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高考数学一轮复习
(十一)排列组合
一、排列组合的基本概念及计算1.排列的概念从个不同元素中,任取()个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列,叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列2.排列数的定义从个不同元素中,任取()个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数,用符号表示3.排列数公式()4阶乘表示正整数1到的连乘积,叫做的阶乘规定.5.排列数的另一个计算公式=6组合的概念一般地,从个不同元素中取出个元素并成一组,叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合7.组合数的概念从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数,叫做从个不同元素中取出个元素的组合数.用符号表示.8.组合数公式或9组合数的性质1.规定;10.组合数的性质2=+
二、排列组合的常见题型及其解法
(1)特殊元素(位置)用优先法把有限制条件的元素(位置)称为特殊元素(位置),对于这类问题一般采取特殊元素(位置)优先安排的方法例
1.6人站成一横排,其中甲不站左端也不站右端,有多少种不同站法?分析解有限制条件的元素(位置)这类问题常采取特殊元素(位置)优先安排的方法解因为甲不能站左右两端,故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上,有种站法;第二步再让其余的5人站在其他5个位置上,有种站法,故站法共有=480(种)
(2)相邻问题用捆绑法对于要求某几个元素必须排在一起的问题,可用“捆绑法”即将这几个元素看作一个整体,视为一个元素,与其他元素进行排列,然后相邻元素内部再进行排列例
2.5个男生和3个女生排成一排,3个女生必须排在一起,有多少种不同排法?解把3个女生视为一个元素,与5个男生进行排列,共有种,然后女生内部再进行排列,有种,所以排法共有(种)
(3)相离问题用插空法元素相离(即不相邻)问题,可以先将其他元素排好,然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中例
3.7人排成一排,甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法?解先将其余4人排成一排,有种,再往4人之间及两端的5个空位中让甲、乙、丙插入,有种,所以排法共有(种)
(4)定序问题用除法对于在排列中,当某些元素次序一定时,可用此法解题方法是先将n个元素进行全排列有种,个元素的全排列有种,由于要求m个元素次序一定,因此只能取其中的某一种排法,可以利用除法起到调序的作用,即若n个元素排成一列,其中m个元素次序一定,则有种排列方法例
4.由数字
0、
1、
2、
3、
4、5组成没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的六位数有多少个?解不考虑限制条件,组成的六位数有种,其中个位与十位上的数字一定,所以所求的六位数有(个)
(5)分排问题用直排法对于把几个元素分成若干排的排列问题,若没有其他特殊要求,可采取统一成一排的方法求解例
5.9个人坐成三排,第一排2人,第二排3人,第三排4人,则不同的坐法共有多少种?解9个人可以在三排中随意就坐,无其他限制条件,所以三排可以看作一排来处理,不同的坐标共有种
(6)住店求幂法解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素一类元素可以重复,另一类不能重复,把不能重复的元素看作“客”,能重复的元素看作“店”,再利用乘法原理直接求解.例
6..把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有7种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推由分步计数原理共有种不同的排法
(7)排列、组合综合问题用先选后排的策略处理排列、组合综合性问题一般是先选元素,后排列例
7.将4名教师分派到3所中学任教,每所中学至少1名教师,则不同的分派方案共有多少种?解可分两步进行第一步先将4名教师分为三组(1,1,2),(2,1,1),(1,2,1),共有(种),第二步将这三组教师分派到3种中学任教有种方法由分步计数原理得不同的分派方案共有(种)因此共有36种方案
(8)隔板模型法常用于解决整数分解型排列、组合的问题例
8.有10个三好学生名额,分配到6个班,每班至少1个名额,共有多少种不同的分配方案?解6个班,可用5个隔板,将10个名额并排成一排,名额之间有9个空,将5个隔板插入9个空,每一种插法,对应一种分配方案,故方案有(种)
(9)平均分组问题除法策略例
9.6本不同的书平均分成3堆每堆2本共有多少分法?解:共有种分法
(10)数字排序问题查字典策略例10.由0,1,2,3,4,5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数?解:随堂简单练习1从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C,所得的经过坐标原点的直线有_________条用数值表示2圆周上有2n个等分点n>1,以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为_________3某人手中有5张扑克牌,其中2张为不同花色的2,3张为不同花色的A,有5次出牌机会,每次只能出一种点数的牌但张数不限,此人有多少种不同的出牌方法?4二次函数y=ax2+bx+c的系数a、b、c,在集合{-3,-2,-1,0,1,2,3,4}中选取3个不同的值,则可确定坐标原点在抛物线内部的抛物线多少条?5有3名男生,4名女生,在下列不同要求下,求不同的排列方法总数1全体排成一行,其中甲只能在中间或者两边位置2全体排成一行,其中甲不在最左边,乙不在最右边3全体排成一行,其中男生必须排在一起4全体排成一行,男、女各不相邻5全体排成一行,男生不能排在一起6全体排成一行,其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变7排成前后二排,前排3人,后排4人8全体排成一行,甲、乙两人中间必须有3人620个不加区别的小球放入编号为
1、
2、3的三个盒子中,要求每个盒内的球数不小于它的编号数,求不同的放法种数7用五种不同的颜色,给图中的1234的各部分涂色,每部分涂一色,相邻部分涂不同色,则涂色的方法共有几种?8甲、乙、丙三人值周一至周六的班,每人值两天班,若甲不值周
一、乙不值周六,则可排出不同的值班表数为多少?参考答案解析因为直线过原点,所以C=0,从1,2,3,5,7,11这6个数中任取2个作为A、B两数的顺序不同,表示的直线不同,所以直线的条数为A=30答案302解析2n个等分点可作出n条直径,从中任选一条直径共有C种方法;再从以下的2n-2个等分点中任选一个点,共有C种方法,根据乘法原理直角三角形的个数为C·C=2nn-1个答案2nn-13解出牌的方法可分为以下几类15张牌全部分开出,有A种方法;22张2一起出,3张A一起出,有A种方法;32张2一起出,3张A一起出,有A种方法;42张2一起出,3张A分两次出,有CA种方法;52张2分开出,3张A一起出,有A种方法;62张2分开出,3张A分两次出,有CA种方法因此,共有不同的出牌方法A+A+A+AA+A+CA=860种4解由图形特征分析,a>0开口向上,坐标原点在内部f0=c<0;a<0开口向下,原点在内部f0=c>0所以对于抛物线y=ax2+bx+c来讲,原点在其内部af0=ac<0则确定抛物线时,可先定一正一负的a和c,再确定b故满足题设的抛物线共有CCAA=144条5解1利用元素分析法,甲为特殊元素,故先安排甲左、右、中共三个位置可供甲选择有A种,其余6人全排列,有A种由乘法原理得AA=2160种2位置分析法先排最右边,除去甲外,有A种,余下的6个位置全排有A种,但应剔除乙在最右边的排法数AA种则符合条件的排法共有AA-AA=3720种3捆绑法将男生看成一个整体,进行全排列再与其他元素进行全排列共有AA=720种4插空法先排好男生,然后将女生插入其中的四个空位,共有AA=144种5插空法先排女生,然后在空位中插入男生,共有AA=1440种6定序排列第一步,设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N,第二步,对甲、乙、丙进行全排列,则为七个人的全排列,因此A=N×A,∴N==840种7与无任何限制的排列相同,有A=5040种8从除甲、乙以外的5人中选3人排在甲、乙中间的排法有A种,甲、乙和其余2人排成一排且甲、乙相邻的排法有AA最后再把选出的3人的排列插入到甲、乙之间即可共有A×A×A=720种6解首先按每个盒子的编号放入1个、2个、3个小球,然后将剩余的14个小球排成一排,如图,|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|O|,有15个空档,其中“O”表示小球,“|”表示空档将求小球装入盒中的方案数,可转化为将三个小盒插入15个空档的排列数对应关系是以插入两个空档的小盒之间的“O”个数,表示右侧空档上的小盒所装有小球数最左侧的空档可以同时插入两个小盒而其余空档只可插入一个小盒,最右侧空档必插入小盒,于是,若有两个小盒插入最左侧空档,有C种;若恰有一个小盒插入最左侧空档,有种;若没有小盒插入最左侧空档,有C种由加法原理,有N==120种排列方案,即有120种放法7解按排列中相邻问题处理14或24可以涂相同的颜色分类若14同色,有A种,若24同色,有A种,若1234均不同色,有A种由加法原理,共有N=2A+A=240种8解每人随意值两天,共有CCC个;甲必值周一,有CCC个;乙必值周六,有CCC个;甲必值周一且乙必值周六,有CCC个所以每人值两天,且甲必不值周
一、乙必不值周六的值班表数,有N=CCC-2CCC+CCC=90-2×5×6+12=42个练习题
1、选择题1.某台小型晚会由6个节目组成,演出顺序有如下要求节目甲必须排在第四位、节目乙不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位,该台晚会节目演出顺序的编排方案共有(A)36种(B)42种C48种(D)54种
2、某校开设A类选修课3门,B类选择课4门,一位同学从中共选3门,若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有A30种B35种C42种D48种3.如图,用四种不同颜色给图中的A、B、C、D、E、F六个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色则不同的涂色方法共有(A)288种(B)264种(C)240种(D)168种
4、现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙、丁、戊都能胜四项工作,则不同安排方案的种数是A.152B.126C.90D.
545、由
1、
2、
3、
4、
5、6组成没有重复数字且
1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是(A)72(B)96(C)108(D)144w_w_w.k*s5*u.co*m
6、8名学生和2位第师站成一排合影,2位老师不相邻的排法种数为(A)(B)HYPERLINKhttp://www.ks5u.com/EMBEDEquation.DSMT4(C)(D)HYPERLINKhttp://www.ks5u.com/EMBEDEquation.DSMT
47、将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中.若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的方法共有(A)12种(B)18种(C)36种(D)54种
8.某单位安排7位员工在10月1日至7日值班,每天安排1人,每人值班1天,若7位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在10月1日,丁不排在10月7日,则不同的安排方案共有(A)504种(B)960种(C)1008种(D)1108种9.现有名同学支听同时进行的个课外知识讲座,名每同学可自由选择其中的一个讲座,不同选法的种数是A.B.C.D.10.将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中,若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的方法共有(A)12种B18种C36种D54种11.由
1、
2、
3、
4、5组成没有重复数字且
1、2都不与5相邻的五位数的个数是(A)36(B)32(C)28(D)24
二、填空题
12、7名志愿者中安排6人在周
六、周日两天参加社区公益活动若每天安排3人,则不同的安排方案共有________________种(用数字作答)
13、.用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有个(用数字作答)
14、甲、乙、丙人站到共有级的台阶上,若每级台阶最多站人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是(用数字作答).
15、某地奥运火炬接力传递路线共分6段,传递活动分别由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生,最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生,则不同的传递方案共有种.(用数字作答).
16、某人有4种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多),要在如题
(16)图所示的6个点A、B、C、A
1、B
1、C1上各装一个灯泡,要求同一条线段两端的灯泡不同色,则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有种(用数字作答).
17、电视台连续播放6个广告,其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告,要求首尾必须播放公益广告,则共有种不同的播放方式(结果用数值表示).
18、用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数,则其中数字1,2相邻的偶数有 个(用数字作答).
19、某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教每地1人,其中甲和乙不同去,则不同的选派方案共有种.
20、某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教每地1人其中甲和乙不同去甲和丙只能同去或同不去则不同的选派方案共有种参考答案
一、选择题
1、B【解析】分两类第一类甲排在第一位,共有种排法;第二类甲排在第二位,共有种排法,所以共有编排方案种,故选B
2.A【解析】:可分以下2种情况:1A类选修课选1门B类选修课选2门有HYPERLINKhttp://www.ks5u.com/EMBEDEquation.DSMT4种不同的选法;2A类选修课选2门B类选修课选1门有HYPERLINKhttp://www.ks5u.com/EMBEDEquation.DSMT4种不同的选法.所以不同的选法共有HYPERLINKhttp://www.ks5u.com/EMBEDEquation.DSMT4+HYPERLINKhttp://www.ks5u.com/EMBEDEquation.DSMT4种.
3、B【解析】分三类
(1)B、D、E、F用四种颜色,则有种方法;
(2)B、D、E、F用三种颜色,则有种方法;
(3)B、D、E、F用二种颜色,则有,所以共有不同的涂色方法共24+192+48=264种
4、B【解析】分类讨论若有2人从事司机工作,则方案有;若有1人从事司机工作,则方案有种,所以共有18+108=126种,故B正确.[来源:
5、C【解析】先选一个偶数字排个位,有3种选法w_w_w.k*s5*u.co*m
①若5在十位或十万位,则
1、3有三个位置可排,3=24个
②若5排在百位、千位或万位,则
1、3只有两个位置可排,共3=12个算上个位偶数字的排法,共计324+12=108个
6、A【解析】基本的插空法解决的排列组合问题,将所有学生先排列,有种排法,然后将两位老师插入9个空中,共有种排法,因此一共有种排法
8、C解析分两类甲乙排
1、2号或
6、7号共有种方法甲乙排中间丙排7号或不排7号,共有种方法故共有1008种不同的排法
9.A
10.B【解析】∵先从3个信封中选一个放1,2有3种不同的选法,再从剩下的4个数中选两个放一个信封有,余下放入最后一个信封,∴共有
11、Aw_.解析如果5在两端,则
1、2有三个位置可选,排法为2×=24种如果5不在两端,则
1、2只有两个位置可选,3×=12种共计12+24=36种
2、填空题
12.140解析,
13.解析个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有种;个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有种,所以共有个
14.答案336【解析】对于7个台阶上每一个只站一人,则有种;若有一个台阶有2人,另一个是1人,则共有种,因此共有不同的站法种数是336种.
15、答案
9616、答案
21617、解分二步首尾必须播放公益广告的有A22种;中间4个为不同的商业广告有A44种,从而应当填A22·A44=
48.从而应填48.
18、解析可以分情况讨论
①若末位数字为0,则1,2,为一组,且可以交换位置,3,4,各为1个数字,共可以组成个五位数;
②若末位数字为2,则1与它相邻,其余3个数字排列,且0不是首位数字,则有个五位数;
③若末位数字为4,则1,2,为一组,且可以交换位置,3,0,各为1个数字,且0不是首位数字,则有=8个五位数,所以全部合理的五位数共有24个
19、解析可以分情况讨论,
①甲去,则乙不去,有=480种选法;
②甲不去,乙去,有=480种选法;
③甲、乙都不去,有=360种选法;共有1320种不同的选派方案
20、解析某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教每地1人,其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,可以分情况讨论,
①甲、丙同去,则乙不去,有=240种选法;
②甲、丙同不去,乙去,有=240种选法;
③甲、乙、丙都不去,有种选法,共有600种不同的选派方案.。