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高考数学知识点公式汇总1.知识点集合
1.n个元素的子集有2n个.
②n个元素的真子集有2n-1个.
③n个元素的非空真子集有2n-2个.
2.
①一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真.否命题逆命题.
②一个命题为真,则它的逆否命题一定为真.原命题逆否命题.例
①若应是真命题.解逆否a=2且b=3,则a+b=5,成立,所以此命题为真.
②.解逆否x+y=3x=1或y=
2.故是的既不是充分,又不是必要条件.
3.有限集的元素个数定义有限集A的元素的个数叫做集合A的基数,记为cardA规定cardφ=
0.基本公式3cardUA=cardU-cardA2.含绝对值不等式、一元二次不等式的解法3.
1.整式不等式的解法特例
①一元一次不等式axb解的讨论;
②一元二次不等式ax2+box0a0解的讨论.二次函数()的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根R
2.分式不等式的解法
(1)标准化移项通分化为0或0;≥0或≤0的形式,
(2)转化为整式不等式(组)
3.含绝对值不等式的解法
(1)公式法与型的不等式的解法.
(2)定义法用“零点分区间法”分类讨论.
(3)几何法根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.三简易逻辑
1.逻辑联结词、简单命题与复合命题“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词;不含有逻辑联结词的命题是简单命题;由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题构成复合命题的形式p或q记作“p∨q”;p且q记作“p∧q”;非p记作“┑q”
(1)“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真,其他情况时为假;
(2)“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假,其他情况时为真.
2.四种命题的形式原命题若P则q;逆命题若q则p;否命题若┑P则┑q;逆否命题若┑q则┑p
3.四种命题之间的相互关系一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系原命题逆否命题
①、原命题为真,它的逆命题不一定为真
②、原命题为真,它的否命题不一定为真
③、原命题为真,它的逆否命题一定为真
4、如果已知pq那么我们说,p是q的充分条件,q是p的必要条件若pq且qp则称p是q的充要条件,记为p⇔q.
5、反证法从命题结论的反面出发(假设),引出与已知、公理、定理…矛盾,从而否定假设证明原命题成立,这样的证明方法叫反证法§
02.函数知识要点
一、本章知识网络结构二.函数的性质⒈函数的单调性定义对于函数fx的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1x2⑴若当x1x2时,都有fx1fx2则说fx在这个区间上是增函数;⑵若当x1x2时,都有fx1fx2则说fx在这个区间上是减函数.若函数y=fx在某个区间是增函数或减函数,则就说函数y=fx在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做函数y=fx的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数
2.函数的奇偶性
3.对称变换
①y=f(x)
②y=f(x)
③y=f(x)三指数函数与对数函数指数函数的图象和性质图象性质1定义域R
(2)值域(0,+∞)
(3)过定点(0,1),即x=0时,y=14x0时,y1;x0时,0y14x0时,0y1;x0时,y
1.
(5)在R上是增函数
(5)在R上是减函数a10a1对数函数y=logax的图象和性质:对数运算图象性质
(1)定义域(0,+∞)
(2)值域R
(3)过点(1,0),即当x=1时,y=0
(4)时时y0时时
(5)在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数()与互为反函数.当时,的值越大,越靠近轴;当时,则相反.§
03.数列知识要点等差数列等比数列定义递推公式;;通项公式()中项()()前项和重要性质⑵看数列是不是等差数列有以下三种方法
①②2
③为常数.⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法
①②,
①注
①i.,是a、b、c成等比的双非条件,即a、b、c等比数列.ii.(ac>0)→为a、b、c等比数列的充分不必要.iii.→为a、b、c等比数列的必要不充分.iv.且→为a、b、c等比数列的充要.注意任意两数a、c不一定有等比中项,除非有ac>0,则等比中项一定有两个.
③为非零常数.
④正数列{}成等比的充要条件是数列{}()成等比数列.⑷数列{}的前项和与通项的关系.常用公式
①1+2+3…+n=
②③
4.等比数列的前项和公式的常见应用题⑴生产部门中有增长率的总产量问题.例如,第一年产量为,年增长率为,则每年的产量成等比数列,公比为.其中第年产量为,且过年后总产量为⑵银行部门中按复利计算问题.例如一年中每月初到银行存元,利息为,每月利息按复利计算,则每月的元过个月后便成为元.因此,第二年年初可存款=.⑶分期付款应用题为分期付款方式贷款为a元;m为m个月将款全部付清;为年利率.
6.几种常见数列的思想方法⑴等差数列的前项和为,在时,有最大值.如何确定使取最大值时的值,有两种方法一是求使,成立的值;二是由利用二次函数的性质求的值.⑵如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积,求此数列前项和可依照等比数列前项和的推倒导方法错位相减求和.例如⑶两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列,此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项,公差是两个数列公差的最小公倍数.
3.在等差数列{}中有关Sn的最值问题1当0d0时,满足的项数m使得取最大值.2当0d0时,满足的项数m使得取最小值在解含绝对值的数列最值问题时注意转化思想的应用
5.常用结论1):1+2+3+...+n=2)1+3+5+...+2n-1=3)4)5)6)§
04.三角函数知识要点三角函数的公式
(一)基本关系公式组二公式组三公式组四公式组五公式组六公式组一公式组二公式组三公式组四公式组五.
0.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质(A、>0)定义域RRR值域RR周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当非奇非偶当奇函数单调性上为增函数;上为减函数();上为增函数上为减函数()上为增函数()上为减函数()上为增函数;上为减函数()注意
①与的单调性正好相反;与的单调性也同样相反.一般地,若在上递增(减),则在上递减(增).
②与的周期是.
③或()的周期.的周期为2(,如图,翻折无效).
④的对称轴方程是(),对称中心();的对称轴方程是(),对称中心();的对称中心().
⑤当·;·.
⑥与是同一函数而是偶函数,则.
3.利用图象变换作三角函数图象.三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等.函数y=Asin(ωx+φ)的振幅|A|,周期,频率,相位初相(即当x=0时的相位).(当A>0,ω>0时以上公式可去绝对值符号),由y=sinx的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长(当|A|>1)或缩短(当0<|A|<1)到原来的|A|倍,得到y=Asinx的图象,叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换.(用y/A替换y)由y=sinx的图象上的点的纵坐标保持不变,横坐标伸长(0<|ω|<1)或缩短(|ω|>1)到原来的倍,得到y=sinωx的图象,叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换.用ωx替换x由y=sinx的图象上所有的点向左(当φ>0)或向右(当φ<0)平行移动|φ|个单位,得到y=sin(x+φ)的图象,叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移.用x+φ替换x由y=sinx的图象上所有的点向上(当b>0)或向下(当b<0)平行移动|b|个单位,得到y=sinx+b的图象叫做沿y轴方向的平移.(用y+-b替换y)由y=sinx的图象利用图象变换作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)(x∈R)的图象,要特别注意当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象延x轴量伸缩量§
05.直线和圆的方程知识要点
1.点到直线的距离⑴点到直线的距离公式设点,直线到的距离为,则有.注
1.两点P1x1y
1、P2x2y2的距离公式.特例点Pxy到原点O的距离
2.两条平行线间的距离公式设两条平行直线,它们之间的距离为,则有.注;直线系方程
1.与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=
0.m∊RC≠m.
2.与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+m=
0.m∊R
3.过定点(x1y1)的直线系方程是Ax-x1+By-y1=0AB不全为
04.过直线l
1、l2交点的直线系方程(A1x+B1y+C1)+λA2x+B2y+C2)=0λ∊R)注该直线系不含l
2.§
06.不等式知识要点
1.几个重要不等式
(1)
(2)(当仅当a=b时取等号)
(3)如果ab都是正数,那么(当仅当a=b时取等号)(当仅当a=b=c时取等号)(当仅当a=b时取等号)
(7)
2.几个著名不等式
(1)平均不等式如果ab都是正数,那么(当仅当a=b时取等号)即平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a、b为正数)特别地,(当a=b时,)常用不等式的放缩法
①②
(3)琴生不等式(特例)与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数fx对于定义域中任意两点有则称fx为凸(或凹)函数.§
07.平面向量知识要点本章知识网络结构1平面向量基本定理e1,e2是同一平面内两个不共线的向量,那么,对于这个平面内任一向量,有且仅有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e
2.2两个向量平行的充要条件a∥ba=λbb≠0x1y2-x2y1=O.3两个向量垂直的充要条件a⊥ba·b=Ox1x2+y1y2=O.4线段的定比分点公式设点P分有向线段所成的比为λ,即=λ,则=+线段的定比分点的向量公式线段定比分点的坐标公式当λ=1时,得中点公式=(+)或5平移公式设点Px,y按向量a=(h,k)平移后得到点P′(x′,y′),则=+a或曲线y=f(x)按向量a=(h,k)平移后所得的曲线的函数解析式为y-k=f(x-h6正、余弦定理正弦定理余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,b2=c2+a2-2cacosB,c2=a2+b2-2abcosC.[注]到三角形三边的距离相等的点有4个,一个是内心,其余3个是旁心.如图图1中的I为S△ABC的内心,S△=Pr图2中的I为S△ABC的一个旁心,S△=1/2(b+c-a)ra附三角形的五个“心”;重心三角形三条中线交点.外心三角形三边垂直平分线相交于一点.内心三角形三内角的平分线相交于一点.垂心三角形三边上的高相交于一点.旁心三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.已知⊙O是△ABC的内切圆,若BC=a,AC=b,AB=c[注s为△ABC的半周长即]则
①AE==1/2(b+c-a)
②BN==1/2(a+c-b)
③FC==1/2(a+b-c)⑻△ABC的判定△ABC为直角△∠A+∠B=<△ABC为钝角△∠A+∠B<>△ABC为锐角△∠A+∠B>§
08.圆锥曲线方程知识要点
一、椭圆方程.
1.椭圆方程的第一定义⑵
①顶点或.
②轴对称轴x轴,轴;长轴长,短轴长.
③焦点或.
④焦距.
⑤准线或.
⑥离心率.
⑦焦点半径i.设为椭圆上的一点,为左、右焦点,则由椭圆方程的第二定义可以推出.ii.设为椭圆上的一点,为上、下焦点,则由椭圆方程的第二定义可以推出.由椭圆第二定义可知归结起来为“左加右减”.
二、双曲线方程.
1.双曲线的第一定义
②轴为对称轴,实轴长为2a虚轴长为2b,焦距2c.
③离心率.
④准线距(两准线的距离);通径.
⑤参数关系.
⑥焦点半径公式对于双曲线方程(分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点)“长加短减”原则构成满足(与椭圆焦半径不同,椭圆焦半径要带符号计算,而双曲线不带符号)⑶等轴双曲线双曲线称为等轴双曲线,其渐近线方程为,离心率.⑷共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线.⑸共渐近线的双曲线系方程的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时,它的双曲线方程可设为.
三、抛物线方程.
3.设,抛物线的标准方程、类型及其几何性质图形焦点准线范围对称轴轴轴顶点(0,0)离心率焦点注
①顶点.
②则焦点半径;则焦点半径为.
③通径为2p,这是过焦点的所有弦中最短的.
④(或)的参数方程为(或)(为参数).注椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质椭圆双曲线抛物线定义1.到两定点F1F2的距离之和为定值2a2a|F1F2|的点的轨迹1.到两定点F1F2的距离之差的绝对值为定值2a02a|F1F2|的点的轨迹2.与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.(0e1)2.与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.(e1)与定点和直线的距离相等的点的轨迹.图形方程标准方程0a0b0y2=2px参数方程t为参数范围─axa,─byb|x|a,yRx0中心原点O(0,0)原点O(0,0)顶点a0─a00b0─ba0─a000对称轴x轴,y轴;长轴长2a短轴长2bx轴,y轴;实轴长2a虚轴长2b.x轴焦点F1c0F2─c0F1c0F2─c0焦距2c(c=)2c(c=)离心率e=1准线x=x=渐近线y=±x焦半径通径2p焦参数P§
10.排列组合二项定理知识要点
1.排列数公式注意规定0!=1规定
2.、组合.
1.⑴组合从n个不同的元素中任取mm≤n个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.⑵组合数公式⑶两个公式
①②①几个常用组合数公式常用的证明组合等式方法例.i.裂项求和法.如(利用),而右边
五、二项式定理.
1.⑴二项式定理.展开式具有以下特点1项数共有项;2系数依次为组合数3每一项的次数是一样的,即为n次,展开式依a的降幕排列,b的升幕排列展开.⑵二项展开式的通项.展开式中的第项为.⑶二项式系数的性质.
①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等;
②二项展开式的中间项二项式系数最大.I.当n是偶数时,中间项是第项,它的二项式系数最大;II.当n是奇数时,中间项为两项,即第项和第项,它们的二项式系数最大.
③系数和§
11.概率知识要点⑴二项分布如果在一次试验中某事件发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是[其中]几何分布“”表示在第k次独立重复试验时,事件第一次发生,如果把k次试验时事件A发生记为,事A不发生记为,那么.根据相互独立事件的概率乘法分式于是得到随机变量ξ的概率分布列.123…k…Pqqp……我们称ξ服从几何分布,并记,其中
二、数学期望与方差.
1.期望的含义一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为……P……则称为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.
2.⑴随机变量的数学期望
①当时,,即常数的数学期望就是这个常数本身.
②当时,,即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和.
③当时,,即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.⑵单点分布其分布列为.⑶两点分布,其分布列为(p+q=1)⑷二项分布其分布列为~.(P为发生的概率)⑸几何分布其分布列为~.(P为发生的概率)
4.方差的性质.⑴随机变量的方差.(a、b均为常数)ξ01Pqp⑵单点分布其分布列为⑶两点分布其分布列为(p+q=1)⑷二项分布⑸几何分布
5.期望与方差的关系.⑴如果和都存在,则⑵设ξ和是互相独立的两个随机变量,则⑶期望与方差的转化⑷(因为为一常数).正态分布的期望与方差若~,则ξ的期望与方差分别为.⑶正态曲线的性质.
3.⑴标准正态分布如果随机变量ξ的概率函数为,则称ξ服从标准正态分布.即~有,求出,而P(a<≤b)的计算则是.注意当标准正态分布的的X取0时,有当的X取大于0的数时,有.比如则必然小于0,如图.⑵正态分布与标准正态分布间的关系若~则ξ的分布函数通常用表示,且有.§
12.导数知识要点
4.求导数的四则运算法则(为常数)
5.复合函数的求导法则或复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.
6.函数单调性⑴函数单调性的判定方法设函数在某个区间内可导,如果>0,则为增函数;如果<0,则为减函数.⑵常数的判定方法;如果函数在区间内恒有=0,则为常数.
9.几种常见的函数导数I.(为常数)()II.III.求导的常见方法
①常用结论.
②形如或两边同取自然对数,可转化求代数和形式.
③无理函数或形如这类函数,如取自然对数之后可变形为,对两边求导可得.§
13.复数知识要点常用的结论14.棱锥的体积:V棱锥=,其中S是棱锥的底面积,h是棱锥的高
13.直棱柱的侧面积和全面积
15.球的体积公式V=,表面积公式;S直棱柱侧=cc表示底面周长,表示侧棱长S棱柱全=S底+S侧数列数列的定义数列的有关概念数列的通项数列与函数的关系项项数通项导数导数的概念导数的运算导数的应用导数的几何意义、物理意义函数的单调性函数的极值函数的最值常见函数的导数导数的运算法则。