钱的.学生9可以用照像机学生7怎样做?学生6让一个人站在旗杆下照一张照片,测一下照片上旗杆是照片中的人身高的几倍,而人的身高是已知的,马上可算出旗杆高度教师完全可以,花钱不太多,想一想能不花钱就测量出旗杆的高呢?学生10先把红旗放下来,拴上一根绳子(或皮尺),然后再升上去,在绳子了上做一个记号,然后再放下来,测出绳子的长度(或读出皮尺刻度)就可以了学生11我补充一下,还要估计红旗升到顶部的位置与旗杆顶端还差多少教师很好!请坐还有吗?学生12:可利用刻度尺进行目测,我们小组就是这么做的教师你给大家演示一下怎样目测学生12就这样……(大屏幕演示)教师是这样吗?学生12是的教师需要测出哪些数据?学生12测出BF的长,再测出眼睛到尺子的距离就可以了过E作EM⊥CD于M,就有EM/BF=CD/AB把EM、BF的值及CD的读数值代入就可以求旗杆高AB了学生13我有些太懂,BF不在三角形里,怎么比?学生14BF可看作E到AB的距离,利用相似三角形对应高的比也等于对应边之比求解学生13懂了教师哪个小组还有还有没有其它方法?……教师你们在家站在穿衣镜前看不到脚怎么办?学生往后退一点学生15我知道啦,可以把镜子放在地面上利用镜子的反射来求旗杆的高教师能给大家讲清楚你怎么做的?学生15我想找一个人帮忙,比如小颖,让小颖站在离开旗杆底部大约10米左右的地方,把镜子放在她与旗杆之间,靠近小颖的地方,小颖只要通过镜子能看到旗杆顶端就可以了教师(用计算机大屏幕演示)教师是这样吗?学生15是的,若看不到旗杆顶端,就让小颖向前或向后移动一下就可以了,这时只需要测出BC、CD的长,小颖的身高是
1.65米,即AB/DE=BC/CD学生16你怎么知道△ABC与△EDC相似呢?学生15利用光的入射角等于反射角教师很好都请坐这里是不是可以返回到方案
(一)中,若有阳光的晴天里,把镜子放在旗杆影子的顶端,让小颖站在旗杆影子上使她的头部的影子与旗杆影子的顶部重合,这就可近似地∠DCE=∠ACE了吗?学生16噢,是个好办法!教师今天的课就上到这,有兴趣的同学写课后可以再想一想,还有没有其它的办法求旗杆的高度?
(四)回顾与总结教师下面请同学们想一想你这节课有哪些收获?学生17我学会了测量旗杆高的多种方法学生18学会了运用相似形的有关知识求旗杆的高学生19我体会到交流的快乐大家有不同的方法,彼此交流使我们互相学习教师很好!学生20相似三角形及其性质有着广泛的应用学生21要灵活的应用相似三角形的知识,应根据具体情况选用不同的方法晴天时利用物高与影长成比例(包括使用小镜子);阴天时使用手拿刻度尺进行目测也可以使用小镜子入射角等于反射角原理得到比例教师当然,晴天时也可以使用手拿刻度尺进行目测的办法大家总结的都很好,我们既要注意把现实问题抽象成数学问题,比如构造相似三角形解决一些实际问题还应注意根据具体情况,(比如晴天与阴天)灵活地选用不同的操作方法通过今天的学习,你们还有哪些疑惑?学生20有些方法我们想不到怎么办?教师应该仔细地观察生活,理解题意,分析问题所处的环境,多尝试不同的数学操作活动,探索解决问题的策略;只要多动脑、勤操作,相信同学们一定比我行!(学生鼓掌,教师板书观察生活——理解题意——分析条件——操作活动)学生22利用相似三角形能不能测量其它物体的高?学生23可以的,比如树高、电线杆、楼房的高度等教师金字塔是古代埃及的著名建筑,它的底部很大,它的高度是如何测量的?请同学们先阅读课本中的“读一读”内容,再想一想操作活动的办法,下一节课我们再交流布置作业P70习题
2.
91、
2、3(下课)点评测量旗杆(或建筑物)的高度,是相似三角形知识应用的一个典型现实问题从本节课的教学过程,我们可以看到教师在处理和把握上有如下的特点
1、立足于以展示数学活动和合作交流的方式组织教学教师首先检查了所安排的活动“不同时刻,身高与影长的比例关系”小组合作的完成情况,从活动经验中得到“在同一时刻,两个物体的高度与它们的影长成比例”这一数学活动事实,并把它应用到求旗杆高度问题中,过渡自然,应用合理在新课程实施时,我们必需清醒的看到在基础知识和基本技能游刃有余的背后,隐藏着解决实际问题时数学操作经验缺乏的严重问题在本节课的教学中,针对各种不同条件下测旗杆高度问题,教师都以组织学生开展数学活动和合作交流为基本的教法和学法
2、注意培养学生的问题意识在数学课堂教学中,我们经常讲“培养学生分析问题和解决问题的能力”,但基本上由教师包办代替了,而“由学生主动的提出问题”基本上做不到可以看出,本节课教师在培养学生问题意识中所设计的问题串大致是
(1)在同一时刻,两个物体的高度与影长有什么关系?
(2)旗杆的高度与人所站的位置有关系吗?为什么?
(3)还有其他测旗杆高的方法吗?为什么?
(4)在没有影子(阴天)的情况下,还能测旗杆高吗?为什么?
(5)如何才能想到多种办法,灵活地解决问题?在教学过程中有几个闪亮点,如,学生提出了“阴天(没有影子)时,如何测旗杆高?”等问题
3、培养自主探索、合作交流的学习方法和习惯教学中,教师注意发挥学生的主观能动性在活动中及问题提出后,教师并不急于回答,问题完全由学生自主探索、合作交流去解决,教师只是适时的点拨、引导和补充完善(课堂教学与课后点评新疆石河子市樊峰,蒋新林;孔凡哲修改)课题学习制作视力表供大家讨论的问题
1.作视力表的意义是什么?
2.课题学习教学应该注意哪些问题?
一、教学目标⒈探究视力表中蕴含的数学知识,体会视力表的制作原理进一步发展运用数学知分析问题、解决问题的能力.⒉进一步理解图形的相似、相似比,位似图形及其位似比等相关概念及性质;⒊体验用数学的知识观察、分析现实生活中的某些现象,初步形成“用数学”的自觉意识.
二、设计思路本课题结合前面学过的相似三角形及位似图形的相关概念及性质等,通过学生的实际操作意在使学生探究现实生活中某些熟悉事物或现象中蕴含的数学知识,进一步发展学生综合运用数学知识提出问题,分析、解决问题的能力,以初步形成用数学的意识.视力表作为现实生活中大家熟悉的事物,其制作原理是什么?即视力表中各种“E”大小是如何规定的、他们之间有没有一定的换算关系等,本课题是通过探究视力表的制作原理来揭示其中蕴含的数学知识,具体内容按以下步骤呈现步骤1引导学生观察、测量“标准对数视力表”中对应不同视力的“E”的大小长、宽发现标准对数视力表”中“E”形图,实际可以近似看作是相似图形;步骤2和步骤3让学生通过实际操作,体会视力表中对应不同视力的两个“E”,实际可以看作是不同距离处的同一大小的“E”.如步骤2中将视力
0.2的“E”拉近距离后可得到
0.1的视力效果,也即视力
0.1和
0.2所对应的两个不同的“E”,可看作是不同距离(图4中的l
2、l1)处的同一大小的“E”(视力
0.2的“E”).现实生活中的视力表所对应不同视力值的“E”,可以看作是不同距离处同一大小的“E”(选取一定大小的“E”和相应的测试距离为基准).步骤4变更基准测试距离,设计相应视力表;步骤5调查可能的视力表类型并写出调查报告.本课题学习共用2课时
三、教学建议⒈以小组合作式展开学习,鼓励在实际操作中展开积极讨论和交流.⒉活动过程中,注意学生测量活动的科学性、准确性,操作活动的规范性(如步骤2和步骤3);引导学生思考视力表的制作原理,而不仅仅是关注于得出测量结果,重视对实验结果的反思和交流;鼓励学生积极表述活动中探究发现的结论或反思后的结果.⒊活动结束,可进一步启发学生思考实际生活中可能蕴含某些数学知识的社会现象,以培养他们用数学的眼光洞察现实世界的意识.
四、评价建议 ⒈关注学生的合作意识、协作能力、交流能力以及表达能力.如步骤2的小组合作中,关注每个学生对活动的参与程度,与小组成员的交往、协作能力,得到实验结果后与他人的交流、表述等. ⒉关注学生对实验结果的反思能力; ⒊关注学生的自主调研能力(如步骤5); 4.关注学从视力表中发现的数学事实.第五章数据的收集
一、内容定位与知识联系前3册的学习中,学生已经初步经历了一些数据收集的过程,获得了一些数据收集与处理的活动经验但对于数据收集的方法,学生尚多是凭借一些生活的经验,对此缺乏一种理性的思考为此,本章将介绍数据收集的两种常用方法-----普查和抽样调查,并希望通过实际问题的讨论,让学生明确两种方式的特点,从而能够具体情境的要求中选用适当的调查方式在8年级上学期,学生已经研究过刻画数据“平均水平”的几个尺度,具备了一定的数据处理的能力但仅有“平均水平”,还难以准确地刻画一组数据,日常生活中,人们还常常关注数据的“波动状况”为此,本章又介绍了刻画数据“波动状况”的几个量度---极差、方差、标准差当然对于这些概念,应力图通过学生活动加以理解和应用,因此,本章的教学目标如下
1、经历数据的收集、整理、描述与分析的过程,进一步发展学生的统计意识和数据处理能力
2、经历调查、统计、研讨等活动,在活动中进一步发展学生的合作交流的意识与能力
3、了解总体、个体、样本等概念,在实际问题情景中感受抽样的必要性,体会抽样方式的差异对结论的影响
4、理解频数、频率等概念,了解频数分布图的意义和作用,并会画相应的频数分布图,解决简单的实际问题
5、掌握极差、方差和标准差的概念,会计算(包括利用科学计算器)一组数据的极差、方差和标准差,并根据计算结果对实际问题作出评判
二、设计思路整章按照问题解决的实际情况,以数据收集—表示---处理----评判的顺序展开教学具体地,第1节通过实际问题情境,让学生体会抽样的必要性,引入普查、抽样调查、总体、个体、样本等概念;第2节让学生在实际调查活动中体会样本的差异对结果的影响,认识到为了获得较为准确的调查结果,抽样时要注意样本的代表性和广泛性;第3节则顺理成章地引入频数、频率、频数分布图等概念,对所收集到的数据进行表示;第4节通过实际问题情境,使学生认识到仅有“平均水平”还难以准确地刻画一组数据,日常生活中,人们还常常关注数据的“波动状况”,并引入相应的三个量度----极差、方差和标准差,使学生在实际问题的解决过程中认识到“波动状况”的意义和影响,并掌握利用计算器处理数据的基本技能当然,具体各节内容的展开,教科书也力求按问题解决的实际顺序,让学生在问题解决的过程中逐步获得新知例如在具体教学素材的选取上,本章进一步体现了实践性和可操作性原则,保证素材的真实性、科学性和教学实施的可操作性例如在素材呈现上,注意呈现方式的多样化和知识间的前后联系随着社会的发展,信息的来源渠道和呈现方式日趋多样化,因此,教科书有意识的安排了一些例习题,以条形统计图、折线图、扇形统计图等多种方式呈现数据这样,既加强知识间的联系,巩固了学生对各种图表信息的识别与获取能力,同时也增强了学生对生活中所见到的统计图表(如报章杂志、电视等媒体里的一些图表)进行数据处理和评判的主动意识此外,值得说明的是,《课程标准》中仅有方差的概念,对标准差没有作出要求但我们认为,标准差和实际数据具有同样的量纲,在数学上较便于表示,在实际问题的解决中更具现实意义,在多数计算器中也仅有标准差,而没有方差,为此,在教材中增加了标准差这一概念
三、各节分析1.每周干家务活的时间教学目标1经历调查、收集数据的过程,感受抽样的必要性;2了解普查、抽样调查、总体、个体、样本等概念,了解普查和抽样调查的应用,并选择合适的调查方法,解决有关现实问题
(1)进一步发展统计意识,本节首先通过一个学生活动调查全班同学每周干家务活的时间,让学生再次经历数据收集的过程,进行简单的数据处理,并承启上册,复习平均数、中位数、众数等概念,同时通过对这个调查活动的分析,引入普查、总体、个体等概念在此基础上,通过一个议一议活动,对原有情境进行变式,引起学生对普查局限性的思考,从而引出抽样调查同时在这样一个活动中,学生自然地对两种调查方式进行了比较,明确了两种方式的特点和各自的使用范围,从而能够在具体情境中选用适当的调查方式当然,对于这两种调查方式的比较,建议结合具体问题情境进行,而不要绝对化,允许学生结论的多样性,只要学生说得有道理,就应给予鼓励此外,本节概念较多,有普查、抽样调查、总体、个体、样本等,教学中不宜对这些概念进行识记性考查,而只要学生能结合具体情境了解其意义即可2.数据的收集教学目标1在具体的问题情境中,领会抽样调查的优点和局限性,体会不同的抽样可能得到不同的结果;2能根据具体情境设计适当的抽样调查方案通过第1节的学习,学生已经认识到普查和抽样调查各自的特点,体会到抽样调查的工作量较小等优点但学生抽样调查的实际经验还很缺乏,对于抽样调查中的一些注意事项还缺乏了解为此设计本节内容,借助一个具体的调查活动(了解所在地区老年人的健康状况),通过对各种抽样方式(公园里、医院里、调查了10个老年邻居)及其结果的比较与分析,让学生进一步体会抽样调查的优点(调查范围小、接生时间、人力、物力)和局限性(但其结果往往不如普查得到的结果准确),了解抽样调查中样本选取的注意事项(要注意样本的广泛性和代表性),体会不同的抽样可能得到不同的结果,并能根据具体情境设计适当的抽样调查方案3.频数与频率教学目标1理解频数、频率等概念,并能绘制相应的频数分布直方图、频数分布折线图2能根据数据处理的结果,作出合理的判断和预测,从而解决实际问题,并在这一过程中体会统计对决策的作用本节将引入频数、频率等概念以及频数分布直方图和折线图等统计图表,这些概念和图表,虽然是一个新授内容,但学生应该已经具有了较好的知识基础例如,学生在以前统计活动中曾经将一些统计数据进行了分类整理,其中实际上已经涉及了频数;而在以前的学习中,学生已经制作了大量的条形统计图、折线统计图等,这些为频数分布直方图和折线图的学习作了很好的铺垫同时,我们认为这些概念和图表的学习重点应在于利用它们更好地整理和表示数据,解决问题因此,在教科书设计时,力图在问题的解决过程“顺便”引入这些概念和图表具体的,本节安排了两课时第1课时,首先设计了一个调查活动(学生喜欢的足球明星),通过对调查数据的整理、表示引入频数、频率等概念;然后,进一步通过做一做、议一议等活动,让学生再次经历数据收集、整理与简单推断的活动过程,在活动中巩固所学的新概念,同时在数据整理、表示并作出推测的过程中,学生绘制了一些统计图表,为第2课时频数分布直方图和折线图的学习做了较好的铺垫第2课时,首先提出了一个现实问题(各种牌子的雪糕应进多少,你能帮李大爷想想办法吗?),要求学生设法解决,希望学生能够通过统计活动收集数据解决问题,从而让学生体会到统计的应用,培养学生统计应用的主动意识然后通过想一想活动呈现了一个学生的统计图表,从而自然地引出了频数分布直方图的概念频数分布直方图本质上是一种条形统计图条形统计图具有两个指标,一个是横向指标(相当于横坐标、自变量),反映考察对象的类别,另一个是纵向指标(相当于纵坐标、因变量)反映该类别考察对象的数量特征从这个意义上讲,频数分布直方图只是一种以频数为纵坐标的条形统计图正因为此,教科书没有给出频数分布直方图的严格概念,而只是通过具体实例加以说明当然,学生以前所研究的条形统计图的横向指标多为离散型变量(定性或定序指标),相应的频数分布直方图比较简单,如P150的图5-4和P153的图5-6而本节还将研究用“条形”来描述横向指标为连续变量的频数分布直方图,这就是下面做一做所要研究的主题具体的,做一做,首先通过一个学生活动(调查学生身高),让学生进一步经历数据整理、表示与处理的过程,同时,根据学生现有经验所绘制的统计图表较为零乱,从而使学生体会到将数据分组的必要性然后,以小亮的名义呈现了频数分布直方图,告诉学生,绘制有关连续型统计量的频数分布直方图时,一般先对数据进行分组并让学生通过所绘的频数分布直方图与自己绘制图表的比较,感受到频数分布直方图的优点4.数据的波动教学目标
(1)经历表示数据离散程度的几个量度的探索过程
(2)了解刻画数据离散程度的三个量度—极差、标准差和方差,能借助计算器求出相应的数值,并在具体问题情境中加以应用
(3)通过实例体会样本估计总体的思想在8年级上学期,学生已经研究过刻画数据“平均水平”的几个尺度,具备了一定的数据处理的能力但仅有“平均水平”,还难以准确地刻画一组数据,日常生活中,人们还常常关注数据的“波动状况”为此,本节首先通过一个实际问题情境,让学生在实际问题情境中感受到虽然两组数据的“平均水平”相近,但在实际问题中具体意义却千差万别,因而必须研究数据的“波动状况”;其后通过对几组数据差异的分析,逐步抽象出刻画数据波动状况的几个量度----极差、方差和标准差,并掌握利用计算器处理数据的基本技能,利用计算器回解场景中提出的问题一般而言,一组数据的极差、方差或标准差越小,这组数据越稳定;方差和标准差较极差更为精细地刻画了数据的波动状况但也不尽然,有时多数数据相对集中,整体波动水平较小,但个别数据的偏离仍可能极大地影响极差、方差或标准差的值,从而导致这些量度数值较大,因此在实际应用中应根据具体问题情境进行具体分析,选用适当的量度刻画数据的波动状况,同时要避免对于用哪个量度刻画数据波动状况的争论,只要学生说得有道理就应给予肯定另外,只有在两组数据的平均数相等或比较接近时,才用这些量度来比较两组数据的波动大小,否则要利用变异系数来比较当然,对于这些,教学中不必向学生讲解,更不可进行相关考查此外,在用样本标准差估计总体标准差时,为了“无偏”,数学上一般用无偏标准差但考虑到学生的学力水平,本书统一使用样本标准差,当然,对此也不要向学生讲解但在后面利用计算器求数据的方差和标准差时,应注意查看计算器的使用说明,以确保学生得到正确的结果通过第1课时的学习,学生已经理解了极差、方差、标准差的概念,并已经进行了一些计算和应用但学生对于这些概念的理解尚很单一,可能有学生会认为现实生活中标准差越小越好,实质不然,应具体情况具体分析为此,设计了第2课时,旨在通过更为丰富的例子,让学生较为全面地理解方差及其在现实生活中的应用教科书选择了两地某日的气温变化、两名运动员的选拔成绩等实例,让学生体会数据波动是极其广泛的,而且应具体分析标准差对于问题的影响
四、一些建议1.注重学生的活动,特别是小组合作的活动统计活动往往非一人力量所能完成,需要同学间的合作;而对统计结果的评价也是因人而异的,通过充分的研讨,广泛的交流各自的观点,必能扩大学生的思维视角,深化学生对知识的理解因此,教学中要加强活动的教学,特别是小组合作活动的组织与教学在合作交流中,通过相互帮助,让所有学生都得到发展,达到共同进步2.注重教学素材的来源渠道和呈现方式的多样化以及数据的真实科学性随着社会的发展,信息的来源渠道和呈现方式日趋多样化统计已经渗透到生活的方方面面,统计图表在各种媒体中频频出现,因而能从多种渠道获取统计信息已经成为对未来公民的一个基本素质要求为此,教学中,既可以组织学生开展一些调查或文献检索等活动自己收集一些相关教学素材,也可以由教师提供一定的素材,让学生分析、评判;教学素材的呈现时,既可以是未经加工的原始数据,也可以是经过加工处理的各种统计图表等同时统计作为处理现实世界数据信息的一个重要数学分支,必然要求教学素材本身的真实性,以培养学生求真的科学态度教学中应充分挖掘结合学生生活实际的教学素材,将知识的学习放在解决问题的情境中,作为数据处理过程的一部分,使学生体会数学与现实的联系3.教学活动中,鼓励学生思维的多样性,避免评价的统一性对统计数据的评判,既与统计数据本身有关,也与评判主体(作出评判的人)有关对于同一组数据,不同的人从不同的角度可以得到不同的评判结果,这就是所谓的“公说公有理,婆说婆有理”因此,教学中,应鼓励学生思维的多样性,避免评价的统一性,只要学生的回答有其一定的道理,就应给予肯定和鼓励4.鼓励学生使用计算器处理复杂的数据,注重其他课程资源(如信息技术、媒体)的开发与利用真实的统计数据往往比较复杂,因而计算量较大教学中,应关注学生对知识的理解,而不要将学生的精力耗费于繁杂的计算中为此,应鼓励学生使用计算器有条件的地区或学校可尝试用计算机等现代化手段进行数据的处理和教学此外,对于刻画“波动状况”的三个量度的比较与选择应用,本章仅要求学生体会它们在不同情景的应用即可,教学中注意体会其教学要求,进行恰当的定位,而不要做不适当的拔高和加深
五、评价建议1.注重对学生活动的评价,主要评价学生参与程度、活动过程中的思维方式、与同学合作与交流的情况本章有关概念多是在具体活动中展开的,因而对学生活动的考查应成为教学评价的主要方面这方面的评价主要以学生在从事活动时的表现作为对象,对它们的评价可以从两个方面来进行一是学生在活动中的投入程度----能否积极、主动的从事各项活动,向同伴解释自己的想法,听取别人的建议和意见;二是学生在活动中表现出来的思维水平、表述水平等例如,在“对老年人健康状况的三种调查结果”的讨论活动中,教师应关注学生是否积极的参与讨论,是否有自己的观点,能否将自己的观点清晰而有条理的表述出来等;在“各种牌子的雪糕应进多少”的活动中,教师应关注学生是否有自己的独特见解,考虑问题的独创性和全面性;在调查学生身高、体重,估计1分的时间等调查活动中,教师应关注学生是否具有良好的合作意识和能力2.关注学生对知识技能的理解与应用知识技能的评价包括了解总体、个体、样本的概念,理解频数、频率的概念,掌握极差、方差和标准差的概念;能否主动地利用统计图表示数据信息,能否从统计图中获取信息并进行加工处理;能否熟练的运用计算器处理数据;对数据处理结果作出自己的评价等对这些知识技能的评价,应当更多的关注其在实际问题情境中的意义理解如对于总体、个体、样本、频数、频率、极差、方差和标准差等概念,关键是要求学生在具体问题情境中了解其意义,并会利用这些概念解决问题即可,不要求学生死记硬背这些概念;对于普查和抽样调查的优缺点,以及抽样调查的样本选取的注意事项等,亦应结合具体情境让学生体会,并根据学生的表现进行评价因此教学中,可要求学生举例说明自己对问题的理解3.提倡运用定性的方法对学生进行评价鉴于本章的特点,在评价时更应注重定性的方法教师在日常教学中应多观察学生,特别是他们在小组中的表现,及时记录学生的独特的想法,这不仅有利于教师全面的评价学生,而且使得评价与教学成为一个有机的整体教师还应鼓励学生建立自己的成长记录,记录印象最为深刻的一次活动,在学习中遇到的困难,需要改进的地方等课题学习吸烟的危害
一、教学目标
1、经历数据收集、表示与处理的全过程,进一步体会统计的广泛应用,发展学生的统计观念和应用能力;
2、经历小组合作与交流的活动,进一步积累合作与交流的活动经验,增强学生的合作意识,发展学生的合作能力.
二、设计思路《义务教育数学课程标准》中明确提出,在数学学科中增加“实践与综合应用”这一学习模块,以培养学生的实践与综合应用能力而“课题学习”正是第三学段学生“实践与综合应用”学习的一个主要内容因此,在课题学习素材的选择是,应力求注意问题的实践性和综合性应该说,通过前4册的学习,学生已经初步掌握了数据收集的方式、数据表示的方法,具备初步的数据处理能力,初步体会到统计的广泛应用但过去的学习和统计活动多是零碎的,为了特定的学习目的而进行的,学生综合应用统计知识进行数据收集、表示与处理的全过程的活动经验还较为缺乏设计该课题学习,正是力图让学生再次经历数据收集、表示与处理的全过程,进一步增强学生的统计意识,提高学生在现实生活中综合应用统计知识解决实际问题的能力同时该课题来源于现实生活,对于各地学生都具有较强的可操作性,在问题的解决过程中,学生势必展开大量的调查活动,具有较强的实践性为了增强学生具体活动实施的自主性,在课题活动的展开过程中,教材只是给出了一个原始的问题,规定了一个大的方向,问题本身的提出和解决手段都由学生自己选择本课题中,要求学生经过讨论,选择某个感兴趣的主题开展调查,学生具体调查哪个主题、调查活动如何展开、调查对象如何选取等完全有学生自主选择,因而保证了学生学习的自主性、选择性和学习结论的开放性此外,在课题选择时注意了问题的社会价值应该说,人们也知道吸烟有害于身体健康,但社会上吸烟人群还十分巨大,公共场合吸烟的现象还屡见不鲜对吸烟的危害,学生认识尚很肤浅,仅仅通过说教还难以真正触及人们心灵深处而通过本课题的学习,学生势必进行大量的调查,通过亲身收集的触目惊心的数据,学生一定会深刻感受到吸烟的危害,从而自觉地拒绝吸烟并阻止他人吸烟此外,联合国规定每年的5月31日为世界无烟日,而本课题的学习也恰在5月31日左右,可以配合世界无烟日展开活动
三、课时安排2课时
四、教学与评价建议
1、在具体教学活动的展开过程中,应发挥学生的自主性让学生根据自己的喜好组成合作小组,选择适当的问题展开调查,具体调查方式、样本的选择,调查表格的制作以及调查活动实施和调查报告的撰写等也都由学生自主完成
2、统计知识学习的最终目的是让学生经历统计过程,发展学生的统计观念,因而教学中务必让学生真正活动起来,只有亲身做了,体验了,才能加深学生对统计知识的理解与应用水平,形成主动应用统计知识解决实际问题的意识与能力
3、统计活动的展开并非学生一己力量所能完成的,因而应倡导学生的合作与交流
4、注重对学生活动的评价,主要评价学生活动的参与程度以及活动过程中所表现出来的思维方式、与同学合作交流的意识和能力等情况回顾与思考本章介绍了数据收集的两种主要方式、数据表示的有关概念以及刻画数据离散程度的几个量度---极差、方差和标准差,旨在让学生经历数据收集、表示与处理的全过程,进一步发展学生的统计观念,同时授予学生一种数据处理的新的方法,使学生能对统计数据进行进一步的处理并作出相应的评判回顾与思考通过问题的形式引导学生回顾本章内容,梳理知识结构在学生充分思考和交流的基础上教师可引导学生共同建立知识框架图.对本章知识技能的评价,应当更多的关注其在实际问题情境中的意义理解如对于总体、个体、样本频率、频数、极差、方差、标准差等概念,只要学生能结合具体问题情境理解其意义即可,而对于普查、抽样调查等概念,则要求学生体会它们在不同情境中的应用,并能在具体情境中进行恰当的选择应用,而不要过于关注这些概念的识记性考查,也不要过于关注其具体运算的熟练程度因此,在回顾与思考的教学中,应重视学生的举例,关注学生所举例子的合理性、科学性和创造性等,并据此评价学生对知识的理解水平附第四节数据的波动祥解教学目标
(4)经历探索表示数据离散程度的过程
(5)了解刻画数据离散程度的三个量度—极差、标准差和方差,能借助计算器求出相应的数值,并在具体问题情境中加以应用
(6)通过实例体会样本估计总体的思想设计思路与建议在八(上),学生已经学习了数据处理的一个量度“平均水平”,本节将学习数据处理的另一个量度----“波动状况”为此,设计了两课时,第1课时,通过问题情境引导学生抽象出有关刻画数据波动状况的几个量度----极差、方差和标准差;第2课时旨在通过更为丰富的例子,让学生较为全面地理解方差及其在现实生活中的应用具体的,第1课时,首先通过一个实际问题情境及其图示,让学生直观地估测从甲、乙两厂抽取的20只鸡腿的平均质量,回顾有关数据的另一个量度“平均水平”,同时让学生初步体会“平均水平”相近,但两者的离散程度未必相同,仅有“平均水平”还难以准确地刻画一组数据,从而顺理成章地引入刻画数据离散程度的一个量度—极差;然后,设计了一个“做一做”,因承上面场景的情境,增加了一个丙厂,旨在通过丙厂与甲、乙两厂的对比,发现有时平均水平相近,极差也相同,但数据的离散程度仍然存在差异,仅用极差还难以精确刻画一组数据的离散程度,从而引入刻画一组数据离散程度的另外两个量度—标准差和方差;其后,再和同学们一起探索利用计算器计算标准差,并利用计算器回解场景中提出的问题通过第1课时的学习,学生已经理解了极差、方差、标准差的概念,并已经进行了一些计算和应用,体会到一般而言,一组数据的极差、方差或标准差越小,这组数据越稳定(但并非绝对有时多数数据相对集中,但个别数据的偏离将极大地影响了极差、方差或标准差的值但教学中不必向学生讲解,更不可进行相关考查)但学生对于这些概念的理解尚很单一,可能有学生会认为现实生活中标准差越小越好,实质不然,应具体情况具体分析为此,第2课时旨在通过更为丰富的例子,让学生较为全面地理解方差及其在现实生活中的应用教科书选择了两地某日的气温变化、两名运动员的选拔成绩等实例,让学生体会数据波动是极其广泛的,而且应具体分析标准差对于问题的影响值得说明的是,《课程标准》中仅有方差的概念,对标准差没有作出要求但我们认为,标准差和实际数据具有同样的量纲,在数学上较便于表示,在实际问题的解决中更具现实意义,在多数计算器中也仅有标准差,而没有方差,为此,在教材中增加了标准差这一概念在具体教学素材的选取上,进一步体现实践性和可操作性原则,保证素材的真实性、科学性和教学实施的可操作性当然,在具体教学中教师应根据学生的认知实际和生活实际选择不同的素材,如可选择某两地的年气温进行比较注意数据呈现方式的多样化本节中有的数据是直接告诉的,有的是通过图表的形式呈现的,这样,既加强知识间的联系,巩固了学生对各种图表信息的识别与获取能力,同时也力图增强学生对生活中所见到的统计图表(如报章杂志、电视等媒体里的一些图表)进行数据处理和评判的主动意识此外,在具体教学中应关注学生的活动以及在活动中的表现,力图通过学生的亲身活动获得对问题的全面认识同时,在问题解决的过程中,学生的回答应是多样的,教学中应鼓励学生思维的多样化,避免评价的统一性,只要学生的回答有其一定的道理,就应给予肯定和鼓励对于极差、标准差、方差等概念,我们应关注其在实际问题情境中的意义理解,而非死记其运算公式因此教学中,应要求学生举例说明自己对问题的理解第六章证明
(一)一.主要内容与知识定位证明
(一)的内容有三部分证明思想和知识的准备;平行线的判定与性质;三角形的内外角和及其关系这是颇具教育价值的一段内容它,教人聪明教知识传统的教学过分强调了几何中演绎推理的一面,而对‘几何就是把握空间’的一面有所忽视在教材的编写中选取现实、有趣、富有挑战性的素材,特别重视人们‘空间观念’的建立想象------能把‘鼓’的画‘平’,能把画‘平’的想‘鼓’;运动-----不论是‘平’的还是‘鼓’的,它的顶点、边、面和体等都是可以动的;转化----能把‘鼓’的转化成‘平’的,能把‘平’的转化成‘鼓’的;证明-----排除直觉的误导必须证明教思想方法追根究底的公理化,化归(如,辅助线的添加;把三个角移到一起;…),分类讨论全面思考(如,如果点在另一侧会如何),在关系中研究(如,为研究平行线,增加‘第三条直线’),运动变化(如,P197的‘读一读’),理论联系实际(如,抛物线形探照灯,蜂房)…都在教人如何思想、用什么方法教能力这本教材依课程标准的要求,强调在实践中动手、动口,体会数学的真谛,特别是领悟步步有据的动脑等方面下了很多功夫,意在培养有头脑、善实践、能力强的人它,教人严谨教‘形式化’数学的特点之一是形式化,数学教学应该有必要的形式化的内容直觉常是发现的源泉,同时,直觉也常欺骗人,所以,形式化证明是绝对必要的经验和推理都应该重视,但都要适度,要注意分寸,特别是不能过分形式化,不能把几何直观的优势抹杀特别地,教‘公理化’数学对人具有极强的思维训练作用,是人所公认的事实理性精神,推理意识,是人类思维的特色,是人为万物之灵的原因教给人合乎逻辑地思考,形成严谨求实的科学态度,步步有据的严谨作风,特别是演绎推理,是欧氏几何的重要长处何以欧氏几何盛行几千年?应该说,必有其合理的一面教材,借这一内容,引导学生认识追到源头的‘公理化’的思想,的确应该重视从传统来看,初中几何本质上是从公理出发的推理证明但是,‘几何≠推理’,对合情推理也不可忽视而且值得注意的是,在初中,公理化方法只要求‘体会’其必要性,证明过程只要求‘理解’,综合法证明的格式才要求‘掌握’它,教人学习学习是在每个人自己经验基础上的构建学数学,离不开独立思考学习中,肯于思考的人,一定学得较好;思想懒汉,绝学不好应当知道,学习还有一种重要方式就是‘合作交流’时代发展到今天,任何人都很难独立获得某些重大突破,合作已成为社会的必须更何况,人是群居的动物,生活中离不开与他人的交流与合作所以,学习应该是‘自主学习’与‘合作交流’的统一教材中,设计了一系列“议一议”,给出了若干几何叙述的语言,就是想为学生提供必要的合作交流的时间与空间它,教人创造学习数学绝非仅只记忆别人发现的真理,探究和创造才是数学学习的根本目的所以,知识要掌握,探索一定要强化空间图形,充满看得见、摸得着、变换无穷的素材,利于问题的发现和提出,是把学生引入探索的绝佳材料为突出探究,教材强调‘贴近’尽量从学生熟悉的生活和学习实际出发,如,河流的例子,‘三角形内角和’定理利用以往知识的回忆‘一般先整体后局部’从局部到整体,从整体到局部,都是人类认识事物的方法,都应该重视和掌握但是,过去我们的教材和讲课,从局部到整体分解地研究居多,今天有必要按着通常人们认识空间图形的顺序,强调从整体到局部,如先认识体,再认识面,再认识线,最后认识点‘过程’我们知道,结论是静止、凝固的东西;过程则充满动态、变化,表现出人类的思维的轨迹空间图形的研究可以使学生经历观察、操作、实验、探索、猜测等一系列过程,‘证明’一章也不例外‘做’数学学习,不能只‘烧中段’,抽象和应用同样重要‘作数学’是最好的学习方法,本章提倡学生在‘做’中抽象,在‘做’中研究,在‘做’中概括如,引导学生概括‘证明’方法;引导学生做平行线;问学生“你还能…?它,教人做人教育的根本目的在育人聪明、严谨、合作、学习、创造等也是为了培养有正确情感态度价值观、有社会责任心、全面发展的人本章,特别在数学文化方面,有意设计了若干“读一读”栏目,引导学生做更多、更深入的思考
二、设计思路本章的‘教学目标’是1理解证明以及设置公理的必要性2关注现实,并通过具体例子,了解定义、命题、定理的含义,会区分命题的条件和结论知道反例的意义和作用3初步掌握用综合法证明的格式会证明与公理“同位角相等,两直线平行”有关的定理、与公理“两直线平行,同位角相等”有关的定理、“三角形内角和定理”及其推论4体会推理的严谨和结论的确定初步树立步步有据的推理意识,发展推理论证能力同时,要善于表达自己的想法,并能与同伴交流5通过欧几里得《原本》的介绍,感受几何的演绎体系对数学发展和人类文明的价值本章的‘设计思路’是本章是在前面对几何结论已经有了一定直观认识的基础上编排的过去,对某些几何结论也曾作过简单的说理,这里则依严格步骤给出它们的证明虽然这里只是证明的初步,但是它对认识证明的必要、引进公理的必要,对证明基础的定义、命题、定理等的了解,以及通过平行线和三角形的一些简单定理的证明,初步掌握证明的要求和格式,对发展证明素养十分重要因此,在内容的选取上,一方面尽量从学生身边易于理解的事实出发引入相关概念和结论,另方面对证明的意义和格式等方面作了系统的介绍特别对证明的格式,作了较高的要求但是,对于技巧和难题不做要求,因此,对例题、习题的难度不希望膨胀、加码
三、章节内容分析1.你能肯定吗通过实例,说明“要判断一个数学结论是否正确,仅仅依靠经验或实验是不够的,必须一步一步、有根有据地进行推理”,强调证明的必要性2.定义与命题指出定义、命题、公理、定理的含义,以为后面的证明打下基础在此,对于公理的给出,结合欧几里得的《原本》作了比较突出的介绍3.为什么它们平行给出了平行线的判定公理和定理这里,考虑到学生的年龄特点,沿用了以往扩大公理体系的做法,把“同位角相等,两直线平行”作为了公理教学中,应该注意到‘这里是对几何证明的开始’,对于格式等需要给以必要重视此外,对‘在关系中研究事物’应该给以必要的提醒和注意4.如果两条直线平行给出了平行线的性质公理和定理为减少学生分辨和记忆的负担,没有指明判定和性质的区别只要求他们遇到具体情况会用就可以了5.三角形内角和定理的证明对已经知道的三角形内角和知识进行了证明这里,想强调的是,过去只是通过直观或撕纸等具体操作认识的,这里则是和其他数学知识一样,没有停留在以前的水平,而是经过了严格证明6.关注三角形的外角学习三角形外角与内角的关系这里,一方面交代有关知识;另方面,意在第一次在平面几何中安排有关不等关系的处理和证明整章不想把学生的精力引向扣难题,所以,例题、习题等大都不难,对于证明的数量和技巧也不做更多的要求但是,其中涉及的实际问题、世界名题和可以发散思考的问题不少,一方面,想强化基础、引起学生的兴趣,另方面,想引导学生关注现实,并尽量多方发散、深入思考下面以“三角形内角和定理的证明”为例,说明对具体章节的分析和要求从教什么和怎么教两个方面说明一下
(1)教什么总的来说,教知识技能、过程方法、情感态度价值观;或说教知识、方法、思想、能力、态度具体些说,是1.教“一”,又教“多”正确处理“一”与“多”的关系这里,“一”是指必须掌握的知识和技能,“多”是指“一”的发散,是指由“一”引发的多种方法、多种思考教材,只是提供了实现“一”的素材,提供了引学生入门的阶梯;至于能否借此素材和阶梯把学生引向知识的海洋,实现能力的飞跃,主要看教师如何驾御和利用它们了否则,何以“名师出高徒”?“知识就是力量”,不无道理所有的教育和教学改革,莫不力图让学生掌握必要的知识,以使学生更好地适应未来所以,教材中的“一”,即要求掌握的知识和方法等必须抓住这一节,应该掌握‘三角形内角和定理’的内容和所给的证明方法知识又不是力量的全部知识必须表现为能力,能力又以内在的思维和外化的行为来体现因此,教学又不能停留在“一”上,应该注意把学生的精力吸引到思想上来、吸引到方法上来,还应该追求“多”的效果“三角形内角和定理”如何证明?‘把三角形的三个角集中’是证明方法中的“一”,‘用平行关系移角’是其中又一个“一”;‘把三个角凑到某个顶点、某个边上、三角形内任何一点、三角形外任何一点’可以看成是其“多”(P198)做三角形的中位线,再由中位线与两腰的交点向底边做垂线,再以所做三条线为轴把三角形含三个顶点的部分折入三角形之内,也可以知道三角形的内角和等于一个平角;逆向思考,先求出外角和,再回去求出内角和,也可以得到这个定理;乃至于教材中P197的方法,更是三角形内角和定理证明中的“多”辅助线问题,本书只是采用“冒泡”的形式让它出现其实,“化归”是数学中最常用的方法,而“化归”不能直接实现时,人们常常添加辅助线,把问题转化为熟悉的情况解决,如,本课平角的构造辅助线部分蕴涵的“多”还有不少,教师可以视自己学生的情况去挖掘一般化和特殊化,是数学中最常用的两种思路和方法本书P196“随堂练习”第一题用意在让学生体会“特殊化”的方法一般三角形的内角和是180°,那么,对于直角三角形、正三角形,有什么特点呢?至于其他三角形,至于这个题的结论有什么用处,其中包含很多的“多”,都是继续钻研的绝好素材本书P198习题66第一题实际取材于将在三角形相似中要讲的所谓“子母定理”其中,角等的关系不止这些,将其特殊为等腰直角三角形等等又可以引出一系列新的问题应该可以说“多”是无限的2.教认识“怎么看”不亚于“怎么做”课,必须有一定的深度、一定的思想、一定的哲学味道;必须体现知识产生的过程和方法a教师应该引导学生“惊讶于”世界上的三角形无穷无尽,它们居然有如此共同的性质内角和都相等,而且都等于180°b关于模式的认识在“一”的教学中,应该强调对定理的认识定理实际是转化的工具,是一种模式平行线的有关定理,是如此;三角形内角和定理同样如此知道一个角时,可以知道另两个角的关系;知道两个角时,可以求得第三个角;知道三个角时,那么它们的和一定是180°,这些是转化的工具,又都是可以套用的模式c强化证明的意识小学的折纸,是探索结论有效并且有趣的方法,值得学习但是,也必须知道,一切‘试’的结果都有可能错误欧几里德追究根源的方法,即公理法,十分高明学习和生活中,也要追究‘为什么’,也要说话‘有理有据’,万不可什么事都“不求甚解”d注意渗透‘动’的观点拉动三角形的一个顶点或一条边,;到两个三角形、到多个三角形动起来,要学习‘拉动’的方法、树立‘动’的观点特别是,运动到极限的观点常十分有用e强调对‘变化’的认识现在,教确定太多,教变化不足给孩子一种“天不变”、“道不变”的认识其实,未必;只是在一定范围内,才有“天不变,道亦不变”与此类似,学数学利于人们讲究逻辑,但也可能使人思想僵化我们应该把世界变化、相对的本来面貌告诉学生,应该让学生知道数学也是人造的,所以,教学中‘不要封口’、不要把话说的过死如,“三角形内角和”是多少度?在适当的时候,应该告诉学生在一般情况下是180°,在非欧几何中却可以大于或小于180°3.教“做人”教师应该注意通过自己的言传身教,引导学生在和谐、健康的做人路上发展,形成严谨而又灵活、坚韧而又辩证的对人和对事的态度
(二)怎么教学校特别是课堂,是教师大有可为的舞台如,通过讲数学有用、有趣、利于训练思维,激发学生的学习动力;通过激励,包含以表扬为主,也包含适度的批评,正确评价学生的学习具体地,我们建议1尽量让学生多做有人讲“听的东西,忘了;看的东西,理解了;作的东西,记住了”,足见“做”的重要新课程,非常强调“经历”、“体验”和“探索”,因为,“实践”和“探索”是学习灵魂教学中,可以让学生通过折一折、转一转、移一移、画一画、剪一剪、量一量、拼一拼、算一算、读一读等动手、动脑的实践活动学习知识,并从中体会问题解决的过程还应该注意引导总结,让学生的知识形成良好的认知体系如,让学生知道现在自己手里有什么工具现在,手里只有平行线这一工具更重要的是让我们的学生在学习中持“研究的态度”事实是,人们对三角形研究的最透,三角形的定理最多我们只学习了其很少一部分,值得研究的问题还很多一个三角形中元素间关系、几个三角形间的关系,三角形与其他图形的关系,大有研究的余地;关系可以是定值、可以是共线、可以是共点,可以是…总之,要把它当作一个模型来学习,力求从中悟出尽量多的道理2尽量让学生多想数学是思维的科学学好数学,必须肯想数学需要逻辑思维,也需要直觉思维逻辑思维,需要想;直觉思维,更需要想为使学生多想,教师可以组织他们联想如,三角形内角和的证明与平行线有什么关系?也可以组织他们想象如,教材P197有意安排了“让学生去想”三角形内角和是180°当然,那并不是证明3尽量让学生多看通过收集与三角形内角和有关的东西,让学生多看、多观察4尽量让学生多听老师课堂上的讲解要注意听;“道听途说”,也要留心5尽量让学生多说人才与口才息息相关通过说,可以提高几何语言的熟练程度,并巩固概念此外,中国历来讲“学问”凡学同时必须问所以,‘问’是学好数学的重要一环更重要的是,问题由谁提出!教学中,应该努力引导学生自己提出问题总之,教数学在于教人聪明什么人聪明?请看“聪”字怎么写聪,从‘耳’、从‘`'’(双眼),从口,从心,综合起来是“干”(实践)所以,这里提出要尽量让学生多做、多听、多看、多说、多想数学怎么教?‘聪’而已此外,可以适当为学习有兴趣、学有余力的学生留一些有趣的思考题如,a在⊿ABC中有5个点,它们以及A、B、C总共8个点没有三点在同一直线上,那么,这8个点可以把三角形ABC分割成多少个互不重叠的小三角形?解设⊿ABC被分割成x个小三角形,那么,这些小三角形内角的总和为x×180°另方面,这些小三角形的内角和又可以这样计算三角形中的5个点每个点周围形成一个周角,总计有5×360°;再加上以⊿ABC的内角和为180°所以,有x×180°=5×360°+180°解得x=11如果,5改成n,会怎样?此题不难,但是,它对于学生巩固三角形内角和、列和解一元一次方程,以及体会方程思想和整体处理问题的思想都有相当的好处b如图,从已显示的四个角的度数,求∠A的度数略解过右边角内的各顶点做水平线的平行线,则依内错角知识有45°-30°=15°,60°-15°=45°,50°-45°=5°,90°-5°=85°c其他,如三角形内角和与铺地、与欧拉定理的关系都可以适当向自己的好学生渗透3.一些建议
四、教学建议
1、由于是学生初次接触严格的证明和相关的符号化表示,所以,教学中会有相当难度,应该有一定思想准备.教学中,教师应该摆正自己的位置,注意尊重差异,注意学生潜能的发挥.对后进生应该进行适当的等待,并给以一定的学法和有关内容辅导;对学生中出现的多种思路和方法,应该予以充分肯定,并适当在全体同学中交流和展示,使其个性得以张扬和健康发展.
2.教学中应该尽量用学生身边的例子创设情境,努力通过联系实际解释结论.教学,应该努力在数学活动中进行,自始至终鼓励学生自主地‘作数学’,鼓励学生主动地想,特别是有条理地想象和探索,同时鼓励学生努力表达并与同伴交流.
3.应该注意让学生体验证明的基本方法和过程.必要的证明过程和格式应该落实.但是,也应该知道,本章重在证明意识和定理本质的认识,不在难题作了多少,所以,难度应该控制.难度一般应以课本习题为准.
4.教学中,应该关注对证明必要性的理解、证明意识的建立.要让学生知道数学需要证明,数学之外的其他事物,也应该追究其缘由、问个为什么.体会演绎体系在数学和人类文明中的作用.
5.某些软件和其他现代化手段对几何教学能产生较好的效果.教学中,应该努力运用.
五、评价建议
1、与以往一样,首要的是应该明确评价的目的是为了学生的发展.评价应该作为把水从低处提到高处的水泵,而并非只是甄别优劣的筛子.考虑到“多一把尺子,多出一批人才”,所以,评价的标准不能唯一,应该多元化.惟有这样,评价才更能体现出促进学生发展的作用.
2、评价应该注重过程,应该重在学生自己的今天和自己的昨天比,重在考查学生在证明意识的建立和运用过程中,是否积极地独立思考,积极地参与合作,是否认真反思自己的行为.
3、必要的基础知识必须掌握.如前面曾反复强调的一些定理的意义,以及它们的证明过程和格式等.这里,应该注意实质的把握,适当淡化形式的记忆和条文的背诵;考查的难度应以教材中的问题为准.
4、使学生更聪明,并逐步走上创造之路,是教育的出发点和归宿.所以,评价中,应该特别引导和鼓励学生的创造.对于独到的见解,包括一题多解、多变等,应多鼓励总之,本章的教学应当突出:
1.要了解学生,从学生认识的实际出发进行教学什么是好定义?有人说极限的‘ε-Ν’定义是数学中少有的精彩定义但是,它未必是好的‘数学教学’定义因为,它过于形式化,不利于学生理解那么,什么是好的数学教学定义?似乎应该一利于学生接受,二要科学教师,应该有极强的对象意识,牢记自己的工作对象是未成年的学生,一切从自己的学生实际出发才是
2.实施‘有疑教学’分析问题、解决问题都是必要的,必须强调但是,至少同样重要的是勇于和善于‘提出问题’以往,习惯于下课前教师问“这节课讲的有问题吗?”面对‘鸦雀无声’的场面,师和生都很满意其实,标准、教材规定的必修内容,应该让学生掌握,但是,如上所说‘又不能停留于此’,应该引导学生‘举一反三’什么是好课?教学的结果引出学生一系列问题的课才应该算好课
3.关注学生发展教学,离不开评价值得注意的是,应该改变单纯借评价把学生分出高下的功能立足于促进学生的发展。