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11.概率知识要点
1.概率随机事件A的概率是频率的稳定值,反之,频率是概率的近似值.
2.等可能事件的概率如果一次试验中可能出现的结果有年n个,且所有结果出现的可能性都相等,那么,每一个基本事件的概率都是,如果某个事件A包含的结果有m个,那么事件A的概率.
3.
①互斥事件不可能同时发生的两个事件叫互斥事件.如果事件A、B互斥,那么事件A+B发生即A、B中有一个发生的概率,等于事件A、B分别发生的概率和,即PA+B=PA+PB,推广.
②对立事件两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件.例如从1~52张扑克牌中任取一张抽到“红桃”与抽到“黑桃”互为互斥事件,因为其中一个不可能同时发生,但又不能保证其中一个必然发生,故不是对立事件.而抽到“红色牌”与抽到黑色牌“互为对立事件,因为其中一个必发生.注意i.对立事件的概率和等于
1.ii.互为对立的两个事件一定互斥,但互斥不一定是对立事件.
③相互独立事件事件A或B是否发生对事件B或A发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件.如果两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积,即PA·B=PA·PB.由此,当两个事件同时发生的概率P(AB)等于这两个事件发生概率之和,这时我们也可称这两个事件为独立事件.例如从一副扑克牌(52张)中任抽一张设A“抽到老K”;B“抽到红牌”则A应与B互为独立事件[看上去A与B有关系很有可能不是独立事件,但.又事件AB表示“既抽到老K对抽到红牌”即“抽到红桃老K或方块老K”有,因此有.推广若事件相互独立,则.注意i.一般地,如果事件A与B相互独立,那么A与与B,与也都相互独立.ii.必然事件与任何事件都是相互独立的.iii.独立事件是对任意多个事件来讲,而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件,且这多个事件不能同时发生,故这些事件相互之间必然影响,因此互斥事件一定不是独立事件.
④独立重复试验若n次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果,则称这n次试验是独立的.如果在一次试验中某事件发生的概率为P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率.
4.对任何两个事件都有§
12.概率与统计知识要点
一、随机变量.
1.随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件
①试验可以在相同的情形下重复进行;
②试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;
③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.它就被称为一个随机试验.
2.离散型随机变量如果对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量,a,b是常数.则也是一个随机变量.一般地,若ξ是随机变量,是连续函数或单调函数,则也是随机变量.也就是说,随机变量的某些函数也是随机变量.设离散型随机变量ξ可能取的值为ξ取每一个值的概率,则表称为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列.……P……有性质
①;
②.注意若随机变量可以取某一区间内的一切值,这样的变量叫做连续型随机变量.例如即可以取0~5之间的一切数,包括整数、小数、无理数.
3.⑴二项分布如果在一次试验中某事件发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是[其中]于是得到随机变量ξ的概率分布如下我们称这样的随机变量ξ服从二项分布,记作~B(n·p),其中n,p为参数,并记.⑵二项分布的判断与应用.
①二项分布,实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复,且每次试验只有两种结果,如果不满足此两条件,随机变量就不服从二项分布.
②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小,而每次抽取时又只有两种试验结果,此时可以把它看作独立重复试验,利用二项分布求其分布列.
4.几何分布“”表示在第k次独立重复试验时,事件第一次发生,如果把k次试验时事件A发生记为,事A不发生记为,那么.根据相互独立事件的概率乘法分式于是得到随机变量ξ的概率分布列.123…k…Pqqp……我们称ξ服从几何分布,并记,其中
5.⑴超几何分布一批产品共有N件,其中有M(M<N)件次品,今抽取件,则其中的次品数ξ是一离散型随机变量,分布列为.〔分子是从M件次品中取k件,从N-M件正品中取n-k件的取法数,如果规定<时,则k的范围可以写为k=0,1,…,n.〕⑵超几何分布的另一种形式一批产品由a件次品、b件正品组成,今抽取n件(1≤n≤a+b),则次品数ξ的分布列为.⑶超几何分布与二项分布的关系.设一批产品由a件次品、b件正品组成,不放回抽取n件时,其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取,则其中次品数的分布列可如下求得把个产品编号,则抽取n次共有个可能结果,等可能含个结果,故,即~.[我们先为k个次品选定位置,共种选法;然后每个次品位置有a种选法,每个正品位置有b种选法]可以证明当产品总数很大而抽取个数不多时,,因此二项分布可作为超几何分布的近似,无放回抽样可近似看作放回抽样.
二、数学期望与方差.
1.期望的含义一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为……P……则称为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.
2.⑴随机变量的数学期望
①当时,,即常数的数学期望就是这个常数本身.
②当时,,即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和.
③当时,,即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.ξ01Pqp⑵单点分布其分布列为.⑶两点分布,其分布列为(p+q=1)⑷二项分布其分布列为~.(P为发生的概率)⑸几何分布其分布列为~.(P为发生的概率)
3.方差、标准差的定义当已知随机变量ξ的分布列为时,则称为ξ的方差.显然,故为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动,集中与离散的程度.越小,稳定性越高,波动越小.
4.方差的性质.⑴随机变量的方差.(a、b均为常数)ξ01Pqp⑵单点分布其分布列为⑶两点分布其分布列为(p+q=1)⑷二项分布⑸几何分布
5.期望与方差的关系.⑴如果和都存在,则⑵设ξ和是互相独立的两个随机变量,则⑶期望与方差的转化⑷(因为为一常数).
三、正态分布.(基本不列入考试范围)
1.密度曲线与密度函数对于连续型随机变量ξ,位于x轴上方,ξ落在任一区间内的概率等于它与x轴.直线与直线所围成的曲边梯形的面积(如图阴影部分)的曲线叫ξ的密度曲线,以其作为图像的函数叫做ξ的密度函数,由于“”是必然事件,故密度曲线与x轴所夹部分面积等于
1.
2.⑴正态分布与正态曲线如果随机变量ξ的概率密度为.(为常数,且),称ξ服从参数为的正态分布,用~表示.的表达式可简记为,它的密度曲线简称为正态曲线.⑵正态分布的期望与方差若~,则ξ的期望与方差分别为.⑶正态曲线的性质.
①曲线在x轴上方,与x轴不相交.
②曲线关于直线对称.
③当时曲线处于最高点,当x向左、向右远离时,曲线不断地降低,呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.
④当<时,曲线上升;当>时,曲线下降,并且当曲线向左、向右两边无限延伸时,以x轴为渐近线,向x轴无限的靠近.
⑤当一定时,曲线的形状由确定,越大,曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散;越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中.
3.⑴标准正态分布如果随机变量ξ的概率函数为,则称ξ服从标准正态分布.即~有,求出,而P(a<≤b)的计算则是.注意当标准正态分布的的X取0时,有当的X取大于0的数时,有.比如则必然小于0,如图.⑵正态分布与标准正态分布间的关系若~则ξ的分布函数通常用表示,且有.
4.⑴“3”原则.假设检验是就正态总体而言的,进行假设检验可归结为如下三步
①提出统计假设,统计假设里的变量服从正态分布.
②确定一次试验中的取值是否落入范围.
③做出判断如果,接受统计假设.如果,由于这是小概率事件,就拒绝统计假设.⑵“3”原则的应用若随机变量ξ服从正态分布则ξ落在内的概率为
99.7%亦即落在之外的概率为
0.3%,此为小概率事件,如果此事件发生了,就说明此种产品不合格(即ξ不服从正态分布).§
15.复数知识要点
1.⑴复数的单位为i,它的平方等于-1,即.⑵复数及其相关概念1复数—形如a+bi的数(其中);2实数—当b=0时的复数a+bi,即a;3虚数—当时的复数a+bi;4纯虚数—当a=0且时的复数a+bi,即bi.5复数a+bi的实部与虚部—a叫做复数的实部,b叫做虚部(注意a,b都是实数)6复数集C—全体复数的集合,一般用字母C表示.⑶两个复数相等的定义.⑷两个复数,如果不全是实数,就不能比较大小.注
①若为复数,则若,则.(×)[为复数,而不是实数]若,则.(√)
②若,则是的必要不充分条件.(当,时,上式成立)
2.⑴复平面内的两点间距离公式.其中是复平面内的两点所对应的复数,间的距离.由上可得复平面内以为圆心,为半径的圆的复数方程.⑵曲线方程的复数形式
①为圆心,r为半径的圆的方程.
②表示线段的垂直平分线的方程.
③为焦点,长半轴长为a的椭圆的方程(若,此方程表示线段).
④表示以为焦点,实半轴长为a的双曲线方程(若,此方程表示两条射线).⑶绝对值不等式设是不等于零的复数,则
①.左边取等号的条件是,右边取等号的条件是.
②.左边取等号的条件是,右边取等号的条件是.注.
3.共轭复数的性质,(a+bi)()注两个共轭复数之差是纯虚数.(×)[之差可能为零,此时两个复数是相等的]4⑴
①复数的乘方
②对任何,及有
③注
①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式,否则会得到荒谬的结果,如若由就会得到的错误结论.
②在实数集成立的.当为虚数时,,所以复数集内解方程不能采用两边平方法.⑵常用的结论若是1的立方虚数根,即,则.
5.⑴复数是实数及纯虚数的充要条件
①.
②若,是纯虚数.⑵模相等且方向相同的向量,不管它的起点在哪里,都认为是相等的,而相等的向量表示同一复数.特例零向量的方向是任意的,其模为零.注.
6.⑴复数的三角形式.辐角主值适合于0≤<的值,记作.注
①为零时,可取内任意值.
②辐角是多值的,都相差2的整数倍.
③设则.⑵复数的代数形式与三角形式的互化,,.⑶几类三角式的标准形式
7.复数集中解一元二次方程在复数集内解关于的一元二次方程时,应注意下述问题
①当时,若>0,则有二不等实数根;若=0,则有二相等实数根;若<0,则有二相等复数根(为共轭复数).
②当不全为实数时,不能用方程根的情况.
③不论为何复数,都可用求根公式求根,并且韦达定理也成立.
8.复数的三角形式运算棣莫弗定理。