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高考数学一轮复习必备(第62课时)第八章圆锥曲线方程-双曲线
一、选择题(共5小题,每小题5分,满分25分)1.(5分)平面内有两个定点F1,F2和一动点M,设命题甲,||MF1|﹣|MF2||是定值,命题乙点M的轨迹是双曲线,则命题甲是命题乙的( ) A.充分但不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 2.(5分)双曲线和它的共轭双曲线的离心率分别为e1,e2,则e1,e2应满足的关系是( ) A.e12+e22=1B.e12﹣e22=1 C.=1D.=1 3.(5分)直线y=ax与曲线(x﹣1)(y﹣1)=2(x<0)有公共点,a的取值范围是( ) A.B.C.D.以上都不对 4.(5分)双曲线的渐进线方程为,且焦距为10,则双曲线方程为( ) A.B.或 C.D. 5.(5分)双曲线的离心率e∈(1,2),则k的取值范围是( ) A.(﹣∞,0)B.(﹣3,0)C.(﹣12,0)D.(﹣60,﹣12)
二、填空题(共7小题,每小题4分,满分28分)6.(4分)双曲线上一点P的两条焦半径夹角为60°,F1,F2为焦点,则△PF1F2的面积为 _________ . 7.(4分)与圆(x+3)2+y2=1及圆(x﹣3)2+y2=9都外切的圆的圆心轨迹方程为 _________ . 8.(4分)过点(0,3)作直线l,如果它与双曲线有且只有一个公共点,则直线l的条数是 _________ . 9.(4分)6件产品中,有2件次品,任取两件都是次品的概率是 _________ . 10.(4分)过双曲线的一个焦点F1且垂直于实轴的弦PQ,若F2为另一个焦点,且有∠PF2Q=90°,则此双曲线的离心率为 _________ . 11.(4分)已知,P是曲线x2﹣y2=1(x>0)上一点,当取最小值时,P的坐标是 _________ ,最小值是 _________ . 12.(4分)如果F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,AB是双曲线左支上过点F1的弦,且|AB|=6,则△ABF2的周长是 _________ .
三、解答题(共6小题,满分0分)13.已知双曲线的左右焦点分别为F1,F2,左准线为l,能否在双曲线的左支上求一点P,使|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项?若能,求出P的坐标,若不能,说明理由. 14.过双曲线的右焦点F作双曲线在第
一、第三象限的渐近线的垂线l,垂足为P,l与双曲线的左、右支的交点分别为A,B.
(1)求证P在双曲线的右准线上;
(2)求双曲线离心率的取值范围. 15.是否同时存在满足下列条件的双曲线,若存在,求出其方程,若不存在,说明理由.
(1)渐近线方程为x+2y=0,x﹣2y=0;
(2)点A(5,0)到双曲线上动点P的距离最小值为. 16.一椭圆其中心在原点,焦点在同一坐标轴上,焦距为,一双曲线和这椭圆有公共焦点,且双曲线的半实轴比椭圆的长半轴长小4,且双曲线的离心率与椭圆的离心率之比为73,求椭圆和双曲线的方程. 17.设双曲线两焦点F1(﹣c,0),F2(c,0),点P为双曲线右支上除顶点外的任一点,∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,求证. 18.已知双曲线C的两个焦点为F1,F2,实半轴长与虚半轴长的乘积为,直线l过点F2,且与线段F1F2的夹角为α,,直线l与线段F1F2的垂直平分线的交点为P,线段PF2与双曲线的交点为Q,且,求双曲线方程. 高考数学一轮复习必备(第62课时)第八章圆锥曲线方程-双曲线参考答案与试题解析
一、选择题(共5小题,每小题5分,满分25分)1.(5分)平面内有两个定点F1,F2和一动点M,设命题甲,||MF1|﹣|MF2||是定值,命题乙点M的轨迹是双曲线,则命题甲是命题乙的( ) A.充分但不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件考点双曲线的定义;必要条件、充分条件与充要条件的判断350129专题分析法分析先根据||MF1|﹣|MF2||是定值可得到动点M的轨迹即是双曲线,即命题乙正确;再由点M的轨迹是双曲线可得到动点M到两定点的距离的差的绝对值等于定值,即命题甲正确,从而可得到答案.解答解命题甲||MF1|﹣|MF2||是定值可得到动点M的轨迹不一定是双曲线,可推不出命题乙,故不充分命题乙点M的轨迹是双曲线,则可得到M到两定点的距离的差的绝对值等于一常数,即可推出命题甲,故必要∴命题甲是命题乙的必要不充分条件.故选B.点评本题主要考查双曲线的定义和充分、必要条件的判定.考查知识的综合运用能力. 2.(5分)双曲线和它的共轭双曲线的离心率分别为e1,e2,则e1,e2应满足的关系是( ) A.e12+e22=1B.e12﹣e22=1 C.=1D.=1考点双曲线的简单性质350129专题计算题分析分别求出双曲线和它的共轭双曲线的离心率分别为e1和e2,然后利用双曲线的性质探索e1和e2的关系.解答解∵,∴,故选D.点评正确理解共轭双曲线的概念是解题的关键. 3.(5分)直线y=ax与曲线(x﹣1)(y﹣1)=2(x<0)有公共点,a的取值范围是( ) A.B.C.D.以上都不对考点函数与方程的综合运用350129专题计算题;数形结合分析直线y=ax中的a看成是直线的斜率,分别画出直线与曲线的图,由图可知,解决问题的关键是求出直线与曲线相交时,a的范围即可.将直线y=ax与曲线(x﹣1)(y﹣1)=2(x<0)的方程组成方程即可解得.解答解分别画出直线与曲线的图由得,(x﹣1)(ax﹣1)=2(x<0),令其判断式△≥0,得.故选C.点评利用函数的图象可以加强直观性,同时也便于问题的理解.本题先由已知条件中的解析式,画出图形,再利用数形结合的方法判断有公共点,a的取值范围. 4.(5分)双曲线的渐进线方程为,且焦距为10,则双曲线方程为( ) A.B.或 C.D.考点双曲线的标准方程;双曲线的简单性质350129专题计算题分析先设出双曲线的标准方程,进而根据渐近线方程和焦距联立方程求得a和b,答案可得.解答解当焦点在x轴上时,渐近线方程为,所以此时有,2c=10,又因a2+b2=c2,联立解得a=2,b=.所以双曲线方程为.当焦点在y轴上时,渐近线方程为,所以此时有,2c=10,又因a2+b2=c2,联立解得a=,b=2.所以双曲线方程为.故选D.点评本题主要考查了双曲线的标准方程.属基础题. 5.(5分)双曲线的离心率e∈(1,2),则k的取值范围是( ) A.(﹣∞,0)B.(﹣3,0)C.(﹣12,0)D.(﹣60,﹣12)考点双曲线的简单性质350129专题计算题分析先把双曲线方程化为标准形式,由离心率的范围求出k的取值范围.解答解∵双曲线的离心率e∈(1,2),∴双曲线标准方程为﹣=1∴k<0,∴1<e2<4,1<<4,﹣12<k<0,故答案选C点评本题考查双曲线的标准方程和离心率.
二、填空题(共7小题,每小题4分,满分28分)6.(4分)双曲线上一点P的两条焦半径夹角为60°,F1,F2为焦点,则△PF1F2的面积为 16 .考点双曲线的简单性质350129专题计算题分析由双曲线的性质知|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|=100…
(1),由余弦定理可知|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cos60°=164…
(2),由
(1)、
(2)联立方程组,解得|PF1||PF2|=64,由此可以求出△PF1F2的面积.解答解∵|PF1|﹣|PF2|=10,∴|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|=100…
(1)∵双曲线上一点P的两条焦半径夹角为60°,∴由余弦定理可知|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cos60°=164…
(2),由
(1)、
(2)联立方程组,解得|PF1||PF2|=64,∴△PF1F2的面积==16.答案16.点评利用余弦定理解决圆锥曲线问题是求解高考题的常规方法. 7.(4分)与圆(x+3)2+y2=1及圆(x﹣3)2+y2=9都外切的圆的圆心轨迹方程为 (x<0) .考点轨迹方程;圆与圆的位置关系及其判定350129专题计算题分析设所求圆的圆心坐标P(x,y),半径为r,两圆的圆心分别是C1,C2,根据题意可知两圆心的坐标,根据所求圆与两个圆都外切进而可得PC1|和|PC2|的表达式,整理可得|PC2|﹣|PC1|=2,根据双曲线定义可知P点的轨迹为C1,C2为焦点的双曲线进而根据双曲线的性质可求得双曲线的方程.解答解设所求圆的圆心坐标P(x,y),半径为r,两圆的圆心分别是C1,C2,∵所求圆与两个圆都外切,∴|PC1|=r+1,|PC2|=r+3,即|PC2|﹣|PC1|=2,根据双曲线定义可知P点的轨迹为以C1,C2为焦点的双曲线,2c=6,c=3;2a=2,a=1,b=2∴P点的轨迹方程为(x<0)故答案为为(x<0)点评本题主要考查点的轨迹方程及双曲线的性质.常用方法是直接法,定义法,代入转移法等. 8.(4分)过点(0,3)作直线l,如果它与双曲线有且只有一个公共点,则直线l的条数是 4 .考点直线与圆锥曲线的综合问题350129专题计算题分析设直线L的方程,与双曲线方程联立,进而推断要使L与双曲线只有一个公共点,需上述方程只有一根或两实根相等,进而根据△=0和3﹣4k2=0,求得k,进而判断出直线l的条数.解答解设直线L y=kx+3,代入双曲线方程化简得(3﹣4k2)x2﹣24kx﹣48=0,
①要使L与双曲线只有一个公共点,需上述方程只有一根或两实根相等,∴3﹣4k2=0,或△=192(3k2+3﹣4k2)=0,解得k2=或3,∴k=±或±满足题设的L有4条.故答案为4点评本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.突出考查了数形结合在实际问题中的应用. 9.(4分)6件产品中,有2件次品,任取两件都是次品的概率是 .考点等可能事件的概率350129分析利用乘法原理列举出所有情况,再观察出任取两件都是次品的情况数,最后看所求的情况占总情况的多少即可.解答解第一次可取6件产品,第二次可取5件产品,那么共有6×5=30种可能,两件都是次品的有2种,所以概率是.故填.点评本题考查概率的求法,关键是找到所有存在的情况.用到的知识点为概率=所求情况数与总情况数之比. 10.(4分)过双曲线的一个焦点F1且垂直于实轴的弦PQ,若F2为另一个焦点,且有∠PF2Q=90°,则此双曲线的离心率为 1+ .考点双曲线的简单性质350129专题计算题分析根据题设条件我们知道|PQ|=,,因为∠PF2Q=90°,则,据此可以推导出双曲线的离心率.解答解由题意可知通径|PQ|=,,∵∠PF2Q=90°,∴,∴b4=4a2c2∵c2=a2+b2,∴c4﹣6a2c2+a4=0∴e4﹣6e2+1=0∴或(舍去)∴.答案.点评这道题数量间的关系比较繁琐,推导过程中要多一点耐心. 11.(4分)已知,P是曲线x2﹣y2=1(x>0)上一点,当取最小值时,P的坐标是 ,最小值是 2﹣ .考点双曲线的简单性质350129分析由题设条件易得a=1,c=,根据双曲线的第二定义可知,,∴,∴=|PA|+|PB|.由此可以求出当取最小值时,P的坐标和最小值.解答解∵a=1,c=,∴,准线方程为,过点P作PB⊥双曲线的准线,交双曲线准线与点B.由双曲线的第二定义可知,,∴,∴=|PA|+|PB|.由题意可知,连接AB,当AB⊥双曲线的准线时,=|PA|+|PB|取最小值,此时点P的纵坐标为1,把y=1代入曲线x2﹣y2=1(x>0)得,∴当取最小值时,P的坐标是().由题设条件可知,=|PA|+|PB|的最小值是2﹣.答案;.点评本题考查双曲线的第二定义,解题时要注意进行等价转化. 12.(4分)如果F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,AB是双曲线左支上过点F1的弦,且|AB|=6,则△ABF2的周长是 28 .考点双曲线的定义;双曲线的应用350129专题计算题分析本题涉及到双曲线上的点和两焦点构成的三角形问题,可用定义处理,由定义知|AF2|﹣|AF1|=8
①,|BF2|﹣|BF1|=8
②,两式相加再结合已知|AB|=6即可求解.解答解由题意知a=4,b=3,故c=5.由双曲线的定义知|AF2|﹣|AF1|=8
①,|BF2|﹣|BF1|=8
②,
①+
②得|AF2|+|BF2|﹣|AB|=16,所以|AF2|+|BF2|=22,所以△ABF2的周长是|AF2|+|BF2|+|AB|=28故答案为28点评本题考查双曲线的定义的应用,涉及到双曲线上的点和两焦点构成的三角形问题,一般用定义处理.
三、解答题(共6小题,满分0分)13.已知双曲线的左右焦点分别为F1,F2,左准线为l,能否在双曲线的左支上求一点P,使|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项?若能,求出P的坐标,若不能,说明理由.考点双曲线的应用;等比数列的性质350129专题计算题分析先求出焦点的坐标,利用题中条件、双曲线的第一定义、第二定义,求出|PF1|=,进而分析出双曲线左支上任意一点到F1的距离最小为﹣5﹣(﹣13)=8>,故点P不存在.解答解由题意得a=5,b=12,c=13,F1(﹣13,0),F2(13,0),左准线为l x=﹣,设点P(x,y),|PF1|2=d•|PF2|,又=e==,∴|PF1|=•|PF2|,又|PF2|﹣|PF1|=10,∴|PF1|=,|PF2|=,∵双曲线左支上任意一点到F1(﹣13,0)的距离最小为﹣5﹣(﹣13)=8>,故双曲线左支上不存在点P,使|PF1|是P到l的距离d与|PF2|的等比中项.点评本题是个开放型的题目,考查双曲线的第
一、第二定义,及双曲线的性质. 14.过双曲线的右焦点F作双曲线在第
一、第三象限的渐近线的垂线l,垂足为P,l与双曲线的左、右支的交点分别为A,B.
(1)求证P在双曲线的右准线上;
(2)求双曲线离心率的取值范围.考点双曲线的简单性质;直线与圆锥曲线的综合问题350129专题计算题;证明题分析
(1)先设出双曲线半焦距,求得渐近线方程,则可求得过F的垂线方程,联立方程求得焦点p的横坐标,推断出在右准线上
(2)根据直线l与双曲线左右支均有交点,判断出该双曲线与其在第
一、三象限的渐近线l1必交于第三象限.即l1的斜率必大于l的斜率,进而推断出>整理后即可求得a和c的不等式关系,求得离心率的范围.解答解
(1)设双曲线半焦距为c,c>0,有F(c,0)该渐近线方程为y=﹣x,则过F的垂线为y=(x﹣c)联立方程组可解得x=,即在右准线x=上.
(2)因为直线l与双曲线左右支均有交点,则该双曲线与其在第
一、三象限的渐近线l1必交于第三象限.所以l1的斜率必大于l的斜率,即>,即b2>a2,又b2=c2﹣a2,所以c2>2a2则离心率e=>点评本题主要考查了双曲线的简单性质.涉及了双曲线方程中a,b和c的关系,渐近线问题,离心率问题等. 15.是否同时存在满足下列条件的双曲线,若存在,求出其方程,若不存在,说明理由.
(1)渐近线方程为x+2y=0,x﹣2y=0;
(2)点A(5,0)到双曲线上动点P的距离最小值为.考点双曲线的简单性质350129专题计算题;综合题;数形结合;转化思想分析根据双曲线和其渐近线之间的关系,设出双曲线的方程,根据点A(5,0)到双曲线上动点P的距离最小值为,转化为双曲线与半径为的圆A相切,联立消去y得,利用△=0即可求得双曲线的方程.解答解由渐近线方程为x±2y=0,设双曲线方程为x2﹣4y2=m,∵点A(5,0)到双曲线上动点P的距离的最小值为,说明双曲线与半径为的圆A相切,∵圆A方程为(x﹣5)2+y2=6,与x2﹣4y2=m联立消去y得4(x﹣5)2+x2=24+m化简得到5x2﹣40x+76﹣m=0,△=402﹣4×5×(76﹣m)=0,解得m=﹣4所以满足条件的双曲线方程为x2﹣4y2=﹣4,即y2﹣=1.或者双曲线的顶点在(5+,0)渐近线为x±2y=0,双曲线方程为.所以所求双曲线方程为y2﹣=1,.点评考查双曲线的简单的几何性质,特别是双曲线方程与其渐近线方程之间的关系,已知双曲线的方程求其渐近线方程时,令即可,反之,如此题设双曲线方程为x2﹣4y2=m,避免了讨论,条件
(2)的设置增加了题目的难度,体现了转化的思想,属中档题. 16.一椭圆其中心在原点,焦点在同一坐标轴上,焦距为,一双曲线和这椭圆有公共焦点,且双曲线的半实轴比椭圆的长半轴长小4,且双曲线的离心率与椭圆的离心率之比为73,求椭圆和双曲线的方程.考点椭圆的标准方程;抛物线的标准方程;圆锥曲线的共同特征350129分析首先根据焦点分别在x轴、y轴上进行分类,不妨先设焦点在x轴上的椭圆、双曲线的标准方程,然后根据题意与椭圆、双曲线的性质列方程组,再解方程组求得焦点在x轴上的椭圆、双曲线的标准方程,最后把焦点在y轴上的椭圆、双曲线的标准方程补充上即可.解答解若椭圆、双曲线的焦点在x轴上,则设椭圆、双曲线的标准方程分别为、,由题意得解得a1=7,a2=3,b1=6,b2=2,所以焦点在x轴上的椭圆、双曲线的标准方程分别为和;同理焦点在y轴上的椭圆、双曲线的标准方程分别为和.点评本题主要考查椭圆、双曲线的标准方程. 17.设双曲线两焦点F1(﹣c,0),F2(c,0),点P为双曲线右支上除顶点外的任一点,∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,求证.考点双曲线的应用;三角函数恒等式的证明350129专题证明题分析在△PF1F2中,,所以,由此能够推导出.解答解在△PF1F2中,,∴,∴,∴=∴(a+c)=,∴.点评本题考查双曲线的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答. 18.已知双曲线C的两个焦点为F1,F2,实半轴长与虚半轴长的乘积为,直线l过点F2,且与线段F1F2的夹角为α,,直线l与线段F1F2的垂直平分线的交点为P,线段PF2与双曲线的交点为Q,且,求双曲线方程.考点双曲线的标准方程350129专题计算题分析设出双曲线的标准方程,和Q的坐标,过Q做x轴垂线,垂足为A,|根据,|PQ||QF2|=|OA||AF|和|OA|+|AF|=c,推断出|OA|=c=x,|AF2|=,进而根据tanα求得y的表达式,则Q点坐标可知,代入椭圆方程同时利用c2=a2+b2转化成关于的方程,求得的值,进而根据ab=联立求得a和b,则双曲线的方程可得.解答解双曲线方程为=1,Q(x,y),F2(c,0),过Q做x轴垂线,垂足为A,|PQ||QF2|=21=|OA||AF|,|OA|+|AF|=c,所以|OA|=c=x,|AF2|=,tanα==∴y=,即Q(C,)代入方程,﹣=1,∵c2=a2+b2代入,化简﹣﹣41=0,令=k,16k2﹣41k﹣21=0,(k﹣3)(16k+7)=0,k=3或﹣(负舍)即=3,又ab=,解方程组,得a=1,b=,故双曲线方程为x2﹣=1.点评本题主要考查了双曲线的标准方程.解题的关键是尽可能多的从条件中挖掘有效信息,综合运用所学知识. 。