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华东师大版八年级数学下册全册教案第17章分式§
17.
1.1分式的概念教学目标
1、经历实际问题的解决过程,从中认识分式,并能概括分式
2、使学生能正确地判断一个代数式是否是分式
3、能通过回忆分数的意义,类比地探索分式的意义及分式的值如某一特定情况的条件,渗透数学中的类比,分类等数学思想教学重点探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件教学难点能通过回忆分数的意义,探索分式的意义教学过程
一、做一做
(1)面积为2平方米的长方形一边长3米,则它的另一边长为_____米;
(2)面积为S平方米的长方形一边长a米,则它的另一边长为________米;
(3)一箱苹果售价p元,总重m千克,箱重n千克,则每千克苹果的售价是___元;
二、概括形如A、B是整式,且B中含有字母,B≠0的式子,叫做分式.其中 A叫做分式的分子B叫做分式的分母.整式和分式统称有理式即有理式 整式,分式.
三、例题例1下列各有理式中,哪些是整式?哪些是分式?
(1);
(2);
(3);
(4).解属于整式的有
(2)、
(4);属于分式的有
(1)、
(3).注意在分式中,分母的值不能是零.如果分母的值是零,则分式没有意义.例如,在分式中,a≠0;在分式中,m≠n.例2当取什么值时,下列分式有意义?
(1);
(2).分析要使分式有意义,必须且只须分母不等于零.解
(1)分母≠0,即≠
1.所以,当≠1时,分式有意义.
(2)分母2≠0,即≠-.所以,当≠-时,分式有意义.
四、练习P5习题
17.1第3题
(1)
(3)1.判断下列各式哪些是整式,哪些是分式?9x+4,
2.当x取何值时,下列分式有意义?
(1)
(2)
(3)
3.当x为何值时,分式的值为0?
(1)
(2)3
五、小结什么是分式?什么是有理式?
六、作业P5习题
17.1第
1、2题,第3题
(2)
(4)
七、教学反思§
17.
1.2分式的基本性质教学目标
1、掌握分式的基本性质,掌握分式约分方法,熟练进行约分,并了解最简分式的意义
2、使学生理解分式通分的意义,掌握分式通分的方法及步骤教学重点让学生知道约分、通分的依据和作用,学会分式约分与通分的方法教学难点
1、分子、分母是多项式的分式约分;
2、几个分式最简公分母的确定教学过程
1、分式的基本性质分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变.用式子表示是(其中M是不等于零的整式)与分数类似,根据分式的基本性质,可以对分式进行约分和通分.
2、例3 约分
(1);
(2)分析分式的约分,即要求把分子与分母的公因式约去.为此,首先要找出分子与分母的公因式.解
(1)=-=-.
(2)==.约分后,分子与分母不再有公因式.分子与分母没有公因式称为最简分式.
3、练习P5练习第1题约分
(1)
(3)
4、例4 通分
(1),;
(2),;
(3),解
(1)与的最简公分母为a2b2,所以==,==.
(2)与的最简公分母为(x-y)x+y,即x2-y2,所以==,==.请同学们根据这两小题的解法,完成第
(3)小题
5、练习P5练习第2题通分新课标第一网
6、小结
(1)请你分别用数学语言和文字表述分式的基本性质;
(2)分式的约分运算,用到了哪些知识?让学生发表,互相补充,归结为
①因式分解;
②分式基本性质;
③分式中符号变换规律;约分的结果是,一般要求分、分母不含“-”
(3)把几个异分母的分式,分别化成与原来分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分分式通分,是让原来分式的分子、分母同乘以一个适当的整式,根据分式基本性质,通分前后分式的值没有改变通分的关键是确定几个分式的公分母,从而确定各分式的分子、分母要乘以什么样的“适当整式”,才能化成同一分母确定公分母的方法,通常是取各分母所有因式的最高次幂的积做公分母,这样的公分母叫做最简公分母
7、作业P5练习1约分第
(2)
(4)题,习题
17.1第4题
8、教学反思§
17.2分式的运算§
17.
2.1分式的乘除法教学目标
1、让学生通过实践总结分式的乘除法,并能较熟练地进行式的乘除法运算
2、使学生理解分式乘方的原理,掌握乘方的规律,并能运用乘方规律进行分式的乘方运算
3、引导学生通过分析、归纳,培养学生用类比的方法探索新知识的能力教学重点分式的乘除法、乘方运算教学难点分式的乘除法、混合运算,以及分式乘法,除法、乘方运算中符号的确定教学过程
一、复习与情境导入
1、1什么叫做分式的约分?约分的根据是什么?新课标第一网2下列各式是否正确?为什么?
2、尝试探究计算
(1);
(2).概括分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母.如果得到的不是最简分式,应该通过约分进行化简.分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘.(用式子表示如右图所示)
二、例题例1计算
(1);
(2).解
(1)==.
(2)==.例2计算.解 原式==.
三、练习P7第1题
四、思考怎样进行分式的乘方呢?试计算
(1)()3
(2)()k(k是正整数)
(1)()3===________;
(2)()k===___________.仔细观察所得的结果,试总结出分式乘方的法则.
五、小结
1、怎样进行分式的乘除法?
2、怎样进行分式的乘方?
六、作业P9习题
19.2第1题P7练习第2题计算
七、教学反思§
17.
2.2分式的加减法教学目标
1、使学生掌握同分母、异分母分式的加减,能熟练地进行同分母,异分母分式的加减运算
2、通过同分母、异分母分式的加减运算,复习整式的加减运算、多项式去括号法则以及分式通分,培养学生分式运算的能力
3、渗透类比、化归数学思想方法,培养学生的能力教学重点让学生熟练地掌握同分母、异分母分式的加减法教学难点分式的分子是多项式的分式减法的符号法则,去括号法则应用教学过程
一、实践与探索
1、回忆同分母的分数的加减法法则同分母的分数相加减,分母不变,把分子相加减
2、试一试计算
(1);
(2)
3、总结一下怎样进行分式的加减法?概括同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减;异分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减.
二、例题
1、例3计算
2、例4计算.分析这里两个加项的分母不同,要先通分.为此,先找出它们的最简公分母.注意到=所以最简公分母是解 ======
三、练习P9第1题
(1)
(3)、第2题
(1)
(3)
四、小结
1、同分母分式的加减法类似于同分母的分数的加减法;
2、异分母分式的加减法步骤
①.正确地找出各分式的最简公分母求最简公分母概括为
(1)取各分母系数的最小公倍数;
(2)凡出现的字母为底的幂的因式都要取;
(3)相同字母的幂的因式取指数最大的取这些因式的积就是最简公分母
②.准确地得出各分式的分子、分母应乘的因式
③.用公分母通分后,进行同分母分式的加减运算
④.公分母保持积的形式,将各分子展开
⑤.将得到的结果化成最简分式(整式)
五、作业P9习题
17.2第
2、
3、4题
六、教学反思§
17.3可化为一元一次方程的分式方程1教学目标
1、使学生理解分式方程的意义,会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程.
2、使学生理解增根的概念,了解增根产生的原因,知道解分式方程须验根并掌握验根的方法.
3、使学生领会“转化”的思想方法,认识到解分式方程的关键在于将它转化为整式方程来解.
4、培养学生自主探究的意识,提高学生观察能力和分析能力教学重点使学生理解分式方程的意义,会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程.教学难点使学生理解增根的概念,了解增根产生的原因,知道解分式方程须验根并掌握验根的方法.教学过程
一、问题情境导入轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同.已知水流的速度是3千米/时,求轮船在静水中的速度.分 析设轮船在静水中的速度为x千米/时,根据题意,得.
(1)概 括方程1中含有分式,并且分母中含有未知数,像这样的方程叫做分式方程.思 考怎样解分式方程呢?有没有办法可以去掉分式方程中的分母把它转化为整式方程呢?试动手解一解方程
(1).方程
(1)可以解答如下方程两边同乘以(x+3)x-3,约去分母,得80(x-3)=60x+
3.解这个整式方程,得x=
21.所以轮船在静水中的速度为21千米/时.概 括 上述解分式方程的过程,实质上是将方程的两边乘以同一个整式,约去分母,把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母.
二、例题
1、例1 解方程.解 方程两边同乘以(x2-1)约去分母,得x+1=
2.解这个整式方程,得x=
1.解到这儿,我们能不能说x=1就是原分式方程的解(或根)呢?细心的同学可能会发现,当x=1时,原分式方程左边和右边的分母(x-1)与(x2-1)都是0,方程中出现的两个分式都没有意义,因此,x=1不是原分式方程的解,应当舍去.所以原分式方程无解.我们看到,在将分式方程变形为整式方程时,方程两边同乘以一个含未知数的整式,并约去了分母,有时可能产生不适合原分式方程的解(或根),这种根通常称为增根.因此,在解分式方程时必须进行检验.
2、例2 解方程.解 方程两边同乘以xx-7,约去分母,得100(x-7)=30x.解这个整式方程,得x=
10.检验把x=10代入xx-7,得10×(10-7)≠0所以,x=10是原方程的解.
三、练习P14第1题
四、小结⑴、什么是分式方程?举例说明;⑵、解分式方程的一般步骤在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母,化为整式方程.解这个整式方程..验根,即把整式方程的根代入最简公分母,看结果是不是零,若结果不是0,说明此根是原方程的根;若结果是0,说明此根是原方程的增根,必须舍去.⑶、解分式方程为什么要进行验根?怎样进行验根?
五、作业P14习题
17.3第1题
(1)
(2)、第2题
六、教学反思§
17.3可化为一元一次方程的分式方程2教学目标
1、进一步熟练地解可化为一元一次方程的分式方程
2、通过分式方程的应用教学,培养学生数学应用意识教学重点让学生学习审明题意设未知数,列分式方程教学难点在不同的实际问题中,设元列分式方程教学过程
一、复习并问题导入
1、复习练习解下列方程
(1)
(2)
2、列方程解应用题的一般步骤?[概括]这些解题方法与步骤,对于学习分式方程应用题也适用这节课,我们将学习列分式方程解应用题
二、实践与探索列分式方程解应用题例3某校招生录取时,为了防止数据输入出错,2640名学生的成绩数据分别由两位程序操作员各向计算机输入一遍,然后让计算机比较两人的输入是否一致.已知甲的输入速度是乙的2倍,结果甲比乙少用2小时输完.问这两个操作员每分钟各能输入多少名学生的成绩?解 设乙每分钟能输入x名学生的成绩,则甲每分能输入2x名学生的成绩,根据题意得=.解得 x=
11.经检验,x=11是原方程的解.并且x=11,2x=2×11=22,符合题意.答甲每分钟能输入22名学生的成绩,乙每分钟能输入11名学生的成绩.强调既要检验所求的解是否是原分式方程的解,还要检验是否符合题意;
三、练习P14第
2、3题
四、小结列分式方程解应用题的一般步骤
(1)审清题意;
(2)设未知数(要有单位);
(3)根据题目中的数量关系列出式子,找出相等关系,列出方程;
(4)解方程,并验根,还要看方程的解是否符合题意;
(5)写出答案(要有单位)
五、作业P14习题
17.3第1题
(3)
(4),第3题
七、教学反思§
17.4零指数幂与负整指数幂§
17.
4.1零指数幂与负整指数幂教学目标
1、使学生掌握不等于零的零次幂的意义
2、使学生掌握(a≠0,n是正整数)并会运用它进行计算
3、通过探索,让学生体会到从特殊到一般的方法是研究数学的一个重要方法教学重点、难点不等于零的数的零次幂的意义以及理解和应用负整数指数幂的性质是本节课的重点也是难点教学过程
一、复习并问题导入问题1在§
13.1中介绍同底数幂的除法公式时,有一个附加条件m>n,即被除数的指数大于除数的指数.当被除数的指数不大于除数的指数,即m=n或m<n时,情况怎样呢?
二、探索1不等于零的零次幂的意义先考察被除数的指数等于除数的指数的情况.例如考察下列算式52÷52,103÷103,a5÷a5a≠
0.一方面,如果仿照同底数幂的除法公式来计算,得52÷52=52-2=50,103÷103=103-3=100,a5÷a5=a5-5=a0a≠
0.另一方面,由于这几个式子的被除式等于除式,由除法的意义可知,所得的商都等于
1.[概 括]:由此启发,我们规定50=1,100=1,a0=1(a≠0).这就是说任何不等于零的数的零次幂都等于
1.
三、探索2负指数幂我们再来考察被除数的指数小于除数的指数的情况,例如考察下列算式52÷55, 103÷107, 一方面,如果仿照同底数幂的除法公式来计算,得52÷55=52-5=5-3,103÷107=103-7=10-
4.另一方面,我们可利用约分,直接算出这两个式子的结果为52÷55===103÷107===[概 括]由此启发,我们规定5-3=, 10-4=.一般地,我们规定a≠0,n是正整数这就是说,任何不等于零的数的-n(n为正整数)次幂,等于这个数的n 次幂的倒数.
四、例题
1、例1计算
(1)3-2;
(2)
2、例2用小数表示下列各数
(1)10-4;
(2)
2.1×10-
5.解
(1)10-4==
0.
0001.
(2)
2.1×10-5=
2.1×=
2.1×
0.00001=
0.
000021.
五、练习P18练习1
六、探 索现在,我们已经引进了零指数幂和负整指数幂,指数的范围已经扩大到了全体整数.那么,在§
13.1“幂的运算”中所学的幂的性质是否还成立呢?与同学们讨论并交流一下,判断下列式子是否成立.
(1);
(2)a·b-3=a-3b-3;
(3)a-32=a-3×24
七、小结
1、引进了零指数幂和负整数幂,指数的范围扩大到了全体整数,幂的性质仍然成立XkB
1.com同底数幂的除法公式am÷an=am-na≠0mn当m=n时,am÷an=当mn时,am÷an=
2、任何数的零次幂都等于1吗?注意零的零次幂无意义
3、规定其中a、n有没有限制,如何限制
八、作业P18习题
17.4第1题,练习第2题
九、教学反思§
17.
4.2科学记数法教学目标
1、使学生掌握不等于零的零次幂的意义
2、使学生掌握(a≠0,n是正整数)并会运用它进行计算
3、通过探索,让学生体会到从特殊到一般的方法是研究数学的一个重要方法教学重点幂的性质(指数为全体整数)并会用于计算以及用科学记数法表示一些绝对值较小的数教学难点理解和应用整数指数幂的性质教学过程
一、复习并问题导入;=;=,=
二、探索科学记数法在§
2.12中,我们曾用科学记数法表示一些绝对值较大的数,即利用10的正整数次幂,把一个绝对值大于10的数表示成 a×10n的形式,其中n是正整数,1≤∣a∣<
10.例如,864000可以写成
8.64×
105.类似地,我们可以利用10的负整数次幂,用科学记数法表示一些绝对值较小的数,即将它们表示成a×10-n的形式,其中n是正整数,1≤∣a∣<
10.例如,上面例2
(2)中的
0.000021可以表示成
2.1×10-
5.例3一个纳米粒子的直径是35纳米,它等于多少米?请用科学记数法表示.分析 在七年级上册第66页的阅读材料中,我们知道1纳米=米.由=10-9可知,1纳米=10-9米.所以35纳米=35×10-9米.而35×10-9=(
3.5×10)×10-9 =35×101+(-9)=
3.5×10-8,所以这个纳米粒子的直径为
3.5×10-8米.
三、练习P18第
3、4题
四、小结科学记数法不仅可以表示一个绝对值大于10的数,也可以表示一些绝对值较小的数,在应用中,要注意a必须满足,1≤∣a∣<
10.其中n是正整数
五、作业P18习题
17.4第
2、3题六课后反思
七、教学反思第17章分式复习
(1)教学目标
1、巩固分式的基本性质,能熟练地进行分式的约分、通分
2、能熟练地进行分式的运算
3、能熟练地解可化为一元一次方程的分式方程
4、通过分式方程的应用教学,培养学生数学应用意识教学过程
一、复习、注意事项
1.分式的基本性质及分式的运算与分数的情形类似,因而在学习过程中,要注意不断地与分数情形进行类比,以加深对新知识的理解.
2.解分式方程的思想是把含有未知数的分母去掉,从而将分式方程转化为整式方程来解,这时可能会出现增根,必须进行检验.学习时,要理解增根产生的原因,认识到检验的必要性,并会进行检验.
3.由于引进了零指数幂与负整指数幂,绝对值较小的数也可以用科学记数法来表示.
二、练习复习题P20A组
三、作业P21复习题第614题,第734题,第8题
七、教学反思第17章分式复习
(2)教学过程
一、习题讲解
二、练习P20复习题A组
三、作业P21复习题第
9、
11、12题新|课|标|第|一|网第18章 函数及其图象
18、1 变量与函数第一课时变量与函数教学目标使学生会发现、提出函数的实例,并能分清实例中的常量和变量、自变量与函数,理解函数的定义,能应用方程思想列出实例中的等量关系教学过程
一、由下列问题导入新课问题l、右图一是某日的气温的变化图看图回答1.这天的6时、10时和14时的气温分别是多少任意给出这天中的某一时刻,你能否说出这一时刻的气温是多少吗2.这一天中,最高气温是多少最低气温是多少3.这一天中,什么时段的气温在逐渐升高什么时段的气温在逐渐降低从图中我们可以看出,随着时间t时的变化,相应的气温T℃也随之变化问题2一辆汽车以30千米/时的速度行驶,行驶的路程为s千米,行驶的时间为t小时,那么,s与t具有什么关系呢问题3设圆柱的底面直径与高h相等,求圆柱体积V的底面半径R的关系.问题4收音机上的刻度盘的波长和频率分别是用m和千赫兹kHz为单位标刻的.下面是一些对应的数波长l(m)30050060010001500频率fkHz1000600500300200同学们是否会从表格中找出波长l与频率f的关系呢
二、讲解新课1.常量和变量在上述两个问题中有几个量分别指出两个问题中的各个量第1个问题中,有两个变量,一个是时间,另一个是温度,温度随着时间的变化而变化.第2个问题中有路程s,时间t和速度v,这三个量中s和t可以取不同的数值是变量,而速度30千米/时,是保持不变的量是常量.路程随着时间的变化而变化第3个问题中的体积V和R是变量,而 是常量,体积随着底面半径的变化而变化.第4个问题中的l与频率f是变量.而它们的积等于300000,是常量.常量在某一变化过程中始终保持不变的量,称为常量.变量在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量.2.函数的概念上面的各个问题中,都出现了两个变量,它们相互依赖,密切相关,例如在上述的第1个问题中,一天内任意选择一个时刻,都有惟一的温度与之对应,t是自变量,T因变量T是t的函数.在上述的2个问题中,s=30t,给出变量t的一个值,就可以得到变量s惟一值与之对应,t是自变量,s因变量s是t的函数在上述的第3个问题中,V=2πR2,给出变量R的一个值,就可以得到变量V惟一值与之对应,R是变量,V因变量V是R的函数.在上述的第4个问题中,lf=300000,即l=,给出一个f的值,就可以得到变量l惟一值与之对应,f是自变量,l因变量l是f的函数函数的概念如果在—个变化过程中;有两个变量,假设X与Y,对于X的每一个值,Y都有惟一的值与它对应,那么就说X是自变量,Y是因变量,此时也称Y是X的函数.要引导学生在以下几个方面加对于函数概念的理解.变化过程中有两个变量,不研究多个变量;对于X的每一个值,Y都有唯一的值与它对应,如果Y有两个值与它对应,那么Y就不是X的函数例如y2=x3.表示函数的方法1解析法,如问题
2、问题
3、问题4中的s=30t、V=2R
3、l=,这些表达式称为函数的关系式,2列表法,如问题4中的波长与频率关系表;3图象法,如问题l中的气温与时间的曲线图.
三、例题讲解例1.用总长60m的篱笆围成矩形场地,求矩形面积Sm2与边lm之间的关系式,并指出式中的常量与变量,自变量与函数例2.下列关系式中,哪些式中的y是x的函数为什么1y=3x+22y2=x3y=3x2+x+5
四、课堂练习课本第26页练习的第
1、2,3题,
五、课堂小结关于函数的定义的理解应注意两个方面,其一是变化过程中有且只有两个变量,其二是对于其中一个变量的每一个值,另一个变量都有惟一的值与它对应.对于实际问题,同学们应该能够根据题意写出两个变量的关系,即列出函数关系式
六、作业课本第28页习题
18.1第
1、2题新-课-标-第-一-网
七、教学反思第二课时变量与函数教学目标使学生进一步理解函数的定义,熟练地列出实际问题的函数关系式,理解自变量取值范围的含义,能求函数关系式中自变量的取值范围教学过程
一、复习1.填写如右图一所示的加法表,然后把所有填有10的格子涂黑,看看你能发现什么如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示,纵向加数用y表示,试写出y关于x的函数关系式2.如图二,请写出等腰三角形的顶角y与底角x之间的函数关系式. 3.如图三,等腰直角三角形ABC边长与正方形MNPQ的边长均为l0cm,AC与MN在同一直线上,开始时A点与M点重合,让△ABC向右运动,最后A点与N点重合试写出重叠部分面积y与长度x之间的函数关系式.
二、求函数自变量的取值范围1.实际问题中的自变量取值范围问题1在上面的联系中所出现的各个函数中,自变量的取值有限制吗如果有.各是什么样的限制新|课|标|第|一|网问题2某剧场共有30排座位,第l排有18个座位,后面每排比前一排多1个座位,写出每排的座位数与这排的排数的函数关系式,自变量的取值有什么限制从右边的分析可以看出,第n排的 排数座位数座位 l 18一方面可以用18+n-1表 2 18+13 18+2示,另一方面可以用m表示,所以 … …m=18+n-1 n18+n-1n的取值怎么限制呢显然这个n也应该取正整数,所以n取1≤n≤30的整数或0n31的整数请同学们试着写出上面第
2、3两个问题中自变量的取值范围2.用数学式子表示的函数的自变量取值范围例1.求下列函数中自变量x的取值范围1y=3x-l2y=2x2+73y=4y=分析用数学表示的函数,一般来说,自变量的取值范围是使式子有意义的值,对于上述的第12两题,x取任意实数,这两个式子都有意义,而对于第3题,x+2必须不等于0式子才有意义,对于第4题,x-2必须是非负数式子才有意义.3.函数值例2.在上面的练习3中,当MA=1cm时,重叠部分的面积是多少请同学们求一求在例1中当x=5时各个函数的函数值.
三、课堂练习课本第28页练习的第
1、
2、3题
四、小结通过本节课的学习,一方面,我们进一步认识了如何列函数关系式,对于几何问题中列函数关系式比较困难,有的题目的自变量的取值范围也很难确定,只有通过一定量的练习才能做到熟练地解决这个问题;另一方面,对于用数学式子表示的函数关系式的自变量的取值范围,考虑两个方面,其一是分母不能等于0,其二是开偶次方的被开方数是非负数.
五、作业课本第29页的第
3、
4、
5、6题.
六、教学反思
18、2 函数的图象1.平面直角坐标系第一课时平面直角坐标系教学目标使学生了解直角坐标系的由来,能够正确画出直角坐标系,通过具体的事例说明在平面上的点应该用一对有序实数来表示,反过来,每一对有序实数都可以在坐标平面上描出一点教学过程同学们是否想到你们坐的位置可以用数来表示呢如果从门口算起依次是第1列,第2列、……、第8列,从讲台往下数依次是第l行、第2行、……、第7行,那么×××同学的位置就能用一对有序实数来表示1.分别请一些同学说出自己的位置例如,×××同学是第3排第5列,那么3,5就代表了这位同学的位置2.再请一些同学在黑板上描出自己的位置,例如右图中的黑点就是这些同学的位置.3.显然,3,5和5,3所代表的位置不相同,所以同学们可以体会为什么一定要有序实数对才能确定点在平面上的位置问题请同学们想一想,在我们生活还有应用有序实数对确定位置的吗
二、关于笛卡儿的故事直角坐标系,通常称为笛卡儿直角坐标系,它是以法国哲学家,数学家和自然科学家笛卡儿的名字命名的介绍笛卡儿
三、建立直角坐标系wWw.Xkb
1.cOm为了用一对实数表示平面内地点,在平面内画两条互相垂直的数轴,组成平面直角坐标系,水平的轴叫做轴或横轴,取向右为正方向,铅直的数轴叫做轴或纵轴,取向上为正方向,两轴的交点是原点,这个平面叫做坐标平面.在平面直角坐标系中,任意一点都可以用对有序实数来表示.如右图中的点P,从点P分别向x轴和y轴作垂线,垂足分别为M和N.这时,点P在x轴对应的数2,称为点P的横坐标;点P在y轴上对应的数为3,称为P点的纵坐标.依次写出点P的横坐标和纵坐标,得到一对有序实数2,3,称为点P的坐标,这时点户可记作P2,3建立了平面直角坐标系后,两条坐标轴把平面分四个区域,分别称为第
一、
二、
三、四象限,坐标轴不属于任何一个象限.
四、课堂练习1.请同学们在直角坐标系中描出以下各点,并用线依次把这些点连起来,看看是什么图案.-4,
5、-3,-
1、-2,-
2、0,-
3、2,
2、3,
1、4,
5、0,62.写出右图直角坐标系中A、B、C、D、E、F、O各点的坐标.3.课本第32页的第
3、4题
五、小结本节课我们认识了平面直角坐标系,通过上面的讲解和练习可以知道,平面上的点都可以用有序实数来表示,也必须用有序实数表示;反过来,任何一对有序实数都可以在坐标平面上描出一点,所以,在平面直角坐标系中的点和有序实数对是成一一对应的关系
六、作业课本第37页习题18.2的第
1、
2、3题.
七、教学反思第二课时平面直角坐标系教学目标使学生进一步理解平面直角坐标系上的点与有序实数对是一一对应关系.掌握关于x轴y轴和原点对称的点的坐标的求法,明确点在x轴、y轴上坐标的特点,能运用这些知识解决问题,培养学生探索问题的能力.教学过程
一、复习在直角坐标系中分别描出以下各点
1、A3,
2、B3,-
2、C-3,
2、D-3,-2.
2、分别写出点P、Q、R、S、M、N的坐标
3、写出点E、F的坐标
二、探索与思考通过以上练习,鼓励同学们自己提出问题,进而得出结论若没有办法,可以通过以下思考题给予启发1.在四个象限内的点的横、纵坐标的符号是怎样的2.两条坐标轴上的点的坐标有什么特点3.若点在第
一、三象限角平分线上或者在第
二、四象限角平分线上,它的横、纵坐标有什么特点4.关于x轴、y轴原点对称的点的横纵坐标具有什么关系通过对照以上图形讲解,启发学生得到如下结论第一象限+,+,第二象限-,+第三象限-、-第四象限+,-;x轴上的点的纵坐标等于0,反过来,纵坐标等于0的点都在x轴上,y轴上的点的横坐标等于0,反过来,横坐标等于0的点都在y轴上,若点在第
一、三象限角平分线上,它的横坐标等于纵坐标,若点在第二,四象限角平分线上,它的横坐标与纵坐标互为相反数;若两个点关于x轴对称,横坐标相等,纵坐标互为相反数;若两个点关于y轴对称,纵坐标相等,横坐标互为相反数;若两个点关于原点对称,横坐标、纵坐标都是互为相反数
三、例题讲解例1,如果A1-a,b+1在第三象限,那么点Ba,b在A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限分析若要判断点在第几象限,关键是看横纵坐标的符号,从这题来看,就是要判断a、b的符号
四、课堂练习 1.求点A2,-3关于x轴对称y轴对称、原点对称的坐标; 2.若Aa-2,3和A1-1,2b+2关于原点对称,求a、b的值3.已知P,点在y轴上,求P点的坐标
五、小结这节课通过开始的练习探讨坐标轴、各个象限角平分线上的点的坐标有什么特点、各个象限的点的横纵坐标的符号以及关于x轴、y轴;原点对称的点横纵坐标的关系,知识比较零散,需要同学们理解后加以记忆
六、作业补充习题
七、教学反思2.函数的图象第一课时函数的图象一教学目标使学生理解函数的图象是由许多点按照一定的规律组成的图形,能够在平面直角坐标系内画出简单函数的图象.教学过程
一、引入问题右边的气温曲线图给了我们许多信息,例如,那一时刻的气温最高,那一时刻的气温最低,早上6点的气温是多少也许许多同学都可以看出来,那么请同学们说说你是如何从上面的气温曲线图中知道这些信息的.待同学回答完毕,教师给予解释在上面的图形中,有一个直角坐标系,它的横轴与轴,表示时间;它的纵轴是轴,表示气温,这一气温曲线图实质上给出某日气温T℃与时间,时的函数关系,因为对于一日24小时的任何一刻,都有惟一的温度与之对应例如,上午10时的气温是2℃,表现在曲线上,就是可以找到这样的对应点,它的坐标10,2,也就是说,当t=10时,对应的函数值T=2.由于坐标平面上的点与有序实数对是一一对应的关系,因此,气温曲线图是由许许多多的点t,T组成的
二、函数的图象新课标第一网
1.函数的图象是由直角坐标系中的一系列点组成,图象上的每一点坐标x,y代表了函数的一对对应值,即把自变量x与函数y的每一对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标,在直角坐标系中描出相应的点,这些点组成的图形,就是这个函数的图象2.画函数的图象例1.画出函数y=x2的图象分析要画出一个函数的图象,关键是要画出图象上的一些点,为此,要取一些自变量的值,并求出对应的函数值.第一步,列表第二步,描点第三步,连线 用光滑曲线依次把这些点连起来,便可得到这个函数的图象
三、课堂练习课本第34页练习的第
1、2题
四、小结1.函数图象上的点的坐标是函数的自变量与函数值的一对对应值2.根据列表、描点、连线这三个步骤画出简单函数的图象.
五、作业课本第37页习题18.2的第
4、5题.
六、教学反思第二课时函数的图象二教学目标通过观察函数的图象,深刻领会函数中两个变量的关系,能够从所给的图象中获取信息,从而解答一些简单的实际问题.教学过程
一、从所给的函数图象中获取信息例
1、王教授和孙子小强经常一起进行早锻炼,主要活动是爬山.有一天,小强让爷爷先上,然后追赶爷爷;右图中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离米与爬山所用时间分的关系从小强开始爬山时计时,看图回答下列问题1.小强让爷爷先上多少米2.山顶距离山脚多少米谁先爬上山顶3.小强通过多少时间追上爷爷分析从题意可以知道,线条
①表达了小强离开山脚的距离与爬山所用时间的关系,线条
②表达了爷爷离开山脚的距离与爬山所用时间的关系这两条线并不是小强与爷爷的爬山路线刚开始计时时,爷爷已经在小强的前方60米处,小强让爷爷先上60米;从上图来看,山顶距离山脚300米,因为小强登上山顶用的时间比爷爷用的少,所以,小强比爷爷快登上山顶;小强经过8分钟追上爷爷例2.如图表示某学校秋游活动时,学生乘坐旅游车所行走的路程与时间的关系的示意图,请根据示意田回答下列问题1.学生何时下车参观第一风景区参观时间有多长2.11:00时该车离开学校有多远3.学生何时返回学校,返回学校时车的平均速度是多少分析从图象上可以看出,该校学生上午8点出发,8点到9点、10点半到11点半、14点到16点这些时段路程有发生变化,说明学生是在路途中,而9点到l0点半、11点半到14点这两个时段的路程没有发生变化,说明学生在参观景区或休息如果同学们能够从图象上获取这些信息,对于上述的几个问题就容易得到解决
二、课堂练习课本第35页练习的第
1、2题,等待学生思考后,解答
三、小结本节课进一步认识函数的图象,懂得如何从函数的图象中获取我们所要的信息,希望同学们多观察图象,应用所学的知识来获得信息,解决问题.
四、作业1.课本第35页练习的第
2、3题2.课本第38页习题18.2的第6题
五、教学反思18.3一次函数1.一次函数教学目标1.经历探索过程,发展学生的抽象思维能力.2.理解一次函敷和正比例函数的概念3.能根据已知条件,写出简单的一次函数表达式,进一步发展学生的数学应用能力.教学过程
一、创设问题情境问题l小明暑假第一次去北京,汽车驶上A地的高速公路后,小明观察里程碑,发现汽车的平均速度是95千米/时.巳知A地直达北京的高速公路全程为570千米,小明想知道汽车从A地驶出后,距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系,以便根据时间估计自己和北京的距离.分析我们知道汽车距北京的路程随着行车时间而变化,要想找出这两个变化着的量的关系,并据此得出相应的值.显然,应该探究这两个量的变化规律.为此,我们设汽车在高速公路上行驶时间为t小时,汽车距北京的路程为s千米,根据题意,s和t的函数关系式是S=570-95t1说明找出问题中的变量并用字母表示是探求函数关系的第一步,这里的s、t是两个变量,s是t的函数,t是自变量,s为因变量问题2小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来,他已存有50元,从现在起每个月存12元试写出小张的存款数与从现在开始的月份数之间的函数关系式.分析我们设从现在开始的月份数为x,小张的存款数为9元,得到所求函数关系式为y=__________2问题3以上1与2表示的这两个函数有什么共同点上述1与2表示的函数解析式都是用自变量的一次整式表示的
二、一次函数的定义函数的解析式都是用自变量的一次整式表示的,我们称它们为一次函数.一次函数通常可以表示为y=kx+b的形式,其中k、b是常数,k≠0当b=0时,一次函数y=kx常数k≠0也叫做正比例函数.正比例函数也是一次函数,它是一次函数的特例
三、范例例1.梯形的上下底边长分别为6cm和l0cm,写出梯形的面积与它的高之间的函数关系式,并问这是一次函数吗是正比例函数吗例2.写出多边形的内角和与它的边数之间的函数关系式,利用这函数关系式求边数取多少时,其内角和等于900度
四、课堂练习P40页练习
1、2以及P41页练习3
五、作业 P47页习题18.
32、3
六、教学反思2.一次函数的图象第一课时一次函数的图象一教学目标1.经历一次函数的作图过程,能熟练地作出一次函数的图象.2.探索一次函数图象的特点以及某些一次函数图象的异同点,培养学生发现问题和解决问题的能力教学过程
一、复习1.作函数图象一般步骤是什么2.在同个平面直角坐标系中画出下列函数的图象.1y=x2y=x+23y=3x4y=3x+2教学要点要求学生按照列表、描点、连线的一般作图步骤作出函数图象;请两位同学板演;在学生互相评判的基础上教师加以评析.
二、提出问题,解决问题问题l以上四个一次函数图象是什么形状呢让学生观察、讨论,得出四个函数的图象都是直线.问题2一次函数y=kx+bk≠0的图象都是一条直线吗举例验证.让学生猜想,举例验证,发现一次函数y=kx+bk≠0的图象是一条直线教师指出这条直线通常也称为直线y=kx+bb≠0,特别地,正比例函数y=kxk≠0的图象是经过0,0的一条直线.问题3几个点可以确定一条直线问题4画一次函数图象时,只要取几个点只要取两点教师指出,今后画一次函数的图象,只要取两点再过两点画直线即可.问题5观察“做一做”画出的四个函数的图象,如图所示,比较下列各对一次函数的图象有什么共同点,有什么不同点.1y=3x与y=3x+22y=x与y=x+23y=3x+2与y=x+2能否从中发现一些规律让学生分组讨论、交流,教师引导观察,总结问题6对于直线y=kx+bk、b是常数,k≠0.常数k和b的取值对于直线的位置各有什么影响让学生讨论,交流,发表意见,达成共识,然后填空两个一次函数,当k一样,b不一样时,有共同点__________________________不同点:___________________________当两个一次函数,b一样,k不一样时,有共同点__________________________不同点__________________________在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象画在课本直角坐标系上1y=2x与y=2x+32y=2x+l与y=x+1请同学们画出图象后,看看是否与上面的讨论结果一样.提问你取的是哪几个点和同学比较一下,怎样取比较简便通过比较,教师点拨,得出结论一般情况下,要取直线与x,y轴的交点比较简便
三、课堂练习P42页练习l、2
四、小结1.一次函数的图象是什么形状呢2.画一次函数图象时,只要取几个点怎样取比较简便3.两个一次函数图象,当k一样,b不一样时,有什么共同点和不同点当b一样,k不一样时,有什么共同点和不同点
五、作业P47页习题18.3第
4、5题
六、教学反思第二课时一次函数的图象二教学目标
1、使学生熟练的作出一次函数的图象
2、探索一次函数作图过程教学过程
一、复习1.一次函数的图象是什么形状呢2.正比例函数y=kxk≠0的图象是经过哪一点的一条直线3.画一次函数图象时.只要取几点4.在同一直角坐标系中画出下列函数的图象.并说出它们有什么关系y=4xy=4x+2
二、范例例l求直线y=-2x-3与x轴和y轴的交点.并画出这条直线.提问平面直角坐标系中坐标轴上点的坐标有什么特征让学生分组讨论、交流,发表意见,教师引导并归纳为x轴上的点的坐标为x,0y轴上的点坐标0y说明:
1.画出直线后,要在直线旁边写出一次函数解析式2.在坐标轴上取点有什么好处例2,画出问题1中小明距北京的路程与开车时间t之间函数s=570-95t的图象提问1.这里s和t取的数悬殊较大,怎么办让学生分组讨论,然后发表意见,教师引导并归纳为在实际问题中,我们可以在表示时间的t轴和表示路程的s轴上分别选取适当的单位长度,画出平面直角坐标系,如图所示.2.作图要取几点如何取点最好3.你能画出这个函数图象吗试试看.让学生动手画出函数s=570-95t的图象,教师巡视指导,及时纠正学生画图中可能出现的错误画法画出这个函数图象后,讨论以下几个问题
1.这个函数是不是一次函数
2.这个函数中自变量t的取值范围是什么函数的图象是什么
3.在实际问题中,一次函数的图象除了直线和本题的图形外,还有没有其他情形你能不能找出几个例子加以说明对于以上第1和第2个问题,可让学生在讨论的基础上发表自己的看法,教师引导并归纳为函数y=570-95t是一次函数,函数中自变量的取值范围是0≤t≤6,函数的图象是一条线段.对于第3个问题,只要求各小组分别能举出一个例子在班上交流,培养学生编题能力和创新精神.
三、课堂练习P44页练习l、2
四、小结1.在坐标轴上取点有什么好处如何取点2.在实际问题中,当自变量x和因变量y取的数较大,应如何选取直角坐标系的单位长度3.在实际问题中,一次函数的图象都是直线吗为什么
五、作业P47页习题18.
36、7.
六、教学反思3.一次函数的性质第一课时一次函数的性质一教学目标
1、探索一次函数图象观察、分析等过程,提高学生数形结合意识,培养数形结合的能力.
2、掌握一次函数y=kx+b的性质教学过程
一、观察、分析一次函数图象特点1.画出一次函数y=x+1的图象.让学生动手画出一次函数,y=x+l的图象,复习一次函数的怍图方法.教师在黑板上画出一次函数y=x+1的图象2.观察,分析函数y=x+l图象的变化规律.师生共同观察分析,当一个点在直线上从左向右移动自变量x从小到大时它的位置也在逐渐从低到高变化函数y的值也从小到大问题2中的函数y=50+12x是否这样这就是说,函数值y随自变量x增大而_______在同一直角坐标系中画出函数y=3x-2的图象如图中的虚线是否也有这种现象.进—步引导学生观察、分析得出与上面相同的结论.
3、画出函数y=-x+2和y=-x-1的图象学生动手画出以上一次函数图象,教师指导并纠正学生可能出现的错误画法.同时,教师在黑板面出这两个一次函数的图象.
4、观察、分析函数y=-x+2和y=-x-1图象的变化规律.问题l仿照以上研究方法,研究它们是否也有相应的性质,有什么不同你能否发现什么规律让学生分组讨论.发表意见,教师评析并归纳为当一个点在直线上从左到右自变量x从小到大时它的位置也在逐渐从高到低变化函数y的值也从大到小.其规律是函数值随自变量x的增大而减小.再联想问题1中的函数y=570-95t,是否也有这样的规律,发表你的看法.让学生讨论回答,问题1中的函数y=570-95t也有与上面得出的同样规律
二、归纳、概括根据以上研究的结果,你能表述一次函数y=kx+b的性质吗让学生归纳、概括、表述如下性质:1.当k0时y随x的增大而增大,这时函数的图象从左到右上升;2.当k0时y随x的增大而减小,这时函数的图象从左到右下降.这些性质在P40问题1和P41问题2中,反映怎样的实际意义让学生思考后回答.
三、做一做画出函数y=-2x+2的图象,结合图象回答下列问题1.这个函数中,随着x的增大y将增大还是减小它的图象从左到右怎样变化2.当x取何值时,y=0?
3.当x取何值时y0
四、课堂练习P45页练习l、2.
五、小结一次函数y=kx+b有哪些性质
六、作业P47页习题
18.
38、91
七、教学反思第二课时一次函数的性质二教学目标 1.使学生理解待定系数法
2.能用待定系数法术一次函数的解析式.教学过程
一、范例已知弹簧的长度g厘米在一定的限度内是所挂重物质量x千克的一次函数.现己测得不挂重物时弹簧的长度是6厘米,挂4千克质量的重物时,弹簧的长度是
7.2厘米.求这个一次函数的关系式.分析:已知y与x的函数关系式是一次函数,则关系式必是y=kx+b的形式.所以要求的就是系数k和b的值,而两个已知条件就是x和y的两组对应值,也就是当x=6时y=6;当x=4时y=
7.2.可以分别将它们代入函数式,进而求得k和b的值.提问1.确定一次函数的表达式需要几个条件2.确定正比例函数的表达式需要几个条件举例说明待定系数法先设待求函数关系式其中含有未知常数系数,再根据条件列出方程式方程组,求出未知系数,从而得到所求结果的方法,叫做待定系数法
二、做一做已知一次函数y=kx+b的图象经过点-1,1和点1,-5,求当x=5时,函数y的值提问1.这里的已知条件是否给出了x和y的对应值2.题意并没有要求写出函数关系式,解题中是否应该求出该如何人手让学生认真思考以上问题并回答
三、课堂练习P46页练习l、2,阅读P48页内容
四、小结1.什么叫做待定系数法2.用待定系数法求正比例函数表达式需要几个条件3.用待定系数法确定一次函数表达式需要几个条件
五、作业P47页习题18.
38、
9、10
六、教后记
七、教学反思18.4反比例函数1.反比例函数教学目标1.经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程,发展学生的抽象思维能力2.理解反比例函数的概念,会列出实际问题的反比例函数关系式教学过程
一、复习1.什么是正比例函数2.复习小学已学过的反比例关系,例如1当路程s一定,时间t与速度v成反比例,即vt=ss是常数2当矩形面积一定时,长a和宽b成反比例,即ab=ss是常数3.创设问题情境问题1小华的爸爸早晨骑自行车带小华到15千米外的镇上去赶集,回来时让小华乘坐公共汽车,用的时间少了假设自行车和汽车的速度在行驶过程中都不变,爸爸要小华找出从家里到镇上的时间和乘坐不同交通工具的速度之间的关系分析和其他实际问题一样,要探索两个变量之间的关系,应先选用适当的符号表示变量,再根据题意列出相应的函数关系式设小华乘坐交通工具的速度是v千米/时,从家里到镇上的时间是t小时,因为在匀速运动中,时间=路程÷速度,所以t=___________1问题2学校课外生物小组的同学准备自己动手,用旧围栏建一个面积为24平方米的矩形饲养场设它的一边长为x米,求另一边的长y米与x的函数关系根据矩形面积可知xy=24即y=_________________2提问
1.以上1和2这两个函数有什么共同点让学生观察、分析后回答这两个函数都具有y=k是常数的形式
2.自变量的取值范围有什么限制
二、反比例函数的意义
1.反比例函数定义形如y=k是常数,k≠0的函数叫做反比例函数说明反比例函数与正比例函数定义相比较,本质上,正比例函数y=kx,即=k,k是常数,且k≠0;反比例函数y=,则xy=k,k是常数,且k≠0可利用定义判断两个量x和y满足哪一种比例关系,2,下列函数中,哪些是反比例函数x为自变量说出反比例函数的比例系数y=xy=- x=-5y分析函数y=k是常数,k≠0叫做反比例函数若一个函数可写成y=k是常数,k≠0的形式,则它是反比例函数;若y与x成反比例,则y可以写成y=k≠0,k是常数,一个函数是否是反函数反比例函数,可以据此确定
三、课堂练习1.P50页练习12.补充当m为何值时,函数y=是反比例函数,并求出其函数的解析式
四、小结形如y=k是常数,k≠0的函数叫做反比例函数在实际问题中,要探求两个变量之间的关系,应先选用适当的符号表示变量,再根据题意列出相应的函数关系式.对反比例函数概念的理解,可与正比例函数进行比较,从本质上加以区别
五、作业P52页习题
18、4 1wWw.xKb
1.coM
六、教学反思
2、反比例函数的图象和性质教学目标
1、使学生会画出反比例函数的图象
2、经历对反比例函数图象的观察、分析、讨论、概括过程,会说出它的性质教学过程
一、复习1.什么是反比例函数2.反比例函数定义要注意什么1常数k称为比例系数,k是非零常数;2自变量x次数是-1;x与y之积为一非零常数;3不含其他项
二、提出问题,解决问题问题1对于一次函数y=kx+bb≠0,我们是如何研究的问题2对于反比例函数的研究,能否象一次函数那样进行研究呢问题3上节课我们已经学习了反比例函数的定义,接下去将要研究什么问题问题4:对于—般的反比例函数y=k≠0,k是常数的图象的研究,采取什么方法为好例画出函数y=的图象 分析画出函数图象一般分为列表,描点、连线三个步骤,在反比例函数中自变量x≠0解:1列表这个函数中自变量x的取值范围是不等于零的一切实数,列出x与y的对应值;2.描点用表里各组对应值作为点的坐标,在直角坐标系中描出各个点3.连线用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来,得到图象的第一个分支;用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来,得到图象的另一分支这两个分支合起来,就是反比例函数的图象,如图所示这种图象通常称为双曲线提问:这两条曲线会与x轴、y轴相交吗为什么画出函数y=-的图象让学生动手画反比例的函数图象,进一步掌握画函数图象的步骤;教师注意指导画函数图象有困难的学生,并评析让学生讨论、交流以下问题;
1、这个函数的图象在哪两个象限和函数y=的图象有什么不同
2、反比例函数y=图象在哪两个象限由什么确定
3、联系一次函数的性质,你能否总结出反比例函数中,随着自变量x的增加,函数y将怎样变化有什么规律在充分讨论、交流后达成共识1当k0时,函数的图象在第
一、三象限,在每个象限内,曲线从左向右下降,也就是在每个象跟内y随x的增加而减小;2当k0时,函数的图象在第
二、四象限,在每个象限内,曲线向右上升,也就是在每个象限内y随x的增加而增大.
四、课堂练习P52页练习
1、2
五、小结这节课,你学会了什么?
六、作业P52页习题
18、4
2、3
七、教学反思
18、5 实践与探索第一课时 实践与探索一教学目标
1、能通过函数图象获取信息,发展形象思维
2、能利用函数图象解决简单的实际问题,提高学生的数学应用能力教学过程
一、范例
1、学校有一批复印任务,原来由甲复印社承接,按每100页40元计费现乙复印社表示若学校先按月付给一定数额的承包赞,则可按每100页15元收费两复印社每月收费情况如图所示根据图象回答1乙复印社的每月承包费是多少2当每月复印多少页时.两复印社实际收费相同3如果每月复印页数在1200页左右,那么应选择哪个复印社提问
1、“收费相同”在图象上怎么反映出来
2、如何在图象上看出函数值的大小请同学们讨论、解答、并交流自己的解答;教师引导学生如何读懂图形语言.并把图形语言转化为数学语言或文字语言解答结果是1乙复印社的每月承包费是200元;2当每月复印800页时,两复印社实际收费相同;3如果每月复印页数在1200页左右,那么应选择乙复印社说明本题亦可用代数方法解3.在17.3问题2中,小张的同学小王以前没有存过零用钱.听到小张在存零用钱,表示从现在起每个月存18元,争取超过小张请你在同一平面直角坐标系中分别画出小张和小王有数和月份数的函数关系的图象,在图上找一找半年以后小王的存款数是多少,能否超过小张?至少几个月后小王的存款能超过小张分析1列表这两个函数的自变量x的取值范围是自然数,列出x与y的对应值表2描点作图,就得到函数的图象 提问你能用其他方法解决上述问题吗4.利用图象解方程组分析两个一次函数图象的交点处,自变量和对应的函数值同时满足两个函数关系式而两个一次函数的关系式就是方程组中的两个方程,所以交点的坐标就是方程组的解.据此,我们可以利用图象来求某些方程组的解
二、课堂练习P55练习l、2
三、小结这节课,你学会了什么知识?
四、作业P57页
18、5
1、2
五、教后记第二课时 实践与探索二教学目标
1、熟练掌握一次函数图象的画法,能通过函数图象获取信息,发展形象思维
2、体验一次函数图象与一元一次方程的解,一元一次不等式的解集之间关系的探索过程,培养学生图形语言,数学语言以及文字语言相互转化的能力教学过程
一、范例1.画出函数y=x+3的图象,根据图象,指出1x取什么值时,函数的值等于零2x取什么值时,函数值y始终大于零从函数y=x+3图象可以看出当函数值y等于零时,直线y=x+3与x轴相交于点-2,0,这时的横坐标就是所求的x值所以当x=-2时,函数值y等于零因为在x轴上方的函数图象每一点的纵坐标都大于0,横坐标都大于-2所以当x-2时,函数值y始终大于零小结在x轴上方的函数图象,任意一点的纵坐标都大于0,反映在函数解析式上,就是函数值大于0,在x轴下方的函数图象,任意一点的纵坐标都小于0,反映在函数解析上,就是函数值小于0提问
①当x取什么值时,函数值y始终小于零
②当x取什么值时,函数值y小于3
③当x取何值时,0≤y≤3
二、想一想由上例,想想看,一元一次方程x+3=0的解,不等式x+30的解集与函数y=x+3的图象有什么关系说说你的想法,并和同学讨论交流.在学生讨论、交流和发表意见后,教师加以引导,最后归纳.
三、课堂练习P55页练习l、2.
四、小结本节课,通过作函数图象、观察函数图象,并从中初步体会一元一次不等式、一元一次方程与一次函数的内在联系,使我们感受到不等式、方程、函数是紧密联系着的一个整体,今后,我们还要继续学习并研究它们之间的内在联系
五、作业P57页习题
18、5
3、4
六、教后记第三课时实践与探索三教学目标
1、经历进行近似计算和修正建立函数关系式的过程,发展学生的估算能力
2、能根据实际问题,求出近似的函数关系式,提高学生数学应用能力教学过程
一、创设问题情境 为了研究某合金材料的体积Vcm3随温度t℃变化的规律,对一个用这种合金制成的圆球测得相关数据如下能否据此求出V和t的函数关系
二、分析问题,解决问题分析将这些数值所对应的点在坐标系中作出如何选取y轴长度单位我们发现,这些点大致位于一条直线上,可知V和t近似地符合一次函数关系,我们可以用一条直线去尽可能地与这些点相符合,求出近似的函数关系式如图所示的图象就是这样的直钱,较近似的点应该是10,
1000.3和60,
1002.3,请你动手试一试,求出函数关系式你也可以将直线稍稍挪动一下,不取这两点,换上更适当的点,请你自己试一试,再和同学讨论、交流,并发表你的意见说明1.要求学生要选取更适当的两点,不是任意取两点2.教师在学生动手、动脑的同时,要适时加以引导,并加以评析提问;
17.3阅读材料中,小明计算鞋子的尺码时所用的方法,和这一个问题是否相仿小明计算鞋子的尺码时所用的方法,和这个问题相仿
三、课堂练习P56练习1
四、小结现实生活中的数量关系是错综复杂的,在生产和科技研究等实践中得到一些变量的对应值,有时很难精确地判断它们是什么函数,需要我们根据经验分析,也需要近似计算和修正,建立比较接近的函数关系进行研究,以便解决实践中遇到的现实问题
五、作业P57.
5、P61.
10、11
六、教后记回顾与思考第一课时回顾与思考一教学目标通过复习,使学生进一步深刻理解函数的概念以及平面上的点与有序实数对成一一对应关系,熟练地列出函数关系式以及求函数的自变量的取值范围,能看懂函数的图象,从图象上获取信息,培养学生灵活运用知识解决问题的能力教学过程
一、知识回顾1.函数的概念变量变化过程中可以取不同数值的量常量变化过程中保持不变的量函数如果在一个变化过程中,有两个变量x和y,对于工的每一个值,y都有惟一的值和它对应,我们就说x是自变量,y是因变量,y是x的函数
2、如何求函数的自变量取值范围考虑两个方面,其一是分母不等于0,其二是开偶次方的被开方数为非负数,对于实际问题,应根据具体情况而定3.关于平面直角坐标系1平面上的点与有序实数对成一一对应关系,其含义是坐标平面上的每一个点都可以用一对有序实数来表示,反过来,每一对有序实数都可以在坐标平面上描出一点,这样数与形就有机地结合在一起我们可以在平面上建立直角坐标系定出点的位置2关于x轴、y轴、原点对称的点的坐标间具有什么关系3各个象内的点的横、纵坐标的符号是怎样的4点落在坐标轴上,它的坐标有什么特点4.函数的图象函数的图象是由直角坐标系中的一系列点组成,图象上的每一点坐标x,y代表了函数的一对对应值,即把自变量x与函数y的每一对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标,在直角坐标系中描出相应的点,这些点组成的图形,就是这个函数的图象
二、练习 1.x2-3x-4是x的函数吗为什么 2.求下列函数的自变量取值范围 y= y=y=3.平行四边形的底边为5,则其面积S与底边上的高h之间的函数关系式是4.1若Ma-2,-a+3在x轴上,则a=( );2若Ma-2,-a+3在第三象限,则a的取值范围是( );3若Ma-2,-a+3在第
一、三象限的角平分线上,则a=( );4求Ma-2,-a+3在关于y轴对称的点的坐标是( );5.某单位急需用车,但又不准备买车,他们准备和一个体车或一国营出租车公司的一家签定月租车合同,设汽车每月行驶x千米,应付给个体车主的月费用是y1元,应付给出租车公司的月费是y2元,yl、y2分别与工之间的函数关系图象两条射线如下图所示,观察图象回答下列问题1每月行驶的路程在什么范围内,租国营公司的车合算2每月行驶的路程等于多少时,租两家的费用相同3如果这个单位估计每月行驶的路程为2300千米,那么这个单位租哪家公司的车比较合算
三、课堂小结本节课由于复习的知识多且零散,要求同学们在深刻理解的基础上加强记忆,并且做到灵活应用所学的知识解决问题.新课标第一网
四、布置作业课本第60页复习题A组的
1、
2、
3、4,B组的
12、13
五、教学反思第二课时回顾与思考二教学目标使学生掌握一次函数、反比例函数的图象和性质,掌握这两个函数中的系数对图象的影响,能用待定系数法确定这两个函数的解析式,进一步体会方程与函数的关系,正确画出这两个函数的图象,能从图象中获取信息,灵活运用所学的知识解决问题教学教程
一、给出问题 1.一次函数y=kx+b,k≠0 1k、b的符号对图象的影响是怎样的 2如何求一次函数的图象与坐标轴的交点坐标3如何画一次函数的图象4若两条直线互相平行,A的值是否会相同 5会用待定系数法求一次函数的解析式吗 6一次函数的性质如何表述2.反比例函数y=,k≠01k的符号对图象的影响是怎样的2如何画反比例函数的图象画图象时与上述的一次函数的图象的画法有何区别3双曲线经过一点,能确定它的解析式吗4反比例函数的性质是如何描述的
二、范例例1.若一次函数的图象与直线y=3x平行,且过A2,4点1求此一次函数的解析式;2画出此函数的图象;3求这条直线与x轴、y轴围成的三角形的面积;4若在这条直线上有两点Mx1,y1和Nx2,y2,且x1x2,试比较y1,与y2的大小例2已知直线y=kx-k与双曲线y=k≠0,则它们在同一坐标系中的图象大致是分析此题可以充分了解学生是否掌握函数对一次函数、反比例函数图象的影响对于A图,直线要求k是正的,而双曲线要求k是负的,B、D图中直线本身与解析式的系数不符合,因此选C例3.已知反比例函数y=和一次函数y=2x-1,其中一次函数的图象经过a,b,a+1,b+2两点1求反比例函数的解析式;2如图,已知点A在第一象限,且同时在上述两个函数的图象上,求A点的坐标;3利用2的结果,请问在x轴上是否存在P点,使△AOP是等腰三角形若存在,把符合条件的P点坐标都求出来;若不存在,请说明理由
三、课堂练习1.画出一次函数y=x-2的图象,并回答下列问题1当x取何值时,y=0;2当x取何值时,y03若≤x≤6,求y的取值范围2.为加强公民的节水和用水意识,合理利用水资源,各地采用调控等手段达到节约用水的目的,某市规定如下用水收费标准,每户的用水不超过6m3时,水费按每立方米a元收费;超过6m3时,不超过的部分每立方米仍按a元收费,超过的部分每立方米按c元收费.该市某户今年
7、8月份的用水量和水费如下表所示月份用水量(m3)水费(元)
757.58927设某户每月用水量为xm3,应交水费为y元1求a、c的值,并写出用水不超过6m3和超过6m3时,y与x之间的函数关系式2若该用户9月份的用水量为8m3,求该户9月份的水费是多少元
四、小结
五、作业P61页
6、
7、
8、9题
六、教后记
19.1 命题与定理第一课时命题教学目标
1、知识与技能了解命题、定义的含义;对命题的概念有正确的理解会区分命题的条件和结论知道判断一个命题是假命题的方法
2、过程与方法结合实例让学生意识到证明的必要性,培养学生说理有据,有条理地表达自己想法的良好意识
3、情感、态度与价值观 初步感受公理化方法对数学发展和人类文明的价值重点与难点
1、重点找出命题的条件(题设)和结论
2、难点命题概念的理解教学过程
一、复习引入 教师我们已经学过一些图形的特性,如“三角形的内角和等于180度”,“等腰三角形两底角相等”等根据我们已学过的图形特性,试判断下列句子是否正确
1、如果两个角是对顶角,那么这两个角相等;
2、两直线平行,同位角相等;
3、同旁内角相等,两直线平行;
4、平行四边形的对角线相等;
5、直角都相等
二、探究新知
(一)命题、真命题与假命题 学生回答后,教师给出答案根据已有的知识可以判断出句子
1、
2、5是正确的,句子
(二)实例讲解
1、教师提出问题1(例1)把命题“三个角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果.......,那么.......”的形式,并分别指出命题的题设和结论学生回答后,教师总结这个命题可以写成“如果一个三角形的三个角都相等,那么这个三角形是等边三角形”这个命题的题设是“一个三角形的三个角都相等”,结论是“这个三角形是等边三角形”
2、教师提出问题2把下列命题写成“如果.....,那么......”的形式,并说出它们的条件和结论,再判断它是真命题,还是假命题
(1)对顶角相等;
(2)如果a>bb>c那么a=c;
(3)菱形的四条边都相等;
(4)全等三角形的面积相等 学生小组交流后回答,学生回答后,教师给出答案
(1)条件如果两个角是对顶角;结论那么这两个角相等,这是真命题
(2)条件如果a>bb>c;结论那么a=c;这是假命题
(3)条件如果一个四边形是菱形;结论那么这个四边形的四条边相等这是真命题
(4)条件如果两个三角形全等;结论那么它们的面积相等,这是真命题
(三)假命题的证明 教师讲解要判断一个命题是真命题,可以用逻辑推理的方法加以论证;而要判断一个命题是假命题,只要举出一个例子,说明该命题不成立,即只要举出一个符合该命题题设而不符合该命题结论的例子就可以了,在数学中,这种方法称为“举反例” 例如,要证明命题“一个锐角与一个钝角的和等于一个平角”是假命题,只要举出一个反例60度角是锐角,100度角是钝角,但它们的和不是180度即可
三、随堂练习 课本P65练习第
1、2题
四、总结
1、什么叫命题?什么叫真命题?什么叫假命题?
2、命题都可以写成“如果.....,那么.......”的形式
3、要判断一个命题是假命题,只要举出一个反例就行了
五、布置作业 课本习题
19.1第1题、第2题
六、教学反思2.公理、定理教学目标
1、知识与技能了解命题、公理、定理的含义;理解证明的必要性
2、过程与方法 结合实例让学生意识到证明的必要性,培养学生说理有据,有条理地表达自己想法的良好意识
3、情感、态度与价值观初步感受公理化方法对数学发展和人类文明的价值 重点与难点
1、重点 知道什么是公理,什么是定理
2、难点 理解证明的必要性 教学过程
一、复习引入 教师讲解前一节课我们讲过,要证明一个命题是假命题,只要举出一个反例就行了这节课,我们将探究怎 样证明一个命题是真命题
二、探究新知
(一)公理 教师讲解数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的,并把它们作为判断其他命题真假的原始依据,这样的真命题叫做公理我们已经知道下列命题是真命题一条直线截两条平行直线所得的同位角相等;两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;全等三角形的对应边、对应角相等在本书中我们将这些真命题均作为公理
(二)定理教师引导学生通过举反例来说明下面两题中归纳出的结论是错误的从而说明证明的重要性
1、教师讲解请大家看下面的例子当n=1时,(n2-5n+52=1;当n=2时,(n2-5n+52=1;当n=3时,(n2-5n+52=1我们能不能就此下这样的结论对于任意的正整数(n2-5n+52的值都是1呢?实际上我们的猜测是错误的,因为当n=5时,(n2-5n+52=
252、教师再提出一个问题让学生回答如果a=b那么a2=b
2.由此我们猜想当a>b时,a2>b2这个命题是真命题吗?[答案不正确,因为3>-5,但32<(-5)2]教师总结在前面的学习过程中,我们用观察、验证、归纳、类比等方法,发现了很多几何图形的性质但由前面两题我们又知道,这些方法得到的结论有时不具有一般性也就是说,由这些方法得到的命题可能是真命题,也可能是假命题教师讲解数学中有些命题可以从公理出发用逻辑推理的方法证明它们是正确的,并且可以进一步作为推断其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理三)例题与证明例如,有了“三角形的内角和等于180°”这条定理后,我们还可以证明刻画直角三角形的两个锐角之间的数量关系的命题直角三角形的两个锐角互余教师板书证明过程教师讲解此命题可以用来作为判断其他命题真假的依据,因此我们把它也作为定理定理的作用不仅在于它揭示了客观事物的本质属性,而且可以作为进一步确认其他命题真假的依据
三、随堂练习 课本P66练习第
1、2题
四、课时总结
1、在长期实践中总结出来为真命题的命题叫做公理
2、用逻辑推理的方法证明它们是正确的命题叫做定理
五、布置作业 课本习题
19.1第3题
六、教学反思
19.
2.1全等三角形的识别
(1)【教学目标】
1、经历探索三角形全等条件的过程,体会如何探索研究问题培养学生合作的精神,让学生体验分类的思想;
2、使学生懂得如何提出问题,分类讨论,并为以后研究提出问题【重点难点】
1、难点培养学生探索问题能力;
2、重点掌握探索问题的方法【教学过程】
一、复习
1、请一位同学叙述上一节所学的知识
2、如图,△ABC≌△AEC,,,求出△AEC各内角的度数
3、你是如何来识别两个三角形全等的?从学生的回答中,提出我们能不能找到一些较为简便的方法用来识别三角形的全等呢?有没有类似于相似三角形的识别方法呢?回想一下,相似三角形有哪些识别方法?本节开始,我们就一起来研究,探讨§
19.2全等三角形的识别
二、新授要画一个三角形与老师在黑板上画的三角形ABC全等,需要几个与边或角的大小有关的条件呢?一个条件、两个条件、三个条件……
1、做一做
(1)只给一个条件一条边,大家画出三角形,小组交流画的三角形全等吗?一个角,大家画出三角形,小组交流画的三角形全等吗?
(2)给出两个条件画三角形时,有几种可能的情况?这两个三角形一定会全等吗?分别按照下面条件,用刻度尺或量角器画三角形,并和周围的同学比较一下,所画的图形是否全等
①三角形的一个内角为60°,一条边为3cm;
②三角形的两个内角分别为30°和70°;
③三角形的两条边分别为3cm和5cm你们在画图和同学比较过程中,你能得出什么结论?学生各抒己见后,教师归纳你们一定会发现,如果只知道两个三角形有一个或两个对应相等的部分(边或角),那么这两个三角形不一定全等(甚至形状都不相同)
2、议一议如果给出三个条件画三角形,你能说出有哪几种可能的情况?(有四种可能三条边、三个角、两边一角和两角一边)对于按以上每一种可能画得三角形是否全等,以后我们一起分别逐个探讨研究,现在我们先一起来完成以下几个练习
三、巩固练习
1、如图,点O是平行四边形ABCD的对角线的交点,△AOB绕O旋转180º,可以与△___________重合,这说明△AOB≌△___________.这两个三角形的对应边是AO与__________,OB与__________,BA与__________;对应角是∠AOB与________,∠OBA与_________∠BAO与___________
2、如图,△ABC是等腰三角形,AD是底边上的高,△ABD和△ACD全等吗?试根据等腰三角形的有关知识说明理由
四、小结让学生谈收获、体会、疑惑后,教师总结本节通过画图实践可得,对于两个三角形的三条对应边、三个对应角中,只有满足其中一个条件或两个条件相等,两个三角形不一定全等至于满足其中的三个条件相等的情况如何呢?
五、作业
1、如图,△AOD≌△BOC,写出其中相等的角
2、如图,△ABC≌△,,,
3、如图,△ABC≌△DEF,且A和D,B和E是对应顶点,则相等的边有,相等的角有
4、已知△ADC≌△CBA,且,写出相等的边、角
5、如图,△ACD≌△ECB,A、C、B在一条直线上,且A和E是一对对应顶点,如果,那么将△ACD围绕C点顺时针旋转多少度与△ECB重合
六、教学反思
19.
2.2全等三角形的识别
(2)【教学目标】
1、使学生掌握SAS的内容,会运用SAS来识别两个三角形全等;
2、通过识别全等三角形的识别的学习,使学生初步认识事物之间的因果关系与相互制约关系,学习分析事物本质的方法;
3、经历如何总结出全等三角形识别方法,体会如何探讨、实践、总结,培养学生的合作能力【重点难点】
1、难点三角形全等的识别SAS;
2、重点对全等三角形的识别的理解和运用【教学过程】
一、复习
1、什么叫全等图形?什么叫做全等三角形?(能够完全重合的两个图形叫做全等形,能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形)
2、将全等的△ABC与△DEF重合,再沿BC方向将△DEF推移如图位置,问线段AD与BE数量关系怎样?BC与EF位置关系怎样?为什么?[,BC∥EF∵△ABC≌△DEF∴∴∴又∵△ABC≌△DEF∴∴BC∥EF]
3、已知如图,,,,,求的大小[,,∴△ACB≌△AED∴∴∴∴]
二、新授
1、引入;上一节课,我们已经知道两个三角形满足三个条件的三条边对应相等和三个角对应相等的情况情况如何呢?(三条边对应相等两个三角形;三个角对应相等的两个三角形不一定全等)如果两个三角形有两条边和一个角分别对应相等,这两个三角形会全等吗?-------这就是本节课我们要探讨的课题
2、问题1如果已知一个三角形的两边及一角,那么有几种可能的情况呢?(应该有两种情况一种是角夹在两条边的中间,形成两边夹一角;另一情况是角不夹在两边的中间,形成两边一对角)每一种情况下得到的三角形都全等吗?
3、做一做
(1)如果“两边及一角”条件中的角是两边的夹角,比如三角形两条边分别为和,它们的夹角为,你能画出这个三角形吗?你画的与同伴画的一定全等吗?换两条线段和一个角试试,你发现了什么?同学们各抒己见后总结发现对于已知的两条线段和一个角,以该角为夹角,所画的三角形都是全等的这就是判别三角形全等的另外一种简便的方法如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等,那么这两个三角形全等.简写成“边角边”或简记为(S.A.S.)你能用相似三角形的识别法来解释这种“SAS”识别三角形全等的方法吗?(一个角对应相等而夹这个角的两边对应成比例的两个三角形相似,当相似比为1时,夹这个角的两边对应相等,这两个三角形的形状、大小都相同,即为全等三角形)
(2)如果“两边及一角”条件中的角是其中一边的对角,比如两条边分别为和,长度为的边所对的角为情况会怎样呢请画出这个三角形,把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较,由此你发现了什么?(两边及其中一边的对角对应相等,两个三角形不一定全等)
4、范例如图,△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,试说明△ABD≌△ACD.解 已知AB=AC,∠BAD=∠CAD,又AD为公共边,由(S.A.S.)全等识别法,可知△ABD≌△ACD
三、巩固练习P71练习
1、2
四、小结学生谈收获、体会、疑惑后,进一步总结本节学习了三角形全等的识别的另一种SAS,而两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等,注意观察图形的特征,找出是否具备满足两个三角形全等的条件
五、作业
六、教学反思
19.
2.3全等三角形的识别
(3)【教学目标】
1、使学生理解ASA的内容,能运用ASA全等识别法来识别三角形全等进而说明线段或角相等;
2、通过画图、实验、发现、应用的过程教学,树立学生知识源于实践用于实践的观念使学生体会探索发现问题的过程经历自己探索出AAS的三角形全等识别及其应用【重点难点】
1、难点三角形全等的识别法ASA和AAS及应用;
2、重点利用三角形全等的识别法,间接说明角相等或线段相等【重点难点】剪刀、卡纸【教学过程】
一、复习
1、什么叫做全等三角形,如何识别两个三角形全等?(能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形识别两个三角形全等的方法有SSS;SAS)
2、叙述SSS、SAS的内容
3、已知如图,,,请问再加上什么条件下,△ABC≌△,并说明理由(,根据SSS;,根据SAS)
二、新授
1、引入请问到本节为止,我们探讨两个三角形满足三个条件的哪几种情况,情况如何呢?(如果两个三角形有三条边分别对应相等或两个三角形有两条边及其夹角分别对应相等,那么这两个三角形就一定全等如果两个三角形有三个角分别对应相等,或两个三角形的两边及其一边所对的角对应相等,那么这两个三角形不一定全等)还有哪些情况还没有探讨呢?(如果两个三角形的两个角及一条边分别对应相等,这两个三角形一定全等吗?)本节我们探讨两个三角形的两个角及一条边分别对应相等,这两个三角形是否全等的课题
2、问题1如果把已知一个三角形的两角及一边,那么有几种可能的情况呢?(一种情况是两个角及两角的夹边;另一种情况是两个角及其中一角的对边)每一种情况下得到的三角形都全等吗?
3、请同学们动手做一个实验同桌两位同学为一组
(1)共同商定画出任意一条线段AB,与两个角、()
(2)两位同学各自在硬纸板上画线段的长等于商定的线段AB的长,在的同旁,画等于商定的,画等于商定的,设与相交于,便得△
(3)用剪刀各自剪出△,将同桌同学剪出的两个三角形重叠在一起发现了什么?其他各桌的同学是否也有同样的结论呢?同学们各抒己见后,总结对于已知两个角和一条线段,以该线段为夹边,所画的三角形都是全等的.由此得到另一个识别全等三角形的简便方法如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等,那么这两个三角形全等.简记为“角边角”或简记为A.S.A.
4、问题2试说明ASA全等识别法与相似三角形的识别法有什么类似的(两个角对应相等的两个三角形相似,当这两个角的公共边相等时,这两个三角形的形状、大小都相同,即为全等三角形)
5、思考如图,如果两个三角形有两个角及其中一个角的对边分别对应相等,那么这两个三角形是否一定全等?动手画一画比如,,,你能画这个三角形吗?提示这里的条件与实验中的条件有什么相同点与不同点?你能将它转化为实验中的条件吗?你画的三角形与同伴画的一定全等吗?现在两组同学按如果角所对的边为画,另两组同学换两个角和一条线段,试试看,你们得出什么结论?同学们各抒己见后,总结对于已知两个角和一条线段,以该线段为夹边,所画的三角形都是全等的.由此得到另一个识别全等三角形的简便方法如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等,那么这两个三角形全等.简写成“角角边”或简记为A.S.A.
6、问题3你能说说ASA与AAS这两种全等识别法间的关系吗?(AAS识别法可由ASA识别法推导出来,如上图中,因为,,由于,,所以,于是△ABC与△DEF具备ASA全等)
7、范例如图,,,试说明△ABC≌△DCB解已知,又BC是公共边,由(ASA)全等识别法,可知△ABC≌△DCB
三、巩固练习P74练习
1、2
四、小结用采访的形式访问一些同学,本节学到什么知识,对这些知识有什么体会,对本节的知识存在着哪些疑问
五、作业习题
3、
4、5
六、教学反思
19.
2.4全等三角形的识别
(4)【教学目标】
1、使学生理解边边边公理的内容,能运用边边边公理证明三角形全等,为证明线段相等或角相等创造条件;
2、继续培养学生画图、实验,发现新知识的能力XkB
1.com【重点难点】
1、难点让学生掌握边边边公理的内容和运用公理的自觉性;
2、重点灵活运用SSS识别两个三角形是否全等【教学过程】
一、创设问题情境,引入新课请问同学,老师在黑板上画得两个三角形,△ABC与△全等吗?你是如何识别的(同学们各抒己见,如动手用纸剪下一个三角形,剪下叠到另一个三角形上,是否完全重合;测量两个三角形的所有边与角,观察是否有三条边对应相等,三个角对应相等)上一节课我们已经探讨了两个三角形只满足一个或两个边、角对应相等条件时,两个三角形不一定全等满足三个条件时,两个三角形是否全等呢?现在,我们就一起来探讨研究
二、实践探索,总结规律
1、问题1如果两个三角形的三条边分别相等,那么这两个三角形会全等吗?做一做给你三条线段、、,分别为、、,你能画出这个三角形吗?先请几位同学说说画图思路后,教师指导,同学们动手画,教师演示并叙述书写出步骤步骤
(1)画一线段AB使它的长度等于c(
4.8cm).
(2)以点A为圆心,以线段b(3cm)的长为半径画圆弧;以点B为圆心,以线段a(4cm)的长为半径画圆弧;两弧交于点C.
(3)连结AC、BC.△ABC即为所求把你画的三角形与其他同学的图形叠合在一起,你们会发现什么?换三条线段,再试试看,是否有同样的结论请你结合画图、对比,说说你发现了什么?同学们各抒己见,教师总结给定三条线段,如果它们能组成三角形,那么所画的三角形都是全等的这样我们就得到识别三角形全等的一种简便的方法如果两个三角形的三条边分别对应相等,那么这两个三角形全等.简写为“边边边”,或简记为(S.S.S.)
2、问题2你能用相似三角形的识别法解释这个(SSS)三角形全等的识别法吗?(我们已经知道,三条边对应成比例的两个三角形相似,而相似比为1时,三条边就分别对应相等了,这两个三角形不但形状相同,而且大小都一样,即为全等三角形)
3、问题
3、你用这个“SSS”三角形全等的识别法解释三角形具有稳定性吗?(只要三角形三边的长度确定了,这个三角形的形状和大小就完全确定了)
4、范例 例1 如图
192.2,四边形ABCD中,AD=BC,AB=DC,试说明△ABC≌△CDA.解已知AD=BC,AB=DC,又因为AC是公共边,由(S.S.S.)全等识别法,可知△ABC≌△CDA
5、练习P77练习
1、
26、试一试已知一个三角形的三个内角分别为、、,你能画出这个三角形吗?把你画的三角形与同伴画的进行比较,你发现了什么?(所画出的三角形都是相似的,但大小不一定相同)三个对应角相等的两个三角形不一定全等
三、加强练习,巩固知识
1、如图,,,△ABC≌△DCB全等吗?为什么?
2、如图,AD是△ABC的中线,与相等吗?请说明理由
四、小结本节课探讨出可用(SSS)来识别两个三角形全等,并能灵活运用(SSS)来识别三角形全等三个角对应相等的两个三角不一定会全等
五、作业习题1
六、教学反思
19.
2.5全等三角形的识别
(5)【教学目标】
1、经历探索直角三角形全等条件HL的过程,掌握直角三角形全等的条件,并能运用其解决一些实际问题;
2、学习事物的特殊、一般关系、发展逻辑思维能力【重点难点】
1、重点让学生掌握直角三角形全等的“HL”识别法;
2、难点理解直角三角形为内角在构造三角形时特殊性,并能灵活地运用各种全等识别法识别两个直角三角形全等是否全等【教学准备】剪刀、卡纸【教学过程】
一、复习如图,△ABC和△都是直角三角形,请你用所学的知识,须加上什么条件直角△ABC和△全等并说明理由[,,(SAS);,(ASA);,,,(SSS),(AAS)]等,让学生抢答
二、创设问题情境问题舞台背景的形状是两个直角三角形工作人员想知道这两个直角三角形是否全等,但每个三角形都有一条直角边被花盆计划遮住无法测量
1、你能帮他想个办法吗?
2、如果他只带了一个卷尺,能完成这个任务吗?[问题1,学生可以回答去量斜边和一锐角,或直角边和一个锐角;但对于问题2,学生则难肯定]工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边,发现它们分别对应相等,于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”,你相信他的结论吗?
三、动手实践,探索新知我们已经知道,对于两个三角形,如果有“边角边”或“角边角”或“角角边”或“边边边”分别对应相等,那么这两个三角形一定全等.如果有“角角角”分别对应相等,那么不能判定这两个三角形全等,这两个三角形可以有不同的大小.如果有“边边角”分别对应相等,那么也不能保证这两个三角形全等.那么在两个直角三角形中,当斜边和一条直角边分别对应相等时,也具有“边边角”对应相等的条件,这时这两个直角三角形能否全等呢?如图19.2.16,已知两条线段(这两条线段长不相等),以长的线段为斜边、短的线段为一条直角边,画一个直角三角形.图
19.
2.16把你画的直角三角形与其他同学画的直角三角形进行比较,所有的直角三角形都全等吗?换两条线段,试试看,是否有同样的结论?步骤1.画一线段AB,使它等于4cm;2.画∠MAB=90°;3.以点B为圆心,以5cm长为半径画圆弧,交射线AM于点C;4.连结BC.△ABC即为所求.如图19.2.17,在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,已知∠ACB=∠A′C′B′=90°,AB=A′B′,AC=A′C′.由于直角边AC=A′C′,我们移动其中的Rt△ABC,使点A与点A′、点C与点C′重合,且使点B与点B′分别位于线段A′C′的两侧.因为∠ACB=∠A′C′B=∠A′C′B′=90°,故∠B′C′B=∠A′C′B′+∠A′C′B=180°,因此点B、C′、B′在同一条直线上.于是在△A′B′B中,由AB=A′B=A′B′(已知),得∠B=∠B′.由“角角边”,便可知这两个三角形全等.于是可得如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等,那么这两个直角三角形全等.简记为H.L.(或斜边直角边).例4如图19.2.18,已知AC=BD,∠C=∠D=90°,求证Rt△ABC≌Rt△BAD.证明∵∠C=∠D=90°,∴△ABC与△BAD都是直角三角形.在Rt△ABC与Rt△BAD中,∵AB=BA,AC=BD,∴Rt△ABC≌Rt△BAD(H.L.).
六、巩固练习P79练习
1、2
七、小结学生谈谈收获、疑惑总结本节学习直角三角形全等的识别,除了一般三角形全等识别法外,还有“HL”
八、作业习题6
九、教学反思
19.
2.6全等三角形的识别(小复习)
(6)【教学目标】
1、帮助学生总结一般三角形全等的识别条件,使他们自觉运用各种全等识别法进行说理;
2、通过一般三角形全等识别条件的归纳,帮助学生认识事物间存在着的因果关系和制约的关系【重点难点】
1、重点让学生识别三角的哪些元素能用来确定三角形的形状与大小,因而可用来识别三角形全等
2、难点灵活应用各种识别法识别全等三角形【教学准备】卡纸剪出的图
1、2中的六个三角形IIIIIIIIIIII(图1)(图2)【教学过程】
一、复习
1、识别两个三角形全等的条件有哪些?(有SAS、ASA、AAS、SSSHL)
2、一个三角形共有三条边与三个角,你是否想到这样一问题了除了上述四种识别法,还有其他的三角形全等识别法吗?比如说“SSA”、“AAA”能成为判定两个三角形全等的条件吗?
二、新授
1、演示
(1)演示图1中的I、II三角形,它们间有两边及一对角对应相等,这两个三角形能完全重合,是全等形但再取出III的三角形与I叠在一起后,发现它们不重合不是全等形,因此我们进一点证实了有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等“SSA”不是识别三角形全等的方法
(2)演示图2中的I、II三角形,它们间有三个角对应相等,这两个三角形能完全重合,是全等形,但再取出III的三角形与I叠在一起后,发现它们不重合,不是全等形因此我们进一步证实了三个角对应相等的两个三角形不一定全等“AAA”也不是识别三角形全等的方法
2、填下表(挂出小黑板,让学生思考、讨论,共同填答)两个三角形中对应相等的元素两个三角形是否全等依据的识别法反例SSS√SSSSAS√SASSSAX可举反例ASA√ASAAAS√AASAAAX可举反例
3、范例例如图,,,点F是CD的中点,吗?试说明理由教学要点
(1)分析题目结论假定,可转化为,需证它们所在的两个三角形全等;
(2)观察图形,、中,并不在三角形中,为此添辅助线AC、AD;
(3)在△ACF与△ADF中,已知AF是公共边,CF=FD,尚缺一条件,它只能是AC与AD相等;
(4)为证AC与AD相等又要找它们分别在的△ACB与△ADE;
(5)△ACB与△ADE,由已知条件可由SAS证它们全等;
(6)书写范例解连结AC、AD,由已知AB=AE,,BC=DE由SAS三角形全等识别法可知△ABC≌△AED根据全等三角形的对应相等可知由,,(公共边),根据SSS可知△ACF≌△ADF根据全等三角形的对应角相等可知又由于F在直线CD上,可得,即你们可有其他方法吗?
三、巩固练习
1、如图,在△ABC中,,,试说明△AED是等腰三角形
2、如图,AB∥CD,AD∥BC,与,与相等吗?说明理由
四、小结由学生对本节的学习过程进行总结
五、作业
(一)、填空题
1、有一边对应相等的两个三角形全等;
2、有一边和对应相等的两个三角形全等;
3、有两边和一角对应相等的两个三角形全等;
4、如图,AB∥CD,AD∥BC,AC、BD相交于点O
(1)由AD∥BC,可得=,由AB∥CD,可得=,又由,于是△ABD≌△CDB;
(2)由,可得AD=CB,由,可得△AOD≌△COB;
(3)图中全等三角形共有对
(二)、选择题
1、若△ABC≌△BAD,A和B、C和D是对应顶点,如果,,,则BC的长是()A、B、C、D、无法确定
2、下列各说法中,正确的是()A、有两边和一角对应相等的两个三角形全等;B、有两个角对应相等且周长相等的两个三角形全等;C、两个锐角对应相等的两个直角三角形全等;D、有两组边相等且周长相等的两个三角形全等
(三)、解答题
1、如图,,,AC、BD交于点,图中共有几对长度相等的线段,你是通过什么办法找到的?
2、如图,,,
(1)等于多少度?
(2)图中有哪几组平行线?
(3)与的和是定值吗?
六、教学反思§
19.3尺规作图1
一、教学目标
1.了解尺规作图.
2.掌握尺规的基本作图画一条线段等于已知线段,画一个角等于已知角.
3.尺规作图的步骤.
4.尺规作图的简单应用,解尺规作图题,会写已知、求作和作法.
二、教学重点画图,写出作图的主要画法.
三、教学难点写出作图的主要画法,应用尺规作图.
四、教学方法引导法,演示法.
五、教学过程一引入直尺、量角器、圆规都是都是大家很熟悉的工具,大家都知道用直尺可以画线,用量角器可以画角,用圆规可以画圆.请大家画一条长4cm的线段,画一个48°的角,画一个半径为3cm的圆.如果只用无刻度的直尺和圆规,你还能画出符合条件的线段、角吗实际上,只用无刻度的直尺和圆规作图,在数学上叫做尺规作图.二新课
1.画一条线段等于已知线段.请同学们探索用直尺和圆规准确地画一条线段等于已知的线段.已知线段a,用直尺和圆规准确地画一条线段等于已知线段a.请同学们讨论、探索、交流、归纳出具体的作图方法.例1已知三边作三角形.已知线段a、b、c.画出三条线段a、b、c求作△ABC,使得三边为线段a、b、c.作法1画一条线段AB,使得AB=c.2以点A为圆心,以线段b的长为半径画圆弧;再以点B为圆心,以线段a的长为半径画圆弧;两弧交于点C.3连结AC,BC.△ABC即为所求.
2.画一个角等于已知角.请同学们探索用直尺和圆规准确地画一个角等于已知角.已知角∠MPN,用直尺和圆规准确地画一个角等于已知角∠MPN.请同学们讨论、探索、交流、归纳出具体的作图方法.作法1画射线OA.2以角∠MPN的顶点P为圆心,以适当长为半径画弧,交∠MPN的两边于E、F.3以点O为圆心,以PE长为半径画弧,交OA于点C.4以点C为圆心,以EF长为半径画弧,交前一条弧于点D.5经过点D作射线OB.∠AOB就是所画的角.如图注意几何作图要保留作图痕迹.新|课|标|第|一|网探索如何过直线外一点做已知直线的平行线;请同学们讨论、探索、交流、归纳出具体的作图方法.例2根据下列条件作三角形.1已知两边及夹角作三角形;2已知两角及夹边作三角形;请同学们讨论、探索、交流、归纳出具体的作图方法顺序.练习教材第82页练习第
1、2题.三小结请同学们自己对本课内容进行小结.四作业习题
1、2题.
六、教学反思§
19.3尺规作图2
一、教学目标
1.进一步熟练尺规作图.
2.掌握尺规的基本作图画角平分线.
3.进一步学习解尺规作图题,会写已知、求作和作法,以及掌握准确的作图语言.
4.运用尺规基本作图解决有关的作图问题.
二、教学重点分析尺规基本作图问题的解决过程,写好作图的主要画法,并完成作图.
三、教学难点分析实际作图问题,运用尺规的基本作图,写出作图的主要画法.
四、教学方法引导法,演示法,分析法,讨论法.
五、教学过程一引入我们已熟悉尺规的基本作图画一条线段等于已知线段,画一个角等于已知角,那么利用尺规还能画角平分线吗二新课前面我们学习了用尺规画线段,那么你能利用尺规作图将一个角两等分吗利用尺规作图画角平分线.请同学们探索用直尺和圆规准确地画出一个角的平分线.已知∠AOB,用直尺和圆规准确地画出已知∠AOB的平分线.请各小组同学讨论、探索、交流、归纳出具体的作图方法.例1已知∠α与∠β,求作一个角,使它等于∠α+∠β的一半.分析要完成这个作图,先作出等于∠α+∠β的角,再作平分线即可.已知、求作、作法由学生自行完成.略例2已知三角形中的一个角,此角的平分线长,以及这个角的一边长,求作三角形.分析首先作出符合条件的图形草图,分析图形的特征,然后确定作图的顺序,写出已知、求作、作法,作图中遇到属于基本作图的,只叙述基本作图即可.已知∠α,以及线段b、cb<c.求作△ABC,使得∠BAC=∠α,AB=c,∠BAC的平分线AD=b.作法1作∠MAN=∠α.2作∠MAN的平分线AE.3在AM上截取AB=c,在AE上截取AD=b.4连结BD,并延长交AN于点C.△ABC就是所画的三角形.如图例3已知三角形的一边及这边上的中线和高中线长大于高,求作三角形.同学们先自主思考探索,然后各小组同学讨论、交流、归纳出具体的作图方法.再请学生代表上黑板示范,并解释原由.例4已知直线和直线外两点过这两点的直线与已知直线不垂直,利用尺规作图在直线上求作一点,使其到直线外已知两点的距离和最小.同学们先自主思考,然后各小组交流意见,完成作图.练习教材练习第
1、2题.三小结
1.尺规作图的五种常用基本作图.
2.掌握一些规范的几何作图语句.
3.学过基本作图后,在以后的作图中,遇到属于基本作图的地方,只须用一句话概括叙述即可.
4.解决尺规作图问题,先作出符合条件的图形草图,再确定具体的作图方法.四作业教材第5题.
六、教学反思§
19.3尺规作图3
一、教学目标
1.进一步熟练尺规作图.
2.掌握尺规的基本作图画线段的垂直平分线,画直线的垂线.
3.尺规作图的简单应用,解尺规作图题,会写已知、求作和作法.
二、教学重点画图,写出作图的主要画法.
三、教学难点写出作图的主要画法,应用尺规作图.
四、教学方法引导法,演示法,分析法,探索法.
五、教学过程一引入我们已熟悉尺规的两个基本作图画线段,画角.那么利用尺规还能解决什么作图问题呢二新课
1.画线段的垂直平分线.请同学们探索用直尺和圆规准确地画出一条线段的垂直平分线.已知线段a,用直尺和圆规准确地画出已知线段a的垂直平分线.解决这一问题,要利用好线段垂直平分线的性质.请同学们讨论、探索、交流、归纳出具体的作图方法.例1已知底边及底边上的高作等腰三角形.分析要完成这个作图,先作出底边,再作底边的垂直平分线,取高,最后完成三角形.已知底边a、及底边上的高h.画出两条线段a、h求作△ABC,使得一底边为a、底边上的高为h.作法略.
2.画直线的垂线.请同学们探索用直尺和圆规准确地画出一条直线的垂线.请同学们讨论、探索、交流、归纳出具体的作图方法.实际上,画出一条直线的垂线,就是转化为画线段的垂直平分线.例2过直线外一点作直线的垂线.已知直线a、及直线a外一点A.画出直线a、点A求作直线a的垂线直线b,使得直线b经过点A.作法1以点A为圆心,以适当长为半径画弧,交直线a于点C、D.2以点C为圆心,以AD长为半径在直线另一侧画弧.3以点D为圆心,以AD长为半径在直线另一侧画弧,交前一条弧于点B.4经过点A、B作直线AB.直线AB就是所画的垂线b.如图
3.(优生)探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆.思考如何解决这一实际问题下面我们共同探寻解决这一问题的办法.练习教材练习第
1、2题.探究1过一个已知点A如何作圆如图,让学生动手去完成学生讨论并发现过点A所作圆的圆心在哪儿半径多大可以作几个这样的圆圆心不定,半径不定,可以作无数个圆探究1探究2探究2过已知两点A、B如何作圆如图,学生动手去完成学生继续讨论并发现它们的圆心到A、B两点的距离怎样能用式子表示吗圆心在哪里过点A、B两点的圆有几个OA=OB,圆心在直线AB的垂直平分线上,有无数个圆探究3过同一平面内三个点的情况会怎样呢分两种情况研究1求作一个圆,使它经过不在一直线上三点A、B、C.已知不在一直线上三点A、B、C,求作一个圆,使它同时经过点A、B、C.学生口述作法,教师示范作图过程学生讨论并发现这样一共可作几个圆圆心在哪里圆心到A、B、C三点的距离怎样可作一个圆,圆心是线段AB、AC、BC的垂直平分线的交点,圆心到A、B、C三点距离相等2过在一直线上的三点A、B、C可以作几个圆不能作出发现结论不在同一直线上的三点确定一个圆三小结请同学们自己对本课内容进行小结.四作业习题
3、4题.
六、教学反思§
19.4逆命题与逆定理1.互逆命题与互逆定理教学目的1理解互逆命题与互逆定理wWw.Xkb
1.cOm2.正确应用互逆命题与互逆定理重点与难点区分互逆命题与互逆定理教学过程我们已经知道,可以判断正确或错误的句子叫做命题.例如“两直线平行,内错角相等”、“内错角相等,两直线平行”都是命题.上面两个命题的题设和结论恰好互换了位置.一般来说,在两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一命题就叫做它的逆命题.命题“两直线平行,内错角相等”的题设为____________________________________;结论为____________________________________.因此它的逆命题为_____________________________________________.每一个命题都有逆命题,只要将原命题的题设改成结论,并将结论改成题设,便可得到原命题的逆命题.但是原命题正确,它的逆命题未必正确.例如真命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”,此命题就是假命题.如果一个定理的逆命题也是定理,那么这两个定理叫做互逆定理,其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.我们已经知道命题“两直线平行,内错角相等”和它的逆命题“内错角相等,两直线平行”都是定理,因此它们就是互逆定理.一个假命题的逆命题可以是真命题,甚至可以是定理.例如“相等的角是对顶角”是假命题,但它的逆命题“对顶角相等”是真命题,且是定理.练习1.说出下列命题的题设和结论,并说出它们的逆命题
(1)如果一个三角形是直角三角形,那么它的两个锐角互余;
(2)等边三角形的每个角都等于60°;
(3)全等三角形的对应角相等;
(4)到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上;
(5)线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.2.举例说明下列命题的逆命题是假命题
(1)如果一个整数的个位数字是5,那么这个整数能被5整除;
(2)如果两个角都是直角,那么这两个角相等.3.在你所学过的知识内容中,有没有原命题与逆命题都正确的例子(即互逆定理)?试举出几对.课堂小结总结一下你所学过的知识作业P941教学反思2.等腰三角形的判定教学目的1理解并能用等腰三角形的等角对等边2.理解并能用勾股定理的逆定理重点与难点本节两个定理的应用教学过程在七年级第二学期第10章中我们已经知道,等腰三角形的底角相等,这是等腰三角形的性质定理.它的逆命题“如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等”也是定理,是判定三角形是否是等腰三角形的一个重要的方法.回忆你是怎样知道等腰三角形的这个判别方法的呢?如图19.4.1,在△ABC中,∠B=∠C.当时是利用圆规截取AB、AC,比较AB、AC的大小,从而得到AB=AC.为了确认这个命题的正确性,我们可以用逻辑推理的方法加以证明.已知如图19.4.2,在△ABC中,∠B=∠C.求证AB=AC.分析要证明AB=AC,可设法构造两个全等三角形,使AB、AC分别是这两个全等三角形的对应边,于是想到作∠BAC的平分线AD.证明作∠BAC的平分线AD.在△BAD和△CAD中,∵∠B=∠C,∠1=∠2,AD=AD,∴△BAD≌△CAD(A.A.S.),∴AB=AC(全等三角形的对应边相等).于是得到如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.(简写成“等角对等边”)在八年级上学期第14章中我们已经知道勾股定理及勾股定理的逆定理.我们也可以用逻辑推理的方法证明勾股定理的逆定理.如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和,那么这个三角形是直角三角形.已知如图19.4.3,在△ABC中,AB=c,BC=a,CA=b,且a2+b2=c2.求证△ABC是直角三角形.分析首先构造直角三角形A′B′C′,使∠C′=90°,B′C′=a,C′A′=b,然后可以证明△ABC≌△A′B′C′,从而可知△ABC是直角三角形.设三角形三边长分别是下列各组数,试判断各三角形是不是直角三角形.如果是直角三角形,请指出哪条边所对的角是直角.
(1)7,24,25;
(2)12,35,37;
(3)35,91,84.课堂练习1.说出定理“等边三角形的三个内角都相等”的逆命题,并证明该逆命题为真命题.第2题2.如图,已知P、Q是△ABC的边BC上两点,并且BP=PQ=QC=AP=AQ,求∠BAC的大小.3.三角形三边长a、b、c分别是下列各组数,试判断各三角形是不是直角三角形?如果是,那么哪一个角是直角?(1)a=8b=15c=17;(2)a=6b=10c=8;
(3)a=1b=3c=
2.4.给定一个三角形的两边长分别为
5、12,当第三条边为多长时,这个三角形是直角三角形?课堂小结总结一下你所学过的知识作业P942教学反思3.角平分线教学目的角平分线定理及逆命题的应用重点与难点角平分线定理及逆命题的应用教学过程回忆我们知道角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.角平分线的这条性质是怎样得到的呢?如图19.4.4,OC是∠AOB的平分线,点P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为点D和点E.当时是在半透明纸上描出了这个图,然后沿着射线OC对折,通过观察,线段PD和PE完全重合.于是得到PD=PE.与等腰三角形的判定方法相类似,我们也可用逻辑推理的方法加以证明.图中有两个直角三角形△PDO和△PEO,只要证明这两个三角形全等,便可证得PD=PE.于是就有定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.此定理的逆命题是“到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上”,这个命题是否是真命题呢?即到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢?我们可以通过“证明”来解答这个问题.已知如图19.4.5,QD⊥OA,QE⊥OB,点D、E为垂足,QD=QE.求证点Q在∠AOB的平分线上.分析为了证明点Q在∠AOB的平分线上,可以作射线OQ,然后证明Rt△DOQ≌Rt△EOQ,从而得到∠AOQ=∠BOQ.于是就有定理到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.上述两条定理互为逆定理,根据上述这两条定理,我们很容易证明三角形三条角平分线交于一点.从图19.4.6中可以看出,要证明三条角平分线交于一点,只需证明其中的两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上就可以了.请你完成证明.课堂练习1.如图,在直线l上找出一点P,使得点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等.(第1题)(第2题)2.如图,已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F,求证点F在∠DAE的平分线上.课堂小结总结一下你所学过的知识作业P944教学反思4.线段垂直平分线教学目的线段的垂直平分线定理及逆定理重点与难点线段的垂直平分线定理及逆定理的应用教学过程我们已经知道线段是轴对称图形,线段的垂直平分线是线段的对称轴,并知道线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.我们也可用逻辑推理的方法证明这一结论.如图19.4.7,设直线MN是线段AB的垂直平分线,点C是垂足.点P是直线MN上任意一点,连结PA、PB.证明PA=PB.已知MN⊥AB,垂足为点C,AC=BC,点P是直线MN上任意一点.求证PA=PB.分析图中有两个直角三角形APC和BPC,只要证明这两个三角形全等,便可证得PA=PB.于是就有定理线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.此定理的逆命题是“到一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”,这个命题是否是真命题呢?即到一条线段的两个端点的距离相等的点是否一定在这条线段的垂直平分线上呢?我们也可以通过“证明”来解答这个问题.已知如图19.4.8,QA=QB.求证点Q在线段AB的垂直平分线上.分析为了证明点Q在线段AB的垂直平分线上,可以先经过点Q作线段AB的垂线,然后证明该垂线平分线段AB;也可以先平分线段AB,设线段AB的中点为点C,然后证明QC垂直于线段AB.于是就有定理到一条线段的两个端点的距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.上述两条定理互为逆定理,根据上述两条定理,我们很容易证明三角形三边的垂直平分线交于一点.从图19.4.9中可以看出,要证明三条垂直平分线交于一点,只需证明其中的两条垂直平分线的交点一定在第三条垂直平分线上就可以了.试试看,现在你会证了吗?课堂练习1.如图,已知点A、点B以及直线l,在直线l上求作一点P,使PA=PB.第1题(第2题)(第3题)2.如图,已知AE=CE,BD⊥AC.求证AB+CD=AD+BC.3.如图,在△ABC上,已知点D在BC上,且BD+AD=BC.求证点D在AC的垂直平分线上.课堂小结总结一下你所学过的知识作业P9456教学反思小结与复习教学目的回顾总结本章节的内容重点与难点本节有关定理的应用新课标第一网教学过程
1、知识结构
二、主要内容概述本章研究了命题、定理的条件与结论,以及公理与定理、原命题与它的逆命题、原定理与它的逆定理之间的关系,这些术语在今后的学习中会经常遇到.本章研究的主要内容是三角形全等的判定方法.三角形全等的三个基本的判定方法是通过操作、说理得出的,这些都视作公理,都可作为今后证明中的推理依据.本章还介绍了仅用直尺(没有刻度)与圆规的尺规作图方法,并使用尺规作图方法作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作已知角的平分线、经过一已知点作已知直线的垂线、作已知线段的垂直平分线.新课标第一网复习题A组1.判断下列命题是真命题还是假命题,若是假命题,则举出反例说明
(1)两直线平行,同旁内角互补;
(2)垂直于同一条直线的两直线平行;
(3)相等的角是内错角;
(4)有一个角是60°的三角形是等边三角形.2.判断题
(1)每个命题都有逆命题.()
(2)每个定理都有逆定理.()
(3)真命题的逆命题都是真命题.()
(4) 假命题的逆命题都是假命题.()3.如图,AB=DE,AC∥DF,BC∥EF,求证△ABC≌△DEF.4.如图,AE=DB,BC=EF,BC∥EF,求证△ABC≌△DEF.(第3题)(第4题)(第5题)5.如图,AC=BD,BC=AD,求证△ABC≌△BAD.6.如图,∠1=∠2,∠B=∠D,求证△ABC≌△ADC.7.如图,∠A=∠B,CE∥DA,CE交AB于E.求证CE=CB.(第6题)(第7题)(第8题)(第9题)8.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,E、F是垂足.求证DE=DF.9.如图,∠BDA=∠CEA,AE=AD.求证AB=AC.B组10.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=36°,DE是线段AB的垂直平分线,交AB于D,交AC于E,求证∠EBC=18°.11.如图,∠C=∠D,CE=DE.求证∠BAD=∠ABC.(第10题)(第11题)(第12题)12.如图,AD=BC,∠ADC=∠BCD.求证∠BAC=∠ABD.13.求作一个四边形,使它的面积等于已知三角形面积的2倍.C组14.两个直角三角形有两个角及一条边分别对应相等,这两个直角三角形全等吗?试列出各种情况,并一一加以说明.15.如图,AB=AD,AC=AE,∠BAE=∠DAC,求证△ABC≌△ADE.(第15题)(第16题)16.如图,BF⊥AC,CE⊥AB,BE=CF.求证AD平分∠BAC.20.1平行四边形的判定
(1)教学目的1.使学生掌握用平行四边形的定义判定一个四边形是平行四边形;2.理解并掌握用二组对边分别相等的四边形是平行四边形3.能运这两种方法来证明一个四边形是平行四边形教学重点和难点重点平行四边形的判定定理;难点掌握平行四边形的性质和判定的区别及熟练应用教学过程
(一)复习提问
1.什么叫平行四边形?平行四边形有什么性质?(学生口答,教师板书)
2.将以上的性质定理,分别用命题形式叙述出来(如果……那么……)根据平行四边形的定义,我们研究了平行四边形的其它性质,那么如何来判定一个四边形是平行四边形呢?除了定义还有什么方法?平行四边形性质定理的逆命题是否成立?
(二)新课1.平行四边形的判定方法一(定义法)两组对边分别平行的四边形的平边形几何语言表达定义法∵AB∥CD,AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形解析一个四边形只要其两组对边分别互相平行,则可判定这个四边形是一个平行四边形活动用做好的纸条拼成一个四边形,其中强调两组对边分别相等方法二两组对边分别相等的四边形是平行四边形设问这个命题的前提和结论是什么?已知四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC求证四边ABCD是平行四边形分析判定平行四边形的依据目前只有定义,也就是须证明两组对边分别平行,当然是借助第三条直线证明角等连结BD易证三角形全等(见图1)板书证明过程小结用几何语言表达用定义法和刚才证明为正确的方法证明一个四边形是平行四边形的方法为判定一二组对边分别相等的四边形是平行四边形∵AB=CD,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形练习课本P103练习题第1题例题讲解例1已知如图3,E、F分别为平行四边形ABCD两边AD、BC的中点,连结BE、DF求证分析由我们学过平行四边形的性质中,对角相等,得若证明四边形EBFD为平行四边形,便可得到,哪么如何证明该四边形为平行边形呢?可通过证明ΔABE≌ΔCDF得BE=DF;由AD=BC,E、F分别为AD和BC的中点得ED=FB练习
2.已知如图7,E、F、G、H分别是平行四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点,且AE=CG,BF=DH求证四边形EFGH是平行四边形 (让学生板演)图7本课小结一个四边形二组对边分别平行或者相等的四边形是平行四边形这个判定定理来判定一个四边形是平行四边形作业布置课本P100第4题、第7题教学反思20.1平行四边形的判定
(2)教学目的
1、掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这一判定定理进行有关的论证和计算;
2、培养学生的观察能力、动手能力自学能力、计算能力、逻辑思维能力;
3、在教学中渗透事物总是相互联系又相互区别的辨证唯物主义观点教学重点掌握用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这一判定定理来判定一个四边形是平行四边形教学难点判定定理的证明方法及运用教学过程一.复习引入
(1).我们已学过哪些方法来判定一个四边形的平行四边形?(提问回答)
二、新课讲解设问若一个四边形有一组对边平行且相等,能否判定这个四边形也是平行四边形呢?活动课本探究内容,并用事准备好的纸条(纸条的长度相等),先将纸条放置不平行位置,让学生设想若二纸条的端点为四边形的顶点,则组成的四边形是不是平行四边形?若将纸条摆放为平行的位置,则同样用二纸条的端点为顶点组成的四边形是不是平行四边形?设问我们能否用推理的方法证明这个命题是正确的呢?(让学生找出题设、结论,然后写出已知、求证及证明过程)小结平行四边形判定方法五前提若一个四边形有一组对边平行且相等结论这个四边形是一个平行四边形如图用几何语言表达为∵AB=CD且AB∥CD∴四边形ABCD是平行四边形平行且相等可用符号“”,读作“平行且相等”∵ABCD∴四边形ABCD是平行四边形三.例题讲解例1已知E、F分别为平行四边形ABCD两边AD、BC的中点,连结BE、DF求证图3分析今天我们证明角相等,除了平行线,全等三角形外,又多了一个新方法,可以证明平行四边形对角相等,即只要四边形EBFD是平行四边形由已知平行四边形ABCD的性质可得DE//BF,又AD=BC,E、F为中点则有DE=BF,根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理,可得四边形EBFD是平行四边形证明由学生完成提问此题还有什么方法,证明四边形BEDF是平行四边形学生会想到证明,得到BE=DF,利用两组对边相等证明四边形是平行四边形但应指出第二种方法较第一种方法繁,也就是说要找出较简捷的证法,准确地使用判定定理,就要先分析图形的性质,及所具备的条件练习课本练习小结今天我们主要研究了利用边的关系来判定平行四边形,注意满足两个条件注意若一组对边平行,另一组对边相等,是不可以判定为平行四边形的,它是梯形作业布置1.课本.练习册相关内容教学反思20.1平行四边形的判定
(3)教学目的
1、掌握用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定定理,会用这些定理进行有关的论证和计算;2.理解“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”这一判定定理,会用这些定理进行有关的论证和计算;3.培养学生的观察能力、动手能力自学能力、计算能力、逻辑思维能力;教学重点理解掌握“对角线互相平分的四边形是平行四边形,两组对角分别相等的四边形是平行四边形”这一判定定理教学难点判定定理的证明方法及运用教学过程一.复习导入1.用定义法证明一个四边形是平行四边形时,要什么条件?2.用所学的判定方法一判定一个四边形的平行四边形的条件是什么?3.平行四边形的对角线互相平分的逆命题如何表达?是否是真命题?
二、新课讲解设问“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一命题的前提什么?结论又是什么?活动用事先准备好的纸条按课本探究方法做,让学生判定这个四边形是否是平行四边形判定方法三对角线互相平分的四边形是平行四边形这个方法的前提是什么?结论又是什么?已知如图在四边形ABCD中,AC、BD相交于O,OA=OC,OB=OD求证四边形ABCD是平行四边形分析证明这个四边形是平行四边形的方法有
(1)两组对边分别相等;
(2)平行四边形的定义两组对边分别平行(较简单的)板书证过程wWw.Xkb
1.cOm小结由刚才证明可得,只要有对角线互相平分,可判定这个四边形是平行四边形几何语言表达∵OA=OC,OB=OD∴四边形ABCD是平行四边形例题讲解课本P96例3分析由题意可得OB=OD,再由OA=OF,AE=AF,可得OE=OF可证四边形EBFD是平行四边形设问若是两组对角分别相等的四边形,是不是平行四边形?前提是什么?结论是什么?AB已知在四边形ABCD中,∠A=∠C∠B=∠DDC求证四边形ABCD是平行四边形(让学生板书,然后小结)练习延长三角形ABC的中线BD至E,使DE=BD,连结AE、CE,如图,求证∠BAE=∠BCE证明方法由对角线互相平分可证四边形ABCE为平行四边形,可得∠BAE=∠BCE本课小结目前,我们研究平行四边形的哪些性质和判定平行四边形的性质对边平行;对边相等;对角线互相平分;夹在平行线间的平行线段相等;对角相等;邻角互补;平行四边形的判定两组对边平行;两组对边相等;两组对角相等;对角线互相平分的四边形;作业布置
1、熟记判定定理;2.课本作业教学反思20.2矩形
(1)教学目标1.掌握矩形的定义,知道矩形与平行四边形的关系.2.掌握矩形的性质定理.教法设计观察、启发、总结、提高,类比探讨,讨论分析,启发式.教学重点矩形的性质及其推论.教学难点矩形的本质属性及性质定理的综合应用.教具学具准备教具(一个活动的平行四边形),一.复习提问什么叫平行四边形?它和四边形有什么区别?二.引入新课我们已经知道平行四边形是特殊的四边形,因此平行四边形除具有四边形的性质外,还有它的特殊性质,同样对于平行四边形来说,也有特殊情况即特殊的平行四边形,堂课我们就来研究一种特殊的平行四边形——矩形.二.讲解新课制一个活动的平行四边形教具,堂上进行演示图,使学生注意观察四边形角的变化,当变到一个角是直角时,指出这时平行四边形是矩形,使学生明确矩形是特殊的平行四边形(特殊之处就在于一个角是直角,深刻理解矩形与平行四边形的联系和区别).矩形的性质既然矩形是一种特殊的平行四边形,就应具有平行四边形性质,同时矩形又是特殊的平行四边形,比平行四边形多了一个角是直角的条件,因而它就增加了一些特殊性质.矩形性质1矩形的四个角都是直角.矩形性质2矩形对角线相等.设问如何用理论推理的方法来证明矩形的对角线相等呢?(让学生思考并提问回答,再让学生板书)讲矩形判定定理1,对角线相等的平行四边形是矩形已知在平行四边形ABCD中,AC=DB,求证平行四边形ABCD是矩形证明∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC务员AD又∵AC=DB,BC=CB,∴△ABC≌△DCB∴∠ABC=∠DCBBC又∵AB∥DC,∴∠ABC+∠DCB=180°∴∠ABC=90°∴四边形ABCD是矩形例题讲解(强调这种计算题的解题格式,防止学生离开几何元素之间的关系,而单纯进行代数计算)矩形判定定理1除用定义判定矩形外,还有什么方法判定一个四边形或平行四边形是矩形呢?(引导学生从平行四边形性质定理与判定定理的关系考虑)定理2有三个角是直角的四边形是矩形问矩形判定定理1是矩形性质定理1的逆定理吗?(不是)判定定理的对象是四边形还是平行四边形?(四边形)谁能口述证明?AB证明∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°,∠A=∠B=∠C=90°,∴∠D=90°∴AB∥CD,AD∥BCDC又∵∠A=90°,∴四边形ABCD是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)三.小结1.具有平行四边形的所有性质.2.判定定理3.思考题已知如图3,是矩形对角线交点,平分,,求的度数(让学生板书,然后教师讲评)
八、布置作业课本习题2图3
九、教学反思20.2矩形
(2)教学目标1.使学生能应用矩形定义、判定等知识,解决简单的证明题和计算题,进一步培养学生的分析能力2.通过矩形判定的教学渗透矛盾可以互相转化的唯物辩证法思想教法设计观察、启发、总结、提高,类比探讨,讨论分析,启发式.教学重点矩形的判定.教学难点矩形的判定及性质的综合应用.教具学具准备教具(一个活动的平行四边形)教学步骤一.复习提问1.什么叫做平行四边形?什么叫做矩形?2.矩形有哪些性质?3.矩形与平行四边形有什么共同之处?有什么不同之处?二.引入新课设问1.矩形的判定.2.矩形是有一个角是直角的平行四边形,在判定一个四边形是不是矩形,首先看这个四边形是不是平行四边形,再看它两边的夹角是不是直角,这种用“定义”判定是最重要和最基本的判定方法(这体现了定义作用的双重性、性质和判定).除此之外,还有其它几种判定矩形的方法,下面就来研究这些方法.方法1有三个角是直角的四边形是矩形.(并让学生写出推理过程)矩形判定方法2对角钱相等的平行四边形是矩形.(分析判定方法2和学生一道写出证明过程)归纳矩形判定方法(由学生小结)
(1)一个角是直角的平行四边形.
(2)对角线相等的平行四边形.
(3)有三个角是直角的四边形.2.矩形判定方法的实际应用除教材中所举的门框或矩形零件外,还可以结合生产生活实际说明判定矩形的实用价值.3.矩形知识的综合应用(让学生思考,然后师生共同完成)例已知的对角线,相交于,△是等边三角形,,求这个平行四边形的面积(图2).分析解题思路
(1)先判定为矩形.
(2)求出△的直角边的长.
(3)计算.三.小结
(1)矩形的判定方法l、2都是有两个条件
①是平行四边形,
②有一个角是直角或对角线相等.判定方法3的两个条件是
①是四边形,
②有三个直角.矩形的判定方法有哪些?一个角是直角的平行四边形对角线相等的平行四边形-—是矩形有三个角是直角的四边形
(2)要注意不要不加考虑地把性质定理的逆命题作为矩形的判定定理.
八、布置作业
九、教学反思20.3菱形判定
(1)教学目的
1、理解并掌握菱形的定义及性质;会判定一个四边形或平行四边形是菱形;
2、会用这些定理进行有关的论证和计算;
3、培养学生的观察能力、动手能力自学能力、计算能力、逻辑思维能力教学重点菱形的判定方法教学难点定理的证明方法及运用教学程序XkB
1.com
一、复习提问1.什么样的平行四边形是菱形?2.菱形有什么性质?3.有哪几个方法来判定一个四边形是矩形?二.新课讲解设问
(1)菱形的定义能否作为菱形的判定?有哪两个条件?
(2)有什么方法来判定一个四边形是菱形?对角线互相垂直的平行四边形是菱形提问这个命题的前提是什么?结论是什么?已知在平行四边形ABCD中,对角线AC⊥BD,求证平行四边形ABCD是菱形分析我们可根据定义来证明这个四边形是平行四边形,由平行四边形的性质得到BO=DO,由∠AOB=∠AOD=90º及AO=AO,得ΔAOB≌ΔAOD,可得到AB=AD,得平行四边形ABCD是菱形(I板书证明过程)方法二四边相等的四边形的菱形设问如何证明这个命题呢?(让学生思考并证明)几何证言表达在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA,∴四边形ABCD是菱形小结
(1)菱形判定方法,填写下表应具备两个条件菱形的定义菱形判定方法一(定义)判定方法1判定方法2练习
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形()
(2)对角线互相平分的四边形是菱形()
(3)两组对边分别平行,且对角线的四边形是菱形
(4)两组对边分别相等,且对角线互相垂直的四边形是菱形()综合应用练习1如图,O是矩形ABCD的对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD,DE和CE相交于E,求证四边形OCED是菱形四.作业布置
五、教学反思20.3菱形的判定
(2)教学目的
1、理解并掌握菱形的定义及性质;会用这些定理进行有关的论证和计算;
2、培养学生的观察能力、动手能力自学能力、计算能力、逻辑思维能力;
3、在教学中渗透事物总是相互联系又相互区别的辨证唯物主义观点教学重点菱形定义及其性质教学难点性质的证明方法及运用教学程序一.引入新课1.提问我们已经学习了矩形的性质,矩形有哪些性质呢?2.矩形有哪些判定方法?二.新课讲解设问菱形的定义是什么?它能否作为菱形的判定?有哪些条件?
(1)菱形的定义一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
(2)性质1(几何语言表达)已知在菱形ABCD,求证AB=BC=CD=DA
(3)性质2(让学生思考,然后板书证明过程)设问菱形除了用平行四边形的方法求面积外,还有没有其它办法呢?(简间写出推理的过程)
(4)菱形的面积公式例题讲解(补充例题)分析解题过程并板书
(1)跟踪练习1,矩形、菱形各具有哪些性质?填写下表矩形、菱形各具有哪些性质?填写下表、填图矩形菱形性质判定三.本课小结菱形的定义一组邻边相等的平行四边形;(判定2个条件)性质1菱形的四条边都相等;性质2菱形的对角线互相平分,并且每条对角线平分一组对角;四.作业布置
五、教学反思20.4正方形判定
(1)教学目的1.掌握正方形的判定方法.2.通过运用正方形的判定解题,培养学生的分析能力和观察能力.3.通过正方形有关知识的学习,感受完美的正方形的图形美和语言美教学设计小结、归纳、提高教学重点正方形的判定方法.教学难点正方形判定方法的应用.教学过程一.复习提问1.矩形、菱形是怎样的特殊平行四边形,它们比平行四边形多些什么性质?2.正方形是怎样的特殊平行四边形?正方形,菱形有什么关系?正方形有什么性质?二.讲解新课我们已经知道,正方形是一个中心对称图形,也是一个轴对称图形,具有如下的性质1.四条边都相等;2.四个角都是直角.因此,正方形可以看作为有一个角是直角的菱形;有一组邻边相等的矩形.这些实际上就是判定正方形的方法.例如图20.4.1,△ABC中,∠ACB=90°,CD平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC,垂足分别为E、F.求证四边形CFDE是正方形.分析要证明四边形CFDE是正方形,可以先证四边形CFDE是矩形,然后再证有一组邻边相等;也可以先证四边形CFDE是菱形,然后再证有一个角是直角.证明∵CD平分∠ACB,DE⊥BC,DF⊥AC,∴DE=DF(角平分线上的点到角的两边距离相等).又∵∠DEC=∠ECF=∠CFD=90°,∴四边形CFDE是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形),∴四边形CFDE是正方形(有一组邻边相等的矩形是正方形).正方形的判定方法提问1对角线相等的菱形是正方形吗?2对角线互相垂直的矩形是正方形吗?为什么?3对角线垂直且相等的四边形是正方形吗?为什么?4四条边都相等的四边形是正方形吗?为什么?5说“四个角相等的四边形是正方形”对吗?三.小结图3
(1)判定一个四边形为正方形的基本方法定义法,矩形菱形法.
(2)正方形的性质较多,在证题时要灵活应用.2.思考题已知如图3正方形的边长为1,、上都有一点、,如果△周长为2,求度数.四.布置作业P11812
五、教学反思20.4正方形
(2)教学目的1.掌握正方形的定义,理解正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系.2.掌握正方形的性质定理.3.正确运用正方形的性质解题.教学方法小结、归纳、提高教学重点正方形的性质.教学难点正方形性质的应用.教学过程一.复习提问】1.让学生叙述平行四边形、矩形、菱形的定义和它们的特殊性质.2.说明平行四边形、矩形、菱形的内在联系.二.讲解新课设问矩形和菱形都是特殊的平行四边形,那么更加特殊的平行四边形是什么图形?它又有什么特殊性质呢?这一堂课就来学习这种特殊的图形——正方形(写出课题)1.正方形的定义有一组邻边相等,有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.设问正方形从定义看,它既是矩形又是菱形哪么它又有什么性质呢?2.正方形的性质因为正方形是特殊的平行四边形,还是特殊的矩形,特殊的菱形,所以它具有这些图形性质的综合,因此正方形有以下性质(由学生和老师一起总结).正方形性质定理1正方形的四个角都是直角,四条边相等.正方形性质定理2正方形的两条对角钱相等并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角.说明定理2包括了平行四边形,矩形,菱形对角钱的性质,一个题设同时有四个结论,这是该定理的特点,在应用时需要哪个结论就用哪个结论,并非把结论写全.例题讲解例4如图3,练习
1、课本
1、
2、3提问回答2.补充练习如图4,已知正方形ABCD,延长到,连结,作于,交于,求证.小结2.思考题已知正方形的边长为4,为边上一点,且,为上一点,求的最小值
八、布置作业教材P1193
九、教学反思19.2.3正方形
(三)教学目的1.掌握正方形的定义,理解正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系.2.掌握正方形的性质定理及判定方法3.正确运用正方形的性质解题.4.通过运用正方形的判定解题,培养学生的分析能力和观察能力.教学过程设问前面我们已经学习过平行四边形、矩形和菱形,知道矩形和菱形都是特殊的平行四边形,他们都具有平行四边形的性质,同时又都具有各自独特的性质例题讲解例1在已知锐角三角形ABC外边作正方形ABDE和正方形ACFG,求证BG=CE分析据已知条件画出图形,如图2所示,要证明线段相等,与图形可以证明二个三角形全等,即只需证明△ABG≌△AEC.(板书证明过程)例2如图所示,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、AB的中点,DE、CF相交于M,求证AD=AM分析欲证AD=AM,只需证明∠1=∠2,但要根据题目条件直接证明∠1=∠2比较困难,考虑到E、F是正方形的两边中点,容易证明得△BCF≌△CDF,得∠3=∠4,而∠4+∠BCF=90°.由此DE⊥CF,这是要证AD=AM,是否想到与直角有关的等腰三角形?只需延长CF、DA交于N,即可出现直角三角形MND,只要证明A是ND中点即可这是是否发现△BCF≌△ANF由AN=BC=AD,从而A是ND中点,MA是直角三角形MND的斜边ND上的中线问题得证(让学生板书证明过程)三.小结重复一下判定一个四边形是正方形的思路,即一个四边形同时具有矩形和菱形的判定条件,就可以判定这个四边形是正方形四.作业布置
五、教学反思wWw.xKb
1.coM20.5梯形判定
(1)教学目标1.理解、掌握并会运用等腰梯形的性质2.培养学生观察、探索并掌握梯形的判别方法,能用它们解决简单的问题教学重点梯形的有关判别方法及其应用教学难点探索等腰梯形的判别方法及常用辅助线的添加方法教学过程
一、复习提问1.什么样的几何图形是梯形?什么样的几何图形是等腰梯形?2.等腰梯形有何特殊性质?
二、新课讲解我们已经知道,两腰相等的梯形是等腰梯形.通过它,我们可以判定一个梯形是不是等腰梯形.除此之外,我们还可以利用下面的方法判定等腰梯形
(一)判别等腰梯形的方法一定义两腰相等的梯形叫做等腰梯形提问
1、从定义中,要判定一个四边形是等腰梯形,需要什么条件?2.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠C,DE∥AB且交BC于点E问题一AB=ED吗?为什么?问题二∠DEC=∠C吗?问题三由此你得到什么结论?注意先让学生独立思考,然后再讨论完成问题
(二)判别等腰梯形的方法二结论同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形(让学生写出已知、求证、证明,然后教师加以讲评)注意等腰梯形判别的用几何语言表达为如图1.在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC∴梯形ABCD是等腰梯形(定义法)
2.∵在梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=∠D∴梯形ABCD是等腰梯形(判定法)随堂练习课本练习题12,三.小结
1.我们今天学习了哪几种方法判定一个梯形是等腰梯形?
2.如何用几何语言表达等腰梯形的判定方法?
四、作业布置P12212
五、教学反思20.5梯形
(2)教学目的
1、理解梯形的概念及梯形的分类
2、理解等腰梯形的性质并会运用其解决有关问题
3、掌握解决问题的基本方法,渗透转化思想,提高解决问题的能力教学重点梯形的概念及等腰梯形的性质教学难点解决梯形问题的基本方法教学过程
一、复习提问
1、什么叫平行四边形?它有什么性质?
2、小学学过的梯形是一个什么样的图形?什么样的图形是梯形?
二、新课讲解
1、梯形及梯形的有关概念通过所画的图形,结合所举的实例,对照平行四边形的定义,学生自己得出梯形的定义梯形一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形相关定义
(一)底平行的一组对边叫做梯形的底(较短的底叫做上底,较长的底叫做下底)
(二)腰不平行的一组对边叫做梯形的腰
(三)高两底间的距离叫做梯形的高直角梯形一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形等腰梯形两腰相等的梯形叫做等腰梯形完成练习1,
22、等腰梯形的性质命题等腰梯形同一底上的两个角相等提问这个命题的前提是什么?结论又是什么?(让学生写出已知、求证及证明)例1已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,求证∠B=∠C分析只要能将等腰梯形同一底上的两个角转化为等腰三角形的两个底角,问题就可以解决或者,证明等腰梯形同一底上的两个角所在的三角形全等也可方法一过点D作DEAB,交BC于点E可证△DEC为等腰三角形(平移一腰辅助线一)方法二分别过点A、D作AE⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为E、F,可证△ABE和△DCF全等(作高辅助线二)由此可得等腰梯形的性质一等腰梯形在同一底上的两个角相等例2.已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,求证AC=BD(易证△ABC与△DCB全等)由此可得等腰梯形的性质二等腰梯形的两条对角线相等另外,等腰梯形还是轴对称图形,过两底中点的直线是它的对称轴3.练习
(1))在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,点E为AD中点,求证EB=EC(如右图)
三、小结
1、梯形的有关定义及等腰梯形的性质
2、解决梯形问题的基本思想和常用辅助线的作法
四、作业教材P122第3
五、教学反思第20章小结与复习教学目标1.利用基本图形结构使本章内容系统化.2.对比掌握各种特殊四边形的概念,性质和判定方法.3.总结常用添加辅助线的方法.4.总结本章常用的数学思想方法,提高逻辑思维能力.重点平行四边形与特殊平行四边形的从属关系及它们的概念、性质和判定方法.难点提高数学思维能力.教学过程理解本章基本图形的形成、变化和发展过程本章知识结构图,如图说明
(1)图4-107(c)中要求各种特殊四边形的概念、性质、判定和它们之间的关系;
(2)图4-107(d)中要求平行线等分线段定理的内容,会任意等分一条已知线段;
(3)图4-107(e)中要求三角形、梯形中位线的概念、性质、判定;
三、师生共同小结
1.基本方法.1利用基本图形结构使知识系统化;2证明两条线段相等及和差关系的方法,也可类比总结证明两角相等,角的和差、倍、分问题,直线垂直、平行关系的方法;3利用变换思想添加辅助线的方法;4探求解题思路时的分析、综合法.
2.基本思想及观点1“特殊——一般——特殊”认识事物的方法;2集合、方程、分类讨论及化归的思想;3用类比、运动的思维方法推广命题.
四、随堂练习
1.已知如图4-117,Rt△ABC中,ㄥACB的平分线交对边于E,交斜边上的高AD于G,过G作FGCB交AB于F.求证AE=BF.
2.如图4-118,梯形ABCD中,ADBC,AB=CD,E,F和G分别为OB,CD,OA中点,ㄥAOD=60°.求证△EFG是等边三角形.
3.已知如图4-119,梯形ABCD中,DCAB,ㄥA+AB=90°,M,N分别为CD,AB点.求证MN=12AB-CD.
五、教学反思课题学习重心教学目的1.通过寻找几何图形的重心的数学活动,经历探究物体与图形的重心的过程,了解规则几何图形的重心就是它的几何中心2.在探索线段、特殊平行四边形、三角形、任意多边形的重心活动等过程,让学生经历观察、实验、猜想等过程,发展几何直觉3.了解重心的物理意义,体会数学与物理之间的联系,能用实验方法寻找任意多边形的重心教学重点通过课题学习的任务、目的、结论等环节,培养学生探究能力和创新意识教学难点实验活动的规范操作,及寻找三角形的重心教学用具平行四边形、特殊平行四边形纸模,三角形纸模,一小段木条,带线的重锤等教学过程一.新课讲解活动一向学生简略介绍物体重力的产生和重心的含义活动二探究小木条的重心新课标第一网结论重心在小木条所在线段的中点上活动三用带线的重锤与平行四边形及特殊的平行四边形有同一顶点挂起来,找到重力的作用线,这样做二次,得到二条重力作用线的交点,即为平行四边形的重心结论平行四边形的重心是它的对角线的交点活动四探究三角形的重心(让学生自己动手按活动三的方法做,找出三角形的重心)小结三角形的重心在三角形三条边的中线的交点上活动五让学按照刚才的方法寻找任意四边形的重心的位置二.本课小结通过课题学习,你能得到什么结论呢?在哪些体会呢?三.作业布置
四、教学反思第二十一章数据的分析
21.1数据的代表
21.
1.1平均数(第一课时)
一、教学目标
1、使学生理解数据的权和加权平均数的概念
2、使学生掌握加权平均数的计算方法
3、通过本节课的学习,还应使学生理解平均数在数据统计中的意义和作用描述一组数据集中趋势的特征数字,是反映一组数据平均水平的特征数
二、重点、难点和难点突破的方法
1、重点会求加权平均数
2、难点对“权”的理解
三、例习题意图分析
1、教材P136的问题及讨论栏目在教学中起到的作用
(1)、这个问题的设计和讨论栏目在此处安排最直接和最重要的目的是想引出权的概念和加权平均数的计算公式
(2)、这个讨论栏目中的错误解法是初学者常见的思维方式,也是已学者易犯的错误在这里安排讨论很得当,起揭示思维误区,警示学生、加深认识的作用
(3)、客观上,教材P136的问题是一个实际问题,它照应了本节的前言——将在实际问题情境中,进一步探讨它们的统计意义,体会它们在解决实际问题中的作用,揭示了统计知识在解决实际问题中的重要作用
(4)、P137的云朵其实是复习平均数定义,小方块则强调了权意义
2、教材P137例1的作用如下
(1)、解决例1要用到加权平均数公式,所以说它最直接、最重要的目的是及时复习巩固公式,并且举例说明了公式用法和解题书写格式,给学生以示范和模仿
(2)、这里的权没有直接给出数量,而是以比的形式出现,为加深学生对权的意义的理解
(3)、两个问题中的权数各不相同,直接导致结果有所不同,这既体现了权数在求加权平均数的作用,又反映了应用统计知识解决实际问题时要灵活、体现知识要活学活用
3、教材P138例2的作用如下
(1)、这个例题再次将加权平均数的计算公式得以及时巩固,让学生熟悉公式的使用和书写步骤
(2)、例2与例1的区别主要在于权的形式又有变化,以百分数的形式出现,升华了学生对权的意义的理解
(3)、它也充分体现了统计知识在实际生活中的广泛应用
四、课堂引入
1、若不选择教材中的引入问题,也可以替换成更贴近学生学习生活中的实例,下举一例可供借鉴参考某校初二年级共有4个班,在一次数学考试中参考人数和成绩如下班级1班2班3班4班参考人数40424532平均成绩80818279求该校初二年级在这次数学考试中的平均成绩?下述计算方法是否合理?为什么?=(79+80+81+82)=
80.5
五、例习题分析例1和例2均为计算数据加权平均数型问题,因为是初学尤其之前与平均数计算公式已经作过比较,所以这里应该让学生搞明白问题中是否有权数,即是选择普通的平均数计算还是加权平均数计算,其次若用加权平均数计算,权数又分别是多少?例2的题意理解很重要,一定要让学生体会好这里的几个百分数在总成绩中的作用,它们的作用与权的意义相符,实际上这几个百分数分别表示几项成绩的权
六、随堂练习
1、老师在计算学期总平均分的时候按如下标准:作业占100%、测验占30%、期中占35%、期末考试占35%,小关和小兵的成绩如下表学生作业测验期中考试期末考试小关80757188小兵
768068902、为了鉴定某种灯泡的质量,对其中100只灯泡的使用寿命进行测量,结果如下表(单位小时)寿命450550600650700只数2010301525求这些灯泡的平均使用寿命?答案
1.=
79.05=
802.=
597.5小时
七、课后练习
1、在一个样本中,2出现了x次,3出现了x次,4出现了x次,5出现了x次,则这个样本的平均数为.
2、某人打靶,有a次打中环,b次打中环,则这个人平均每次中靶环
3、一家公司打算招聘一名部门经理,现对甲、乙两名应聘者从笔试、面试、实习成绩三个方面表现进行评分,笔试占总成绩20%、面试占30%、实习成绩占50%,各项成绩如表所示应聘者笔试面试实习甲858390乙808592试判断谁会被公司录取,为什么?
4、在一次英语口试中,已知50分1人、60分2人、70分5人、90分5人、100分1人,其余为84分已知该班平均成绩为80分,问该班有多少人?答案
1.
2.
3.=
86.9=
96.5乙被录取
4.39人教学反思
21.1数据的代表
21.
1.1平均数(第二课时)
一、教学目标
1、加深对加权平均数的理解
2、会根据频数分布表求加权平均数,从而解决一些实际问题
3、会用计算器求加权平均数的值
二、重点、难点和难点的突破方法
1、重点根据频数分布表求加权平均数
2、难点根据频数分布表求加权平均数
三、例习题的意图分析
1、教材P140探究栏目的意图
(1)、主要是想引出根据频数分布表求加权平均数近似值的计算方法
(2)、加深了对“权”意义的理解:当利用组中值近似取代替一组数据中的平均值时,频数恰好反映这组数据的轻重程度,即权这个探究栏目也可以帮助学生去回忆、复习七年级下的关于频数分布表的一些内容,比如组、组中值及频数在表中的具体意义
2、教材P140的思考的意图
(1)、使学生通过思考这两个问题过程中体会利用统计知识可以解决生活中的许多实际问题
(2)、帮助学生理解表中所表达出来的信息,培养学生分析数据的能力
3、P141利用计算器计算平均值这部分篇幅较小,与传统教材那种详细介绍计算器使用方法产生明显对比一则由于学校中学生使用计算器不同,其操作过程有差别亦不同,再者,各种计算器的使用说明书都有详尽介绍,同时也说明在今后中考趋势仍是不允许使用计算器所以本节课的重点内容不是利用计算器求加权平均数,但是掌握其使用方法确实可以运算变得简单统计中一些数据较大、较多的计算也变得容易些了
4、课堂引入采用教材原有的引入问题,设计的几个问题如下
(1)、请同学读P140探究问题,依据统计表可以读出哪些信息
(2)、这里的组中值指什么,它是怎样确定的?
(3)、第二组数据的频数5指什么呢?
(4)、如果每组数据在本组中分布较为均匀,比组数据的平均值和组中值有什么关系
五、随堂练习
1、某校为了了解学生作课外作业所用时间的情况,对学生作课外作业所用时间进行调查,下表是该校初二某班50名学生某一天做数学课外作业所用时间的情况统计表
(1)、第二组数据的组中值是多少?
(2)、求该班学生平均每天做数学作业所用时间
2、某班40名学生身高情况如下图,请计算该班学生平均身高所用时间t分钟人数0<t≤1040<≤620<t≤201430<t≤401340<t≤50950<t≤604答案
1.
(1).
15.
(2)
28.
2.165
七、课后练习
1、某公司有15名员工,他们所在的部门及相应每人所创的年利润如下表该公司每人所创年利润的平均数是多少万元?
2、下表是截至到2002年费尔兹奖得主获奖时的年龄,根据表格中的信息计算获费尔兹奖得主获奖时的平均年龄?部门ABCDEFG人数1124225每人创得利润
2052.
521.
51.
51.2年龄频数28≤X<30430≤X<32332≤X<34834≤X<36736≤X<38938≤X<401140≤X<
4223、为调查居民生活环境质量,环保局对所辖的50个居民区进行了噪音(单位分贝)水平的调查,结果如下图,求每个小区噪音的平均分贝数答案
1.约
2.95万元
2.约29岁
3.
60.54分贝教学反思wWw.xKb
1.coM
21.1数据的代表
21.
1.2中位数和众数(第一课时)
一、教学目标
1、认识中位数和众数,并会求出一组数据中的众数和中位数
2、理解中位数和众数的意义和作用它们也是数据代表,可以反映一定的数据信息,帮助人们在实际问题中分析并做出决策
3、会利用中位数、众数分析数据信息做出决策
二、重点、难点和难点的突破方法
1、重点认识中位数、众数这两种数据代表
2、难点利用中位数、众数分析数据信息做出决策
三、例习题的意图分析
1、教材P143的例4的意图
(1)、这个问题的研究对象是一个样本,主要是反映了统计学中常用到一种解决问题的方法对于数据较多的研究对象,我们可以考察总体中的一个样本,然后由样本的研究结论去估计总体的情况
(2)、这个例题另一个意图是交待了当数据个数为偶数时,中位数的求法和解题步骤(因为在前面有介绍中位数求法,这里不再重述)
(3)、问题2显然反映学习中位数的意义它可以估计一个数据占总体的相对位置,说明中位数是统计学中的一个重要的数据代表
(4)、这个例题再一次体现了统计学知识与实际生活是紧密联系的,所以应鼓励学生学好这部分知识
2、教材P145例5的意图
(1)、通过例5应使学生明白通常对待销售问题我们要研究的是众数,它代表该型号的产品销售最好,以便给商家合理的建议
(2)、例5也交待了众数的求法和解题步骤(由于求法在前面已介绍,这里不再重述)
(3)、例5也反映了众数是数据代表的一种
四、课堂引入严格的讲教材本节课没有引入的问题,而是在复习和延伸中位数的定义过程中拉开序幕的,本人很同意这种处理方式,教师可以一句话引入新课前面已经和同学们研究过了平均数的这个数据代表它在分析数据过程中担当了重要的角色,今天我们来共同研究和认识数据代表中的新成员——中位数和众数,看看它们在分析数据过程中又起到怎样的作用
五、例习题的分析教材P144例4,从所给的数据可以看到并没有按照从小到大(或从大到小)的顺序排列因此,首先应将数据重新排列,通过观察会发现共有12个数据,偶数个可以取中间的两个数据
146、148,求其平均值,便可得这组数据的中位数教材P145例5,由表中第二行可以查到
23.5号鞋的频数最大,因此这组数据的众数可以得到,所提的建议应围绕利于商家获得较大利润提出
六、随堂练习1某公司销售部有营销人员15人,销售部为了制定某种商品的销售金额,统计了这15个人的销售量如下(单位件)
1800、
510、
250、
250、
210、
250、
210、
210、
150、
210、
150、
120、
120、
210、150求这15个销售员该月销量的中位数和众数假设销售部负责人把每位营销员的月销售定额定为320件,你认为合理吗?如果不合理,请你制定一个合理的销售定额并说明理由XkB
1.com
2、某商店
3、4月份出售某一品牌各种规格的空调,销售台数如表所示1匹
1.2匹
1.5匹2匹3月12台20台8台4台4月16台30台14台8台根据表格回答问题商店出售的各种规格空调中,众数是多少?假如你是经理,现要进货,6月份在有限的资金下进货单位将如何决定?答案
1.
(1)210件、210件
(2)不合理因为15人中有13人的销售额达不到320件(320虽是原始数据的平均数,却不能反映营销人员的一般水平),销售额定为210件合适,因为它既是中位数又是众数,是大部分人能达到的额定
2.
(1)
1.2匹
(2)通过观察可知
1.2匹的销售最大,所以要多进
1.2匹,由于资金有限就要少进2匹空调
七、课后练习
1.数据
8、
9、
9、
8、
10、
8、
99、
8、
10、
7、
9、
9、8的中位数是,众数是
2.一组数据
23、
27、
20、
18、X、12,它的中位数是21,则X的值是.
3.数据
92、
96、
98、
100、X的众数是96,则其中位数和平均数分别是()A.
97、96B.
96、
96.4C.
96、97D.
98、
974.如果在一组数据中,
23、
25、
28、22出现的次数依次为
2、
5、
3、4次,并且没有其他的数据,则这组数据的众数和中位数分别是()A.
24、25B.
23、24C.
25、25D.
23、
255.随机抽取我市一年(按365天计)中的30天平均气温状况如下表温度(℃)-8-1715212430天数3557622请你根据上述数据回答问题
(1).该组数据的中位数是什么?
(2).若当气温在18℃~25℃为市民“满意温度”,则我市一年中达到市民“满意温度”的大约有多少天?答案
1.9;
2.22;
3.B;
4.C;
5.
(1)
15.
(2)约97天教学反思
21.
1.2中位数和众数(第二课时)
一、教学目标
1、进一步认识平均数、众数、中位数都是数据的代表
2、通过本节课的学习还应了解平均数、中位数、众数在描述数据时的差异
3、能灵活应用这三个数据代表解决实际问题
二、重点、难点和突破难点的方法
1、重点了解平均数、中位数、众数之间的差异
2、难点灵活运用这三个数据代表解决问题较多的一种量另外要注意平均数计算要用到所有的数据,它能够充分利用所有的数据信息,但它受极端值的影响较大.众数是当一组数据中某一数据重复出现较多时,人们往往关心的一个量,众数不受极端值的影响,这是它的一个优势,中位数的计算很少也不受极端值的影响.平均数的大小与一组数据中的每个数据均有关系,任何一个数据的变动都会相应引起平均数的变动.中位数仅与数据的排列位置有关,某些数据的移动对中位数没有影响,中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中,当一组数据中的个别数据变动较大时,可用中位数描述其趋势.
三、例习题的意图分析新|课|标|第|一|网教材P146例6的意图
(1)、这是在学习过数据的收集、整理、描述与分析之后涉及到这四个环节的一个例题,从分析和解答过程来看它交待了该如何完整的进行这几个过程,为该怎样综合运用已学的统计知识解决实际问题作了一个标准范例教师在授课过程中也应注意,对已学知识的巩固复习
(2)、从分析和解答过程来看,此例题的一个主要意图是区分平均数、众数和中位数这三个数据代表的异同
(3)、由例题中
(2)问和
(3)问的不同,导致结果的不同,其目的是告诉学生应该根据题目具体要求来灵活运用三个数据代表解决问题
(4)、本例题也客观的反映了数学知识对生活实践的指导有重要的意义,也体现了统计知识与生活实践是紧密联系的
四、课堂引入本节课的课堂引入可以通过复习平均数、中位数和众数定义开始,为完成重点、突破难点作好铺垫,没有必要牵强的加入一个生活实例作为引入问题
五、例习题的分析例题6中第一问是在巩固平均数定义、中位数定义和众数的定义可以引导学生从问题中词语特点分析它们分别指哪个数据代表,教师也可以顺便加一个发散性问题,一般地哪些词语是指平均数、中位数和众数呢?例题6中的第二问学生一般不易想到,教师要将“较高目标”衡量标准引向三个数据代表身上,这样学生就不难回答了第三问要抓住一半左右应与哪个数据代表的意义相符这个问题即要很好的回答第三问,学生头脑必须很清楚平均数、中位数、众数的特点
六、随堂练习
1、在一次环保知识竞赛中,某班50名学生成绩如下表所示得分5060708090100110120人数2361415541分别求出这些学生成绩的众数、中位数和平均数.
2、公园里有甲、乙两群游客正在做团体游戏,两群游客的年龄如下(单位岁)甲群
13、
13、
14、
15、
15、
15、
16、
17、17乙群
3、
4、
4、
5、
5、
6、
6、
54、57
(1)、甲群游客的平均年龄是岁,中位数是岁,众数是岁,其中能较好反映甲群游客年龄特征的是
(2)、乙群游客的平均年龄是岁,中位数是岁,众数是岁其中能较好反映乙群游客年龄特征的是答案
1.众数90中位数85平均数
84.
62.
(1)
15、
15、
15、众数
(2).
15、
5.
5、
6、中位数
七、课后练习
1、某公司的33名职工的月工资(以元为单位)如下职员董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320工资5500500035003000250020001500
(1)、求该公司职员月工资的平均数、中位数、众数?
(2)、假设副董事长的工资从5000元提升到20000元,董事长的工资从5500元提升到30000元,那么新的平均数、中位数、众数又是什么?(精确到元)
(3)、你认为应该使用平均数和中位数中哪一个来描述该公司职工的工资水平?
2、某公司有15名员工,它们所在的部门及相应每人所创的年利润如下表示部门ABCDEFG人数1124223每人所创的年利润
2052.
52.
11.
51.
51.2根据表中的信息填空
(1)该公司每人所创年利润的平均数是万元
(2)该公司每人所创年利润的中位数是万元
(3)你认为应该使用平均数和中位数中哪一个来描述该公司每人所创年利润的一般水平?答答案
1.
(1).
2090、
500、1500
(2).
3288、
1500、1500
(3)中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平,因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大,这样导致平均数与中位数偏差较大,所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平
2.
(1)
3.2万元
(2)
2.1万元
(3)中位数教学反思
21.2数据的波动
21.
2.1极差
一、教学目标
1、理解极差的定义,知道极差是用来反映数据波动范围的一个量
2、会求一组数据的极差
二、重点、难点和难点的突破方法
1、重点会求一组数据的极差
2、难点本节课内容较容易接受,不存在难点新课标第一网
三、例习题的意图分析教材P151引例的意图
(1)、主要目的是用来引入极差概念的
(2)、可以说明极差在统计学家族的角色——反映数据波动范围的量
(3)、交待了求一组数据极差的方法
四、课堂引入引入问题可以仍然采用教材上的“乌鲁木齐和广州的气温情”为了更加形象直观一些的反映极差的意义,可以画出温度折线图,这样极差之所以用来反映数据波动范围就不言而喻了
五、例习题分析本节课在教材中没有相应的例题,教材P152习题分析问题1可由极差计算公式直接得出,由于差值较大,结合本题背景可以说明该村贫富差距较大问题2涉及前一个学期统计知识首先应回忆复习已学知识问题3答案并不唯一,合理即可
六、随堂练习
1、一组数据
473、
865、
368、
774、
539、474的极差是,一组数据
1736、
1350、-
2114、-1736的极差是.
2、一组数据
3、-
1、
0、
2、X的极差是5,且X为自然数,则X=.
3、下列几个常见统计量中能够反映一组数据波动范围的是()A.平均数B.中位数C.众数D.极差
4、一组数据X、X…X的极差是8,则另一组数据2X+
1、2X+1…,2X+1的极差是()A.8B.16C.9D.17答案
1.
497、
38502.
43.D
4.B
七、课后练习
1、已知样本
9.
9、
10.
3、
10.
3、
9.
9、
10.1,则样本极差是()A.
0.4B.16C.
0.2D.无法确定在一次数学考试中,第一小组14名学生的成绩与全组平均分的差是
2、
3、-
5、
10、
12、
8、
2、-
1、
4、-
10、-
2、
5、
5、-5,那么这个小组的平均成绩是()A.87B.83C.85D无法确定
3、已知一组数据
2.
1、
1.
9、
1.
8、X、
2.2的平均数为2,则极差是
4、若10个数的平均数是3,极差是4,则将这10个数都扩大10倍,则这组数据的平均数是,极差是
5、某活动小组为使全小组成员的成绩都要达到优秀,打算实施“以优帮困”计划,为此统计了上次测试各成员的成绩(单位分)
90、
95、
87、
92、
63、
54、
82、
76、
55、
100、
45、80计算这组数据的极差,这个极差说明什么问题?将数据适当分组,做出频率分布表和频数分布直方图答案
1.A;
2.D;
3.
0.4;
4.
30、
40.5
(1)极差55分,从极差可以看出这个小组成员成绩优劣差距较大
(2)略教学反思
21.
2.2方差(第一课时)一.教学目标
1.了解方差的定义和计算公式
2.理解方差概念的产生和形成的过程
3.会用方差计算公式来比较两组数据的波动大小二.重点、难点和难点的突破方法
1.重点方差产生的必要性和应用方差公式解决实际问题
2.难点理解方差公式三.例习题的意图分析
1.教材P125的讨论问题的意图
(1).创设问题情境,引起学生的学习兴趣和好奇心XkB
1.com
(2).为引入方差概念和方差计算公式作铺垫
(3).介绍了一种比较直观的衡量数据波动大小的方法——画折线法
(4).客观上反映了在解决某些实际问题时,求平均数或求极差等方法的局限性,使学生体会到学习方差的意义和目的
2.教材P154例1的设计意图
(1).例1放在方差计算公式和利用方差衡量数据波动大小的规律之后,不言而喻其主要目的是及时复习,巩固对方差公式的掌握
(2).例1的解题步骤也为学生做了一个示范,学生以后可以模仿例1的格式解决其他类似的实际问题四.课堂引入除采用教材中的引例外,可以选择一些更时代气息、更有现实意义的引例例如,通过学生观看2004年奥运会刘翔勇夺110米栏冠军的录像,进而引导教练员根据平时比赛成绩选择参赛队员这样的实际问题上,这样引入自然而又真实,学生也更感兴趣一些五.例题的分析教材P154例1在分析过程中应抓住以下几点
1.题目中“整齐”的含义是什么?说明在这个问题中要研究一组数据的什么?学生通过思考可以回答出整齐即波动小,所以要研究两组数据波动大小,这一环节是明确题意
2.在求方差之前先要求哪个统计量,为什么?学生也可以得出先求平均数,因为公式中需要平均值,这个问题可以使学生明确利用方差计算步骤
3.方差怎样去体现波动大小?这一问题的提出主要复习巩固方差,反映数据波动大小的规律六.随堂练习
1.从甲、乙两种农作物中各抽取1株苗,分别测得它的苗高如下(单位cm)甲
9、
10、
11、
12、
7、
13、
10、
8、
12、8;乙
8、
13、
12、
11、
10、
12、
7、
7、
9、11;问
(1)哪种农作物的苗长的比较高?
(2)哪种农作物的苗长得比较整齐?
2.段巍和金志强两人参加体育项目训练,近期的5次测试成绩如下表所示,谁的成绩比较稳定?为什么?测试次数12345段巍1314131213金志强1013161412参考答案
1.
(1)甲、乙两种农作物的苗平均高度相同;
(2)甲整齐
2.段巍的成绩比金志强的成绩要稳定七.课后练习
1.已知一组数据为
2、
0、-
1、
3、-4,则这组数据的方差为
2.甲、乙两名学生在相同的条件下各射靶10次,命中的环数如下甲
7、
8、
6、
8、
6、
5、
9、
10、
7、4乙
9、
5、
7、
8、
7、
6、
8、
6、
7、7经过计算,两人射击环数的平均数相同,但SS,所以确定去参加比赛
3.甲、乙两台机床生产同种零件,10天出的次品分别是()甲
0、
1、
0、
2、
2、
0、
3、
1、
2、4乙
2、
3、
1、
2、
0、
2、
1、
1、
2、1分别计算出两个样本的平均数和方差,根据你的计算判断哪台机床的性能较好?
4.小爽和小兵在10次百米跑步练习中成绩如表所示(单位秒)小爽
10.
810.
911.
010.
711.
111.
110.
811.
010.
710.9小兵
10.
910.
910.
810.
811.
010.
910.
811.
110.
910.8如果根据这几次成绩选拔一人参加比赛,你会选谁呢?答案
1.
62.>、乙;
3.=
1.
5、S=
0.
975、=
1.
5、S=
0.425,乙机床性能好
4.=
10.
9、S=
0.02;=
10.
9、S=
0.008选择小兵参加比赛教学反思注意本资料来自网络资源,版权属原作者所有,如有侵权请联系删除零的零次幂没有意义!全等三角形命题、公理与定理全等三角形的判定直角三角形全等的判定尺规作图S.A.S.A.S.A.S.S.S.A.A.S.H.L.作线段作角作垂线作垂直平分线到一条线段的两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上逆命题与逆定理作角平分线到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上图4DAECBADBC60105噪音/分贝807050401520612184频数1090台数规格月份。